Đs chuyên đề 4 căn bậc ba, căn bậc n

Chuyên đề CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n A Kiến thức cần nhớ Căn bậc ba a) Định nghĩa: Căn bậc ba số a, kí hiệu  a  Cho a  , a  x  x3  3 a , số x cho x a a  Mỗi số thực a có bậc ba  Nếu a  a 0  Nếu a 0 a 0  Nếu a  a 0 b) Tính chất  a 0   3 a3b ab  a b a 3a   b 0  b 3b c) Các phép biến đổi bậc ba  A B  A3 B  A3 B  A B  A 13  AB  B 0  B B  3 A2  AB  B   A B  A B A 3 B Căn bậc n a) Định nghĩa: Cho a   n  ; n 2 Căn bậc n a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n lẻ  n 2k  1; k   Mỗi số thực a có bậc lẻ nhất: Nếu a  k 1 a 0 Nếu a 0 k 1 a 0 Nếu a  k 1 a 0  Trường hợp 11 chẵn  n 2k ; k   k 1 a x  x k 1 a Mỗi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a), bậc chẵn âm kí hiệu  2k a 2k a x  x 0 x 2k a  k a  x  x 0 x 2k a Mọi số a  khơng có bậc chẵn b) Tính chất bậc n  n  ; n 2. n Am nk Amk m n A mn A  1  A 0, k , m  *     A 0, m  , m 2  n AB  n A n B n A nA  B nB  A n m  3  A 0, B 0     A 0, B    n Am  5  A  0, m  *  Ứng dụng: - Công thức (1 ) dùng để hạ bậc thức quy đồng số thức - Công thức (2) dùng để khai thức - Công thức (3) dùng để khai tích, nhân thức số, để đưa thừa số ngồi vào dấu - Cơng thức (4) dùng để khai thương chia thức số, để khử mẫu biểu thức lấy - Công thức (5) dùng để nâng thức lên lũy thừa B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính: a) 54 : b)  37  37 Giải Tìm cách giải Để thực phép tính nhân bậc ta sử dụng tính chất Trình bày lời giải a) 54 :  54 :  27 3 A B  A.B b)  37    37   37  37   64  37  27 3 Ví dụ 2: Rút gọn A  26  15  26  15 Giải Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức có dạng a b c ta viết biểu thức dạng:   x  y , ta ý tới đẳng thức:  x y   x x 3 xy  y x  y Do ta xác định x y thông qua 3xy  y a; x  y b, lưu ý x c chẳng hạn 3 26  15 ta chọn x y theo 3xy  y 26; x  y 15 x 3 suy ra: y 2 Trình bày lời giải: Ta có: A   12  18  3   12  18  3  A 3     2  Ví dụ 3: Rút gọn B   2    84  1 4 84 Giải Tìm cách giải Bài thú vị khó ví dụ trước, khơng thể đưa dạng để tính giá trị biểu thức có dạng B 3 a  b  a    x  y Do đó, b nghĩ tới việc lập phương hai vế sử dụng đẳng thức  x  y   x3  y  3xy  x  y  sau phân tích đa thức thành nhân tử tìm B Trình bày lời giải Áp dụng đẳng thức  a  b  a  b3  3ab  a  b  ta có: B 1  84 1  B 2  3B   84 84    3    1    84   B  84 2  B 81 B  B  0   B  1  B  B   0 mà B  B   Suy B 1 3 Ví dụ 4: Hãy tính giá trị biểu thức: Q  x  x  x  2020 , biết:   26  15  3  80   80 Giải Tìm cách giải Bản chất toán rút gọn x Quan sát biếu thức x, nhận thấy trước hết cần rút gọn bậc ba tử thức mẫu thức trước Bằng kỹ thuật hai ví dụ trên, biến đổi 26  15 cách đưa hàng đẳng thức lũy thừa bậc ba; đồng thời đặt a   80   80 xác định a Sau xác định x Trình bày lời giải Xét a   80    a 9  80   80    80  3  80  80 a  a 18  3 81  80.a  a 18  3a  a3  3a  18 0  a  