Hình 9 chuyên đề 1 hệ thức lượng trong tam giác vuông

TOÁN CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG A – LÝ THUYẾT I Hệ thức lượng cạnh đường cao tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có: (1) b2 = ab’; c2 = ac’ A 2 (2) b + c = a (định lý Pitago) (3) h2 = b’c’ c h (4) ah = bc b 1 c’ b’ = + 2 B H C b c (5) h a H nằm B C Các hệ thức (1), (3), (4) (5) có định lý đảo với điều kiện Đối với ABC bất kỳ, ta có:  = 900  a = b + c2 A (định lý Py-ta-go);  < 900  a < b + c2 A  > 900  a > b + c2 A II Tỉ số lượng giác góc nhọn: đố i kề  sin = huy ề n ; cos = huy ề n ; đố i tan = k ề kề ; cot = đ ố i  Nếu hai góc nhọn   có sin = sin A Cạnh đối Cạnh kề (hoặc cos = cos, tan = tan, cot = cot)  =  C B Cạnh huyền  Nếu hai góc phụ sin góc cos góc tan góc cot góc Nếu  +  = 900 thì: sin = cos ; cos = sin ; tan = cot ; cot = tan II Hệ thức lượng cạnh góc tam giác vng: A b = a sinB = a cosC c = a sinC = a cosB b c b = c tanB = c cotC c = b tanC = b cotB B a C B – CÁC VÍ DỤ DẠNG 1: Vận dụng hệ thức cạnh đường cao để tính cạnh tam giác Ví dụ 1: Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao 12cm, hai đường chéo AC BD vng góc với nhau, BD = 15cm Giải: Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt A B DC E Gọi BH đường cao hình thang Ta có BE // AC, AC  BD nên BE  BD Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng BDH, ta có: BH2 + HD2 = BD2 D 2 2  12 + HD = 15  HD = 225 – 144 = 81  HD = (cm) H C E Xét tam giác BDE vuông B: BD2 = DE DH  152 = DE  DE = 225 : = 25 (cm) Ta có: AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25 (cm) S Do đó: ABCD = 25 12 : = 150 (cm2) Ví dụ 2: Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính đường cao hình thang A Giải: B Gọi AH, BK đường cao hình thang Đặt AB = AH = BK = x Dễ dàng chứng minh DH = CK D H K C 10  x 10  x = Do HC = Xét tam giác ADC vng A, ta có AH = HD HC Do đó: 10  x 10  x 100  x 2 x   2 Từ x = cm Vậy đường cao hình thang cm Ví dụ 3: Tính diện tích tam giác vng có chu vi 72cm, hiệu đường trung tuyến đường cao ứng với cạnh huyền 7cm Giải: A Kí hiệu hình bên Đặt AM = x, ta có x BC = 2x, AH = x – Theo hệ thức tam giác vuông: AB2 + AC2 = BC2 = 4x2 (1) AB AC = BC AH = 2x(x – 7) (2) B H C M Từ (1) (2) suy ra: AB2 + AC2 + 2AB.AC = 4x2 + 4x(x – 7)  (AB + AC)2 = 8x2 – 28x  (72 – 2x)2 = 8x2 – 28x Đưa phương trình x2 + 65x – 1296 =  (x – 16)(x + 81) = Nghiệm dương phương trình x = 16 Từ BC = 32cm, AH = 9cm Vậy diện tích tam giác ABC là: 32 : = 144 (cm2) DẠNG 2: Dựa vào hệ thức học để làm toán chứng minh o   Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD có B = C = 90 , hai đường chéo vuông góc với H Biết AB = cm; HA = 3cm Chứng minh rằng: a) HA : HB : HC : HD = : : : b) AB  CD2  HB2  HC2 Giải: a) Muốn chứng tỏ HA, HB, HC, HD tỉ lệ với 1, 2, 4, trước tiên ta tính độ dài A H 5B đoạn thẳng  Áp dụng hệ thức b2 = ab’ vào tam giác vuông BAC ta AB2 = AC AH AB2  AC = AH = 15cm  HC = 12cm  Áp dụng hệ thức h2 = b’c’ vào tam giác vuông BAC tam giác vuông CBD ta được: BH2 = HA HC = 36  BH = (cm); CH CH2 = HB HD  HD = HB = 24 (cm) Vậy HA : HB : HC : HD = : : 12 : 24 = : : : 1 = + b2 c2 vào tam giác vuông BAC CBD ta được: b) Áp dụng hệ thức h HB2  AB2  1 BC2 ; HC2  Trừ vế hai đẳng