Chuyên đề góc và bài toán liên quan (120 trang)

CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN CHUN ĐỀ GĨC – BÀI TOÁN LIÊN QUAN PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ I NỬA MẶT PHẲNG Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a Nhận xét: đường thẳng nằm mặt phẳng bờ chung hai nửa mặt phẳng đối y Tia Oz nằm hai tia Ox Oy , tia Oz cắt đoạn thẳng AB điểm M nằm A B B z  M ( A Ox, B Oy; A B khác O ) Nhận xét: Nếu hai tia Ox Oy đối tia O Oz khác Ox , Oy nằm hai tia Ox , Oy  Hai điểm A B thuộc nửa mặt phẳng bờ A x a đoạn thẳng AB khơng cắt a Hai điểm A C thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a đoạn thẳng AC cắt d điểm M nằm A C B A d II - GÓC, SỐ ĐO GÓC CỘNG SỐ ĐO HAI GÓC M   C Góc hình gồm hai tia chung gốc Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối xOy có hai tai chung gốc Ox Oy tia Ox tia đối tia Oy Góc bẹt xOy có y y O x  O Mỗi góc có số đo dương Số đo góc bẹt 180 Số đo góc khơng vượt qua 1800 3.So sánh góc A B A B số đo A B số đo A số đo B x HSG VÀ TOÁN CHUYÊN A số đo A B số đo B Các loại góc: 00 góc vng (900 ) góc nhọn góc tù bẹt (1800 ) Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh cịn lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ cạnh chung Góc phụ Góc bù A phụ với B A bù với B A 900 B A B 1800 Hai góc vừa kề vừa bù gọi hai góc kề bù Hai góc kề bù có tổng 1800 hai cạnh hai tia đối Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz xOy Ngược lại, xOy Nếu xOy yOz yOz yOz xOz xOz Oy nằm hai tia Ox Oz xOz Oy nằm hai tia Ox, Oz Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz ; tia Ot nằm hai tia Oy Oz thì: xOy yOt tOz xOz Hai góc AOB AOC hai góc kề, tia OA tia đối OA B A A O  C - Nếu AOB AOC 1800 tia OA nằm hai tia OB OC - Nếu AOB AOC 1800 tia OA nằm hai tia OB OC III VẼ GÓC CHO BIẾT SỐ ĐO Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox , vẽ tia Oy z cho xOy m (độ) y O  x 2.Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ tia Ox , có xOy hai tia Ox, Oz m0 , xOz n0 ; m n tia Oy nằm CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox , có xOy m0 , xOz n0 ; xOt p0 Nếu m n Oz nằm hai tia Oy Ot t z y O x IV TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc z y O  x Nếu tia Oz tia phân giác góc xOy thì: xOz Nếu tia Oz nằm hai tia Ox, Oy xOz zOy xOy xOy tia Oz tia phân giác góc xOy Đường thẳng chứa tia phân giác góc gọi đường phân giác góc Mỗi góc có đường phân giác - Ba cạnh: AB, BC, AC - Ba góc: A, B, C Nếu đường thẳng không qua đỉnh tam giác cắt cạnh tam giác cắt hai cạnh lại B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính số góc tạo thành từ điểm (hoặc từ tia) cho trước * Nếu có n tia chung gốc số góc tạo thành n(n 1) góc Giải thích: - Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc - Xét tia, tia với n - tia cịn lại tạo thành n - góc - Làm với n tia ta n.(n-1) góc HSG VÀ TỐN CHUN - Nhưng góc tính lần có tất n(n 1) góc Bài tập 1: Cho 10 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nối điểm với Hỏi tất có góc tạo thành (có đỉnh điểm cho) ? Hướng dẫn Giả sử có 10 điểm A1, A2,…A10 khơng có điểm thẳng hàng * Xét đoạn thẳng A1A2 Nối A1 với điểm cịn lại ta góc có đỉnh A1 Nối A2 với điểm lại ta góc có đỉnh A2 Vậy với đoạn thẳng A1A2 ta 16 góc Mà có tổng cộng 10.9  45 đoạn thẳng có 45 16 góc Nhưng góc tính hai lần Vậy số gúc 1045.16  360 góc Bài tập 2: Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với