27  3a  0   a  3  a  3a   0  15  Ta có a  3a   a     nên a  0  a 3 2  Do x  x   3  18  12   3  2 2 3   3 2    3    1  1  Vậy Q    1  27  2020   1 2020 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: Q 10 1 19  10    Giải Tìm cách giải Nhận thấy nhân hai thức không bậc Do cần phải đưa bậc Dễ thấy 10 5.2, đưa bặc 10 bậc dựa theo công thức: 10 A2  A Với cách suy luận đó, biến đổi phương biểu thức 19  10 dạng bình   Trình bày lời giải Ta có Q 10 38  12 10    Q 10  5  Q 5 1  5     2 Q 5  18  20           4 Ví dụ 6: Tính giá trị biếu thức: T         4   1   2 1 1 Giải Tìm cách giải Bài tốn có nhiều yếu tố giống nhau, đặt biến nhằm đưa tốn đơn giản Với cách suy luận đặt a 2; 4 a  Từ có lời giải sau: Trình bày lời giải Đặt 4 2 a a 2; 4 a  2 2 Khi T  a  a   a     a   1 a  a a 1 a 1   a2  a 1 1  T   a    0  a  a 1 a  a a Vậy T 0 C Bài tập vận dụng  x x    x  1   4.1 Cho biểu thức P   :    x  10  x   x  x   1   x   a) Rút gọn biếu thức P b) Tính giá trị P x  32  3 2 3 2 32 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x  a biểu thức P có dạng: a (căn nhỏ nhất)  a a    3a  1  P   :      a  a a  a a    a   a   a  3a   ( a  3) P : a  a  3   a   a P 3a  a  a  3a   a  : a  a  3   a   a P 3a  2a    a    a  a (a  3) 3(a  3) a(a  3) P (3  a )(3  a ) 2(a  2)  3a P  a  2 Vậy P  3 x  x 12 b) Ta có: x  x   1  2 Vậy P       1 1     21 2  2 2 2 12       1 21 2  1  21 21 1    2  1    3 1  2.3 4.2 Tính giá trị biểu thức a) B  x  12 x   2020 , biết x    1    51 b b2 a3 b b2 a3 b) C  x  ax  b, biết x         27 27 Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét x 4    1     3       x x 8  12 x  x3  12 x  1 Vậy B 12020 1 b) Xét x   b b b b3 b b b3 b2 a3   b       3        2 27 27 27    b2 a3    x 27  b2 b2 a3   x 4 27 x  b  ax  x  ax  b 0 x  b  Vậy C 0 4.3 Hãy tính giá trị biểu thức: P  x  3x  với x    2 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có x    Xét x     21 3      3   1  21  x x3   3x  x  3x  0 Vậy P 0 4.4 Hãy tính giá trị biểu thức: T  3x  x   x 2020 17  38  14  , biết  2  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có x  x  5 x 5  30  12    5 5  3   2     2  5 3  2  5  3   Suy T      27  2020   1 4.5 Cho x, y thỏa mãn x  y  2020 1 y   y  y  Tính giá trị biểu thức: A x  x y  3x  xy  y  Hướng dẫn giải – đáp số Xét x  y   y   y  y   3 y  x 2 y  3 y  y  1.x x 2 y  x  x  x  y 0  *   y  y  y  x A  x  3x  xy  x3 y  3xy  y  Ta có A  x  x  x  y   y  x  3x  y   Kết hợp với (*) suy A 1 4.6 Tính giá tri biểu thức P  x  x   2013 , với x     10  21   (Tuyển sinh lớp 10, chuyên Bắc Ninh, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số  x Ta có x   3 3   3 1 20     3  1 1        2 1  1  3 1 5   4 2  x    x  x  5  x  x 1 Vậy P    2013  4.7 Cho a  0; a 1 Rút gọn biểu thức:  a  S   20  14   a   a  3a  :   1 2 a  (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có  