05Nh t~1

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG NG DỤNG NG NGUYÊN HÀM A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa: Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K F'  x  f  x  x  K Các tính chất: Định lí Nếu F nguyên hàm hàm f K nguyên hàm f K có dạng F  x   C, C  ¡ Do F  x   C gọi họ nguyên hàm hàm f K kí hiệu: f  x  dx F  x   C Định lí Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K Định lí Nếu f,g hai hàm liên tục K thì:   f  x  g  x   dx f  x  dx g  x  dx  k.f  x  dx k f  x  dx với số thực k 0   Định lí Nếu f  x  dx F  x   C f  u  x   u'  x  dx f  u  x   d  u  x   F  u  x    C Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp Các hàm sơ cấp thường gặp 1  x dx  x C    dx   ln x  C x x    1 dx e x  C  e  x a dx   sin xdx  cos x  C cos xdx sin x  C  ax C ln a dx  cos2 x tan x  C  sin x  cot x  C dx     Nguyên hàm mở rộng dx ax  b a ln ax  b  C sin  ax  b  dx  a cos  ax  b   C cos  ax  b  dx a sin  ax  b   C dx cos2  ax  b  a tan  ax  b   C  dx sin2  ax  b   a cot  ax  b   C dx   ax  b a  e ax  b ax  b  C dx  eax  b  C a 81 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Chú ý: ax  b  cx     dx    dx      Tách phân thức tích phân trở thành: p     q cx      dx    ax  b  Lấy nghiệm cx   thay vào ta p dx    Lấy nghiệm dx   thay vào ax  b ta q cx   B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Tìm ngun hàm phương pháp phân tích Phương pháp: Để tìm ngun hàm f(x)dx , ta phân tích f(x) k1 f1 (x)  k f2 (x)   k n fn (x) Trong đó: f1 (x), f2 (x), ,fn (x) có bảng nguyên hàm ta dễ dàng tìm ngun hàm Khi đó: f(x)dx k1 f1 (x)dx  k f2 (x)dx   k n fn (x)dx Ví dụ 1.1.5 Tìm nguyên hàm: 2x2  x  I  dx x x3  J  dx x 1 Lời giải 2x  x  2x   x x )dx x  3x  ln x   C Suy I (2x   x 1 Ta có: Ta có: x3  x3   2  x  x   x 1 x 1 x 1   x x2 dx    x  ln x   C Suy J  x2  x    x 1   1 3 Ta có :  x   x  3x   x x   x3   x4 3x  3ln x  C Suy K  x  3x    dx   x x   2x 82  1 K  x   dx x   Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 2.1.5 Tìm ngun hàm: x3  2x  J  dx x  2x  dx I  (x  1)2 2x2  K  dx (x  1)5 Lời giải  (x  1)  (x  1)    Ta có: (x  1)2  (x  1)(x  1)    1  1 1 1              (x  1)2 (x  1)(x  1) (x  1)2   (x  1)2 x  x  (x  1)2  1 x 1   ln  Suy I     C 4 x x  x  1 Ta có: x3  2x  (x  1)3  3(x  1)2  5(x  1)  Suy I (x     )dx x  (x  1)2 x2  2x  5ln x   C x 1 Ta phân tích 2x  2(x  1)2  4(x  1)       dx Suy ra: K  (x  1) (x  1)5   (x  1)    C (x  1) 3(x  1) 4(x  1)4 x x Ví dụ 3.1.5 Tìm nguyên hàm: I (e  2e ) dx 3x  4.5x J  dx 7x Lời giải Ta có: (e x  2e  x )2 e 2x   4.e  2x Suy ra: I (e 2x   4e  2x )dx  e 2x  4x  2e  2x  C x x x x  3         dx        C