tia OA;OB;OC;OD cho) có tất góc? Hướng dẫn Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009 góc Nhưng góc tính hai lần Vậy có tất 2010.2009 = 019 045 góc Bài tập 3: Vẽ hai góc kề bù xOy zOy Vẽ tia Om tia On theo thứ tự tia phân giác góc xOy góc zOy Vẽ tia Om' tia đối tia Om Cần vẽ thêm tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300 góc Hướng dẫn Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300 góc Khi tổng số tia gốc O hình n + Cứ tia gốc O tạo với n + tia gốc O lại thành n + n y góc, mà có n + tia nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc m Vì tia tạo với ngược lại nên góc tính hai lần, suy số góc tạo thành là: z O m' x CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN n  5 n   góc Vì có 300 góc tạo thành nên: n  5 n   = 300  (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25  n + = 24  n = 19 Bài tập 4: Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn cho: xOx  2xOx1 ; xOx  3xOx1 ; xOx  4xOx1 ; ; xOx n  nxOx1 Tìm số n nhỏ để tia vẽ có tia tia phân giác chung 2017 góc Hướng dẫn Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn cho: xOx  2xOx1 ; xOx  3xOx1 ; xOx  4xOx1 ; ; xOx n  nxOx1  xOx1  x1Ox  x 2Ox   x n 1Ox n Vậy n nhỏ n = 2017.2 = 4034 lúc Ox 2017 tia phân giác chung 2017 góc: xOx 4034  x1Ox 4033  x 2Ox 4032   x 2016Ox 2018 Bài tập 5: Cho n tia chung gốc O: Ox1,Ox2, , Oxn nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox1 Có tất góc tạo thành? Hướng dẫn Số góc có từ n tia chung gốc là: n(n  1) Bài tập 6: Cho n tia chung gốc tạo thành tất 190 góc Tính n ? Hướng dẫn n(n 1) 190 n 20 Bài tập 7: a) Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ? Vì sao? b) Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ Hướng dẫn a) Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia cịn lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.6 góc Nhưng góc tính lần có tất 5.6 15 góc b) Từ câu a suy tổng quát Với n tia chung gốc có n Dạng 2: Bài tập liên quan tới tính đo góc n (góc) HSG VÀ TOÁN CHUYÊN * Cho biết tia phân giác tính số đo góc * Cho biết số đo góc chứng minh tia phân giác góc * Chứng minh góc nhau, so sánh hai góc * Dựa vào việc tính số đo góc hai góc kề bù, hai tia đối Bài tập 1: Vẽ góc kề bù xƠy x’ , biết xÔy = 700 Gọi Ot tia phân giác xÔy, Ot’ tia phân giác x’Ôy Tính x’; tƠt’; xƠt’ Hướng dẫn HD: Ta có xƠy x’ góc kề bù  xƠy + yÔx’ = 1800  yÔx’= 1800 – 700 = 1100 y Vì Ot’ tia phân giác x’  t’Ôx’ = tÔy = 1 yÔx’ = 1100 = 550 2 t' t Vì Ot tia phân giác xÔy  xÔt = tÔy = 700 1 xÔy = 700= 350 2 x x' O Vì Ox Ox’ đối  Ot Ot’ nằm Ox Ox’  xÔt + tÔt’ + t’Ôx’= 1800  tÔt’ = 1800 – 350 – 550 = 900 xƠt’ t’Ơx’ góc kề bù  xÔt’ + t’Ôx’ = 1800  xÔt’ = 1800 – 550 = 1250 Bài tập 2: Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c)* Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với tia OA; OB; OC; OD cho) có tất góc? Hướng dẫn a) Vì góc AOB góc BOC hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 B D mà BOC = AOB nên: AOB = 1800 Do đó: A AOB = 1800 : = 300; BOC = 300 = 1500 b)Vì OD tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC = BOC = 750 Vì góc DOA góc DOC hai góc kề bù nên: DOA + DOC =1800 O C CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN Do DOA =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 c) Tất có n + tia phân biệt Cứ tia n+4 tia tạo với n+4 - 1= n+3 tia cịn lại thành n+3 góc Có n+4 tia