8 tuong giao

TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Định lí : Cho hai đồ thị (C) : y f(x) (C') : y g(x) Số giao điểm hai đồ thị (C) (C’) số nghiệm phương trình: f(x) g(x) Từ định lí sẽ dẫn tới hai toán giao điểm sau : Bài toán 1: Biện luận số nghiệm phương trình: F(x, m) 0 (m tham số) Phương pháp giải: * Ta biến đởi phương trình F  x, m  0 về dạng f  x  g  m  , đó ta đã biết đồ thị (C) hàm số y f  x  hoặc có thể dễ dàng vẽ được * Để biện luận số nghiệm phương trình, ta chuyển về biện luận số giao điểm (C) đường thẳng song song với Ox: y g  m  Bài toán 2: Biện luận số giao điểm hai đồ thị (C) : y f(x) (C') : y g(x) Phương pháp giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’): f(x) g(x) () B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT TRỤC HOÀNH Bài toán 01: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1,2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT Các ví dụ Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y x3  mx  2m cắt trục Ox tại điểm Lời giải Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y 3x  2mx x(3x  2m) Khi m = y 3x2 0  hàm số đồng biến ¡ Khi m 0 hàm số cho có cực trị x1 0 , x   thoả yêu cầu toán 2m  4m  Do đó đồ thị cắt Ox tại điểm y(x1 ).y  x2    2m  2m   0  27  m 0   2m   4m    0   6 m  27    2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 211  6 Vậy, với m    ;  đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm  2  Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y x3  3m x  2m tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt Lời giải Hàm số đã cho xác định D ¡ Để đồ thị hàm số tiếp xúc trục hồnh hai điểm phân biệt đồ thị hàm số phải có điểm cực trị  y 0 có nghiệm phân biệt, tức 3x2  3m 0 có nghiệm phân biệt  m 0 Với m 0 y' 0 có nghiệm x m y(  m) 2m  2m, y(m)  2m  2m Đồ thị hàm số tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt  y(  m) 0 y(m) 0 Với y(  m) 0  2m  2m 0  m 0 (loại) Với y(m) 0   2m  2m 0  m 0 m 1 Vậy, với m 1 thỏa mãn toán Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y  x  mx  m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt Lời giải Hàm số đã cho xác định D ¡ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu  x 0  y  m  y'   Ta có: y'  3x  2mx  x  2m  y  m  m  27 Hàm số có hai cực trị  m 0  2m    Hai giá trị cực trị trái dấu  y(0).y       m   m  m      27   m (4m  27)   4m  27  (m 0)  m  Vậy, với m  3 3 đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y x4  mx  m  cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt Lời giải Hàm số đã cho xác định D ¡ Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với trục Ox : x4  mx2  m  0 (1) 212http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đặt t x , t 0 , đó: (1)  t  mt  m  0 (2)  t 1 t m  Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt  (2) có nghiệm dương phân biệt   m  1   m 2 Ví dụ : Tìm m để đường thẳng y  mx  cắt đồ thị  C  : y  2x  6x  tại ba điểm phân biệt A, B,C cho A  0;1 B trung điểm AC Lời giải Đường thẳng y  mx  cắt  C  tại ba điểm phân biệt phương   trình  2x  6x  mx  có ba điểm phân biệt  x 2x  6x  m 0 có ba nghiệm phân biệt  2x2  6x  m 0 có hai nghiệm phân biệt x 0   9  2m   '0 m       m 0 m 0 2.0  6.0  m 0  Với điều kiện A  0;1 , B,C   đường thẳng y  mx  cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt x 2x1   x2 2x1  1 Vì B trung điểm AC nên có:  mx2   mx1    x1  x 3  Theo định lý Vi – et , ta có:  m  2 x1 x   Từ  1  2 suy m 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x3  mx  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm Cho hàm số y 2x  3(m  1)x  6mx  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm Bài 2: Định m để đồ thị hàm số y x3  3x  (2m  1)x  4m  tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt Cho hàm số y x4  2m x  m  2m Chứng minh đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, với m  Bài 3: Tìm m  ¡ để: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 213 Hàm số y x3  3m x  2m có đồ thị  Cm  tiếp xúc Ox tại điểm phân biệt Bài 4: Gọi  Cm  đồ thị hàm số y x4  2(m  1)x  m  3m Tìm m để  Cm  trục hoành: Có điểm chung phân biệt Có hai điểm chung Có điểm chung Không có điểm chung Bài toán 02: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC Các ví dụ     2 Ví dụ : Cho hàm số y x   m  1 x  m  4m  x  m  , có đồ thị  Cm  Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Lời giải Số giao điểm đồ thị đã cho với trục hoành số nghiệm phương trình :       x3   m  1 x  m  4m  x  m  