J     7    ln   ln    7 sin x Ví dụ 4.1.5 Tìm ngun hàm: I  dx cos x Lời giải 83 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả   I   cos x   dx  cos x  dx I tan x  2x    cos 2xd  2x  tan x  x  sin 2x  C 4 Ví dụ 5.1.5 Tìm nguyên hàm: I cos 2xdx J (cos 3x.cos 4x  sin 2x)dx Lời giải 1  cos 4x    cos 4x  cos 4x  4 1  cos 8x     cos 4x      cos 4x  cos 8x  4   Ta có: cos 2x   I  1  (3  cos 4x  cos 8x)dx   3x  sin 4x  sin 8x   C  8  Ta có : cos 3x.cos 4x   cos7x  cos x  sin 2x  sin 2x  sin 6x 4 1  Nên suy ra: J  cos 7x  cos x  sin 2x  sin 6x dx 4 2   1 sin 7x  sin x  cos 2x  cos 6x  C 14 24 xe x  J  dx (x  e x )2  1  Ví dụ 6.1.5 Tìm nguyên hàm: I    dx  ln x ln x  Lời giải Ta có : ln x  1  ln x x(ln x)' (x)'ln x  x     ' ln x  ln x  ln x ln x  x  x C Vậy I   'dx  ln x  ln x  Ta có : xe x  x  (x  e ) (x  1)'(x  e x )  (x  e x )'(x  1) x (x  e ) '  x 1  x 1 Suy I   dx  C x x  ex  x e  x2 dx Ví dụ 7.1.5 Tìm ngun hàm: I  (x sin x  cos x)2 84  x 1    x  ex  '  Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Lời giải x2 (x sin x  cos x)  (sin x  x cos x)'(x sin x  cos x)  (x sin x  cos x)'(sin x  x cos x) (x sin x  cos x)  s inx  x cos x  sin x  x cos x  C '  I  x sin x  cos x  x sin x  cos x  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1:     Tìm nguyên hàm hàm số F  x  , biết f  x  sin 2x F      16 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x  s in2x.tan x thỏa mãn       F   Tính F    4  3  Xác định a, b,c cho F  x   ax  bx  c hàm số f  x   20x2  29x  2x  Bài 2: Tìm nguyên hàm :  2x  nguyên hàm  2;   x   I1  x   dx x  Bài 3: Tìm nguyên hàm : x3  I  dx x 1 I  x3 I1  dx x Bài 4: Tìm nguyên hàm : I  dx  ex 2x  I  dx x  3x    I1  3cos x  3x  dx ex I  dx ex   x  1 dx e 2x  2x.3x.5 x I  dx e 3x Bài 5: Tìm nguyên hàm : I1 sin  3x  1 dx I sin 3xcos 5xdx I cos 2xdx Bài 6: Tìm nguyên hàm : cos x I1  dx  sin x sin x I  dx cos x   I  sin x   dx  cos 2x   Bài 7: Tìm nguyên hàm : 2x  x  I1  dx x3  5x2  6x 5x  I  dx x  3x  x3  3x  I  dx x  x  x2  x Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số 85 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Phương pháp:     “ Nếu f  x  dx F  x   C f u  x  u'  x  dx F u  x   C ” Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I f  x  dx , ta phân tích   f  x  g u  x  u'  x  dx ta thức phép đổi biến số t u  x     dt u'  x  dx Khi đó: I g  t  dt G  t   C G u  x   C Chú ý: Sau ta tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t u  x  Ví dụ 1.2.5 Tìm ngun hàm: I (x  1) 3  2xdx J  xdx K  2x  xdx x   5x  Lời giải Đặt t 3  2x  x   t3  dx  t dt 2    t3   t.t dt  (5tt3  )dt       (3  2x)7 (3  2x)4  5tt4 37      C    4   I  