Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 NV 13: TỔNG VÀ HIỆU CÁC VECTƠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tổng hai vectơ r r uuur r a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a ; b Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a từ B r r uuur r uuur vẽ BC = b vectơ AC gọi tổng hai vectơ a ; b uuur r r Kí hiệu AC = a + b (Hình 1.9) B r b) Tính chất : r r r r r a r r b + Giao hoán : a + b = b + a r r r r r r a b + Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) r r C A r r r r a +b + Tính chất vectơ – khơng: a + = a, " a Hình 1.9 Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối vectơ r r Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng cúng độ dài với vectơ a r Kí hiệu - a r r r r uuur uuu r a + a = , " a AB = - BA Như b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: r r r r Hiệu hai vectơ a b tổng vectơ a vectơ đối vectơ b Kí r r r r hiệu a - b = a + - b ( ) ( ) Các quy tắc: uuur uuur uuur Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD hình bình hành uuur uuur uuur AB + AD = AC uuu r uuu r uuur Quy tắc hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB - OA = AB Chú ý: Ta mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1, A2, , An uuuu r uuuur uuuuuur uuuur A1A2 + A2A3 + + An- 1An = A1An B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu vectơ Phương pháp giải Để xác định độ dài tổng hiệu vectơ Trước tiên sử dụng định nghĩa tổng, hiệu hai vectơ tính chất, quy tắc để xác định định phép tốn vectơ Dựa vào tính chất hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng tam giác vuông để xác định độ dài vectơ 13- phép cơng trừ cec tơ Tự luận Các ví dụ Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 · Câu Cho tam giác ABC vuông A có ABC = 300 BC = a B D Tính độ dài vectơ uuur uuur a/ AB + BC , uuur uuur b/ AC - BC , uuur uuur c/ AB + AC Lưu ý Lời giải tham khảo Theo quy tắc ba điểm ta có C uuur uuur uuur A a/ AB + BC = AC Hình 1.10 · AC Mà sin ABC = BC · a Þ AC = BC sin ABC = a 5.sin300 = uuur uuur uuur a Do AB + BC = AC = AC = uuur uuur uuur uuu r uuur b/ AC - BC = AC + CB = AB Ta có 5a2 a 15 AC + AB = BC Þ AB = BC - AC = 5a2 = uuur uuur uuur a 15 Vì AC - BC = AB = AB = c/ Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành uuur uuur uuur Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD = BC = a uuur uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a Bài 1.14: Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vectơ sau AB AC , AB AC Lời giải tham khảo :(Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có AB AC CB AB AC BC a Gọi A ' đỉnh hình bình hành ABA ' C O 13- phép công trừ cec tơ Tự luận tâm hình nình hành Khi ta có Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 a2 a Ta có AO AB OB a Suy AB AC AA ' 2 AO a C A' O A B Hình 1.45 Bài 1.15: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuur uuu r uuur uuur uuu r a) Tính AB + OD , AB - OC + OD b) Tính độ dài vectơ MA MB MC MD Lời giải tham B' a) Ta có OD BO AB OD AB BO AO uuur uuu r AC a AB + OD = AO = = 2 Ta có OC AO suy uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r r AB- OC + OD = AB AO + OD = OB + OD = AB OC OD 0 A B O D C Hình 1.46 b) Áp dụng quytắc trừ ta có MA MB MC MD MA MB MC MD BA DC BA DC Lấy B ' điểm đối xứng B qua A Khi DC AB' BA DC BA AB ' BB ' Suy MA MB MC MD BB ' BB ' 2a Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r a) Tính AB + AD , OA - CB , CD - DA r uuur uuur uuur uuur b) Chứng minh u = MA + MB - MC - MD khơng phụ thuộc vị trí r điểm M Tính độ dài vectơ u Lời giải (hình 1.11) uuur uuur uuur a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC uuur uuur uuur AB + AD = AC = AC Suy 13- phép công trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 C' Áp dụng định lí Pitago ta có AC = AB + BC = 2a2 Þ AC = 2a uuur uuur AB + AD = a Vậy uuu r uuu r + Vì O tâm hình vng nên OA = CO suy A B uuu r uuu r uuu r uuu r uuur