nên tạo thành (n + 4)(n + 3) góc, góc tính hai lần Vậy có tất ( n  4)( n  3) góc xOy Bài tập 3: Cho hai góc kề bù yOz Biết xOy  620 Om tia phân giác góc xOy; On tia phân giác góc yOz a/ Tính số đo góc xOm b/ Tính số đo góc c/ Tính số đo góc mOy mOz mOn ; yOn nOz xOn Rồi rút nhận xét Hướng dẫn 0 0 a/ Ta có : xOy  yOz  180 ( kề bù )  yOz  180  xOy  180  62  118 Vì Om phân giác xOy nên ta có xOy 620 xOm  mOy    310 2 y n m Vì On phân giác yOz nên ta có yOz 1180 yOn  nOz    590 2 x b/ Vì xOy yOz hai góc kề bù Om phân giác xOy On phân giác yOz nên tia Oy nằm gữa tia Om Oz ; Ox On ; Om On + Oy Nằm Om Oz Ta có mOy  yOz  mOz  mOz  310  1180  1490 + Oy nằm Ox On Ta có xOy  yOn  xOn  xOn  620  590  1210 c/ Vì Oy nằm Om On nên ta có mOy  yOn  mOn  mOn  310  590  900 Nhận xét : Hai tia phân giác hai góc kề bù tạo thành góc vng O HSG VÀ TỐN CHUN 1100 , tia OC nằm góc Gọi OM , ON theo thứ tự tia Bài tập 4: Cho góc AOB phân giác góc AOC, BOC Tính MON ? Hướng dẫn MON MOC AOC CON AOC COB AOB 2 1100 550 1000 OC tia phân giác góc Trong góc AOB vẽ tia Bài tập 5: Cho góc AOB OA, OE cho AOD COB 200 Chứng tỏ tia OC tia phân giác góc DOE BOE Hướng dẫn Chứng tỏ COD COE 300 Bài tập 6: Cho góc tù xOy Bên góc xOy , vẽ tia Om cho góc xOm 900 vẽ tia On cho góc yOn 900 a) Chứng minh góc xOn góc yOm b) Gọi Ot tia phân giác góc xOy Chứng minh Ot tia phân giác góc mOn Hướng dẫn a) Lập luận được: xOm mOy yOn nOx xOy hay 900 xOy hay 900 b) Lập luận được: xOt xOn nOt tOy yOm mOt nOt xOt mOy nOx xOy xOy xOn yOm tOy mOt Ot tia phân giác góc mOn Bài tập 7: Trên đường thẳng xx lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx vẽ tia Oy, Ot , Oz cho góc x Oy 400 ; xOt a) Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz b) Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy Hướng dẫn 970 ; xOz 540 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN a) Theo đề ta có x Ox yOx 1800 400 có: góc xOz 1800 mà góc x Oy góc yOx kề bù Mà góc x Oy 1400 Suy góc xOt 400 góc góc xOy hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy Lại góc xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot nằm hai tia Oz Oy b) Theo câu a) ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy Góc zOt góc tOy góc zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy Góc xOt góc tOy góc xOy 430 (vì góc xOt Hay góc tOy 970 góc xOy 540 ) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot => Góc xOz góc zOt Hay góc zOt 430 (vì góc xOt Suy góc tOy góc xOt 970 xOy 540 ) 430 góc zOt Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy Bài tập 8: Cho tia Ox Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz 1200 Chứng minh rằng: a) Góc xOy góc xOz góc yOz b) Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại Hướng dẫn a) Ta có: góc x Oy 600 , góc x Oz yOz 1200 yOx Vậy góc xOy x Oz góc xOz 600 tia Ox nằm hai tia Oy, Oz nên góc góc yOz b) Do tia Ox nằm hai tia Oy, Oz góc x Oy góc x Oz nên Ox tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz Tương tự tia Oy (tia đối Oy ) tia Oz (tia đối tia Oz ) phân giác góc xOz xOy Bài tập 9: Cho góc AOB 1350 , C điểm nằm góc AOB biết góc BOC 900 HSG VÀ TỐN CHUN a) Tính góc AOC b) Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD Hướng dẫn a) Theo giả thiết C nằm góc AOB nên tia OC nằm hai tia OB OA góc AOC góc BOC góc AOB góc AOC góc AOB góc BOC AOC 1350 900 góc 450 b) Vì OD tia đối tia OC nên C, O, D thẳng