Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
887,73 KB
Nội dung
Toán Tài liệu dạy học Bài 4-5 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Liên hệ cạnh góc tam giác vng Trong tam giác vng, cạnh góc vng Tích cạnh huyền với sin góc đối cơ-sin góc kề Tích cạnh góc vng với tang góc đối cơ-tang góc kề Trong hình bên, ta có b a sin B a cos C ; b c tan B c cot C ; c c sin C a cos B; c b tan C b cot B Giải tam giác vuông Giải tam giác vng tìm tất cạnh góc cịn lại tam giác vng biết trước hai cạnh cạnh góc nhọn B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Giải tam giác vuông Vận dụng cơng thức liên hệ cạnh góc tam giác vng để tìm cạnh Vận dụng cơng thức liên hệ cạnh đường cao tam giác vng để tìm cạnh Vận dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tính góc Lưu ý: Nếu cho trước góc nhọn nên tìm góc nhọn cịn lại Nếu cho trước hai cạnh dùng định lý Py-ta-go tìm cạnh thứ hai Ví dụ Giải tam giác ABC vuông A , biết AB 3,5 AC 4, Lời giải tan B Ta có AC 4, tan 5012 AB 3,5 ˆ ˆ ˆ Suy B 50 12 mà B C 90 ˆ ˆ nên C 90 B 90 50 12 39 48 Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có BC AB AC 3,52 4, 22 5,5 Ví dụ Giải tam giác ABC vuông A , biết AB 3, BC 4,5 Lời giải ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học sin C Do giả thiết ta có Cˆ 41 49 AB 3, sin 41 49 BC 4,5 suy ˆ ˆ ˆ ˆ Mà B C 90 nên B 90 C 90 41 49 48 11 Mặt khác theo định lí Py-ta-go BC AB AC AC BC AB 2 2 suy AC BC AB 4,5 3, 3, ˆ Ví dụ Giải tam giác ABC vuông A , biết B 50 AB 3, Lời giải ˆ ˆ Ta có C 90 B 90 50 40 Mặt khác AC AB tan B 3, tan 50 4, Tương tự BC AB 3, 5,8 cos B cos 50 ˆ Ví dụ Giải tam giác ABC vuông A , biết B 57 BC 4,5 Lời giải ˆ Ta có C 90 57 33 Mặt khác AB BC cos B 4,5 cos 57 2,5 AC BC sin B 4,5 sin 57 3,8 ˆ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB 2,5 , BH 1,5 Tính Bˆ , C AC Lời giải Xét tam giác ABH vng H , ta có cos B BH 1,5 cos 53 8 ˆ AB 2,5 suy B 53 8 ˆ ˆ ˆ Mà B C 90 nên C 90 53 8 36 52 ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Xét ABC vng A , ta có AC AB tan B 2,5 tan 53 8 3,3 Dạng 2: Giải tam giác nhọn Bước 1: Vẽ đường cao để vận dụng hệ thức lượng tam giác vuông Bước 2: Tính đường cao tính độ dài cạnh hay góc tam giác cho Lưu ý: Dùng đường cao làm trung gian để tính độ dài cạnh số đo góc Nếu tam giác cho trước cạnh (hoặc góc) vẽ đường cao khơng thể chia đơi cạnh (hoặc góc đó) khó khăn cho việc tính tốn ˆ ˆ Ví dụ Cho tam giác ABC có B 65 , C 45 AB 2,8cm Tính góc cạnh cịn lại tam giác (gọi giải tam giác ABC ) Lời giải ˆ ˆ ˆ Ta có A 180 B C 180 65 45 70 Kẻ đường cao AH Xét ABH vng H , ta có AH AB sin B 2,8 sin 65 2,54 cm Tương tự BH AB cos B 2,8 cos 65 1,18 cm Mặt khác, giả thiết suy tam giác HAC vuông cân H nên HA HC BC 2,54 1,18 3, 7 cm Do Xét AHC vng H , ta có AC HA 2,54 3, 6 cm sin C sin 45 ˆ ˆ Ví dụ Giải tam giác ABC biết B 65 , C 40 BC 4, 2cm Lời giải ˆ ˆ ˆ Ta có A 180 B C 180 65 40 75 Kẻ đường cao BH Xét BCH vuông H , ta có BH BC sin C 4, sin 40 2, 70 cm Tương tự, xét ABH vng H , ta có AB ĐT: 0344 083 670 BH 2, 70 2,8 cm sin A sin 75 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Mặt khác, ta có AC AH CH BH cot A cot C 2, 70 cot 75 cot 40 3,9 cm ˆ Ví dụ Giải tam giác nhọn ABC biết AB 2,1 , AC 3,8 B 