OA - CB = CO - CB = BC uuu r uuu r uuuur Vậy OA - CB = BC = a uuu r uuu r O + Do ABCD hình vng nên CD = BA suy uuu r uuu r uuu r uuur uuur CD - DA = BA + AD = BD uuur D C 2 Mà BD = BD = AB + AD = a suy Hình 1.11 uuu r uuu r CD - DA = a b) Theo quy tắc phép trừ ta có r uuur uuur uuur uuur uur uuur u = MA - MC + MB - MD = CA + DB r Suy u khơng phụ thuộc vị trí điểm M Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC C ' Khi tứ giác ADBC ' hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) uuur uuuur suy DB = AC ' r uur uuuur uuuu r Do u = CA + AC ' = CC ' r uuuu r u = CC ' = BC + BC ' = a + a = 2a Vì ( ) ( ) Bài tập luyện tập · Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a BCD = 600 Gọi O tâm hình thoi uuur uuur uuu r uuur Tính AB + AD , OB - DC Lời giải tham uuur uuur uuur Ta có AB + AD = AD = 2a cos30 = a 3, uuu r uuur uuu r a OB - DC = CO = a cos600 = Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur r OA, OB, OC a OA + OB + OC = 13- phép công trừ cec tơ Tự luận a) Tính góc AOB, BOC , COA uuu r uuur uuu r OB + AC OA b) Tính Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 Lời giải tham a) Từ giả thiết suy ba điểm A, B, C tạo thành tam giác nhận O làm · · · trọng tâm AOB = BOC =COA = 1200 b) Gọi I trung điểm BC Theo câu a) D ABC nên AI = a uuu r uuur uuu r OB + AC - OA = a Bài 1.18: Cho góc Oxy Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B Tìm điều kiện uuu r uuu r A,B cho OA + OB nằm phân giác góc Oxy Lời giải tham uuu r uuu r uuur Dựng hình bình hành OACB Khi đó: OA + OB = OD uuu r Vậy OD nằm phân giác góc xOy Û OACB hình thoi Û OA = OB DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng để từ liên tưởng đến kiến thức có để xuất đại lượng vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản Các ví dụ Ví dụ 1: Cho năm điểm A, B,C , D, E Chứng minh uuur uuu r uuu r uuu r uuur a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r b) AC + CD - EC = AE - DB + CB Lời giải tham khảo a) Biến đổi vế trái ta có 13- phép cơng trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuu r uuu r uuu r uuu r VT = AC + CB + CD + ED + DA uuu r uuur uuur uuu r uuu r = CB + ED + AC + CD + DA uuu r uuur uuur uuu r = CB + ED + AD + DA uuu r uuur = CB + ED = VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur r AC - AE + CD - CB - EC + DB = uuur uuur uuur uuur r Û EC + BD - EC + DB = uuur uuur r BD + DB = (đúng) ĐPCM Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng Chứng minh uuu r uuu r uuur r a) BA + DA + AC = uuu r uuu r uuur uuu r r A b) OA + OB + OC + OD = B uuur uuur uuur uuur c) MA + MC = MB + MD Lời giải tham khảo O (Hình 1.12) a) Ta có D C uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur BA + DA + AC = - AB - AD + AC Hình 1.12 uuur uuur uuur = - AB + AD + AC uuur uuur uuur Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC suy uuu r uuu r uuur uuur uuur r BA + DA + AC = - AC + AC = b) Vì ABCD hình bình hành nên ta có: uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur r OA = CO Þ OA + OC = OA + AO = uuu r uuur r uuu r uuu r uuur uuu r r Tương tự: OB + OD = Þ OA + OB + OC + OD = c) Cách 1: Vì ABCD hình bình hành nên uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur r AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = uuur uuur uuur uuu r uuur uuur Þ MA + MC = MB + BA + MD + DC uuur uuur uuu r uuur uuur uuur = MB + MD + BA + DC = MB + MD ( ( ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ) ) ) Cách 2: Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r MA - MB = MD - MC Û BA = CD (đúng ABCD hình bình hành) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC , CA, AB Chứng minh uuur uuur uuur r a) BM + CN + AP = 13- phép công trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuur uuur uuur r b) AP + AN - AC + BM = uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r c) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O điểm Lời giải tham