Đặt t 3 2x   x    C   t3   dx  t 2dt 2 t3  t dt   t5 Suy J  2  (t  2t)dtt    C2    t   4     3 (2x  2)    (2x  2)2   C  4   x( 5x   x  3)dx Ta có: I   ( 5x   5x   x  1    (5x  3)3  (x  3)3   C 6  Ví dụ 2.2.5 Tìm ngun hàm: I sin x.cos xdx Lời giải Đặt t cos x  dt  sin xdx 5 Ta có: I (1  cos x)cos x sin xdx  (1  t )t dt 86 x  3)dx cos xdx J  (sin x  cos x)3 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt tt8 sin x sin x  C    8 cos xdx dx  I  3 cos x(tan x  2) cos x(tan x  2)3 (tt7  )dt Đặt ttan x  dt   C  1 C dx Do đó: J  (tan x  2)2 cos x Ví dụ 3.2.5 Tìm nguyên hàm: e 2x J  dx  ex  dx I  x e  2e  x  K  ex  4e x  dx Lời giải e x dx Ta có: I  Đặt t e x  dt e x dx e 2x  3e x  dt dtt 2 e x2   ln  C ln C Suy ra: I  (t  1)(t  2) t t  3t  ex  Đặt t  e x   e x t   e xdx 2tdt (t  2)2tdt  J  2  tt2    tt   (e x  2)3 ex  2      Đặt t   dx  ex  x 4e  (t  4)(4t  1)  dt 1   tt3  2    t  ln t    C      e x   ln  e x      C     e x  30t  t2  4t   e x dx  30t (4t  1)2 dt dt t 2t   t 2dt  K 30  2    dt  ln t   ln 2t   C , 2 2 (t  4)(4t  1)  t  4t   với t  ex  4e x  Ví dụ 4.2.5 Tìm ngun hàm: ln x  I  dx x ln x.dx J  x(1  3ln x  2) ln x  ln x K  dx x Lời giải 87 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả dx x  t3  Suy I (t  1)dtt  C    Đặt t ln x  dt  Đặt t  3ln x   ln x   ln x  ln x     C    t2  dx   tdt x t2  2 tdt  Suy J  3   t   tt  1   dtt t 1 2  tt3    ln(t   1)   C     với t  3ln x  3 Đặt t  ln x   ln x t   Suy I  ln xdx  t dt x 3 3 t dtt C4  (3ln x 2)  C4   8 Ví dụ 5.2.5 Tìm ngun hàm: dx I  2 sin x  3sin 2x  dx J  cos x  sin x  Lời giải Ta có: I  dx dx  2 sin x  3sin x cos x  cos x cos x(2 tan x  tan x  1) Đặt ttan x  dx  dt  t2 dt 1 (2t  1)  2(t  1)  dt 2t  3t   (2t  1)(t  1)   t 1 tan x      C  ln C  dt  ln  t  2t   2t  2 tan x  Ta được: I  Đặt ttan x 2dt 2t  t2  dx  sin x  ,cos x   t2  t2  t2 Suy : cos x  sin x    t  2t   t2 x tan  (t  3)  (t  1) t 3 J     dt  ln  C  ln C x (t  1)(t  3) t t  2t  tan  dt 88 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt sin 2x.cos x I  dx Ví dụ 6.2.5 Tìm nguyên hàm:       tan  x   tan  x   4 4   Lời giải       tan x  tan x   Ta có: tan  x   tan  x    4   tan x  tan x   Suy ra: I  16 sin x.cos x cos xdx Đặt t sin x  dt sin xdx nên ta có: I  16 t (1  t )3 dt 16 t (t  3t  3t  1)dt  tt11 3tt sin x5  sin x 3sin11 x sin9 x 16         C 16   11  11    7 e x dx Ví dụ 7.2.5 Tìm nguyên hàm: I  e x  4e  x    C   (ln x  1)ln x J  dx (ln x  x  1)3 Lời giải Cách 1: với cách đặt t e x bạn đọc làm tương tự e  x dx Cách 2: Xét J  e x  4e  x  e x  4e  x dx dx x  C1 I  4J  x  e  4e  x Ta xét hệ :  e x  4e  x  I  4J  dx ln e x  4e  x  C   x x e  4e  1  