Hu0 e2 f~1

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt SỐ PHỨC HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng Bài 1: Đặt z1 a1  b1i, z2 a  b2 i a  b2 a  b2 1  1 2   a1 b1  a b2  1 Từ giả thiết ta có hệ:  2  a1  a    b1  b2  3 2x  2y   a z z'     3y  1 3x  Vậy x 2, y 0 x  y 2   x  y 2 x 2   y 0 b Ta có:   i  52  47.i nên suy ra:  x  2y    i    3x  y   x  2i   x  2y   52  47i    3x  y   x  2i   3x  xy  52x  104y    41x  96y  i   x  2y    i    3x  y   x  2i  47  20i  20  41x y  96  329x2  708x  2432 0  3x2  xy  52x  104y 47   41x  96y 20  608 x  x  329    23  y  1529 y   12  2632 1 3    i  x  yi   i   yi 2   yi 2    3   y 3  x  yi   y   i  2   2    3   y x  x    y  x  2    y  y   y 3  y 3   2 c x  yi   xyi d   2i   x  y  2i   2i    xyi   2i    x  y  2i   2i  327 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x  y 3   xy 2  x 1, y 2   x 2, y 1   0 0 Dễ thấy cos 72 cos 90  18 s in18 z cos180  cos72 i cos18  s in180 i  z  z   cos18    s in18  0 1 3  i nên z 1 , số phức liên hiệp: z   i 2 2 2     1   z z z    i   i      i  1  2  2           1i i ;   i   2i  z i 33    2i   13  i 13  32i Ta có: 1 i  Phần thực z 13 , phần ảo z  32 Chú ý Khi gặp tốn u cầu tính z n với n số tự nhiên lớn ta   tính lũy thừa nhỏ để tìm quy luật zn a A   i     i  10   i  1  2i  i2  2i    i     i       i    2i    i  16  i    i  16   i    i  1  2i  i2 2i    i  10    i   Vậy A 16   i   32i 16  16i 16   i   1i   b B   i    i13  13    i    i  5    2i  32 i 2 i 32i 21   i  1  2i  i2  2i    i     i     2i  16 i     i13 i12 i  i   13 i   1 i i  i  i 13 2 16   1 16 i    i  1  2i  i  2i i 1i   i   i   i    1  i2  1i     1 i  328 21  i  21    i2 10 i   1 10 i i 1 2  i      1  i i i i   Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  2 Vậy B 16    i 14  i   18 13 c M i  i  i   i i  i  i  i   i  Dễ thấy  i  i  i   i13 tổng cấp số nhân có 14 số hạng, số hạng u1 1 , cơng bội q i    i2  q14  i14 M i u1 i 1 q  i i  i M  i  1 i   i     1   i   i  i4 i  i2  1 i  2 i  d N 1    i     i     i      i  2010 Dễ thấy tổng tổng cấp số nhân có 2011 số hạng , số hạng u1 1 , công bội q 1  i 2011    i  q 2011 N u1 1 1 q    i     i 2011   i  1  2i  i2 2i    i  2011    i      i 2011   21005 i 502 i  1005   i   2i  1005   i   i   i  21005 i  i 21005  i  1   1005 i 1  21005  i  1  21005  i  1 i   q 2011 N u1 1   i  21006 1 q i    i i a Ta có z 6  4i  9i  12  5i  phần thực z 12 , phần ảo z    2i    2i     8i    8i   i b Ta có: z  13 13   2i    2i  32   2i  13  Phần thực z  , phần ảo z 13 13 c Ta có: z 1  2i  i   2i  i 4i  Phần thực z , phần ảo z d Ta có:   i  2  3.2 2.i  3.2.i  i 2  11i    i  13  9i    3i  79   i  13  9i  z    3i    3i   25  i 25 329 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 79 , phần ảo z  25 25  x 1 a Ta có z số thực   x  1  y   0    y 3  Phần thực z  Với x 1  z 0  Với y 3  z 2x  3x  2x  3x  0  b Ta có z ảo    x  1  y   0  x    y 3  1 y  3 i  z  y   2  z 4  y  8  y 11; y  Khi đó: z    x  x  Vậy   cặp cần tìm  y 11  