[CASIO] Chuyen de so phuc - Bui The Viet (1)(1)

Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute BÙI THẾ VIỆT Bùi Thế Việt CHUYÊN ĐỀ CASIO SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ A – Giới Thiệu : Như biết, số phức kỳ thi THPT Quốc Gia dạng “cho điểm” thơng thường dễ dàng thỏa mái làm Tuy nhiên, thay hiểu số phức theo quy tắc, định nghĩa, thử tìm hiểu thơng qua tốn khó thiết thực Trong chun đề này, tơi giới thiệu cho bạn đọc vấn đề sau :     Argument ứng dụng tính n a  bi CASIO Phương pháp Newton – Rapshon ứng dụng tìm nghiệm phức CASIO Thủ thuật CASIO tìm nhân tử chứa nghiệm phức Các vấn đề nâng cao B – Ý Tưởng : Trên máy tính CASIO hay VINACAL, mơi trường số phức (MODE – CMPLX), nhập  i vào chẳng hạn, máy tính báo Math Error chúng khơng có thuật tốn chung để tính  i Đây rào cản phải khai số phức : giải toán thủ thuật phần sau Tuy nhiên, máy tính khơng có thuật tốn thử tự xây dựng thuật tốn cho Ở THPT, học kiến thức số phức, bao gồm :  Số phức có dạng z  a  bi với a,b   Số phức liên hợp (complex conjugate) z  a  bi  zz  z  a  b với z  a  b modulus z  Argument góc tạo vecto  a, b  với trục thực  Định lý Euler : z  r  cos   i sin    re i  r với r  z   arg  z  đơn vị ảo i  1 z1  r1  cos 1  i sin 1  Định lý Moivre : Đặt  Khi : z  r cos   i sin     2 2  z1 r1  z  r cos  1  2   i sin  1  2   z z  r r cos       i sin      2  12 Ngồi ra, máy tính CASIO, có sẵn số hàm để tính toán số phức     BÙI THẾ VIỆT  Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute r  m  Pol (polar) Ta ln có Pol  a, b    với a  bi  mn   n r  3.605551275  Ví dụ Pol  2,3      0.982793723 BÙI THẾ VIỆT  x  m Rec (rectangular) Ta ln có Re c  a,b    với ab  m  ni y  n x  0.989992496  Ví dụ Re c 1,3     y  0.141120008  Arg (argument) Ta ln có Arg  a  bi   arctan   Conjg (conjugate) Ta ln có Conjg  a  bi   a  bi b a  Ví dụ Arg   i    Ví dụ Conjg   8i    8i Từ kiến thức học hàm có sẵn trên, bạn đọc tự tạo thuật tốn tính n a  bi ? C – Nội Dung : Phần : Argument ứng dụng tính Ta có cơng thức tính n n zn n a  bi CASIO z với z  a  bi sau : arg  z   2k z với k  0,1,2, ,n 1 n Chứng minh : Đặt z  r  cos   i sin   Khi đó, theo định lý Moivre, ta có : arg  z   2k    2k   2k  n   2k n z  z1/ n  n r  cos  i sin  r  z  n n  n n  Điều phải chứng minh Ứng dụng : n Ví dụ : Tính  11  60i  Bước : Vào MODE – CMPLX arg 11  60i  Bước : Nhập 11  60i  Bước : Ấn “=”, máy  5i  Bước : Sửa biểu thức thành  Bước : Ấn “=”, máy 6  5i  Kết luận : 11  60i  arg  11  60i   2 11  60i   5i 6  5i Ví dụ : Tính BÙI THẾ VIỆT 13  2i Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute  Bước : Vào MODE – CMPLX arg  13  2i   2 arg  13  2i   Bước : Lần lượt tính 13  2i  13  2i  2  Bước : Ta 3.6161406  0.27653791i 3.6161406  0.27653791i BÙI THẾ VIỆT Kết luận : 13  2i  3.6161406  0.27653791i 3.6161406  0.27653791i Ví dụ : Tính 316  12i  Bước : Vào MODE – CMPLX  Bước : Lần lượt tính ta có : arg  316  12i   316  12i   3.162186543  0.02400553317i arg  316  12i   2  0.9543387625  3.014836235i  316  12i  arg  316  12i   4  2.572372751  1.839265731i  316  12i  arg  316  12i   6  2.544152555  1.878107499i  316  12i  arg  316  12i   8   3i  316  12i  Kết luận : 316  12i có giá trị Nhận xét : Bạn đọc hiểu máy tính CASIO hay VINACAL lại khơng cho phép tính trực tiếp tính khơng nhận hết Còn việc n n a  bi Đơn giản cho q nhiều giá trị, máy a  bi lại có tới n giá trị ? Giống việc giải phương trình bậc n vậy, ta ln có n nghiệm thực, phức, bội Do đó, trị n a  bi có tối đa n giá Phần : Phương pháp Newton – Rapshon ứng dụng tìm nghiệm phức CASIO Newton có phương pháp tính gần nghiệm phương trình phương pháp lặp : Xét phương trình f  x   cho trước x số Xét chuỗi : xn 1  xn  f  xn  f '  xn  Khi lim x n  k f  k   , tức x  k nghiệm phương trình f  x   n  Ứng dụng : Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình sau với x  : x5  x   Hướng dẫn Ta có :  Bước : Xét f  x   x  x   f '  x   5x  BÙI THẾ VIỆT Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute X  X 1  Bước : Nhập biểu thức X  , CALC cho X = 5X  X5  X   Bước : Ấn Shift + STO + X, máy báo, máy X   X kết 5X   Bước : Ấn “=” liên tiếp đến kết số khơng đổi Kết nghiệm phương trình ban đầu BÙI THẾ VIỆT Lần ấn “=” X 1.25 1.178459394 1.167537389 1.167304083 1.167303978 1.167303978 1.167303978 Kết luận : Phương trình tồn nghiệm x = 1.167303978 Nhận xét : Ở đây, x  mà chọn tùy ý Bạn đọc cho x0  2, 3,4,10, 100, thỏa mãn f  x0   Khi thuật tốn tìm nghiệm (nếu có) cho bạn đọc Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình sau với x  10 : 4x   2x  6x   Hướng dẫn Ta có :  Bước : Xét f  x   4x   2x  6x   f '  x    Bước : Nhập biểu thức X    4x   4x  4X   2X  6X  , CALC cho X =  4X  4X  Bước : Ấn Shift + STO + X, máy báo, máy : 4X   2X  6X  X X  4X  4X  Kết 5.634113507 Bước : Ấn “=” liên tiếp đến kết số khơng đổi Kết nghiệm phương trình ban đầu Lần ấn “=” BÙI THẾ VIỆT X 5.634113507 3.408338472 Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute 2.239017587 1.587443334 1.260543075 1.281037023 1.291820315 1.292885597 1.292893218 10 1.292893219 11 1.292893219 12 1.292893219 BÙI THẾ VIỆT Kết luận : Phương trình tồn nghiệm x = 1.292893219 Nhận xét : Để tìm hết nghiệm, phải xét x khoảng khác Đây ngun lý tìm nghiệm CASIO, mà ln hỏi người dùng nhập số x ban đầu để bắt đầu tìm nghiệm Việc tìm nghiệm thực, để máy tính lo, cịn nghiệm phức, máy tính khơng tìm được, có cách để tìm khơng ? Liệu phương pháp Newton – Raphson tìm nghiệm phức ? Câu trả lời có, nhiên để tìm nghiệm phức, phải vào MODE (COMPLEX) cho x số phức Thơng