Hh8 c2 cd1 đa giác đa giác đều

HÌNH HỌC 8- CHƯƠNG 2- CHỦ ĐỀ ĐA GIÁC ĐA GIÁC ĐỀU  Trọng tâm cần luyện + Vẽ đa giác với trục đối xứng + Tính tốn số đo góc, số đường chéo đa giác lồi I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm đa giác Định nghĩa: Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác Đa giác Định nghĩa: Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc Tổng số đo góc đa giác n cạnh  n   180 Số đo góc đa giác n cạnh Số đường chéo đa giác n cạnh  n   180 n n  n  3 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết đa giác Phương pháp giải Để kể tên đa giác ta cần biết đa giác có bao Ví dụ: Cho hình vẽ sau nhiêu cạnh có nhiêu đỉnh Từ ta chọn đỉnh đa giác từ đỉnh cho Trong hình vẽ có tam giác là: ADE , ABE , ABC , DBE , BEC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ngũ giác ABCDE Kẻ đường chéo AC AD Kể tên đa giác có hình vẽ Hướng dẫn giải Có tam giác: ABC, ACD, ADE Để kể tên đa giác cần Có tứ giác: ABCD, ACDE liệt kê theo quy luật để có Có ngũ giác: ABCDE thể kể hết tên đa giác Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong hình vẽ sau, có đa giác lồi? Câu 2: Trong hình vẽ sau, có đa giác lồi? Câu 3: Cho lục giác ABCDEF Kẻ đường chéo AC , AD AE Kể tên đa giác có hình vẽ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Những hình đa giác lồi: Hình 2; Hình 3; Hình Câu Những hình đa giác lồi: Hình 1; Hình Câu Có tam giác: ABC, ACD, ADE, AEF Có tứ giác: ABCD, ACDE, ADEF Có ngũ giác: ABCDE, ACDEF Có lục giác: ABCDEF Dạng 2: Tính chất góc đa giác Phương pháp giải Tổng số đo góc đa giác n cạnh Ví dụ: Tổng số đo góc tam giác  n  2  n   180    180 180 Tổng số đo góc tứ giác    180 360 Trang Tổng số đo góc lục giác    180 720 Ví dụ mẫu Ví dụ a) Chứng minh tổng số đo góc hình n – giác  n   180 b) Tính tổng số đo góc đa giác 12 cạnh Hướng dẫn giải a) Vẽ đường chéo xuất phát từ đỉnh n – giác, ta  n   tam giác Tổng số đo góc hình n – giác tổng số đo góc  n   tam giác, tức có số đo  n   180 b) Ta có tổng số đo góc  n   180  12   180 1800 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Đa giác có tổng số đo góc 720 ? A Tứ giác B Ngũ giác C Lục giác D Bát giác Câu 2: Ngũ giác có số đo góc đỉnh độ? A 108 B 120 C 90 D 135 C Lục giác D Bát giác Câu 3: Đa giác có tổng số đo góc 540 A Tứ giác B Ngũ giác Câu 4: Lục giác có số đo góc đỉnh độ? A 108 B 120 C 90 D 135 Câu 5: Tính số cạnh đa giác có tổng số đo góc 1080 Câu 6: Cho ngũ giác ABCDE a) Tính tổng số đo góc ngồi ngũ giác (góc ngồi góc kề bù với góc đỉnh đó) b) Chứng minh ngũ giác ABCDE khơng thể có nhiều ba góc nhọn HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1–C Câu 2–A 3–B 4–B Gọi n số cạnh đa giác 1080  8 Ta có ( n  2).180 1080  n  180 Vậy đa giác có cạnh Câu  C  D  E  3.180 540 a) Ta có: A  B Trang Tổng số đo góc ngồi ngũ giác là:  180  A   180  B    180  C    180  D    180  E   C  D  E  ) 900  540 360 5.180  ( A  B b) Thật vậy, giả sử ABCDE có bốn góc nhọn  ,C  ,D  góc Khơng tính tổng qt, ta coi góc A, B nhọn Khi bốn góc ngồi tương ứng với bốn góc bốn góc tù Vậy tổng số đo góc ngồi ngũ giác phải lớn 4.90 360 trái với điều chứng minh Do đó, ngũ giác khơng