a 1  S     12  12  2  a a  3a  a  :   1   3         a  1 : S         a  1 a1 S 3 a 1  2 S 4   4 4.8 Tính giá trị biểu thức: P  a  3a  biết: a  4a  5a  a  55  3024  55  3024 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số Xét a 55  3024  55    3024  3 55  3024 55   3024 a a 110  3 3025  3024.a  a  3a  110 0  a  125  3a  15 0   a    a  5a  25    a   0   a    a  5a  22  0  63  Nhận xét: a  5a  22  a     nên a  0  a 5 2  Từ suy P  53  3.5  112    4.5  5.5  48  4.9 Rút gọn biểu thức: T  4  48   28  16  48  5 Hướng dẫn giải – đáp số 4 Ta có T       T    4   T    2       T   3 T 2    2  2 4    4                 3  3    3  2    2   3 2  2 4.10 Tính giá trị biểu thức: M   1 10 1  :         Hướng dẫn giải – đáp số Ta có M      2        10  33 3 3 1  1  1        2  1   32   1  2 M 2 3  3 M 3  10 M   4.11 Trục thức mẫu: a) 16  12  b) 15    16 Hướng dẫn giải – đáp số a) b)  4 3 4  3 3 16  12    4 33  4 4  3  15  15  2(1   4  ) 4    4         15  15    1  2 4.12 Làm phép tính: a)   2 c) b)    44  16 Hướng dẫn giải – đáp số a)   2       21      1 b)   c) 3  44  16  3   6           3  3   4.3  16.2   20  20 4.13 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến   13 1   a Q  20  14    1  a  3 a  3a   :   2   a 1    Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: 13 20  14   2  12  12    2 1  2 2   2      1 2  Ta có:       a  3a   a a  3a  a    a  3 a Ta có:   a 1 1   Suy Q     a1 a 1 1  2  a 1 a  :     a1  a1  a 1 a 1 : 1 2 Q 1   1 thì: x y z 4.14 Chứng minh ax by cz ax  by  cz  a  b  c Hướng dẫn giải – đáp số 3 Đặt ax by cz k , suy a  Xét ax  by  cz  k k k   3 x y z 3 Xét k k k ;b  ;c  , x y z k k k x  3y  3z x3 y z  1 1 k      k  1 x y z a  b  c 3 k k k 3 3 3 x y z k k k  1 1     k      k  2 x y z x y z Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh x  x y  y  x y a thì: 4.15 Chứng minh nếu: x2  y2  a2 Hướng dẫn giải – đáp số x  x y  y  x y a , bình phương vế, ta có: Từ x2  x4 y  y  x2 y  x  x4 y  y   x y a  x  x y  y  x y  x y  x y  x8 y  x y a  x2  x4 y  y  x2 y   x2  x4 y  y  x2 y   3 x y  x y a  x2  x4 y  y  x2 y   x8 y  x y  x y a x4 y  x2 y  x  3 x y  3 x y  y a   x2  y  a  Điều phải chứng minh x2  y  a2   a 4.16 Tính giá trị biểu thức: 1  20202  2020  2020  A       2020 2020    2020 2020  2020 Hướng dẫn giải – đáp số 4 Ta có: A  2020  1   4   1  2020   2020   2020  2020   1  2020    2020 2 1   2020  2020 A   2020    2020   2020    2020   2020  A    2020     A     2020    2020  : 2020  2020 1   2020 2020 0 2020 4.17 Cho x 1  3  Tính giá trị biểu thức: P  x3  x  x  3 1945  2020 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có x    3   3   3 1 3  2 x 3 x   3x x  x  12 x   x  3x  x 4 Suy P 11915  2020 2021 4.18 Rút gọn biểu thức:  A   2  3:  31  21   7  Hướng dẫn giải – đáp số 2 Ta có:  31  21  2 32  Ta có: 7  3 2   3 3   3 1    21   3 2   1   2 Do A  1