0H1 a phép cộng trừ các vector

Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 NV 13: TỔNG VÀ HIỆU CÁC VECTƠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tổng hai vectơ r r uuur r a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a ; b Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a từ B r r uuur r uuur vẽ BC = b vectơ AC gọi tổng hai vectơ a ; b uuur r r Kí hiệu AC = a + b (Hình 1.9) B r b) Tính chất : r r r r r a r r b + Giao hoán : a + b = b + a r r r r r r a b + Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) r r C A r r r r a +b + Tính chất vectơ – khơng: a + = a, " a Hình 1.9 Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối vectơ r r Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng cúng độ dài với vectơ a r Kí hiệu - a r r r r uuur uuu r a + a = , " a AB = - BA Như b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: r r r r Hiệu hai vectơ a b tổng vectơ a vectơ đối vectơ b Kí r r r r hiệu a - b = a + - b ( ) ( ) Các quy tắc: uuur uuur uuur Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD hình bình hành uuur uuur uuur AB + AD = AC uuu r uuu r uuur Quy tắc hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB - OA = AB Chú ý: Ta mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1, A2, , An uuuu r uuuur uuuuuur uuuur A1A2 + A2A3 + + An- 1An = A1An B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 2-3: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải  Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại 13- phép công trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng để từ liên tưởng đến kiến thức có để xuất đại lượng vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản Các ví dụ Ví dụ 1: Cho năm điểm A, B,C , D, E Chứng minh uuur uuu r uuu r uuu r uuur a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r b) AC + CD - EC = AE - DB + CB Lời giải tham khảo a) Biến đổi vế trái ta có uuur uuu r uuu r uuu r uuu r VT = AC + CB + CD + ED + DA uuu r uuur uuur uuu r uuu r = CB + ED + AC + CD + DA uuu r uuur uuur uuu r = CB + ED + AD + DA uuu r uuur = CB + ED = VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur r AC - AE + CD - CB - EC + DB = uuur uuur uuur uuur r Û EC + BD - EC + DB = uuur uuur r BD + DB = (đúng) ĐPCM Bài tập luyện tập : Bài 1.1: Cho bốn điểm A, B,C , D Chứng minh     a) DA   CA  DB CB  b) AC  DA  BD  AD  CD  BA Lời giải tham khảo ( ( ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ) ) Bài 1.2: Cho điểm A, B , C , D , E , F Chứng minh uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r AD + BE + CF = AE + BF + CD Lời giải tham khảo Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r r ( AD - AE ) + ( BE - BF ) + ( CF - CD ) = uuu r uuu r uuur r Û ED + FE + DF = uuu r uuu r r Û EF + FE = (đúng) 13- phép công trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 Cách 2: uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur VT = AD + BE +CF = ( AE + ED ) + ( BF + FE ) + ( CD + DF ) uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur = AE + BF +CD + ED + FE + DF uuur uuu r uuu r = AE + BF +CD =VP DẠNG 4: Chứng minh đẳng thức vectơ ( q.t hình bình hành) Phương pháp giải  Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng để từ liên tưởng đến kiến thức có để xuất đại lượng vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng Chứng minh uuu r uuu r uuur r a) BA + DA + AC = uuu r uuu r uuur uuu r r A b) OA + OB + OC + OD = B uuur uuur uuur uuur c) MA + MC = MB + MD Lời giải tham khảo O (Hình 1.12) a) Ta có D C uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur BA + DA + AC = - AB - AD + AC Hình 1.12 uuur uuur uuur = - AB + AD + AC uuur uuur uuur Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC suy uuu r uuu r uuur uuur uuur r BA + DA + AC = - AC + AC = b) Vì ABCD hình bình hành nên ta có: uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur r OA = CO Þ OA + OC = OA + AO = uuu r uuur r uuu r uuu r uuur uuu r r Tương tự: OB + OD = Þ OA + OB + OC + OD = c) Cách 1: Vì ABCD hình bình hành nên uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur r AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = ( ) 13- phép công trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuur uuur uuu r uuur uuur Þ MA + MC = MB + BA + MD + DC uuur uuur uuu r uuur uuur uuur = MB + MD + BA + DC = MB + MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r MA - MB = MD - MC Û BA = CD (đúng ABCD hình bình hành) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC , CA, AB Chứng minh uuur uuur uuur r a) BM + CN + AP = uuur uuur uuur uuur r b) AP + AN - AC + BM = uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r c) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O điểm Lời giải tham khảo (Hình 1.13) a) Vì PN , MN đường trung bình tam giác ABC nên PN / / BM , MN / / BP suy tứ giác BMNP hình bình hành    BM PN   A N trung điểm AC  CN NA Do theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuu r uuur N BM + CN + AP = PN + NA + AP P uuu r uuur r = PA + AP = b) Vì tứ giác APMN hình bình hành nên theo uuur uuur uuuu r B quy tắc hình bình hành ta có AP + AN = AM , M kết hợp với quy tắc trừ Hình 1.13 ( ) uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM uuur uuur r Mà CM + BM = M trung điểm BC uuur uuur uuur uuur r Vậy AP + AN - AC + BM = c) Theo quy tắc ba điểm ta có uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur = OM + ON + OP + PA + MB + NC uuur uuur uuu r uuur uuur uuur = OM + ON + OP - BM + CN + AP uuur uuur uuur r Theo câu a) ta có BM + CN + AP = suy uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r OA + OB + OC = OM + ON + OP Bài tập luyện tập ( ( ( ) ) ( ) ( 13- phép công trừ cec tơ ) ( ) ) C Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng minh   Chứng  a)  AB  OD  OC  AC b) BA   BC   OB  OD c) BA  BC  OB MO  MB Lời giải tham  khảo  (Hinh 1.47) 21 a) Ta có A     OD  BO do đó AB  OD  OC  AB  BO  OC  AO  OC  AC b)  Theo  quy  tắc  hình  bình hành ta có O BA  BC  OB BD  OB  OB  BD  OD    D C c) Theo câu b) ta có BA BC  OB OD Hình 1.47 Theo quy  tắc trừ ta có  MO  MB BO Mà OD BO suy BA  BC  OB MO  MB B A Bài 1.4: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P N trung điểm BC , CA, AB Chứng minh P uuu r uuu r uuur r a) NA + PB + MC = uuur uuu r uuur uuur B b) MC + BP + NC = BC M Lời giải Hình 1.48  tham   khảo  ( hình 1.48) a) Vì PB  AP, MC PN nên uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur r NA +PB + MC = NA + AP + PN = NP + PN = b) Vì MC BM kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur MC + BP + NC = BM + BP + NC = BN + NC = BC Bài 1.5: Cho hai hình bình hành ABCD AB 'C 'D ' có chung đỉnh A uuuur uuuu r uuuur r Chứng minh B 'B + CC ' + D 'D = Lời giải tham khảo Theo quy tắc trừ quy tắc hình bình hành ta có uuuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuur uuur uuur uuuu r B 'B + CC ' + D 'D = AB - AB ' + AC ' - AC + AD - AD ' uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur r = AB + AD - AC - AB ' + AD ' + AC = ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) Bài 1.6: Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh uuu r uuu r uuur uuu r uuu r r OA + OB + OC + OE + OF = Lời giải tham khảo r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r Đặt u = OA + OB + OC + OE + OF 13- phép công trừ cec tơ C Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuu r uuu r uuur uuu r uuu r Vì ngũ giác nên vectơ OA + OB + OC + OE phương với OF r uuu r nên u phương với OF r uuu r r r Tương tự u phương với OE suy u = Bài 1.7: Cho hình bình hành ABCD Dựng uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuur AM =BA , MN = DA, NP = DC , PQ = BC uuur r Chứng minh rằng: AQ = Lời giải tham khảo Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur AQ = AM + MN + NP + PQ = BA + DA + DC + BC uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Mặt khác BA + BC = BD, DA + DC = DB suy uuur uuur uuur r AQ = BD + DB = DẠNG 5-6 : Xác định độ dài tổng, hiệu vectơ Phương pháp giải Để xác định độ dài tổng hiệu vectơ  Trước tiên sử dụng định nghĩa tổng, hiệu hai vectơ tính