thường, cho x  i Lưu ý : Trong MODE 2, số máy (ví dụ VINACAL) khơng tính xn n  Do đó, tách thành số mũ bé Ví dụ X4  X2  X2 Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình sau : 4x  2x  6x  x   Hướng dẫn Ta có :  Bước : Xét f  x   2x  3x  x   f '  x   16x  6x  12x   Bước : Đi tìm nghiệm thực : CALC cho X = , thực phép gán X  Lần ấn “=” 4X  2X  6X  X  X 16X  6X  12X  X 2.170825336 1.533078004 1.029755652 0.603099921 0.138097911 -3.52775482 -2.61448093 Dãy x n  khơng hội tụ, phương trình khơng có nghiệm thực BÙI THẾ VIỆT Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute  Bước : Đi tìm nghiệm phức : 4X  2X  6X  X  CALC cho X = i , thực phép gán X  X 16X  6X  12X  4X X  2X  6X  X  X   X (với máy bị Math Error) 16X  6X  12X  BÙI THẾ VIỆT Lần ấn “=” X -0.07692307692 + 0.6153846154i 0.3947611463 + 0.6853073845i 0.2751731213 + 0.6574123265i 0.2505879727 + 0.6608187591i 0.24999949 + 0.6614369973i 0.25 + 0.6614378278i 0.25 + 0.6614378278i 0.25 + 0.6614378278i Kết luận : Phương trình tồn nghiệm x = 0.25 + 0.6614378278i   Nhận xét : Có vơ đặc biệt nhân tử bậc hai ax  bx  c Nghiệm phức ln có dạng m  n pi Bạn đọc máy biểu thức sau :  1 X     2  1 Máy kết  X     Đây sở cho việc tìm nhân tử chứa 4 16  nghiệm phức : Phần : Thủ thuật CASIO tìm nhân tử chứa nghiệm phức Sẽ khơng có cơng thức tổng quát tìm nhân tử bậc cao (lớn 2) cho loại nghiệm phức, nhiên, với nhân tử bậc điều dễ dàng chúng có nghiệm dạng m  n pi Ví dụ phương trình 4x  2x  6x  x   trên, chúng 1 7  i Vì vậy, i Tất nhiên chúng có nghiệm  4 4 phương pháp tìm nhân tử chứa nghiệm phức : ta tìm nghiệm  Tìm nghiệm dạng x  m  n pi  Khử i cách lấy  x  m   n p   Rút gọn biểu thức Ví dụ : Giải phương trình : 4x  12x  21x  18x   Hướng dẫn Ta có : BÙI THẾ VIỆT Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute  Bước : Xét f  x   4x  12x  21x  18x   f '  x   16x  36x  42x  18 BÙI THẾ VIỆT  Bước : Tìm nghiệm với x  i , ta : x  0.75  0.96824583i  Bước : Khử i ta :   3 15  x     16  2x  3x     Bước : Sử dụng thủ thuật chia biểu thức : 4x  12x  21x  18x   2x  3x  2x  3x   Kết luận : 4x  12x  21x  18x   2x  3x   Ví dụ : Giải phương trình : 3x  2x  3x   Hướng dẫn Ta có :  Bước : Xét f  x   3x  2x  3x   f '  x   12x  6x   Bước : Tìm nghiệm với x  i , ta : x  0.5  0.866025403i  Bước : Khử i ta :  1  x      x x      Bước : Chia biểu thức : 3x  2x  3x   3x  x  x2  x  Kết luận : 3x  2x  3x   3x  x  x  x     Nhận xét : Vậy nhờ CASIO phương pháp Newton-Rapshon, tìm nghiệm phức mà khơng cần phải tìm nghiệm thực trước Tuy nhiên, tốt hết tìm nghiệm thực đã, nghiệm phức kiểm tra sau Ví dụ : Giải phương trình :  x  10x  5x   x  7x   x  2x   Hướng dẫn Sử dụng CASIO phương pháp đổi dấu trước căn, tìm nghiệm thực  3   x  2x   2x  Tức là, phân tích nhân tử phương trình ban đầu