1 CHUYÊN ĐỀ 14 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Trường hợp bằng nhau cạnh góc cạnh Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc[.]
CHUYÊN ĐỀ 14 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT Trường hợp nhau: cạnh - góc - cạnh Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác Xét ABC ABC có: B AB = AB A = A ABC = ABC (c.g.c) AC = AC B' A I C' A' Trường hợp nhau: cạnh - góc - cạnh Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Xét ABC ABC có: B B = B AB = AB ABC = ABC (g.c.g) A = A B' A C C' A' PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Tìm chứng minh hai tam giác I Phương pháp giải: + Xét hai tam giác + Kiểm tra ba điều kiện cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc + Kết luận hai tam giác II Bài toán Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? A M N E B C Q D Lời giải: P Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có hai tam giác nhau? Vì sao? A E D F B H C G Lời giải: Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có hai tam giác nhau? Vì sao? E B G K H Q P L N M GH // QP Lời giải: A C D F Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? M N 2 P Q O Lời giải: Bài MĐ2 Nêu thêm điều kiện để hình hai tam giác theo trường hợp cạnh - góc - cạnh A P Q F E I B D G H M C Lời giải: N Bài MĐ2 Nêu thêm điều kiện để hình hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh - góc M A E O B C D N P Lời giải: Bài MĐ2 Qua trung điểm I đoạn thẳng AB , kẻ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng vng góc lấy hai điểm C D Nối CA, CB, DA, DB Tìm cặp tam giác Lời giải: Bài MĐ2 Cho tam giác ABC , kẻ AH vng góc với BC , ( H BC ) Trên tia đối tia HA lấy điểm K cho HK = HA , nối KB, KC Tìm cặp tam giác Lời giải: Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ABM = ACM A B M C Lời giải: Bài 10 MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ABM = ACM A B M C Lời giải: Bài 11 MĐ2 Cho Oz tia phân giác góc xOy Trên tia Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C (khác O ) cho OA = OB Chứng minh OAC = OBC Lời giải: Bài 12 MĐ3 Cho góc xOy khác góc bẹt Trên cạnh Ox lấy hai điểm A B , cạnh Oy lấy hai điểm C D , cho OA = OC; OB = OD a) Chứng minh OAD = OCB b) Chứng minh ACD = CAB Lời giải: Bài 13 MĐ3 Cho ABC vuông A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC a) Chứng minh ABC = ABD b) Trên tia đối tia AB lấy điểm M Chứng minh MBD = MBC Lời giải: Bài 14 MĐ3 Cho hình vẽ sau, AB // CD , AB = CD Chứng minh rằng: a) OAB = ODC b) OAC = ODB Lời giải: Bài 15 CĐ4 Cho góc nhọn xOy có tia Oz tia phân giác Qua điểm A thuộc tia Ox , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt Oz M Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy B a) Chứng minh OAM = MBO b) Từ M vẽ MH ⊥ Ox ; MK ⊥ Oy Chứng minh MHO = MKO Lời giải: Bài 16 MĐ4 Cho tam giác ABC có A = 90 AB = AC Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = AE Qua A D kẻ đường vng góc với BE cắt BC M N Tia ND cắt tia CA I Chứng minh rằng: a) AID = ABE b) Chứng minh CM = MN Lời giải: Bài 17 MĐ4 Cho ABC , kẻ BD vng góc với AC , CE vng góc với AB Trên tia đối tia BD , lấy điểm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AH = AK Lời giải: Dạng Sử dụng trường hợp tam giác để chứng minh tính chất khác I Phương pháp giải: + Chọn hai tam giác có cạnh (góc) hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh + Chứng minh hai tam giác theo hai trường hợp cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc suy hai cạnh (góc) tương ứng nhau.Kiểm tra ba điều kiện cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc + Kết hợp với tính chất học tia phân giác, đường thẳng song song, đường trung trực, tổng ba góc tam giác, để chứng minh tính chất khác II Bài toán Bài MĐ1 Cho tam giác ABC có AB = AC , tia phân giác góc A cắt BC M Chứng minh: BM = CM Lời giải: 10 ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tìm chứng minh hai tam giác Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? M D A C B F E P N Lời giải: Bài MĐ1 Trên hình 1, hình 2, hình có tam giác nhau? Vì sao? A C E A S O F K B B G Hình Hình Lời giải: 22 D C H Hình Bài MĐ1 Cho hình vẽ, chứng minh ABC = MNP A M 45° 70° B 70° N C 65° P Lời giải: Bài MĐ2 Cho ABC = MNP Gọi AD đường phân giác góc A tam giác ABC Gọi ME đường phân giác góc M tam giác MNP Chứng ABD = MNE Lời giải: Bài MĐ3 Cho góc xAy Lấy điểm B Ax , điểm D Ay cho AB = AD Trên tia Bx lấy điểm E , tia Dy lấy điểm C cho BE = DC Chứng minh ABC = ADE 23 x E B A D C y Lời giải: Bài MĐ4 Cho ABC có D trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tia Bx // AC , Bx cắt tia AD E a) Chứng minh ADC = EDB b) Trên tia đối tia AC , lấy điểm F cho AF = AC Gọi I giao điểm AB EF Chứng minh AIF = BIE Lời giải: 24 Dạng Sử dụng trường hợp tam giác để chứng minh tính chất khác Bài MĐ1 Cho ABC có AB = AC Gọi M , N trung điểm cạnh AC , AB Chứng minh : BM = CN Lời giải: Bài Cho ABC có AB = AC , phân giác AM ( M BC ) Chứng minh: a) M trung điểm BC b) AM ⊥ BC Lời giải: 25 Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có : AB = AC M trung điểm BC a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Chứng minh AM ⊥ BC c) Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB cắt tia AM N Chứng minh M trung điểm AN Lời giải: 26 Bài MĐ2 Cho ABC , có B = C AB = AC Tia phân giác góc B cắt AC D Tia phân giác góc C cắt AB E a) So sánh độ dài đoạn thẳng BD CE b) Gọi I giao điểm BD EC Chứng minh BI = IC , IE = ID Lời giải: 27 Bài MĐ3 Cho ABC có AB = AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ tia Bx , Cy cắt hai cạnh AC , AB D, E cho ABD = ACE a) Chứng minh AD = AE b) Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh EBI = DCI c) Chứng minh AI ⊥ BC Lời giải: 28 Bài MĐ4 Cho tam giác ABC có M N trung điểm cạnh AB AC Trên tia đối tia NB lấy điểm D cho ND = NB Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MC Chứng minh : a) AD = BC b) AE // BC c) A trung điểm DE Lời giải: Bài MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AM ⊥ AB ; AM = AB cho M C khác phía đường thẳng AB Vẽ đoạn thẳng AN ⊥ AC AN = AC cho N B khác phía đường thẳng AC Gọi I , K trung điểm BN CM Chứng minh : a) AMC = ABN b) MC = BN MC ⊥ BN c) AI = AK AI ⊥ AK Lời giải: 29 30 PHIẾU BÀI TẬP Dạng Tìm chứng minh hai tam giác I Phương pháp giải: + Xét hai tam giác + Kiểm tra ba điều kiện cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc + Kết luận hai tam giác II Bài toán Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? A M N E C B Q P D Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? A E D F B H C G Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có hai tam giác nhau? Vì sao? E B G K H Q L N P A M C D F GH // QP Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? M N 2 P O Q Bài MĐ2 Nêu thêm điều kiện để hình hai tam giác theo trường hợp cạnh - góc - cạnh 31 A P Q F E I B D G H M N C Bài MĐ2 Nêu thêm điều kiện để hình hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh - góc M A E O B D C N P Bài MĐ2 Qua trung điểm I đoạn thẳng AB , kẻ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng vng góc lấy hai điểm C D Nối CA, CB, DA, DB Tìm cặp tam giác Bài MĐ2 Cho tam giác ABC , kẻ AH vng góc với BC , ( H BC ) Trên tia đối tia HA lấy điểm K cho HK = HA , nối KB, KC KB, KC Tìm cặp tam giác Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ABM = ACM Bài 10 MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ABM = ACM Bài 11 MĐ2 Cho Oz tia phân giác góc xOy Trên tia Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C (khác O ) cho OA = OB Chứng minh OAC = OBC Bài 12 MĐ3 Cho góc xOy khác góc bẹt Trên cạnh Ox lấy hai điểm A B , cạnh Oy lấy hai điểm C D , cho OA = OC; OB = OD a) Chứng minh OAD = OCB b) Chứng minh ACD = CAB Bài 13 MĐ3 Cho ABC vuông A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC a) Chứng minh ABC = ABD b) Trên tia đối tia AB lấy điểm M Chứng minh MBD = MBC Bài 14 MĐ3 Cho hình vẽ sau, AB // CD, AB = CD Chứng minh rằng: a) OAB = ODC b) OAC = ODB Bài 15 MĐ4 Cho góc nhọn xOy có tia Oz tia phân giác Qua điểm A thuộc tia Ox , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt Oz M Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy B a) Chứng minh OAM = MBO b) Từ M vẽ MH ⊥ Ox ; MK ⊥ Oy Chứng minh MHO = MKO Bài 16 MĐ4 Cho tam giác ABC có A = 90 AB = AC Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = AE Qua A D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC M N Tia ND cắt tia CA I Chứng minh rằng: a) AID = ABE 32 b) Chứng minh CM = MN Bài 17 MĐ4 Cho ABC , kẻ BD vng góc với AC , CE vng góc với AB Trên tia đối tia BD , lấy điểm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AH = AK Dạng Sử dụng trường hợp tam giác để chứng minh tính chất khác I Phương pháp giải: + Chọn hai tam giác có cạnh (góc) hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh + Chứng minh hai tam giác theo hai trường hợp cạnh - góc - cạnh, góc cạnh - góc suy hai cạnh (góc) tương ứng nhau.Kiểm tra ba điều kiện cạnh - góc cạnh, góc - cạnh - góc + Kết hợp với tính chất học tia phân giác, đường thẳng song song, đường trung trực, tổng ba góc tam giác, để chứng minh tính chất khác II Bài tốn Bài MĐ1 Cho tam giác ABC có AB = AC , tia phân giác góc A cắt BC M Chứng minh: BM = CM Bài MĐ1 Cho góc nhọn xOy có Om tia phân giác, C Om ( C O ) Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Chứng minh: CA = CB Bài MĐ1 Cho ABC = MNP Gọi O G trung điểm cạnh BC NP Chứng minh AO = MG Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C Tia phân giác góc A cắt BC D a) Chứng minh AB = AC b) Chứng minh AD ⊥ BC Bài MĐ2 Cho ABC có AB AC Phân giác góc A cắt cạnh BC điểm D Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh: a) BD = ED b) DA tia phân giác góc BDE Bài MĐ2 Cho góc xOy khác góc bẹt có Ot tia phân giác Lấy điểm C thuộc Ot ( C O ) Qua C kẻ đường vng góc với Ot , cắt Ox, Oy theo thứ tự A, B a) Chứng minh: OA = OB b) Lấy điểm D thuộc Ct ( D C ) Chứng minh: DA = DB OAD = OBD Bài MĐ2 Cho ABC , M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh: a) ABM = ECM b) AB = CE AC // BE Bài MĐ3 Cho tam giác ABC có A = 80 Dựng AH vng góc với BC ( H BC ) Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD = HA a) Chứng minh: AC = DC b) Chứng minh: ABC = DBC c) Xác định số đo góc BDC Bài MĐ3 Cho ABC nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , lấy điểm D cho AD // BC AD = BC Chứng minh: a) AB = CD b) AB // CD ABD = CDB Bài 10 MĐ3 Cho ABC có