hàng Do góc 1800 (hai góc kề bù) góc AOC DOA góc AOD 1800 1800 Góc BOD Vậy góc AOD góc AOC 900 1800 1350 900 góc BOD Bài tập 10: Cho tam giác ABC BC CM 450 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho 3cm a) Tính độ dài BM 800 , góc BAC b) Cho biết góc BAM 600 Tính góc CAM c) Vẽ tia Ax, Ay tia phân giác góc BAC CAM Tính góc xAy d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM CK 1cm Tính độ dài BK Hướng dẫn a) M , B thuộc tia đối CB CM C nằm B M BM BC CM 8(cm) b) C nằm B, M => Tia AC nằm tia AB, AM CAM c) Có xAy BAM BAC 200 xAC CAy BAC CAM ( BAC CAM ) BAM 80 400 d) - Nếu K tia CM C nằm B K1 BK1 BC CK1 6(cm) - Nếu K tia CB K nằm B C BK2 BC CK2 4(cm) Bài tập 11: Cho góc bẹt xOy, tia Ox lấy điểm A cho OA = cm; tia Oy lấy hai điểm M B cho OM = cm; OB = cm 10 HSG VÀ TỐN CHUN Ta lại có tia Ot tia phân giác yOz (theo câu b)  Hai tia Ot, Oy nằm mộ nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) Từ 1 ,   ,  3 suy On Ot nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oz  Oz nằm tia On, Ot nên ta có: nOz  zOt  nOt hay nOt  350  550  900 Vậy nOt  900 Bài 114.Cho điểm O nằm đường thẳng xy Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa đường thẳng xy, kẻ tia Oz, Ot cho zOt  130 , yOt  100 0 a) Tia Oz có phân giác yOt khơng ? Tại ? b) Gọi Om phân giác zOt , On tia đối tia Ot Tính số đo mOn Lời giải m z t y x O n a) Vì điểm O nằm đường thẳng xy nên hai tia Ox, Oy hai tia đối Nên xOy, yOz hai góc kề bù  xOy  yOz  180  yOz  50 0  Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: xOy  yOz 50  100 tia Oy, Ot (1)  zOy  tOz  yOt  zOy  50 (2) Từ (1) (2) suy Oz phân giác yOt b) Vì Om phân giác zOt  zOm  tOm  50  250 Vì On tia đối tia Ot Nên nOm & tOm hai góc kề bù  nOm  tOm  1800  nOm  1800  250  1550 106 0  nên tia Oz nằm CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Bài 115.Cho xOy  120 Trong góc xOy, vẽ hai tia Om, On cho xOm  90 , yOn  90 0 a) So sánh xOn yOm b) Vẽ tia Ot tia phân giác xOy Chứng minh Ot tia phân giác mOn c) Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Oz cho xOz  xOy Chứng minh rằng: tOz  xOz  yOz Lời giải y m t n z x O a) Tia Om On nằm hai tia Ox, Oy (vì nằm góc xOy )  xOm  mOy  xOy  mOy  300   xOn  nOy  xOy  xOn  30  xOn  yOm b) Tia Ot tia phân giác xOy  xOt  yOt  xOy  600 xOt  xOn  yOt  yOm  nOt  mOt  tiaOt tia phân giác mOn c) Vì hai tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, mà xOy  xOz  Tia Oy nằm hai tia Ox, Oz  xOy  yOz  xOz  xOy  xOz  yOz Tia Oy nằm hai tia Oz, Ot HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   1  tOz  yOt  yOz  xOy  yOz  xOz  yOz  yOz 2  xOz  yOz Vậy tOz  xOz  yOz Bài 116.Cho góc bẹt AOB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB Vẽ tia OC, OD cho AOC  700 , BOD  550 a) Chứng minh OD tia phân giác BOC b) Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia OC, OD vẽ tia OE cho DOE góc vng, gọi OK tia đối tia OC Chứng minh OE tia phân giác BOK Lời giải  a) Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA có AOC  AOB 70  180 0  nên tia OC nằm hai tia OA, OB  AOC  COB  AOB  COB  1100  Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có BOD  COB 50  110 hai tia OB, OC 0   tia OD nằm (1)  BOD  COD  COB  COD  500  BOD  COD(2) Từ (1) (2) suy OD tia phân giác BOC b)  Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OD, có BOD  DOE 55  90 0  nên OD nằm tia OB, OC nên BOK  1000 Bài 117.Cho xOy  