thành : phương trình x      x  2x   2x  x  2x    x   x  2x     Vấn đề lại chiến đấu với nhân tử x  2x    x   x  2x  BÙI THẾ VIỆT Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute Như thủ thuật S.O.S chứng minh vô nghiệm, đánh sau : BÙI THẾ VIỆT Nếu x   : x  2x    x   x  2x    Nếu x     x  2x   x   6x   nên : x  2x   x   1 9x  x2  2x    x   x  2x   x  2x    x    x     0 2  Tuy nhiên, trước nghĩ tới phương pháp đánh trên, bạn đọc thử nghĩ xem,   liệu x  2x    x   x  2x  cịn phân tích nhân tử hay khơng ? Tất nhiên vơ nghiệm, tìm nhân tử chứa nghiệm phức : 2x  6x  2  Xét f  x   x  2x    x   x  2x   f '  x   2x   x  2x  x  2x  x số phức Hơn nữa, Tuy nhiên, máy tính CASIO khơng tính biểu thức nhập vào dài bị tràn hình Thay tìm nghiệm x  2x    x   x  2x   , khử thức tìm nghiệm : x  2x    x   x  2x       x  2x    x   x  2x   2    2 2x  1 3x  6x   Rất may cho chúng ta, chưa kịp dọa nghiệm phức ngun hình Hóa đổi dấu, chứa nghiệm x   nên phương trình ban đầu có nhân tử  x  2x   x  Chia biểu thức, :  x3  10x  5x   x  7x    x2  2x   2x     x  2x   x  2x   x    x  2x   2x   Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Nhận xét : Bài toán coi trường hợp đặc biệt Vậy sảy trường hợp đổi dấu khơng có nghiệm đẹp ? Lúc tìm nghiệm phức Và tất nhiên, chuẩn bị đối mặt với vấn đề hình tràn … Ví dụ : Giải phương trình :  7x  7x  8x  12  11x  4x   x2  Hướng dẫn BÙI THẾ VIỆT Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute Đầu tiên, xem phương trình có nghiệm : BÙI THẾ VIỆT 1   x  có nghiệm x    x   có nghiệm x   7x  7x  8x  12  11x  4x   7x  7x  8x  12  11x  4x  1 Vậy tốn có nhân tử chứa nghiệm thực : 2 x2   x  Khi :   7x  7x  8x  12  11x  4x     x2    5x  4x   x   x  2 x   x   Quan trọng đánh giá 5x  4x   x   x   vô nghiệm Thật vậy, sử dụng thủ thuật S.O.S ta : 2  x  15  12  5x  4x   x   x   4 x       x    x     16    Tuy nhiên, nói trên, trước nghĩ tới hướng này, thử tìm xem phương trình 5x  4x   x   x   có nghiệm phức hay khơng Cách đơn giản tìm nghiệm phức phương trình sau khử thức : 5x  4x   x   x     5x  4x    x  3  x 2 2   24x  46x  9x  12x  18  Sử dụng thủ thuật tìm nghiệm phức CASIO, phân tích nhân tử    thành : 24x  46x  9x  12x  18  3x  8x  8x  6x  Các nhân tử có 3  15i  2i ; Điều chứng tỏ phương trình ban đầu phân tích nhân tử theo nghiệm phức nghiệm phức x  Giả sử cần tìm nhân tử Sử dụng thủ thuật tính Vậy   x   ax  b chứa nghiệm x  3  15i n z CASIO, ta : arg x  15 2 x 2  x 2  0.125  1.4523687i   i 8 15 x2    i  3x   x   3x  8    Tương tự, ta tìm nhân tử cịn lại Kết luận :    7x3  7x2  8x  12  11x  4x    x2   2x    x   2x   x2    x   3x  x   x   Lưu ý : BÙI THẾ VIỆT Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute Khơng phải phương trình vơ tỷ có nghiệm phức Vẫn có trường hợp PTVT vơ nghiệm mà