70 Lời giải Vẽ AH BC Xét ABH vuông H , ta có AH AB sin B 2,1 sin 70 1,97 Tương tự, xét BH AB cos B 2,1 cos 70 0, 72 Mặt khác, sin C Mà xét AHC vng H, ta có AH 1,97 sin 3114 ˆ AC 3,8 C 3114 78 46 Aˆ 180 70 3114 Ta có HC AC cos C 3,80 cos 3114 3, 25 Mà BC BH HC 0, 72 3, 25 3, 97 Dạng 3: Tính diện tích tam giác, tứ giác Tính yếu tố cần thiết thay vào cơng thức tính diện tích thực phép tính Ví dụ Cho tam giác ABC hình vẽ bên Chứng minh diện tích tam giác ABC có diện S b c sin tích Lời giải Vẽ đường cao BH tam giác ABC ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Xét ABH vng H , ta có BH AB sin A c sin 1 S AC BH b c sin 2 Do diện tích S tam giác ABC Nhận xét: Qua ví dụ ta có thêm cách tính diện tích tam giác Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn xen hai đường thẳng chứa hai cạnh Ví dụ 10 Tứ giác ABCD hình vẽ phía Biết AC 3,8 , BD 5, 65 Tính diện tích tứ giác Lời giải Vẽ AH BD CK BD Xét OAH ta có AH OA sin Tương tự, xét OCK ta có CK OC sin 1 SABD BD AH BD OA sin 2 Mà 1 SBCD BD CK BD OC sin 2 Tương tự Gọi S diện tích tứ giác ABCD ta có 1 S SABD SBCD BD OA sin BD OC sin 2 BD sin OA OC 1 BD AC sin 5, 3,8 sin 65 8, 2 ˆ ˆ Ví dụ 11 Tam giác ABC có B C 60 , AB 3 , AC 6 Tính độ dài đường phân giác AD Lời giải ˆ ˆ Do giả thiết B C 60 nên BAC 180 60 120 ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Mà AD đường phân giác nên BAD CAD 60 1 18 SABC AB AC sin BAC 3 6 sin120 sin 60 2 Mà Mặt khác 1 SABD AB AD sin BAD AB AD sin 60 2 1 SACD AC AD sin DAC AC AD sin 60 2 ˆ Ví dụ 12 Hình bình hành ABCD có AC AD AD 3,5 , D 50 Tính diện tích hình bình hành Lời giải Xét ADC vng A , ta có AC AD tan ADC 3,5 tan 50 Khi gọi S diện tích hình bình hành ABCD , ta có S AD AC 3,5 3,5 tan 50 14, Dạng 4: Ứng dụng thực tế hệ thức lượng tam giác vng Vẽ lại hình vẽ theo u cầu tốn (chú ý tạo tam giác vng) Xác định yếu tố cần thiết tính theo hệ thức cạnh góc tam giác sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tìm góc Ví dụ 13 Tính khoảng cách hai điểm A B ˆ bờ hồ nước sâu, biết C 58 , CB 13m , CH 44m hình bên Lời giải Xét HAC vng H , ta có AC Mà AB AC BC 83 13 70 m HC 44 83 m cos C cos 58 Ví dụ 14 Trong hình vẽ bên dưới, tính chiều rộng AB sơng, biết OC 47m , AOC 74 , BOC 23 ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Lời giải Xét AOC vng C , ta có AC OC tan 74 BC OC tan 23 Do AB AC BC OC tan 74 OC tan 23 OC tan 74 tan 23 47 tan 74 tan 23 144, 0 m Vậy AB 144, 0m Ví dụ 15 Khoảng cách hai chân tháp AB MN a hình vẽ bên Từ đỉnh A tháp AB nhìn lên đỉnh M tháp MN ta góc Từ đỉnh A nhìn xuống chân N tháp MN ta góc (so với phương nằm ngang AH ) Hãy tìm chiều cao MN a 120m , 30 , 20 Lời giải Xét MAH vng H , ta có HM AH tan Tương tự, xét MAH vuông H , ta có HN AH tan Mà MN HM HN AH tan AH tan AH tan tan 120 tan 30 tan 20 113, 0 m Vậy chiều cao MN 113, 0m C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Giải tam giác ABC vuông A , biết a) AB 2, AC 4, ; b) AC 4, BC 4,8 Lời giải ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học a) Xét ABC vng A , ta có tan B AC 4,5 tan 59 04 AB 2, ˆ ˆ ˆ Suy B 59 04 mà B C 90 nên Cˆ 90 Bˆ 90 59 04 30 56 Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có BC AB AC 2, 4,52 5, 25 b) Xét ABC vuông A , ta có sin