thể có nhiều ba góc nhọn Dạng Tính chất đường chéo đa giác Phương pháp giải Ví dụ: Sử dụng cơng thức tính số đường chéo đa giác n  n  3 a) Trong tứ giác có b) Ngũ giác có   3 2 đường chéo   3 5 đường chéo Ví dụ mẫu Ví dụ Tính số đường chéo ngũ giác, lục giác, hình n – giác Hướng dẫn giải Từ đỉnh ngũ giác vẽ hai đường chéo Khi đó, vẽ tất 2.5 10 đường chéo Vì đường chéo tính hai lần nên ngũ giác có tất đường chéo Tương tự, lục giác từ đỉnh vẽ 3.6 18 đường chéo Vì đường chéo tính hai lần nên lục giác có tất đường chéo Từ đỉnh hình n – giác (lồi) vẽ  n  1 đoạn thẳng nối đỉnh với  n  1 đỉnh cịn lại đa giác, hai đoạn thẳng trùng với hai cạnh đa giác khơng tính vào số đường chéo Trang Do vậy, qua đỉnh hình n – giác vẽ n   n  đường chéo Hình n – giác vẽ n  n  3 đường chéo Vì đường chéo tính hai lần nên hình n – giác có tất n  n  3 đường chéo Bài tập tự luyện dạng Câu Tứ giác lồi có tất đường chéo? A B C D C Lục giác D Ngũ giác C D 12 C Lục giác D Ngũ giác Câu Đa giác có tất đường chéo? A Tứ giác B Bát giác Câu Lục giác lồi có tất đường chéo? A B Câu Đa giác có tất 14 đường chéo? A Thất giác B Bát giác Câu Đa giác có 20 đường chéo có cạnh? Câu Tìm đa giác n cạnh mà số đường chéo a) số cạnh b) số cạnh c) lần số cạnh d) số cạnh HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1–B Câu 2–D 3–B 4–A Gọi n  n  , n 2  số cạnh đa giác Theo đề ta có n  n  3 20 Từ tìm n 8 Vậy đa giác có cạnh Câu Gọi số cạnh n  n  , n 3 a) Ta có n  n  3 n Tìm n 5 (thỏa mãn) b) Tìm n 4 c) Tìm n 7 d) Tìm n   Dạng Đa giác Phương pháp giải Ví dụ Số đo góc đa giác n cạnh 156 Tìm n Trang Áp dụng cơng thức tính góc đa giác Hướng dẫn giải  n   180 Ta có n  n   180 n 156  n.180  360 156 n  24 n 360  n 15 Vậy n 15 Ví dụ mẫu Ví dụ Số đo góc đa giác n cạnh 120 Tính số đường chéo đa giác Hướng dẫn giải Ta có  n   180 n 120 Từ đó, ta tìm n 6 Số đường chéo đa giác cạnh (lục giác) là:   3 9 Ví dụ Cho hình thoi ABCD có A 60 Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA Chứng minh đa giác MBNPDQ lục giác Hướng dẫn giải   Chứng minh MQ  NP   BD    Chứng minh tam giác ABD đều, suy MB BN NP; PD DQ QM Chứng minh góc đa giác MBNPDQ 120 Từ suy đa giác MBNPDQ lục giác (điều phải chứng minh) Ví dụ Chứng minh trung điểm cạnh ngũ giác đỉnh ngũ giác Hướng dẫn giải Xét ngũ giác ABCDE , có điểm R, M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , DC , DE , EA Các tam giác DAE , DBC , CED, CAB, BEA dựa vào tính chất đường trung bình suy cạnh ngũ giác MNPQR Trang Chứng minh DPN , CNM , BMR, AQR, EQP dựa vào góc    180 108 , từ suy góc ngũ giác MNPQR 108  PDN  Bài tập tự luyện dạng Câu Cho lục giác ABCDEF Gọi I giao điểm FC AE N trung điểm CD Chứng minh IBN Câu Cho ngũ giác ABCDE Hai đường chéo AC BE cắt điểm K Chứng minh tứ giác ACDE hình thang cân CDEK hình thoi Câu Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, J, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EA a) Chứng minh MNJPQ ngũ giác b) I K trung điểm MP NQ Chứng minh IK / / CD CD 4 IK Câu Cho tam giác ABC cạnh a Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình chữ nhật ABEF , BCIJ CAGH cho AF BJ CH x       a) Chứng minh JEF EFG FGH GHI