khơng có nghiệm phức ln Ví dụ : BÙI THẾ VIỆT 3x  x2 1 Bạn thấy nghiệm phức phương trình vịng lặp NewtonRapshon khơng hội tụ Vậy liệu tìm nhân tử dạng PTVT khơng ? Câu trả lời có Chính xác sau : Xét trường hợp PTVT chắn có nhân tử     f  x   a g  x   b f  x   ax  b Để tìm nhân tử :    Nếu PTVT có nghiệm thực dễ dàng tìm nhân tử Nếu PTVT có nghiệm phức tương tự trên, ta tìm nhân tử Nếu PTVT khơng có nghiệm thực phức, chắn phương trình sau đổi dấu có nghiệm thực phức Chúng ta dựa vào nghiệm để tìm nhân tử sau đổi dấu Ví dụ  x  x    phương trình đổi dấu sau có nghiệm : 47  25   x  x    có nghiệm x   2  x  x    có nghiệm x  47  25   Vậy cần đổi dấu, tìm nhân tử  x  x   khơng có nghiệm thực phức Ví dụ : Giải phương trình : 13x    13x   x    14x  12  x   14 x  x   Hướng dẫn Phương trình có nghiệm x  phương trình có nhân tử  32  10 Đổi dấu chứng minh  x   x   Ta : 13x   13x   x   14x  12  x   14 x  x       x   x   5x   x   x   x  x   Bây đánh giá 5x   x   x   x  x  có lẽ khó khăn Ta có : 5x   x   x   x  x   5x   x   x   x  x   x 1 x 1  Bài toán giải Tuy nhiên, thử xem liệu 5x   x   x   x  x  có phân tích nhân tử không ? Xét f  x   5x   x   x   x  x  BÙI THẾ VIỆT Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio 10 Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute BÙI THẾ VIỆT Khi f '  x    x 1 1  x2 2 x2 x1 Nếu viết biểu thức sau bị tràn x 5x   x   arg  x   5 arg  x  1  x  1 x  1 arg  x  1 x  2 1 arg  x     x  x  1 x  2 arg  x   x  1  arg  x   x  1  2 arg  x  1 2 Do đó, để viết gọn lại tính gán vào biểu thức Cụ thể, ấn sau : (lưu ý biểu thức này, “ : ” dấu chấm phím Alpha, cịn “ / “ phép chia bình phường) arg  x   arg  x  1 5x   2A  4B  4AB x2  A : x  1  B : x x 2   2B  1 / A   2A   / B Ấn “=” liên tiếp để tính giá trị biểu thức Ta thấy vịng khơng hội tụ mà x đổi dấu liên tục Do phương trình 5x   x   x   x  x   khơng có nghiệm phức Tiếp tục đổi dấu trước x  , cần sửa biểu thức lại thành : arg  x   arg  x  1 5x   2A  4B  4AB  x2   A : x  1  B : x x 2   2B  1 / A   2A   / B  Dãy đổi dấu liên tục Tiếp tục đổi dấu trước x  x  : arg  x   arg  x  1 5x   2A  4B  4AB  x2   A: x1   B : x x 2   2B  1 / A   2A   / B   13  i 9  2 i  x1   13  3  x2 2 x1 1 Vậy x    i 9  x2   i  3 Trả lại dấu cho căn, ta nhân tử phương trình ban đầu : Dãy hội tụ    x2 2 x1 1   Chia biểu thức, ta : 5x   x   x   x  x  2 Kết luận : x1  x2 1   x1  x2 1 13x   13x   x   14x  12  x   14 x  x    BÙI THẾ VIỆT    x1 2 x2 1 x1  x2 1  Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio 11 Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute Phần : Các vấn đề nâng cao BÙI THẾ VIỆT Nghiệm phức cịn dùng để tìm nhân tử kép tốn Ví dụ : Giải phương trình : x  2x   2x  x   Hướng dẫn Phương trình có nghiệm thực x  Tuy nhiên    1 Vậy có nhân tử : 2x  x   x   2x  x   x  chứa nghiệm x  1 Nghiệm không thỏa mãn phương trình ban đầu nên nhân tử khơng ổn cho Nếu bạn đọc muốn lấy x  2x   2x  x  2x  x   x  chắn phải nhân thêm  x  1 Sẽ cồng kềnh phần cịn lại chứng minh vơ nghiệm khó Tuy nhiên, khử nghiệm cách đẩy nhân tử lên cao hơn, tức :   2x  x   x   k x  x   Nếu biết thêm nghiệm khác tốn tìm k biểu thức 1 nên tìm thử nghiệm phức xem Sử dụng thuật toán trên, nghiệm : vô đẹp Vì phương trình có nghiệm thực x  x Khi đó, vào nhân tử ta :  i 2   2x  x   x   k x  x   2  2k  k  1 Vậy nhân tử :  2x  x   x   Chia biểu thức, : x4  2x   2x  x      2x3  x2   x   2x  x   x  Bài toán giải Ví dụ : Giải phương trình :  5x  5x  10  x    2x   x   x  13x  6x  32 Hướng dẫn Để có lời giải ngắn gọn dây, quan trọng tìm nhân tử  x7 2  BÙI THẾ VIỆT Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio 12 Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com/viet.alexander.7 Youtube.com/nthoangcute Ta có : BÙI THẾ VIỆT  5x   x  5x  10  2 x x7 2  11 Ta ln có :  11    x    2x   x   x  13x  6x  32  x 7  x  1  x   x2   x   x2      x   x  x   x  3x   x   x  x   x  3x  2   31  x  x   x  3x   x   x  3x    x    0 2  Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc     Nhận xét : Nhân tử khó chỗ nghiệm   x   khơng thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phải tìm nghiệm phương trình ban đầu mơi trường số phức Tuy nhiên biểu thức cồng kềnh đạo hàm vô tốn thời gian Do ta cần cách làm nhanh gọn Để ý : z  zi Vì vậy, ta đổi dấu để lấy nghiệm thực mà khơng thỏa mãn ĐKXĐ Đó lý cách làm lấy nghiệm x  3 Tuy nhiên, máy móc Chỉ cần tinh ý chúng x   2x   nên chúng tha thử ta hiểu vấn đề Hệ số trước xem x  3 có thỏa mãn phần cịn lại hay không  Giả sử 5x  5x  10 có nhân tử      x   x  13x  6x  32 thỏa mãn x  3 chắn x   , 2x   phương trình ban đầu có nhân tử    x7 2   x   Vì nên x7 2 D – Kết Luận : Thực làm việc với nghiệm phức vấn đề khó đơi gặp phải rủi ro tốn chưa cho nghiệm phức dạng m  n pi Nghiệm phức chủ yếu để giải phần lại phương trình vơ tỷ lưu ý rằng, phần cịn lại vơ nghiệm chắn sử dụng đánh giá BĐT để giải tốn khơng thiết phải tìm nhân tử chứa nghiệm phức BÙI THẾ VIỆT Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio 13 ... facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com /viet. alexander.7 Youtube.com/nthoangcute  Bước : Vào MODE – CMPLX arg  13  2i   2 arg  13  2i   Bước : Lần lượt tính... phương pháp Newton – Raphson cịn tìm nghiệm phức ? Câu trả lời có, nhiên để tìm nghiệm phức, phải vào MODE (COMPLEX) cho x số phức Thơng thường, cho x  i Lưu ý : Trong MODE 2, số máy (ví dụ VINACAL)... Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Facebbook.com /viet. alexander.7 Youtube.com/nthoangcute X  X 1  Bước : Nhập biểu thức X  , CALC cho X = 5X  X5