B AC 4, sin 56 44 BC 4,8 ˆ ˆ ˆ Suy B 56 44 mà B C 90 nên Cˆ 90 Bˆ 90 56 44 3316 Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có AB BC AC 4,82 4, 02 2, 65 Bài Giải tam giác ABC vuông A , biết ˆ a) BC 4,5 C 35 ; ˆ b) AB 3,1 B 65 Lời giải a) Xét ABC vuông A , ta có AB BC sin C 4,5 sin 35 2,58 Tương tự, AC BC cos C 4,5 cos 35 3, 69 ˆ ˆ Do B C 90 nên Bˆ 90 Cˆ 90 35 55 b) Xét ABC vuông A , ta có BC AB 3,1 7,34 cos B cos 65 ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Tương tự, AC AB tan B 3,1 tan 65 6, 65 ˆ ˆ Do B C 90 nên Cˆ 90 Bˆ 90 65 25 ˆ Bài Cho tam giác ABC cân A , đường cao BH Biết A 50 , BH 2,3 Tính chu vi ABC Lời giải ˆ ˆ Do giả thiết suy B C nên 1 Cˆ 180 Aˆ 180 50 65 2 Xét AHB vuông H , ta có AH BH cot HAB 2,3 cot 50 1,92 Tương tự, xét CHB vng H , ta có CH BH cot HCB 2,3 cot 65 1, 07 BC BH 2,3 2,54 sin 65 sin HCB Mà AC AH HC 1, 92 1, 07 2,99 Do chu vi tam giác ABC AB BC CA 2 2,99 2,54 8, 52 ˆ ˆ ˆ Bài Hình thang ABCD có A D 90 Biết AB 2, , CD 4, C 35 Tính diện tích hình thang Lời giải Vẽ BH CD , giả thiết suy ABHD hình chữ nhật nên AB DH 2, Mà CD DH HC HC DC DH 4, 2, 2,1 Xét BHC vuông H , ta có BH HC tan BCH 2,1 tan 35 1,5 Gọi S diện tích hình thang ABCD Ta có S AB CD BH 2, 4, 1,5 5,5 ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Bài Cho tam giác nhọn ABC , AB AC , đường cao AH đường trung tuyến AM Gọi số đo góc HAM a) Chứng minh HB HC 2 HM ; b) Chứng minh tan cot B cot C Lời giải a) Do giả thiết AM trung tuyến nên BM MC Mà HB HC HM BM MC MH 2 MH b) Đặt AH h , xét AHB , ta có HB AH cot ABH h cot ABH Tương tự, xét AHC , ta có HC AH cot ACH h cot ACH Suy HB HC h cot ABH cot ACH hay 2HM h cot B cot C (1) Mặt khác, xét AMH vng H , ta có HM h tan MAH h tan hay HM 2h tan Từ (1) (2) suy (2) 2h tan h cot B cot C tan cot B cot C ˆ Bài Giải tam giác nhọn ABC biết B 60 , AB 3, BC 4,5 Lời giải Kẻ đường cao AH BC Xét ABH vng H , ta có AH AB sin B 3, sin 60 2, Tương tự, xét BH AB cos B 3, cos 60 1,5 Mà HC BC BH 4,5 1, 3, 2 2 Theo định lí Py-ta-go ta có AB BH AH 3, 2, 15, 76 suy AB 15, 76 4, Xét AHC vng H ta có Do tan ACH AH 2, tan 40 55 HC 3, Aˆ 180 Bˆ Cˆ 180 60 40 55 79 5 ĐT: 0344 083 670 10 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học ˆ ˆ Bài Hình thang ABCD ( AB CD ) có D 90 , C 38 , AB 3,5 , AD 3,1 Tính diện tích hình thang Lời giải Vẽ BH CD , giả thiết suy ABHD hình chữ nhật Do BH 3,1 , DH 3,5 Xét BHC vng H , ta có HC BH cot C 3,1cot 38 4, Mà CD DH HC 3,5 4, 7,5 Gọi S diện tích hình thang ABCD S AB CD BH 3,5 7,5 3,1 17,1 2 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Các cạnh tam giác vng có độ dài 4cm; 6cm 6cm Hãy tính góc nhỏ tam giác ˆ Bài Tam giác ABC vng A có AB 21 cm, C 40 Hãy tính độ dài a) AC ; b) BC ; Bài 10 Cho hình bên, biết: c) Phân giác BD AB AC 8 cm, CD 6 cm, BAC 34 CAD 42 Hãy tính a) Độ dài cạnh BC ; b) ADC ; c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD Bài 11 Trong tam giác ABC có AB 11 cm, ABC 38 , ACB 30 , N chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Hãy tính AN , AC Bài 12 Tìm x y hình sau ĐT: 0344 083 670 11 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Bài 13 Cho tam giác BCD cạnh cm DAB 40 Hãy tính a) AD ; b) AB - HẾT - ĐT: 0344 083 670 12 Tổng hợp: Thầy Hoùa