HIJ IJE b) Tìm hệ thức liên hệ x a để hình lục giác EFGHIJ lục giác Dạng 5.Tổng hợp nâng cao phát triển Ví dụ mẫu Ví dụ Một lục giác ngũ giác chung cạnh AD (như hình vẽ) Tính góc tam giác ABC Giải *Tìm cách giải Vì AD cạnh lục giác ngũ giác đều, nên dễ dàng nhận ABD , ACD , BCD tam giác cân đỉnh D tính số đo góc đỉnh Do ABC tính số đo góc *Trình bày lời giải Theo cơng thức tính góc đa giác đều, ta có: ADB     180 120  DAB    DBA 30 ADC     180 108  DAC   DCA 36 Trang Suy ra: BDC 360  120  108 132 Ta có: BDC  DB  DC  cân D Do 180  132 DBC  DCB   24 Suy  BAC 30  36 66 , ABC 30  24 54 , BCA 24  36 60 Ví dụ Cho lục giác ABCDEF Gọi M, L, K trung điểm EF, DE, CD Gọi giao điểm AK với BL CM P, Q Gọi giao điểm CM BL R Chứng minh tam giác PQR tam giác Giải Các tứ giác ABCK, BCDL, CDEM có cạnh góc đơi Các góc lục giác 120     Đặt BAK    CBL  DCM  ; LBA     LBA   CKA  EMC  DLB      120   Trong tam giác CKQ có CQK     180  CKQ 60   APB 60 Trong tam giác PBA có APB     180    Từ suy ra: RQP  RPQ 60 , Vậy PQR Ví dụ Cho bát giác ABCDEFGH có tất góc nhau, độ dài cạnh số nguyên Chứng minh cạnh đối diện bát giác Giải Các góc bát giác nhau, suy số đo góc    180 135 Kéo dài cạnh AH BC cắt M Ta có:   MAB  MBA 180  135  45 suy tam giác MAB tam giác vuông cân Trang Tương tự tam giác CND, EBF,GQH là tam giác vuông cân, suy MNPQ hình chữ nhật Đặt AB = a; BC = b; CD = c; DE = d; EF = e; FG = f; GH = g; HA = h Từ tam giác vuông cân, theo định lý Py-ta-go, ta có: MB  a , CN  Tương tự PQ  e c nên MN  f b c g Do MN  PQ nên a a b c  e f g   a c  e  g  f  b Do f b số nguyên nên vế phải đẳng thức số nguyên, vế trái số nguyên Vế trái 0, tức f = b, hay BC = FG Tương tự có AB = EF, CD = GH, DE = HA Nhận xét Dựa vào tính chất số hữu tỷ, số vô tỷ giải tốn nên Cũng với kỹ thuật đó, giải thi hay khó sau: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I,J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình – giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình – giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ Bài tập tự luyện dạng Câu Cho lục giác ABCDEF có tất góc nhau, cạnh đối không Chứng minh BC  EF  DE  AB  AF  CD Ngược lại có đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện ba hiệu khác chúng lập lục giác có góc Câu Chứng minh lục giác bất kì, ln tìm đỉnh cho ba đường chéo xuất phát từ đỉnh lấy làm ba cạnh tam giác  E  B  D  G  Chứng minh cặp cạnh Câu Cho lục giác ABCDEG có tất cạnh A  C đối lục giác song song với Trang HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Dễ dàng chứng minh AD, BE, CF đồng quy O tam giác OAB, OCB, OCD, ODE, OEF OFA tam giác OI CN     IOB  NCB 120  IOB NCB  c.g c  OB CB     BI BN OBI (cặp cạnh cặp góc tương ứng) CBN Khi đó:       IBN OBI  OBN CBN  OBN OBC 60  IBN Câu Số đo góc ngũ giác 108   180  108  : 36 Ta có tam giác ABC cân B  A1 C    EAC DCA (1)  E  36  C  36 Chứng minh tương tự ta C  E  36  ED / / AC (2) Có C Từ (1) (2), suy ACDE hình thang cân (điều phải chứng minh)  E  36  EK / / DC Chứng minh tương tự, ta có C Vậy tứ giác CDEK hình bình hành Mà CD DE suy hình bình hành CDEK hình thoi (điều phải chứng minh) Câu a) Dễ dàng