0   x    x2  2mx  m   0      x 2 f(x) x  2mx  m  0 Để đồ thị đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ phương trình   có nghiệm phân biệt có hoành độ nhỏ tức phải có f(x) 0 có nghiệm phân biệt khác có hoành độ nhỏ  m  4m  0 f(2) 0 f(x) 0 nghiệm phân biệt khác     m 2   '  2m   Với m 2  f(x) 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1  x2    x1    x   x x   x1  x2     Nên có hệ :    x1     x   x1  x2  x x  m  Theo định lý viét, ta có  x1  x  2m  m     2m    m  6m   3  17  m   17   Do đó ta có   2m  m   m     17  m   17 Đối chiếu điều kiện m 2  , thu được  m 3  Vậy, với m     17 ;  17 \    17 ;  17 \  thỏa đề 214http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ : Cho hàm số y x4  2(m  1)x  2m  ,tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ Lời giải Số giao điểm đồ thị đã cho với trục hồnh số nghiệm phương trình : x4  2(m  1)x  2m  0  1 Đặt t x , t 0  1 trở thành: f(t) t  2(m  1)t  2m  0 Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm phân biệt có hoành độ nhỏ  m   tt1  32    f  t  có nghiệm phân biệt t1 , t cho:   f(0) 2m  0   t1  t S 2(m  1)    m   f(3) 4  4m 0  , nghĩa phải có: m  m 1 S 2(m  1)  P 2m    Vậy, với m  m 1 thỏa mãn toán 2 Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y  x  mx  x  m  cắt trục hoành tại 3 2 ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x thỏa mãn x1  x2  x3  15 Lời giải Hàm số đã cho xác định D ¡ x  mx  x  m  0 3  x  3mx2  3x  3m  0  (x  1)  x    3m  x  3m   0 Phương trình hồnh đợ giao điểm: (1)  x 1 g(x) x  (1  3m)x  3m  0 (2) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  (1) có ba nghiệm phân biệt  (2) có hai ngiệm phân biệt khác 1, tức phải có hệ:  (1  3m)2  4(3m  2)  3m  2m   0, m   m 0 (a)   g(1)  6m 0 m 0 Giả sử x3  1; x1 , x2 nghiệm (2) Ta có: x1  x2 3m  1; x1x  3m  Khi đó: x12  x22  x32  15  (x1  x )2  2x1x   15  (3m  1)2  2(3m  2)  14   m    m    m  (b) Từ (a) (b) ta có gía trị cần tìm là: m   hoặc m  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 215 Ví dụ Hàm số y x3  2(m  1)x  (5m  2)x  2m  (1) , m tham số Gọi (Cm ) đồ thị hàm số (1) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B,C cho : A trung điểm đoạn BC B,C có hoành độ nhỏ BC có độ dài nhỏ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) Ox x3  2(m  1)x  (5m  2)x  2m  0 ()  (x  2)(x  2mx  m  2) 0  x 2, g(x) x  2mx  m  0 (Cm ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A, B,C  Phương trình () có ba nghiệm phân biệt  phương trình g(x) 0 có hai nghiệm phân biệt khác  m  ¡  1 m  m   m          m 2   m    4m  m    A trung điểm đoạn BC Vì ba điểm A, B,C thuộc trục hoành đó A trung điểm BC x  xC 2m  xA  B  2  m 2 ( thỏa mãn điều kiện m  ) 2 B,C có hoành độ nhỏ x , Gọi x2 hoành độ B,C , nghiệm phương trình g(x) 0 '   g  g(2) 0 Theo toán, ta có: x1    x2  x1     x   x1   x    (x1  1)(x  1)  2m  x  x     x1x2  (x1  x )   m   2m   m   m1  m   Vậy, m   giá trị cần tìm Cách khác: Hai nghiệm g(x) 0 x1 m  m  m  , x m  m  m  x1   x2   m  m  m    Vì x1  x2 nên  x  m  m  0 m  ¡    1  m   m   m     m  m   m  2m  m   BC có độ dài nhỏ m2  m    m 216http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  1 BC  x1  x2 2 m  m  2  m       1 BC   m  0  m  (thỏa điều kiện m  ) 2 Chú ý Ta có thể dùng định lí Vi-et để tính BC sau BC2  x1  x 2 (x1  x2 )2  4x1x 4m  4(m  2) 4(m  m  2) ÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho hàm số y x   m  1 x  2m  có đồ thị  Cm  , m tham số Tìm m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ Bài Cho hàm số y x4  2mx  m  ,xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x1  x  x3    x Bài 3: Cho hàm số y = x3  3x  (m  2)x  m  ( m tham số ) (1).Gọi  Cm  đồ thị hàm số (1) Tìm m để  Cm  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  Cm  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đó có hai điểm có hồnh độ dương Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số : y x3  (4m  3)x  (m  2)x  3m có hai cực trị trái dấu y x3  3(m  1)x  3mx  m  cắt Ox tại ba điểm phân biệt đó có điểm có hoành độ âm y x4 –  3m   x  3m tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ y x4  2mx  m  (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số : y x3  3mx2  (3m  1)x  6m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x thỏa x12  x22  x23  x1x2 x 20 y x3  2x2  (3m  1)x  m  cắt đường thẳng d : y (1  m)x  m  tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1  x   x y x4  (3m  2)x  3m (Cm) cắt đường thẳng y  tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x , x thỏa : x12  x22  x23  x42  x1x2 x3 x4 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 217 Bài 5: Tìm m để đồ thị (Cm ) y x3  (2m  3)x  (2m  m  9)x  2m  3m  cắt trục hoành tai ba điểm phân biệt ,trong đó có hai điểm có hoành độ lớn khoảng cách hai điểm lớn Bài 6: Tìm m  ¡ để đồ thị  Cm  : y x3  3mx  3x  3m  cắt trục Ox tại điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x , x thỏa mãn : x12  x 22  x23 15 Tìm m để hàm số y  x  4mx  4m cắt trục Ox tại điểm phân biệt M, N, P, Q ( xM  xN  xP  xQ ) cho MQ 2NP Bài 7: Gọi (Cm ) đồ thị hàm số y x4  (3m  1)x  2m  2m  12 , m tham số 1.Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại điểm phân biệt đó có ba điểm có hoành độ nhỏ điểm có hoành độ lớn 2 Tìm m để (Cm ) trục Ox có hai điểm chung B,C cho tam giác ABC đều với A(0;2) Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CĨ HỒNH ĐỘ LẬP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Phương pháp giải Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax  bx  cx  d (a 0) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng (C) cắt trục hoành nên có: ax3  bx2  cx  d 0 () x1 , x2 , x lập thành cấp số cộng  phương trình () có nghiệm x1 , x2 , x thỏa mãn x1  x3 2x (1) Khi đó: ax  bx2  cx  d a(x  x1 )(x  x )(x  x ) a  x  (x1  x  x3 )x  (x1x2  x x  x x1 )x  x1x x  (2) Từ (1) (2) suy x2  b 3a b vào () để suy điều kiện cần tìm 3a Chú ý: Đây điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm Thế x2  Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số nhân Giả sử () có nghiệm x1 , x2 , x lập thành cấp số nhân  phương trình () có nghiệm x1 , x2 , x thỏa mãn x1x x22 (3) 218http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Từ (3) (2) suy  x2  d nghiệm () a d vào () để suy điều kiện cần tìm a Chú ý: Đây điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm Thế x2 3  Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax4  bx2  c (a 0) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng  ax4  bx2  c 0 (1) có nghiệm phân biệt  at  bt  c 0 (t x ) (2) có nghiệm dương phân biệt t1 , t (giả sử tt1  Khi đó các nghiệm (1) là:  t ;  Vì  t ;  )  1 t ; t1 ; t t1 ; t1 ; t lập thành cấp số cộng nên tt2  tt1       t 9t1   Giải điều kiện:  1 ,   Các ví dụ Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y x3  3x  9x  m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x lập thành cấp số cộng   2 2 Cho hàm số y x   4m   x  3m  12m  x  7m  8m có đồ thị  Cm  Với m tham số thực Tìm m để  Cm  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Lời giải Hàm số đã cho xác định D ¡ Phương trình hồnh đợ giao điểm: x3  3x  9x  m 0 () Giả sử đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh đợ x1 , x2 , x (x1  x2  x3 ) x1 , x2 , x nghiệm phương trình () Khi đó: x3  3x  9x  m (x  x1 )(x  x )(x  x ) x  (x1  x  x )x2  (x1x  x x  x 3x1 )x  x1x x  x1  x  x 3 (1) Do x1 , x2 , x lập thành một cấp số cộng  x1  x3 2x2 (2) Thế (2) vào (1) ta có : x2  Thay x2  vào phương trình () , tìm được m = 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 219 Với m = 11 phương trình ()  x  3x  9x  11 0  (x  1)(x  2x  11) 0 , phương trình có nghiệm x1 1  , x2 1 , x3 1  thỏa mãn điều kiện x1  x3 2x2 Vậy, m = 11 đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh đợ x1 , x2 , x lập thành cấp số cộng có công sai d 2 Hàm số đã cho xác định D ¡ Hàm số đã cho xác định liên tục ¡ Hoành độ giao điểm trục hoành  Cm  nghiệm phương trình   x3   4m   x  3m  12m  x  7m  8m 0   x  m   x   3m   x  7m   0    x m g  x  x   3m   x  7m  0 Để  Cm  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt phương trình g  x  có hai nghiệm phân biện khác m tức phải có:   17 m       9m  2m        7  17 g  m  0  2m  2m  0  m  9 Với điều kiện    Cm  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x lập thành cấp số cộng Để thuận tiện việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số cộng phương trình hồnh độ x0  d, x0 , x0  d với d công sai Khi đó đẳng thức sau   x3   4m   x  3m  12  x  7m  8m  x  x  d   x  x   x  x  d  4m  3x0   4m   4m  7m  4m   3m  12m  3x02  d  7m  8m     3   7m  8m  x  x d  0 11  10m  51m  6m  55 0  m  m  m  10 Kết hợp với điều kiện 1 17 m   Vậy m 1 m  m   17 m  11 thỏa mãn yêu cầu toán 10 Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y  x  2(m  2)x  2m  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x ,x lập thành cấp số cộng 220http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word