chất, quy tắc để xác định định phép tốn vectơ  Dựa vào tính chất hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng tam giác vuông để xác định độ dài vectơ Các ví dụ · Lưu ý Câu Cho tam giác ABC vng A có ABC = 300 BC = a B D Tính độ dài vectơ uuur uuur a/ AB + BC , uuur uuur b/ AC - BC , uuur uuur c/ AB + AC  Lời giải tham khảo Theo quy tắc ba điểm ta có C uuur uuur uuur A a/ AB + BC = AC Hình 1.10 · AC Mà sin ABC = BC · a Þ AC = BC sin ABC = a 5.sin300 = 13- phép công trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuur uuur a Do AB + BC = AC = AC = uuur uuur uuur uuu r uuur b/ AC - BC = AC + CB = AB Ta có AC + AB = BC Þ AB = BC - AC = 5a2 - 5a2 a 15 = uuur uuur uuur a 15 Vì AC - BC = AB = AB = c/ Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành uuur uuur uuur Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD = BC = a uuur uuur uuur AB + AC = AD = AD = a Vậy Bài 1.8: Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ     dài vectơ sau AB  AC , AB  AC  Lời giải tham khảo :(Hình  1.45)Theo   quy tắc trừ ta có AB  AC CB  AB  AC BC a Gọi A ' đỉnh hình bình hành ABA ' C O  tâm  hình  nình hành Khi ta có AB  AC  AA ' C A' O A B Hình 1.45 a a Ta có AO  AB  OB  a     Suy AB  AC  AA ' 2 AO a Bài 1.9: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuur uuu r uuur uuur uuu r a) Tính AB + OD , AB - OC + OD     b) Tính độ dài vectơ MA  MB  MC  MD Lời giải tham        a) Ta có OD BO  AB  OD  AB  BO  AO 13- phép công trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuu r AC a AB + OD = AO = = 2   Ta có OC  AO suy uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r r AB - OC + OD = AB - AO + OD = OB + OD =    B' A B  AB  OC  OD 0 b) Áp dụng quy tắc trừ ta có             O MA  MB  MC  MD  MA  MB  MC  MD BA  DC BA  DC     Lấy B ' điểm đối xứng B qua A Khi         DC AB'  BA DC  BA  AB ' BB ' Suy MA  MB  MC  MD  BB ' BB ' 2a D C Hình 1.46 Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r AB + AD , OA CB , CD DA a) Tính r uuur uuur uuur uuur b) Chứng minh u = MA + MB - MC - MD không phụ thuộc vị trí r điểm M Tính độ dài vectơ u Lời giải tham khảo (hình 1.11) uuur uuur uuur a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC uuur uuur uuur Suy AB + AD = AC = AC Áp dụng định lí Pitago ta có AC = AB + BC = 2a2 Þ AC = 2a uuur uuur Vậy AB + AD = a uuu r uuu r + Vì O tâm hình vng nên OA = CO suy uuu r uuu r uuu r uuu r uuur OA - CB = CO - CB = BC uuu r uuu r uuuur Vậy OA - CB = BC = a uuu r uuu r + Do ABCD hình vng nên CD = BA suy uuu r uuu r uuu r uuur uuur CD - DA = BA + AD = BD C' A B O D C Hình 1.11 13- phép công trừ cec tơ Tự luận uuur BD = BD = Mà Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuu r uuu r AB + AD = a suy CD - DA = a b) Theo quy tắc phép trừ ta có r uuur uuur uuur uuur uur uuur u = MA - MC + MB - MD = CA + DB r Suy u khơng phụ thuộc vị trí điểm M Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC C ' Khi tứ giác ADBC ' hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) uuur uuuur suy DB = AC ' r uur uuuur uuuu r Do u = CA + AC ' = CC ' r uuuu r Vì u = CC ' = BC + BC ' = a + a = 2a ( ) ( ) Bài tập luyện tập · Bài 1.10: Cho hình thoi ABCD cạnh a BCD = 600 Gọi O tâm hình thoi uuur uuur uuu r uuur Tính AB + AD , OB - DC Lời giải tham khảo uuur uuur uuur Ta có AB + AD = AD = 2a cos30 = a 3, uuu r uuur uuu r a OB - DC = CO = a cos600 = Bài 1.11: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur r OA, OB, OC a OA + OB + OC = a) Tính góc AOB, BOC , COA uuu r uuur uuu r b) Tính OB + AC - OA Lời giải tham khảo a) Từ giả thiết suy ba điểm A, B, C tạo thành tam giác nhận O làm · · · trọng tâm AOB = BOC =COA = 1200 b) Gọi I trung điểm BC Theo câu a) D ABC nên AI = a uuu r uuur uuu r OB + AC - OA = a 13- phép công trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 Bài 1.12: Cho góc Oxy Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B Tìm điều kiện uuu r uuu r A,B cho OA + OB nằm phân giác góc Oxy Lời giải tham khảo uuu r uuu r uuur Dựng hình bình hành OACB Khi đó: OA + OB = OD