Chuyên đề số phức đầy đủ bùi trần

MỤC LỤC Page A CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I LÝ THUYẾT II CÁC DẠNG TOÁN VỚI CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 10 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 14 B CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 17 I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 17 II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 19 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC 19 ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 21 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 27 BÀI TỐN TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ PHỨC 28 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 30 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 32 C TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC 35 I LÝ THUYẾT 35 II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH 36 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ GIẢI 40 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 41 D BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC 45 I CÁC BÀI TỐN QUI VỀ BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN 45 II CÁC BÀI TỐN QUI VỀ BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ CÁC BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 49 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 56 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 57 E DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 59 I LÝ THUYẾT 59 II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH 60 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 62 IV MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC 63 V BÀI TẬP RÈN LUYỆN 66 F LUYỆN TẬP 68 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word A.CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA  + Một số phức biểu thức dạng z a  bi với a, b   i  ,  i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z a  bi + Tập hợp số phức kí hiệu    a  bi / a, b  ; i     + Chú ý: - Khi phần ảo số thực - Khi phần thực a 0  z bi  z số ảo - Số 0  0i vừa số thực, vừa số ảo  a c với a, b, c, d    + Hai số phức nhau: a  bi c  di   b  d   + Hai số phức z1 a  bi; z2  a  bi gọi hai số phức đối SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp z a  bi với a, b   a  bi kí hiệu z Rõ ràng z z Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z 1  2i số phức z 1  2i Số phức liên hợp số phức z 5  3i số phức z 5  3i BIỂU DIỄN HÌNH HỌC Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z a  bi với a, b   biểu diễn điểm M  a; b  Ví dụ:  A  1;   biểu diễn số phức z1 1  2i  B  0;3 biểu diễn số phức z2 3i  C   3;1 biểu diễn số phức z3   i  D  1;2  biểu diễn số phức z4 1  2i http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC  Môđun số phức z a  bi  a, b    z  a2  b  Như vậy, môđun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức z a  bi  a, b    đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức là:  OM  a  b2  zz CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC Cho hai số phức ; z ' a ' b ' i với a,b,a',b'   số k    + Tổng hai số phức: z  z ' a  a ' (b  b ')i  + Hiệu hai số phức: z  z ' a  a ' (b  b ')i  + Số đối số phức z a  bi  z  a  bi     + Nếu u, u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z, z '    u  u ' biểu diễn số phức z  z '    u  u ' biểu diễn số phức z  z '  + Nhân hai số phức: z.z '  a  bi   a ' b ' i   a.a ' b.b '    a.b ' a '.b  i  + Chia số phức: 1 - + Số phức nghịch đảo: z  z z z ' z '.z - Nếu z 0 z  , nghĩa muốn chia số phức z ' cho số phức z 0 z ta nhân tử mẫu thương z' cho z z  + Chú ý: i k 1; i k 1 i; i k 2  1; i k 3  i (k  ) II CÁC DẠNG TOÁN VỚI CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT + Bước 1: Gọi số phức z cần tìm z a  bi  a, b    + Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước đề (thường liên quan đến mơđun, biểu thức có chứa z, z, z , ) để đưa phương trình hệ phương trình ẩn theo a b nhờ tính chất số phức ( phần thực phần ảo ), từ suy a b suy số phức z cần tìm MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Bài tốn 1: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính mơđun số phức z: a) z   4i   2i   3i  b) z   4i    2i    5i i Giải: a) z   4i   2i   3i  2  4i  2i  6i 2  6i  8  6i  Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z 8  6i Môđun z   10 2  5i i   5i    i  b) z   4i    2i   10  i  20 i  8i  18  16i   93 94  i 5  14i  5  Phần thực: 93 ; 22  12 Phần ảo: Số phức liên hợp: z  94 ; 93 94  i 5 Môđun 2  93   94  17485 z           Bài toán 2: Cho số phức z 3  2i Tìm môđun số phức w zi  z   2i  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Giải: w zi  z   2i  (3  2i)i  (3  2i)(1  2i) 3i    6i  2i  5  7i Vậy w  52  72  74 Bài tốn 3: Tìm x , y   để số phức z1 9 y   10 xi z2 8y  20i11 liên hợp nhau? Giải: Ta có: z1 9 y   10 xi 9 y   10 xi z2 8y  20i11 8y  20i Vì z1 , z2 liên hợp nên:  y  8y   10 x  ( 20)  x   x   hoaëc   y 2  y  Vậy số phức z cần tìm là: z   2i z   2i Bài toán 4: Gọi M, N hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 mặt phẳng phức Mệnh đề sau đúng?    A z1  z2  OM  ON B z1  z2  MN     C z1  z2  OM  MN D z1  z2  OM  MN Giải: M, N hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 mặt phẳng phức   nên OM biểu diễn số phức z1 , ON biểu diễn số phức z2     OM  ON NM biểu diễn số phức z1  z2    z1  z2  NM  MN Chọn B http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài tốn 5: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau:    i     i     i      i  20 Giải: P 1    i     i      i  20 1  i  21 1 i 20 10    i     i   2i    i   210   i    10  1  i   P  210  210  i i Vậy phần thực  210 phần ảo 210  1  i 21   Bài tốn 6: Tính S 1009  i  2i  3i   2017i 2017 A S 2017  1009i B 1009  2017i C 2017  1009i D 1008  1009i Giải: Cách 1: Ta có S 1009  i  2i  3i  4i   2017i 2017     1009  4i  8i   2016i 2016  i  5i  9i   2017i 2017      2i  6i  10i10   2014i 2014  3i  7i  11i11   2015i 2015 504 505 1009    4n   i   4n  3  n 1 n 1 504 504   4n    i  4n  1 n 1 n 1 1009  509040  509545i  508032  508536i 2017  1009i Cách 2: 2017 Đặt f  x  1  x  x  x   x f  x  1  x  3x   2017 x 2016 xf  x  x  x  3x   2017 x 2017  1 Mặt khác: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  x 2018  f  x  1  x  x  x   x  x 2018 x 2017  x  1   x 2018   f  x    x  1  xf  x  x 2017 2018 x 2017  x  1   x 2018  1  x  1 Thay x i vào  1   ta được: 2018i 2017  i  1   i 2018  1 S 1009  i  i  1 1009  i  2  2018  2018i  2017  1009i  2i Bài tốn 6: Tìm số z cho: z  (2  i)z 3  5i (A,A1  2014) Giải: Gọi số phức z cần tìm z a  bi  a, b    Ta có: z  (2  i)z 3  5i  a  bi  (2  i)(a  bi) 3  5i  a  bi  2a  2bi   bi 3  5i  3a  b  (a b)i 3  5i 3a  b 3  a 2    a  b 5 b  Vậy z 2  3i Bài tốn 7: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: z  (2  i)  10 z.z 25 Giải: Gọi số phức cần tìm z a  bi  a, b    Ta có: z.z  z a2  b2 25 (1) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word L¹i cã: z  (2  i )  10  a   ( b  1)i  10  (a  2)2  ( b  1)2  10  (a  2)2  ( b  1)2 10  a2  b2  4a  2b  10 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 25  4a  2b  10  b  2a  10 Nªn a2  b 25  a2  ( 2a  10)2 25  a 5  5a2  40a  75 0     a 3 Vậy z 5 z 3  4i  b 0  b 4  Bài tốn 8: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z   2i  z   4i z  2i z i số ảo Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R ) Theo ta có x    y  2 i  x     y  i 2 2   x  1   y    x  3   y    y x  Số phức w  z  2i z i  x   y  2 i x  1  y i  x   y    y  1  x  y  3 i x   y  1  x   y    y  1 0    w số ảo  x   y  1    y x  12 23  i Vậy z  7  12  x    y  23  Nhận xét: Trong tốn tìm thuộc tính số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, K z (tất z) z tốn giải phương trình http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word bậc (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn z z Còn chứa hai loại trở lên (z, z , z ) ta gọi z a  bi  a, b    Từ sử dụng phép tốn số phức để đưa hai số phức để giải III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Để thực phép toán tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX cách bấm w2  Bấm đơn vị ảo i cách bấm phím b  Tính mơđun số phức bấm qc  Để bấm số phức liên hợp z bấm q22để Conjg (liên hợp) Sau tốn điển hình cho dạng tính tốn số phức PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA: Bài tốn 1: Tính z 1  i  (3  2i) Hướng dẫn: Ta bấm phím sau: 1+bp(3+2b) Và ta kết là: Bài tốn 2: Tính z (1  3i)(  4i) Hướng dẫn: Ta bấm phím tương tự ta thu kết sau: Bài tốn 3: Tính z (  i)  3i  7i Hướng dẫn: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word