thức ta được: AB BC2   CD2 CD2  HB2  HC2 Nhận xét: - Trong câu a, để tính HB ta áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng HAB (vì biết cạnh huyền cạnh góc vng) 1 = + b2 c2 ? Đó đẳng - Trong câu b, điều gợi ý cho ta áp dụng hệ thức h thức cần chứng minh có chứa nghịch đảo bình phương cạnh góc vng, đường cao ứng với cạnh huyền Vì ta vận dụng hệ thức vào tam giác vng thích hợp DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Biết AB = 7,5cm; AH = 6cm a) Tính AC, BC; b) Tính cosB, cosC Giải: a) Tam giác ABH vng H, theo định lí A Py-ta-go, ta có: BH2 = AB2 – AH2 = 7,52 – 62 = 20,25 7,5 suy BH = 20,25 = 4,5 (cm) Tam giác ABC vuông A, có AH  BC, B C H theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có: AB2 7,52 56,25   BH 4,5 4,5 = 12,5 (cm) AB = BH BC, suy BC = Lại áp dụng định lý Py-ta-go với tam giác vuông ABC, ta có: AC2 = BC2 – AB2 = 12,52 – 7,52 = 156,25 – 56,25 = 100 suy AC = 100 = 10 (cm) Vậy AC = 10cm, BC = 12,5cm b) Trong tam giác vng ABC, ta có: AB 7,5  BC 12,5 = 0,6 ; cosB = AC 10  BC 12,5 = 0,8 cosC = Trả lời: cosB = 0,6 ; cosC = 0,8 DẠNG 4: Sử dụng tỉ số lượng góc học để làm tốn chứng minh Ví dụ 6: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn  tùy ý, ta ln có: 2 a) sin   cos  1 ; c) Giải:  tan   cos  ; b) tan cot = ; d)  cot   sin   Xét tam giác ABC vuông A Đặt B  , BC = a, CA = b, AB = c (h6) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có: sin  sin B  AC b  BC a ; cos  cos B  tan  tan B  cot  cot B  AB c  BC a ; AC b  AB c ; AC c  AB b Vậy: a) sin   cos   b2 c2 b2  c2 a    1 a2 a2 a a (vì b2 + c2 = a2) b c bc tan  cot    1 c b cb b) b c2  b a 1  tan  1      c c c c cos  a c) d) c b  c2 a 1  cot  1      b2 b2 b b sin  a2 DẠNG 5: Vận dụng hệ thức cạnh góc để tính cạnh góc tam giác   Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vng A, có AC = 15cm, B 50 Hãy tính độ dài: a) AB, BC ; b) Phân giác CD Giải: a) Tam giác ABC vuông A, theo hệ thức A lượng cạnh góc tam giác vng, ta có: D AB = AC.cotB = 15.cot500  15 0.8391 15 500  12,59 (cm) B a C AC = BC.sinB, suy AC 15 15 BC    19,58(cm) sin B sin 50 0,7660 Vậy AB  12,59 cm, BC  19,58 cm    b) Tam giác ABC vuông A nên B  C 90 ,       suy C 90  B 90  50 40 1   ACD  C  40 20 2 CD tia phân giác góc C, ta có Trong tam giác vuông ACD vuông A, theo hệ thức lượng cạnh góc, ta có:  AC CD.cos ACD CD.cos 20 , suy ra: CD  AC 15  15,96(cm)  cos 20 0,9397 Trả lời: CD  15,96cm DẠNG 6: Dựa vào hệ thức cạnh góc để làm tốn chứng minh Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, hai đường cao BH, CK Chứng minh AB > AC BH > CK Giải: Giả sử AB > AC Trong tam giác vuông AHB, ta có: BH = AB.sinA (1) Trong tam giác vng AKC, ta có: CK = AC.sin A (2) Từ (1) (2) suy ra: BK AB.sin A AB    CK AC.sin A AC (vì sinA > AB > AC), BH > CK C – BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Vận dụng hệ thức cạnh đường cao để tính cạnh tam giác Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : AC = : 7, AH = 42cm Tính BH, HC Bài tập 2: Biết tỉ số hai cạnh góc vng tam giác vuông : 6, cạnh huyền 122cm Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH : HC = : 16, AH = 48cm Tính độ dài cạnh góc vng tam giác Bài tập 4: Trong tam giác vuông, tỉ số đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vng 40 : 41 Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng đó, biết cạnh huyền 41 cm Bài tập 5: Cho tam giác ABC vng A có cạnh AB = 6cm, AC = 8cm Các đường phân giác ngồi góc B cắt AC D E Tính đoạn thẳng BD BE Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, đường cao AH Biết CD = 68cm, BD = 51cm Tính BH, HC Bài tập 7: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE cắt H Gọi B 1, C1   AB C = AC B = 90o 1 hai điểm tương ứng đoạn HB, HC Biết Tam giác AB1C1 tam giác gì? Vì sao? Bài tập 8: Cạnh huyền tam giác vuông lớn cạnh góc vng tam giác 9cm, cịn tổng hai cạnh góc vng lớn cạnh huyền 6cm Tính chu vi diện tích tam giác vng DẠNG 2: Dựa vào hệ thức học để làm toán chứng minh Bài tập 9: Cho hình vng ABCD điểm I nằm A B Tia DI cắt BC E Đường thẳng kẻ qua D vng góc với DE cắt BC F a) Tam giác DIF tam giác gì? Vì sao? + DE b) Chứng minh DI không đổi I chuyển động đoạn AB o  Bài tập 10: Cho tam giác ABC có A < 90 , đường cao BH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = c’, HC = b’ Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 – 2bc’ o  Bài tập 11: Cho tam giác ABC có B = 60 , AC = 13cm BC – BA = 7cm Tính độ dài cạnh AB, BC o  Bài tập 12: Cho tam giác ABC có A > 90 , đường cao BH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = c’, HC = b’ Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 + 2bc’ o  Bài tập 13: Cho tam giác ABC cân B điểm D cạnh AC Biết BDC = 60 , AC = 3dm, DC = 8dm Tính độ dài cạnh AB DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác sin   13 , tính cos, tan, cot Bài tập 14: Biết Bài tập 15: Biết tan   24 , tính sin, cos, cot Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông A Biết sinB = , tính tanC? Bài tập 17: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM cạnh AC Tính tanB : tanC DẠNG 4: Sử dụng tỉ số lượng góc học để làm toán chứng minh Bài tập 18: Cho tam giác nhọn ABC có BC = a, CA = b AB = c a b c   sin A sin B sin C Chứng minh rằng: Bài tập 19: Cho hai tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE Chứng minh: ADE  ABC Bài tập 20: Không dùng bảng số máy tính bỏ túi, tính:     a) sin 10  sin 20   sin 70  sin 80 ;       b) cos 12  cos  cos 78  cos 53  cos 89  cos 37  Bài tập 21: cos   , tính A = 3sin   cos  a) Biết sin   17 , tính B = 4sin   3cos  b) Biết Bài tập 22: Chứng minh diện tích tam giác nửa tích hai cạnh với sin góc nhọn tạo hai đường thẳng chứa hai cạnh Bài tập 23: Cho tam giác nhọn ABC, phân giác AD Biết AB = c, AC = b Tính độ dài AD  theo b, c A Bài tập 24: Chứng minh với góc nhọn  tùy ý, biểu thức sau không phụ thuộc vào : 2 a) A = (sin   cos )  (sin   cos ) ; 6 2 b) B = sin   cos   3sin  cos  Bài tập 25: Cho tam giác ABC có BC = a, Ca = b, AB = c b + c = 2a Chứng minh: a) 2sinA = sinB + sinC ; 1   h h h b c , ha, hb, hc chiều cao tam giác ứng với b) a cạnh a, b, c Bài tập 26: Cho a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Chứng minh rằng: sin A a  2 bc Bài tập 27: Cho tam giác ABC hai trung tuyến BN CM vng góc với Chứng minh: cotB + cotC ≥  Bài tập 28: Cho tam giác ABC vuông A, C  ( < 450), trung tuyến AM, đường cao AH Biết BC = a, CA = b, AH = h Hãy biểu thị sin, cos, sin2 theo a, b, h