120 , xOz  50 Gọi Om tia phân giác yOz Tính xOm 0 Lời giải *Trường hợp 1: tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ Ox 108 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN m y z x O xOz  500  1200  xOy nên tia Oz nằm hai tia Ox, Oy  yOz  xOy  xOz  1200  500  700 yOz  350  xOm  350  500  850 *Trường hợp 2: tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ Ox zOm  y m x O z Từ đầu ta có Ox nằm hai tia Oy, Oz  yOz  1200  500  1700 1700 zOm   850 xOm  850  500  350 Bài 118.Cho hai tia Oy, Oz nằm nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox Biết xOy  300 , xOz  1200 a) Tính số đo yOz b) Tia Om tia đối tia Ox, tính mOz ? Lời giải HSG VÀ TOÁN CHUYÊN z y O m x a) Tia Oy nằm hai tia Ox, Oz Ta có: zOy  zOx  yOx , mà zOx  120 , yOx  30  zOy  120  30  90 0 0 b) Tia Om tia đối tia Ox Ta có: zOm  180  zOx mà zOx  120  zOm  180  120  60 0 0 Bài 119.Cho tam giác ABC có ABC  55 , cạnh AC lấy điểm D cho ABD  30 0 a) Tính độ dài AC , biết AD  4cm, CD  3cm b) Tính số đo DBC c) Từ B dựng tia Bx cho DBx  90 Tính số đo ABx d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A B) Chứng minh đoạn thẳng BD CE cắt Lời giải A E D B C a) D nằm A C  AC  AD  CD    7cm b) Tia BD nằm hai tia BA, BC  ABC  ABD  DBC  DBC  ABC  ABD  550  300  250 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB Tính được: ABx  90  ABD  90  30  60 0 110 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN - Trường hợp 2: Tia Bx BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB Tính được: ABx  90  ABD  90  30  120 0 0 d) Xét đường thẳng BD Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm nửa;1 nửa mp có bờ BD chứa điểm C nửa mp bờ BD chứa điểm A  tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A E thuộc đoạn AB  E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A  E, C hai nửa mặt phẳng bở BD Suy đường thẳng BD cắt đoạn EC - Xét đường thẳng CE Lập luận tương tự ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy đoạn thẳng EC BD cắt Bài 120.Cho xOy  1200 , vẽ tia Oz nằm hai tia Ox, Oy cho xOz  70 , gọi tia Ot tia phân giác xOz , gọi tia Om tia đối tia Oy Tính số đo góc mOt Lời giải z y t x O m Tính mOx  60  xOt  35 , mOt  95 0 Bài 21.Cho xBy  55 Trên tia Bx, By lấy điểm A, C cho A  B, C  B Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho ABD  30 a) Tính độ dài AC, biết AD  4cm, CD  3cm b) Tính số đo DBC c) Từ B vẽ tia Bz cho DBz  90 Tính số đo ABz Lời giải HSG VÀ TOÁN CHUYÊN y C z D B x A z a) Vì D thuộc đoạn AC nên D nằm A C  AC  AD  CD    7(cm)  AC  7cm b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA, BC Ta có đẳng thức : ABC  ABD  DBC  DBC  ABC  ABD  550  300  250 c) Xét hai trường hợp (học sinh vẽ hình trường hợp) - Trường hơp 1:Tia Bz BA nằm nửa mặt phẳng có bờ BD Lập luận tia BA nằm hai tia Bz BD Tính được: ABz  DBz  ABD  90  30  60 - 0 Trường hợp 2: Tia Bz ' BA nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ BD Lập luận tia BD nằm hai tia Bz BA Tính được: ABz  DBz  ABD  90  30  120 0 Bài 122.Cho góc xOy có số đo 1200 Điểm A nằm góc xOy cho: AOy  750 Điểm B nằm ngồi góc xOy mà BOx  1350 Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng khơng ? Vì ? Lời giải 112 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN A x A x y O y O B' B Vì xOy  1200 , AOy  750 , điểm A nằm góc xOy nên tia OA nằm hai tia Ox, Oy Ta có: xOA  xOy  AOy  1200  750  450 Điểm B vị trí: B B’ +Tại B tia OB nằm hai tia Ox, OA nên BOx  xOA  1350  450  1800 Do BOA  BOx  xOA  1800  điểm A, O, B thẳng hàng +Cịn B’ thì: xOB '  1350  1800  AOB '  xOB '  xOA  1350  450  900 Nên ba điểm A, O, B ' không thẳng hàng Bài 123 Cho tia Oz nằm góc vng xOy Vẽ tia Ot cho Ox tia phân giác tOz Vẽ tia Om cho tia Oy phân giác zOm a) Chứng minh tia Om tia Ot hai tia đối b) Gọi Ox ' tia đối tia Ox, biết x ' Om  300 Tính tOz c) Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với tia Ox, Oz, Oy, Om, Ox ' Ot ) Hỏi hình vẽ có tất góc ? Lời giải y z m x' O x t a)Tia Oz nằm góc xOy nên: xOz  zOy  xOy  900 HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 1 Theo giả thiết ta có tia phân giác nên xOz  tOz ; zOy  zOm 2 Từ suy : 1 tOz  zOm  900  tOz  zOm  1800 2  tOz; zOm hai góc kề b) Chứng minh tOz  mOx '  300 (cùng kề bù với mOx)  tOx  xOz  300  tOz  600 c) Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với tia Ox, Oy, Oz, Ot Om, Ox ' Tất hình vẽ có n  tia phân biệt Cứ tia n  tia tạo với n  thi cịn lai thành n  góc Có n  tia tạo thành  n  5 n   góc, góc tính lần Vậy có tất  n  5 n   góc Thay  2014 ta số góc là:  2014   2014  5 :  2039190 (góc) Bài 124.Cho góc xOy, xOz , Om tia phân giác yOz Tính xOm trường hợp sau: a) Góc xOy  1000 ; xOz  600 b) xOy   ; xOz       Lời giải m y y z m x O z x O a) Xét trường hợp: - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ Ox thì: yOz  1000  600  400  zOm  200 , xOm  800 - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt yOz  1000  600  1600  zOm  800 , xOm  200 b) Xét trường hợp 114 phẳng đối có bờ Ox thì: CHUN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ Ox ta tính được: xOm    - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox thì: xOm        1800 xOm  1800        1800 Bài 125.Cho tam giác ABC có ACB  600 , AB  6cm Trên cạnh AB lấy điểm D(D khác A, B), cho AD  2cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BD b) Tính số đo DCB biết ACD  200 c) Dựng tia Cx cho DCx  900 Tính ACx d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A, C ) Chứng minh hai đoạn thẳng CD BE cắt Lời giải A A x E E D D B C B C x Trường hợp Trường hợp a) D nằm A B suy AD  BD  AB  BD    4cm b) Tia CD nằm hai tia CA, CB  ACD  DCB  ACB  DCB  400 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai tia CD Cx nằm phía so với đường thẳng CB Tính góc ACx  900  ACD  700 - Trường hợp 2: Hai tia CD, Cx nằm hai phía so với đường thẳng CB Tính : ACx  900  ACD  1100 Xét đường thẳng CD Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm hai nửa: nửa mặt phẳng có bờ CD chứa điểm B nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A  tia CA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A HSG VÀ TOÁN CHUYÊN E thuộc đoạn AC  E thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A  E B hai nửa mặt phẳng bờ CD  đường thẳng CD cắt đoạn EB Xét đường thẳng BE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD Vậy đoạn thẳng EB CD cắt Bài 126.Cho tia chung gốc O : Oa, Ob, Oc cho aOb  1400 ; tia Oc nằm hai tia Oa, Ob Vẽ Ox tia phân giác aOc; Oy phân giác cOb; Om phân giác aOb a) Tính số đo xOy b) Chứng minh: aOx  mOy Lời giải a x c m O y b a) xOy  xOc  cOy    1 aOc  cOb  aOb  1400  700 2 b) Om phân giác aOb : aOm  Ox phân giác aOc : xOc  aOb (1) aOc Oy phân giác cOb : cOy  cOb Do xOy  xOc  cOy    1 aOc  cOb  aOb (2) 2 Từ (1) (2) suy ra: aOm  xOy  aOx  xOm  aOm  mOy  xOm  xOy  