chứng minh tam giác: MBN, NCJ, JDP, PEQ QAM tam giác cân đỉnh B, C, D, E, A tam giác (c.g.c) Từ suy MNJPQ ngũ giác b) Dễ nhận thấy tứ giác MNPQ hình thang Lại có I K trung điểm hai đường chéo QN MP nên suy IK   NP  MQ  Từ dẫn đến IK//CD IK  CD Trang 10 Câu a)   Tam giác EBJ cân B, suy BEJ BJE   90 Lại có FEB IJB   JEF  Từ suy IJE Chứng minh tương tự ta có       JEF EFG FGH GHI HIJ IJE b) Chúng minh EF GH IJ (vì cạnh tam giác ABC FG HI EJ (AFG CHI BJE ) Gọi O trung điểm FG   Ta suy AO phân giác FAG  FAO 60 AF x  60  AO   Tam giác FAO vng O có FAO 2 Áp dụng định lí Py-ta-go, tính FO  3x  FG 3 x Lục giác EFGHIJ lục giác EF FG hay a2 a 3 x  x  2 Dạng 5.Tổng hợp nâng cao phát triển Câu Cho lục giác ABCDEF có tất góc nhau, cạnh đối khơng Chứng minh BC  EF  DE  AB  AF  CD Ngược lại có đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện ba hiệu khác chúng lập lục giác có góc Giải  C  D  E  F      180 120 Theo giả thiết A  B Giả sử BC  EF , DE  AB , AF  CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng song song với DE, qua E kẻ đường thẳng song song với FA, chúng cắt tạo thành tam giác PQR Ta   120 suy QPR có ABCP hình bình hành nên APC  B 60  Tương tự PRQ 60 , PQR đều, PR  PQ QR , tức là: BC  EF  DE  AB  AF  CD Ngược lại giả sử có đoạn thẳng AB1 , BC1 , CD1 , DE1 , EF1 , FA1 thỏa mãn điều kiện BC1  EF1  DE1  AB1  AF1  CD1 a Dựng tam giác PQR với cạnh a Đặt tia Trang 11 QP, RQ, PR đoạn thẳng tương ứng đoạn thẳng lớn cặp AB1 DE1 , CD1 FA1 , EF1 BC1 Dựng thêm hình bình hành, từ ta xác định lục giác cần tìm Câu Chứng minh lục giác bất kì, ln tìm đỉnh cho ba đường chéo xuất phát từ đỉnh lấy làm ba cạnh tam giác Giải Xét đường chéo dài lục giác Trường hợp Trường hợp đường chéo dài chia lục giác thành môt ngũ giác tam giác Giả sử đường chéo dài lục giác AE, chia lục giác thành ngũ giác tam giác Nếu ba đường chéo từ đỉnh A không độ dài ba cạnh tam giác AC  AD  AE  1 Ta chứng minh ba đường chéo kẻ từ đỉnh E thỏa mãn tính chất Gọi I giao điểm EB AC; K giao điểm EC AD Ta có: AI  AK  AC  AD , kết hợp với  1 suy AI  AK  AE  2 Ta lại có: AI  IE  AK  KE  AE , kết hợp với  2 suy IE  KE  AE  3 Mặt khác, EB  EC  EI  EK nên từ  3 suy EB  EC  AE Vậy EA, EB, EC làm thành ba cạnh tam giác Trường hợp Trường hợp đường chéo dài lục giác chia lục giác thành hai tứ giác Giả sử AD đường chéo dài lục giác, chia lục giác thành hai tứ giác Nếu ba đường chéo xuất phát từ đỉnh A khơng ba cạnh tam giác thì: AC  AE  AD  4 Gọi I, K giao điểm hai đường chéo tứ giác ADEF ABCD Từ   suy ra: AI  AK  AE  AC  AD  5 Ta lại có: AI  ID  AK  DK  AD Kết hợp với  5 suy DI  DK  AD Trang 12 Do DB  DF  DA Vậy DA, DB, DF làm thành ba cạnh tam giác  E  B  D  G  Chứng minh cặp cạnh Câu Cho lục giác ABCDEG có tất cạnh A  C đối lục giác song song với Giải Tổng góc lục giác ABCDEG là:    180 4.180 720 , theo giả thiết ta có: A  B  C  D  E  G  360  Dựng góc EDK  ABC DK  BC  EDK ABC  c.g c   EK  AC  1 Từ   EDK  CDE  AGE 360 suy  CDK  AGE  CDK AGE  c.g c   CK  AE  2     Từ  1   suy ACKE hình bình hành ACD  DCK nên  CAE 180 mà DCK GAE ACD  GAE    CAE 180  CD // AG Tương tự chứng minh, ta được: AB // DE BC // EG Trang 13