y    2x  3x  6 2x  3x  0  c Ta có: z 6  5i    x  1  y   5  x  1  y   5  x  x        y 3   y 19  x  3 8a Ta có:   i  2  11i ;   i  2  11i  A  11i   11i   i 11  11i    11i  22i b Đặt z   3i 2 3i   z z z      B z 2009  z    3i  z   3i    3i  3i  669     z (  8)669    3i  2 2008  3i   c Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân, ta có:  i 2009 1 i i i 1 i 1 i d Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân, ta có: C i D   i  330    i 2010   i  1   i   i    i  2010    i i Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Mà   i  2i    i   2010  2i  1005 21005.i1004 i 21005.i   D  i  i  1 21005 i    i 21005 i  21005  a z số thực  (2  x)(2y  1) 0  x  y  b z số ảo (1  2x)(1  x) 0  x  1,x  2 z 1  (2  x)2 (2y  1)2 1 (*) * x   (*)  (2y  1)2 1  y 0, y  1 , y  * x   (*)  (2y  1)2   y  25 10 Vậy có bốn cặp (x;y) thỏa yêu cầu toán: 1 (x; y) (  1;  1), (  1; 0),  ;  2 10  1  ,  ;  10   10  (1  x)(1  2x)  20 c Ta có: z  20  18i   (2y  1)(2  x) 15  x    y  11   4i    4i (   4i)(3  i)  13  9i    10 a.Ta có z  3 i 3 i 10 10 13 Vậy phần thực z bằng:  , phần ảo 10 10 2x  x  21 0 x 3    15 1   y 1 y  2(x  2)  b Ta có: (2  i)3 2  3.2 2.i  3.2.i  i 2  11i (3  2i)3 33  3.32.2i  3.3.(2i)2  (2i)3   46i Suy z 11  35i Vậy phần thức z bằng: 11; phần ảo bằng:  35 c Ta có (3  i)(1  2i) 5  5i ; (3  2i)2 5  12i Suy z  (5  5i)(5  12i)  12  85  35i 10  10i 15  5i  16  6i 169 10 85 35 ; phần ảo bằng: 169 169 (4  2i)(1  3i) c Ta có: z (1  3i)(3  4i)  10 Vậy phần thực z bằng: 16 ; phần ảo bằng: Vậy phần thực z bằng: 331 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 11 a.Ta có: 2z   29  22i 13  9i  z 3  i Suy z  32  12  10  4i  4i  2i   12i (3  2i)  12i   z  2i    z  2i  2i   12i   12i b Ta có:  z   2i  z  c Ta có: z (   12i)5i 60  25i  z 65 d Ta có: (6  3i)z   i (4  5i)z   10i  (2  2i)z 6  9i  z   9i 15 26   i Suy z   2i 4 Bài Biến đổi dạng: z  8i 2  3i  2i Dễ dàng chứng minh z1 z1  z1 1, z1  1 , z2  z1 z2 1  z  z2 z z2 z  z2 A   số thực  z1 z  1  z1z z1 z z a  bi  z   i 1    b a    2   a     b  1 1 suy   b a   b2  b  1     b a   2  z  1 z  2i a  b  a  2b   2a  b   i số thực, suy 2a  b  0  1  a  1  b    Từ  1   suy  a; b   0;  ,  2;   z   a  b2 5 Từ giả thiết dẫn đến kết a  b2  6bi 5  6i suy  6b    4i   i a Ta có: (2i  1)2   4i  z    3i 2 2  3  1 10  z       2     z 1 2i   z   2i    z      2i  z 7  4i b Ta có: z 332 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  4i 11 130   i z   2i 4 z  3i     i  1  z  1   3i   3z   c Ta có: 3z  i   z  z   8i    7i  z    7i 77 25 6554   i z   8i 113 113 113 a.