Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 89 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Chuyên đề 6: Một số phương pháp giải hệ phương trình Dạng 1: Hệ đối xứng loại 1) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình khơng đổi 2) Tính chất Nếu x0 , y0 nghiệm hệ y0 , x0 nghiệm S x y điều kiện S 4 P quy hệ phương P x y 3) Cách giải: Đặt trình ẩn S , P Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S , P từ suy qua hệ x, y Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau: x y 19 b) x y xy 2 x y xy 2 a) 3 x y 8 x y 3 c) x y 6 x y xy x y d) xy 3 x y 4 HD: S x y điều kiện S 4 P hệ phương trình cho trở thành: P x y a) Đặt S P 2 S S 3P 8 2 S P S S 3S 8 S 3S S 16 0 S S S 0 S 2 P 0 Suy x, y hai nghiệm phương trình: X X 0 X 0, X 2 x 0 x 2 y 2 y 0 S x y b) Đặt điều kiện S 4 P hệ phương trình cho trở thành: P x y S S 3P 19 SP 8S SP 8S S 1 S 8S 19 P S 24 S 25 0 S P 2 Suy x, y hai nghiệm phương trình: X X 0 X 3; X Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm x; y 2;3 , 3; a b3 3 a 2b b a c) Đặt a x , b y hệ cho trở thành: a b 6 S a b Đặt điều kiện S 4 P hệ cho trở thành P ab 3 S 3SP 3SP S 6 2 36 3P 3P S 6 P 8 S 6 Suy a, b nghiệm phương trình: a 2 x 8 a 4 x 64 X X 0 X 2; X 4 b 4 y 64 b 2 y 8 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm x; y 8;64 , 64;8 xy 0 S x y Đặt điều kiện S 4 P hệ phương x , y P x y d) Điều kiện: trình cho trở thành: S P 3 S S P 16 S 3; P S 3 2 S S 3 14 S 3 S 14; P S 3 3 S 14; P S 3 2 4 S 8S 10 196 28S S S 30 S 52 0 S 6 Vậy hệ cho có nghiệm x; y 3;3 P 9 x y 3 Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau: x y xy 8 a) x y 4 xy 2 x y x y 1 c) x y x y x y 5 xy b) x y 9 x2 y2 x y y x y y xy 30 0 d) 2 x y x y y y 11 0 HD: a) Đặt x a, y b điều kiện a, b 0 a b 2ab 8 Ta viết lại hệ a b 4 Hệ phương trình trở thành: (a b) 4ab(a b) 2a 2b 2ab 8 phương trình thành: a b 4 S 4 P S a b Đặt điều kiện hệ cho trở thành P ab S , P 0 256 64 P P P 8 S P 4 a b 2 x y 4 S Ngoài ta giải ngắn gọn sau: x y xy 16 x y xy 16 x y x y ( x y ) 0 x y x 4 x 4 Vậy hệ có cặp nghiệm x; y 4; b) Điều kiện: x y Biến đổi phương trình (1): xy xy 1 x y xy 0 x y x y 2P P 0 Đặt x y S , xy P ta có phương trình: S S x2 y S P SP S 0 S ( S 1) P ( S 1) 0 ( S 1)( S S P) 0 Vì S P, S suy S S P Do S 1 Với x y 1 thay vào (2) ta được: y y y 0, y 3 Xét x y xy x y 1 x y x y x y 0 x y (không thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1;0 , 2;3 c) Điều kiện: xy 0 Hệ cho tương đương: 1 x y x y 5 x y 9 x2 y 1 1 x y 5 x y 2 1 1 x x y y 9 1 1 x y S x y Đặt x y P x y Hệ trở thành: S S 1 x 2; y 3 x y P 9 S 5, P 6 1 5 x x 3; y y 2 3 x 1; y Vậy hệ cho có nghiệm: 3 ; y 1 x 3 3 ;1 , 2 x; y 1; xy x y x y xy 30 xy x y x y xy 11 d) Hệ tương đương với : Đặt xy x y a; xy x y b Ta thu hệ: xy x y 5 ab 30 a 5; b 6 xy x y 6 a b 11 a 6; b 5 xy x y 6 xy x y 5 xy 2 x 2; y 1 xy x y 6 x y 3 TH1: xy 3 x 1; y 2 xy x y 5 ( L) x y 2 xy 5 ( L) xy x y 5 x y 1 TH2: xy 1 xy x y 6 x y 5 21 21 ;y x 2 21 21 ;y x 2 21 21 ; 2 Vậy hệ có nghiệm: x; y 1; , 2;1 , Dạng 2: Hệ đối xứng loại 1) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình trở