2I x  ln e x  4e  x  C1  C hay I  x  ln e x  4e  x  C 2 ln x  ln xdx J  x2 Ta có :  ln x   x  1  x  ln x  ln x  dt  dx Đặt t  x x2  1 tdt   C    dt  Suy J   3 t  2(t  1) (t  1) (t  1)   (t  1)  x2 2(ln x   x)  x C ln x  x  89 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x3  dx Ví dụ 8.2.5 Tìm nguyên hàm: I  x(x  3x  2) dx J  x(x  1)2 Lời giải Đặt t x  I  t 1 t dt   dt  t(t  3t  2) t(t  1)(t  2) t(t  1)  (t  1)(t  2)  2t(t  2) 2 1 Suy I  ln x   ln x  ln x   C dt 1 1     Đặt t x  I   t(t  1)  tt  (t  1)2 t     dt   x6 I  ln  C Suy x6  x6  Ví dụ 9.2.5 Tìm nguyên hàm: I  tan xdx sin x  Lời giải dt Đặt t cos x  dt  sin xdx Suy I   t  t2 dy dt I     2  t 0 (với y  ) y  t 1 t t2 1  I  ln y  y   ln   C 2 cos x cos x  t0 I  t2 dt t2  1 ln   C cos x cos x CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm nguyên hàm: I1 x x  1dx Bài 2: Tìm nguyên hàm: 90 I  x dx  x   10 2010 x  1  I  dx  3x  1 2012 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt    cot x I2  dx  cos x  J  tan xdx K  s in2x.sin 7xdx   4   Bài 9: Tính tích phân: 2 I1 x2  3x  dx    I min 3x ,  x dx  I   x  x  dx 1 Bài 10: Tính tích phân:   I x x  a dx,a  I cos x sin xdx I    sin xdx 0 Bài 11:    Tìm x   0;  thỏa mãn :  2 x  sin f  x  ln  t  dt  Giải bất phương trình f '  x   t sin dt ới f ' x đạo hàm hàm số     x2   x x   3  Tìm x    ;  thỏa  4  cos 2t sin t  cos t dt cos 2x   Bài 12: Tính tích phân: 1x dx x x  1 0,5  J1    4x  2xdx I  dx I1   0,5 J2   x  4 dx K1  x  3x  x3  x2  3x  K  dx x  5x  dx Bài 13: Tính tích phân:  x  1 dx L1  x4  1 dx L  x  4x  dx M1  x  x 1 Bài 14: Tính tích phân: I1   x  dx 2 I 1  x dx I x2  1dx 99 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 5 I  x2  x  dx I5    2x  x 1 1 x I  x  2x  xdx dx Bài 15: Tính tích phân:  I   sin xcox 2 2 M   sin 2xdx dx,  a 0, b 0   a cos x  b sin x   I1 cos x dx  I    cos 2xdx I  0  cos 2x dx Bài 16: Tính tích phân: x2  3x  I1  dx x  3x  I  dx 1x x6  x  x  I  dx x  I4   1 x (1  x2 ) dx Dạng Tính tích phân phương pháp đổi biến số Phương pháp: Phương pháp đổi biến số loại b Giả sử cần tính I f  x  dx ta thực bước sau a   Bước 1: Đặt x u  t  (với u  t  hàm có đạo hàm liên tục  ; , f u  t  xác định  ; u    a, u    b ) xác định  ,      Bước 2: Thay vào ta có: I  f u  t  u'  t  dt g  t  dt G  t     G     G     Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng a a  b2 x ta thường đặt x  sin t b a * Hàm số dấu tích phân chứa b2 x2  a ta thường đặt x  b sin t a * Hàm số dấu tích phân chứa a  b2 x2 ta thường đặt x  tan t b a * Hàm số dấu tích phân chứa x  a  bx  ta thường đặt x  sin t b Phương pháp đổi biến số loại * Hàm số dấu tích phân chứa 100