aOx  mOy Bài 127.Cho xOy  1200 , xOz  xOy Kẻ tia Om tia phân giác xOy Tính số đo mOz Lời giải 116 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN Tính xOz  400 trường hợp: a) Trường hợp 1: tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ Ox m y z x O Lý luận để tính xOm  600 Chứng minh tia Oz nằm Ox Oy Tính zOm  200 a) Trường hợp 2: tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ Ox y m x O z Chỉ Ox nằm Om Oz Tính zOm  1000 Bài 128.Cho góc AMC = 600 Tia Mx tia đối tia MA, My phân giác CMx, Mt tia phân giác xMy a) Tính AMy b) Chứng minh MC  Mt Lời giải C y t x M A HSG VÀ TOÁN CHUYÊN a) Tia Mx tia đối tia MA , AMx góc bẹt  MC nằm MA Mx Nên AMC  CMx  AMx hay 600  CMx  1800  CMx  1200 My tia phân giác CMx nên : My nằm hai tia MC, Mx xMy  yMC  1 xMC  1200  600 2 Tia Mx tia đối tia MA góc AMx góc bẹt nên My nằm MA, Mx Nên AMy  yMx  AMx hay 600  yMx  1800  yMx  1800  600  1200 b)Do My tia phân giác góc CMx nên Mx MC nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ tia My Mt phân giác yMx nên Mt nằm nửa mặt phẳng chứa tia My Vậy Mt MC nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia My hay My nằm MC Mt nên CMy  yMt  CMt (*) Lại có tia Mt phân giác xMy nên: xMt  tMy  1 xMy  600  300 , 2 Thay vào (*)  CMt  600  300  900  MC  Mt Bài 129.Cho xOy  1100 Trên tia Ox lấy điểm A cho OA  a cm; điểm B nằm O A, M trung điểm OB, N trung điểm BA a) Tính MN b) Vẽ xOz  500 Tính yOz Lời giải y O M B N A x a) Vì M nằm O A nên OB  BA  OA M trung điểm OB nên MB  MO  N trung điểm BA nên NB  NA  OB BA Vì M trung điểm OB, N trung điểm BA nên B nằm M N nên MN  MB  BN  OB BA OA  BA OA a     2 2 b) *Nếu Oz nằm phía với Oy bờ Ox ta tính được: yOz  1100  500  600 118 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN *Nếu Oz nằm khác phía với Oy bờ Ox ta tính được: yOz  1100  500  1600 y z y x 50 O 50 x O z Bài 130.Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a) Vẽ tia OC tạo với tia OA góc a , vẽ tia OD tạo với tia OC góc  a  10  với tia OB góc  a  20  Tính a b) Tính góc xOy , biết AOx  220 BOy  480 c) Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD AOC a Lời giải Học sinh tự vẽ hình a)Do OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB COD  COA(a  10  a) nên tia OC nằm hai tia OA OD  AOC  COD  DOB  AOB  a0   a  10    a  20   1800 0  3a  300  1800  a  500 b) Ta có: AOy  1800  BOy  1800  480  1320  AOx  220 Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy  AOx  xOy  AOy  220  xOy  1320  xOy  1100 c) Vì tia OC nằm hai tia OA, OD nên: AOC  COD  AOD  AOD  a0   a  10  2a  100  2.500  100  1100 Vì AOx  AOD  220  1100  nên tia Ox nằm hai tia OA, OD  AOx  xOD  AOD  220  xOD  1100  xOD  1100  220  880 Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là: 1800  880  920 Bài 131.Cho xBy  550 Trên tia Bx, By lấy điểm A, C  A  B, C  B  Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho ABD  300 a) Tính độ dài AC , biết AD  4cm, CD  3cm HSG VÀ TỐN CHUN b) Tính số đo DBC c) Từ B vẽ tia Bz cho DBz  900 Tính số đo ABz Lời giải x A z D B C y z' a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C  AC  AD  CD    7cm b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC ta có đẳng thức ABC  ABD  DBC  DBC  ABC  ABD  550  300  600 c) Xét hai trường hợp: - Trường hơp 1: Tia Bz BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tia Bz, BD - Tính được: ABz  900  ABD  900  300  1200 HẾT - 120