thành phương trình 2)Tính chất.: Nếu x0 ; y0 nghiệm hệ y0 ; x0 nghiệm 3) Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương trình có x y 0 dạng x y f x; y 0 f x; y 0 Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau: x x 2 y a) y y 2 x x 1 y y x 1 b) 2 y 1 x x y 1 x x x y c) y y y x d) HD: a) Điều kiện: x, y 0 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: y x y x y x y 0 y x y 1 x y x x y y 2 y x Vì x x nên phương trình cho tương đương với: x y Hay x x x 0 x x 2 x x x 0 x x x 0 x 1 x 3 3 Vậy hệ có cặp nghiệm: x; y 0;0 , 1;1 , 3 ; 5 xy x y yx y b) Hệ cho 2 yx y x xy x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: xy y x x y x y x y 0 x y x y xy 0 x y x y xy 0 x y 2 + Nếu x y thay vào hệ ta có: x x 0 x y 3 + Nếu x y xy 0 x y 15 Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: 2 x y x x 12 0 x y 2 Đặt a 2 x 5, b 2 y a b 0 a b 2 a b 2ab 2 ab Ta có: a b 15 ab a b a b ab 31 2 a b 0 x; y 3; , 2;3 ab Trường hợp 1: a b vô nghiệm ab 31 Trường hợp 2: Vậy nghiệm hệ cho là: x; y 2; , 3;3 , 2;3 , 3; 1 ; y 2 Để ý x y nghiệm Ta xét trường hợp x y c) Điều kiện: x Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: x 3x x y y y y x 2 x y ( x y ) x xy y 4( x y ) 0 x 1 y 1 ( x y ) x xy y 0 x y x y Khi x y xét phương trình: x x x 0 x3 x x 0 2x 0 x x 0 x 0 x 1 1 x 1 1 Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: x y 0 x( x 1) Dạng 3: Hệ có yếu tổ đẳng cấp + Là hệ chứa phương trình đẳng cấp + Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: 2 ax bxy cy d + , ex gxy hy k ax bxy cy dx ey , + 2 gx hxy ky lx my 2 ax bxy cy d + … 2 gx hx y kxy ly mx ny Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện: Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình đẳng cấp bậc n : a1 x n ak x n k y k an y n 0 Từ ta xét hai trường hợp: y 0 thay vào để tìm x + y 0 ta đặt x ty thu phương trình: a1t n ak t n k an 0 + Giải phương trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm x, y Chú ý: ( Ta đặt y tx ) Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau: x x y y a) 2 x 3 y 1 5 x y xy y x y 0 x, y b) 2 xy x y x y HD: 3 x y 8 x y a) Ta biến đổi hệ: 2 x y 6 Để ý nhân chéo phương trình hệ ta có: 6( x y ) (8 x y )( x y ) phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ ta có lời giải sau: Vì x 0 không nghiệm hệ nên ta đặt y tx Khi hệ thành: x x t x 2tx 2 x 3 t x 1 1 t3 t x t 2t 2 3t x 3t 6 t t 3t t 3 12t t 0 t x 3t 6 x 3 * t x y y 1 78 x 13 * t 78 y 13 Suy hệ phương trình có cặp nghiệm: 78 78 78 78 ( x; y ) 3,1 ; 3, 1 ; , , ; 13 13 13 13 b) Phương trình (2) hệ có dạng: xy x y x y xy x y xy 1 xy 1 0 xy 1 x y 0 xy 1 2 x y 2 2 x 1 x 5 x y xy y x y 0 y 1 y xy 1 TH1: TH2: 2 2 5 x y xy y x y 0 5 x y xy y 2 x y (*) 2 x y 2 x y 2 Nếu ta thay x y 2 vào phương trình (*) thu phương 2 2 trình đẳng cấp bậc 3: x y xy y x y x y Từ ta có lời giải sau: Ta thấy y 0 không nghiệm hệ 5t y 4ty y 2 ty y x ty y Xét đặt thay vào hệ ta có: 2 t y y 2 Chia hai phương trình hệ ta được: 5t 4t t t 4t 5t 0 t 1 t 1 t 1 x y x 1 y 2 x x 1 x y 1 y y 2 x y Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau: x y y 0 a) 3 y x y x 1 x x 1 0