A = 90 , cạnh BC lấy điểm E cho BA = BE Tia phân giác góc B cắt AC D a) Chứng minh: ABD = EBD b) Chứng minh: DA = DE 33 c) Tính số đo BED d) Xác định độ lớn góc B để EDB = EDC Bài 11 MĐ3 Cho ABC có AB AC Kẻ tia phân giác AD BAC ( D BC ) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB , tia AB lấy điểm F cho AF = AC Chứng minh: a) BD = ED b) BF = EC c) BDF = EDC d) AD ⊥ FC Bài 12 MĐ4 Cho tam giác ABC ( AB AC ) , tia Ax qua trung điểm M BC Kẻ BE CF vng góc với Ax ( E , F Ax) a) Chứng minh: BE // CF b) So sánh BE FC ; CE BF c) Tìm điều kiện ABC để có BE = CE Bài 13 MĐ4 Cho tam giác ABC Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua C song song với AB D Gọi M giao điểm BD AC a) Chứng minh ABC = CDA b) Chứng minh M trung điểm AC c) Đường thẳng d qua M cắt đoạn thẳng AD, BC I , K Chứng minh M trung điểm IK Bài 14 MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB AD = AB ( D, C khác phía so với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AC AE = AC ( E , B khác phía so với AC ) Chứng minh: a) BE = DC b) BE ⊥ DC Bài 15 MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn Gọi M , N trung điểm AB, AC Lấy điểm E, D cho M , N trung điểm CE, BD a) Chứng minh: AD // BC b) Chứng minh: A, E, D thẳng hàng Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tìm chứng minh hai tam giác Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? M D A F E C B P N Bài MĐ1 Trên hình 1, hình 2, hình có tam giác nhau? Vì sao? A C E A S O F K B B G Hình Hình 34 D C H Hình Bài MĐ1 Cho hình vẽ, chứng minh ABC = MNP A M 45° 70° B 70° 65° N C P Bài MĐ2 Cho ABC = MNP Gọi AD đường phân giác góc A tam giác ABC Gọi ME đường phân giác góc M tam giác MNP Chứng ABD = MNE Bài MĐ3 Cho góc xAy Lấy điểm B Ax , điểm D Ay cho AB = AD Trên tia Bx lấy điểm E , tia Dy lấy điểm C cho BE = DC Chứng minh ABC = ADE Bài MĐ4 Cho ABC có D trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tia Bx // AC , Bx cắt tia AD E a) Chứng minh ADC = EDB b) Trên tia đối tia AC , lấy điểm F cho AF = AC Gọi I giao điểm AB EF Chứng minh AIF = BIE Dạng Sử dụng trường hợp tam giác để chứng minh tính chất khác Bài MĐ1 Cho ABC có AB = AC Gọi M , N trung điểm cạnh AC , AB Chứng minh : BM = CN Bài MĐ2 Cho ABC có AB = AC , phân giác AM ( M BC ) Chứng minh: a) ABM =ACM b) M trung điểm BC AM ⊥ BC Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có : AB = AC M trung điểm BC a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Chứng minh AM ⊥ BC c) Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB cắt tia AM N Chứng minh M trung điểm AN Bài MĐ2 Cho ABC , có B = C AB = AC Tia phân giác góc B cắt AC D Tia phân giác góc C cắt AB E a) So sánh độ dài đoạn thẳng BD CE b) Gọi I giao điểm BD EC Chứng minh BI = IC , IE = ID Bài MĐ3 Cho ABC có AB = AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ tia Bx , Cy cắt hai cạnh AC , AB D, E cho ABD = ACE a) Chứng minh AD = AE b) Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh EBI = DCI c) Chứng minh AI ⊥ BC Bài MĐ4 Cho tam giác ABC có M N trung điểm cạnh AB AC Trên tia đối tia NB lấy điểm D cho ND = NB Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MC Chứng minh : a) AD = BC b) AE // BC c) A trung điểm DE Bài MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AM ⊥ AB ; AM = AB cho M C khác phía đường thẳng AB Vẽ đoạn thẳng AN ⊥ AC AN = AC cho N B khác phía đường thẳng AC Gọi I , K trung điểm BN CM Chứng minh : 35 a) AMC = ABN b) MC = BN MC ⊥ BN c) AI = AK AI ⊥ AI 36