khảo (Hình 1.13) a) Vì PN , MN đường trung bình tam giác ABC nên PN / / BM , MN / / BP suy tứ giác BMNP hình bình hành BM PN A N trung điểm AC CN NA Do theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuu r uuur N BM + CN + AP = PN + NA + AP P uuu r uuur r = PA + AP = b) Vì tứ giác APMN hình bình hành nên theo uuur uuur uuuu r B quy tắc hình bình hành ta có AP + AN = AM , M kết hợp với quy tắc trừ Hình 1.13 ( ) uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM uuur uuur r Mà CM + BM = M trung điểm BC uuur uuur uuur uuur r Vậy AP + AN - AC + BM = c) Theo quy tắc ba điểm ta có uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur = OM + ON + OP + PA + MB + NC uuur uuur uuu r uuur uuur uuur = OM + ON + OP - BM + CN + AP uuur uuur uuur r Theo câu a) ta có BM + CN + AP = suy uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r OA + OB + OC = OM + ON + OP Bài tập luyện tập Bài 1.19: Cho bốn điểm A, B,C , D Chứng minh a) DA CA DB CB b) AC DA BD AD CD BA Lời giải tham khảo ( ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) Bài 1.20: Cho điểm A, B , C , D , E , F Chứng minh uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r AD + BE + CF = AE + BF + CD Lời giải tham khảo Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với 13- phép công trừ cec tơ C Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r r ( AD - AE ) + ( BE - BF ) + ( CF - CD ) = uuu r uuu r uuur r Û ED + FE + DF = uuu r uuu r r Û EF + FE = (đúng) Cách 2: uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur VT = AD + BE +CF = ( AE + ED ) + ( BF + FE ) + ( CD + DF ) uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur = AE + BF +CD + ED + FE + DF uuur uuu r uuu r = AE + BF +CD =VP Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng minh Chứng a) AB OD OC AC b) BA BC OB OD c) BA BC OB MO MB Lời giải tham (Hinh 1.47) khảo 21 A a) Ta có OD BO do đó AB OD OC AB BO OC AO OC AC b) Theo quy tắc hình bình hành ta có O BA BC OB BD OB OB BD OD D C c) Theo câu b) ta có BA BC OB OD Hình 1.47 Theo quy tắc trừ ta có MO MB BO Mà OD BO suy BA BC OB MO MB B A Bài 1.22: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P N trung điểm BC , CA, AB Chứng minh P uuu r uuu r uuur r a) NA + PB + MC = uuur uuu r uuur uuur B b) MC + BP + NC = BC M Lời giải Hình 1.48 tham khảo ( hình 1.48) a) Vì PB AP, MC PN nên uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur r NA +PB + MC = NA + AP + PN = NP + PN = b) Vì MC BM kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur MC + BP + NC = BM + BP + NC = BN + NC = BC Bài 1.23: Cho hai hình bình hành ABCD AB 'C 'D ' có chung đỉnh A uuuur uuuu r uuuur r Chứng minh B 'B + CC ' + D 'D = Lời giải tham khảo 13- phép công trừ cec tơ C Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 Theo quy tắc trừ quy tắc hình bình hành ta có uuuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuur uuur uuur uuuu r B 'B + CC ' + D 'D = AB - AB ' + AC ' - AC + AD - AD ' uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur r = AB + AD - AC - AB ' + AD ' + AC = ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) Bài 1.24: Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh uuu r uuu r uuur uuu r uuu r r OA + OB + OC + OE + OF = Lời giải tham khảo r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r Đặt u = OA + OB + OC + OE + OF uuu r uuu r uuur uuu r uuu r Vì ngũ giác nên vectơ OA + OB + OC + OE phương với OF r uuu r nên u phương với OF r uuu r r r Tương tự u phương với OE suy u = Bài 1.25: Cho hình bình hành ABCD Dựng uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuur AM =BA , MN = DA, NP = DC , PQ = BC uuur r Chứng minh rằng: AQ = Lời giải tham khảo Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur AQ = AM + MN + NP + PQ = BA + DA + DC + BC uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur BA + BC = BD , DA + DC = DB Mặt khác suy uuur uuur uuur r AQ = BD + DB = 13- phép công trừ cec tơ