uuu r Vậy OD nằm phân giác góc xOy Û OACB hình thoi Û OA = OB Dạng 7: tìm tập hợp điểm thoả điều kiện cho trước 1/ Phơng pháp Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trớc dạng: OM = v , điểm O cố định vectơ v đà biết 2/ Ví dụ: Ví dụ 1: Cho ABC ®Ịu néi tiÕp đờng tròn tâm O a Chứng minh r»ng OA  OB  OC 0 b HÃy xác định điểm M, N, P cho:          OM = OA  OB ; ON = OB  OC ; OP = OC  OA Lời giải tham kho a Vì ABC nên O trọng tâm ABC, ta có ngay: OA  OB  OC 0 b Gäi A1, B1, C1 theo thứ tự trung điểm BC, AC, AB M Dựng hình bình hành AOBM viƯclÊy ®iĨm M ®èi xøng víi O qua C 1, ta có đợc OM = OA OB B Các điểm N, P đợc xác định t¬ng tù C1 A O Ví dụ 2: Cho ABC HÃy M thoả mÃn điều kiện: xácđịnh điểm (*) MA  MB + MC = Lời gii tham kho Biến đổi(*) vềdạng: BA + MC =  MC = AB  ABCM hình bình hành Từ đó, để xác định điểm M ta thùc hiƯn:  KỴ Ax // BC  Kẻ Cy // AB Giao Ax Cy điểm M cần tìm 3/ Bi luyn Bi 1.13: Cho ABC đều, nội tiếp đờng tròn tâm O a HÃy xác định điểm M, N, P cho:          OM = OA + OB , ON = OB + OC , OP = OC + OA 10 13- phép công trừ cec tơ C Tự luận Thuận: 0945194195   Châu  Huỳnh  b Chøng minh r»ng OA + OB + OC = A Lời giải tham khảo P M a Dùa theo quy tắc hình bình hành, ta lần lợt có: Với điểm M thoả mÃn: O OM = OA + OB C B  M lµ đỉnh thứ t hình bình hành AOBM CM đờng kính (O), ABC N Với điểm N thoả mÃn: ON = OB + OC N đỉnh thứ t hình bình hành BOCN AN đờng kính (O), ABC Với điểm P thoả mÃn:    OP = OC + OA  P đỉnh thứ t hình bình hành AOCP BP đờng kính (O), ABC Vậy, điểm M, N, P nằm đờng tròn (O) cho CM, AN, BP đờng kính đờng tròn (O) b Dựa vào kết câu a) OC = MO , ta có ngay:          OA + OB + OC = OM + MO = MO + OM = MM = Bài 1.14: Cho ABC a Tìm điểm I cho IA + IB =    b Tìm điểm K cho KA + KB = CB c Tìm điểm M cho MA + MB + MC = Lời giải tham khảo a Ta biÕn ®ỉi:       = IA + (IA  AB) = IA + AB   IA =  2 AB , suy điểm I đợc hoàn toàn xác định b Ta biÕn ®ỉi:         = KA + KB + ( KB + BC ) = KA + KB + KC  K lµ trọng tâm ABC c Gọi E, F, N trung ®iÓm AB, BC, EF, ta cã:         = ( MA + MC ) + ( MB + MC ) = ME + MF = MN  M  N Bi 1.15: Cho trớc hai điểm A, B hai sè thùc ,  tho¶ m·n  +   0. a Chứng minh tồn điểm I tho¶ m·n  IA +  IB =  b Tõ ®ã, suy víi ®iĨm bÊt kú M,ta lu«n cã:   MA +  MB = ( + ) MI Lời giải tham khảo a Ta cã:           IA +  IB =   IA + ( IA + AB ) =  ( + ) IA +  AB =     ( + ) AI =  AB  AI = 13- phép công trừ cec tơ   AB   11 Tự luận Châu Hunh Thun: 0945194195 Vì A, B cố định nên vectơ AB không đổi, tồn điểm I thoả mÃn điều kiện đầu bµi b Ta cã:         MA +  MB = ( MI + IA ) + ( MI + IB ) = ( + ) MI + ( IA +   IB )  = ( + ) MI , ®pcm Dạng 8: xác định tính chất hình thoả điều kin cho trc 1/ Phơng pháp gii Phân tích đợc định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết Lu ý tới hệ thức đà biết trung điểm đoạn thảng trọng tâm tam gi¸c 2/ Các ví dụ: VD: Cho ABC, cã cạnh tâm G thoả mÃn: a, b, c vµ träng  a GA + b GB + c GC = (1) Chøng minh r»ng ABC tam giác Li gii tham kho Ta cã:        (2) GA + GB + GC =  GA = - GB - GC Thay (2) vào (1), ta đợc:      a.(- GB - GC ) + b GB + c GC =     (b- a) GB + (c- a) GC = (3) Vì GB GC hai vectơ không phơng, (3) tơng đơng víi: b  a 0  a = b = c ABC tam giác c a 0 3/ Bài tập luyện tập Bài 1.16: Cho tứ giác ABCD Giả sửtồn điểm O cho: | OA || OB || OC || OD |      OA  OB  OC  OD 0  Chøng minh r»ng ABCD hình chữ nhật Li gii tham kho Từ phơng tr×nh thø nhÊt cđa hƯ , ta suy ra: O tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD (1) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA , từ phơng trình thứ hai hệ ta đợc:   = OA + OB + OC + OD = OM + OP  OM + OP = M, P, O thẳng hàng O trung điểm MP (2)       = OA + OB + OC + OD = ON + OQ  ON + OQ =  N, Q, O thẳng hàng O trung điểm NQ (3) Từ (2), (3), suy MNPQ hình bình hành suy A, C, O thẳng hàng O trung điểm AC B, D, O thẳng hàng O trung điểm BD 12 13- phộp cụng trừ cec tơ Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 Do ABCD hình bình hành (4) Từ (1) (4) suy ABCD hình chữ nhật 13- phép công trừ cec tơ 13