chứng minh hệ thức: sin2 = 2sincos DẠNG 5: Vận dụng hệ thức cạnh góc để tính cạnh góc tam giác Bài tập 29: Giải tam giác vuông ABC vuông A, biết: Suy b = 17 – = Vậy a = 17cm, b = 8cm c = 15cm E DẠNG 2: Dựa vào hệ thức học để làm toán chứng minh Bài tập 9: a) AID = CFD (g.c.g) nên DI = DF Vậy tam giác DIF I A tam giác vuông cân D B b) Tam giác EDF vng D, có DC  EF suy DE DE Bài tập 10:   DF2 DF2   DC2 , mà DF = DI D C DC2 không đổi F b c’ Xét hai trường hợp: H nằm A C; H nằm tia đối tia CA Cả hai trường hợp ta có: HC2 = (AC – AH) = (AH – AC) = (b – HA) Do đó: BC2 = BH2 + HC2 = (AB2 – AH2) + (b – AH)2 Hay a2 = c2 – AH2 + b2 – 2.b.AH + AH2 = b2 + c2 – 2bc’ Bài tập 11: Kẻ AH  BC Tam giác vuông AHB có  = 60o B o  nên BAH = 30 , suy BH = AB Trong tam giác ABC cạnh AC đối diện với góc nhọn nên theo 10, ta có: AC2 = AB2 + BC2 – 2BC.BH (1) Do BC – AB = nên BC = + AB Thay BC = + AB BH = AB vào (1) ta được: AB2 + 7AB – 120 =  (AB – 8)(AB + 15) = Vì AB + 15 > nên AB – =  AB = 8, suy BC = 15 Vậy AB = 8cm, BC = 15cm Bài tập 12: Ta có: a2 = BH2 + HC2 = (c2 – HA2) + (b + HA)2 = c2 – c’2 + (b + c’)2 = c2 – c’2 + b2 + 2bc’ + c’2 c’ = b2 + c2 + 2bc’ Bài tập 13: Đặt AB = BC = x, BD = y  ABD 180  60 120 Trong tam giác ABD cạnh AB đối diện với góc tù nên theo 12, ta có: AB2 = AD2 + BD2 + 2AD.DH (1) Vì DH = HA – DA = AC – AD = 5,5 – = 2,5 Thay vào (1) ta được: AB2 = AD2 + BD2 + 5AD, Hay x2 = 32 + y2 + 15 (2) Trong tam giác BCD cạnh BC đối diện với góc nhọn nên theo 10, ta có: BC2 = BD2 + DC2 – 2DH.DC = BD2 + DC2 – BD.DC (vì DH = BD) Hay x2 = 82 + y2 – 8y (3) Từ (2) (3) suy ra: 32 + y2 + 15 = 82 + y2 – 8y Từ tìm y = 5, suy x = Vậy AB = dm DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác Bài tập 14:  Xét tam giác ABC vuông A, có C  Cách 1: Vì sin  sin C  AB  BC 13 , C AB BC  k 13 suy , AB = 5k, BC = 15k Tam giác ABC vng A, ta có: AC2 = BC2 – AB2 = (13k) – (5k) = 144k, Suy AC = 12k Vậy: cos   AC 12k 12   0,9231 BC 13k 13 tan   AB 5k   0,4167 AC 12k 12 cot   AC 12k 12   2,4 AB 5k A B Cách 2:    12  cos    sin        2  13   13  Vì sin   cos  1 , nên 2 12 cos   0,9231 13 Do tan   sin  12  :  0,4167 cos  13 13 12 cot   cos  12 12  :  2,4 sin  13 Bài tập 15: Tương tự 14 Đáp số: sin = 0,28 ; cos = 0,96 ; cot  3,4286 Bài tập 16:   C  90 B  cosC = sinB = sin C 1  cos C 1  15 15   sin C  16 16 sin C 15  :  15 cos C 4 tanC = Bài tập 17: BC Vẽ đường cao AH Do AM = AC nên CH = HM = Do tan B AH AH CH  :   tan C BH CH BH DẠNG 4: Sử dụng tỉ số lượng góc học để làm toán chứng minh Bài tập 18: Kẻ AH  BC Đặt AH = h Xét hai tam giác vng AHB AHC, ta có: sin B  AH AH sin C  AC AB ; Do sin B AH AH h b b  :   sin C AB AC c h c , Suy b c  sin B sin C a b  Tương tự sin A sin B a b c   Vậy sin A sin B sin C Bài tập 19: Xét tam giác vuông ADB AEC, ta có: AE AD cosA = AB , cosA = AC AD AE Suy AB = AC Vậy ADE  ABC (c.g.c) Bài tập 20:     a) A = sin 10  sin 20   sin 70  sin 80 (sin 10  sin 80 )  (sin 20  sin 70)  (sin 30  sin 60) = (sin 40  sin 50) (sin 10  cos 10 )  (sin 20  cos 20 )  (sin 30  cos 30) = (sin 40  cos 40 ) 2 = + + + = (vì sin   cos  1 ) (ví dụ 6) b) B = cos 12  cos 1  cos 78  cos 53  cos 89  cos 37   AC.AB.sin  = = + + – = Bài tập 21: a) Cách 1: Cách 2: 2 A = 3(1  cos )  cos 