Đặt z x  yi  (3i  1)z (3i  1)(x  yi) x  3y  (3x  y)i  4z  (3i  1)z 5x  3y  (3x  3y)i 5x  3y 25  Từ suy  3x  3y 21 Vậy z 2  5i  b Đặt z x  yi  z  Suy 3z  z 2 x 2   y 5 x  y  2xyi 3x  2x  2y  (3y  4xy)i 3x  2x  2y 0 (1) Nên ta có:  (2) 3y  4xy 0 Từ (2) suy : x  y 0  y 0  3x  2x 0  x 0, x   x   y  27  y 3 3 Vậy có bốn số phức thỏa yêu cầu toán: z 0, z  , z   i 4 Bài 4i  i  1 4i  2  2i  A  2;   Ta có: i i2    i    2i  3  i  B  3;1  6i   6i    i   2i  C  0;  3 i 32  i  BA BC r uuu r Dễ thấy:  uuu nên ABC tam giác vuông cân B  BA.BC 0 Gọi D đỉnh thứ hình vng ABCD  D  1;  1 Vậy, số phức z   i biểu diễn điểm D 333 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Bài z  6z  18 0   z   9i  z 3  3i z 3  3i Trong mặt phẳng tọa độ số phức z 3  3i có biểu diễn A  3;   , số phức z 3  3i có biểu diễn B  3;  uuur uuu r OAB có OA OB 3 OA.OB 0 , suy đpcm Bài Đặt z 1  i  z 1  i Và z1   i     i 2010 2010  z2010  z1 z2010  z    i 2010  Và z1    3i  3i   2009      i  2010 z1  z1 số thực  đpcm Đặt z  3i   z 1  2009 2010 3i 3i   2009 2009      3i  1    3i  z 2009  z1 z 2009  z 2009 3i  2009 2009 z1  z1 số ảo  đpcm Bài u r u r Ta có: u  1;  , v  3;   u r u r Suy ra: 3u  2v  9;  biểu diễn số phức  3i u r u r 5u  3v   4; 21 biểu diễn số phức   21i r u r u r m  3n 6 r  Ta có: x  6;  Giả sử x m.u  n.v   3m  2n 4 r 24 u r 14 u r Vậy x  u  v 11 11 Bài  24 m  11  n 14  11 Ta có: A1A  z1  z   i  17 A1A  z1  z3 4 A1A  z1  z4  13 uuuur uuuuuu r Gọi z số phức cần tìm Ki đó: A1M A A biểu diễn số phức z  z1 z4  z uuuur uuuuuu r A1A A M hình bình hành  A1M A A  z  z1 z  z  z z1  z  z 8  6i Bài 334 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Điều kiện: n  3, n  ¥ Phương trình log  n    log  n   3  log  n    n   3  n    n   43  n  6n  0  n 7  : n   3 z   i    i     i     i   2i    i    8i  8  8i   Vậy phần thực số phức z Đặt z a  bi  z a  bi ,  a, b  ¡  i  a  bi     3i   a  bi  1i a  b2 , quy đồng mẫu số rút gọn ta được:    3a  3b    a  5b  i 2 a  b , hai số phức    3a  3b 2 a  b  2  5b   2b  3b   5b  0     a  5b 0 a 5b  45 a  26  b  26b   0 a 0   (nhận)  (không thỏa a  b 0 ) a 5b  b 0 b   26 Vậy, số phức cần tìm z 0 Bài 10: Phương trình cho biến đổi  z  1  ta có z2 2  z  1 , suy 2 z   z  1  4  z  1 4   1  Q z 2012  z 2012    z4 503  Giả sử z a  bi  a, b  ¡  z  503    503     503  16503  503   Ta có :  2z  1   i   z    i  2  2i    iz     i  z 2    i   a  bi     i   a  bi  2 3a  3b 2  3a  3b   a  b  i 2    a  b 0  a  1  z     9  b   Bài 11 335 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Giả sử z a  bi ,  a, b  ¡  z  2i a   b   i    z   i a     b  i 2 z  2i  z   i  a   b    a  1    b   a  3b  0 z   i a    b  1 i a  a  1   b    b  1 a  2b    b     i số 2 z  2i a    b i a2    b  a2    b  ảo a  a  1   b    b  1 0  4b  3b  0 a  3b  0  Ta có hệ:  4b  3b  0  b  1,a 2   b  ,a   4 Vậy, có số phức cần tìm z 2  i z  Giả sử z a  bi,  a, b  ¡  ,thì  i 4 z  a  b2  a  b2   2b   b 5    a 2b a 2b a  a 2    b   b 1  z   Ta có :  a 2b Vậy có hai số phức cần tìm: z   i, z 2  i Giả sử z a  bi,  a, b  ¡   z a  bi Dễ thấy, z  a  bi  a  3a bi  3ab  b i a  3ab2 a  Do z z   3a b  b  b Đặt a tb,  t  ¡    tt 12   t 0,  t  1     2  tb  tb b  tb        Hệ   trở thành:  suy 3  tb  b  b  b 1 t 1 TH1: Khi t 0  a 0 thay vào   ta  b3  b  b 0 b  b 1 TH2: Khi t 1  a b thay vào   ta 2b3  b  b 0 Vậy, số phức thỏa mãn toán: z 0, z  i, z i 2 Cách 1: Giả thiết z2 số ảo nên z  z 0   z  z   z 0 336