Chuyên đề góc và bài toán liên quan (120 trang)

B A > số đo B x HSG VÀ TỐN CHUN Các loại góc: 0 00 < góc nhọn < góc vng (90 ) < góc tù < bẹt (180 ) Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ cạnh chung Góc phụ Góc bù µÛ A µ+ B µ = 900 µ A phụ với B µÛ A µ+ B µ = 1800 µ A bù với B Hai góc vừa kề vừa bù gọi hai góc kề bù Hai góc kề bù có tổng 1800 hai cạnh ngồi hai tia đối · + ·yOz = xOz · Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz xOy · + ·yOz = xOz · Ngược lại, xOy Oy nằm hai tia Ox Oz · + ·yOz ¹ xOz · Nếu xOy Oy nằm hai tia Ox, Oz Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz ; tia Ot nằm hai tia Oy Oz thì: · + ·yOt + tOz · = xOz · xOy Hai góc AOB AOC hai góc kề, tia OA¢là tia đối OA B A A O  - Nếu ·AOB + ·AOC 1800 tia OA¢nằm hai tia OB OC III VẼ GÓC CHO BIẾT SỐ ĐO Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox , vẽ tia Oy z · = m (độ) cho xOy y O  x · = m0 , xOz · = n ; m < n tia Oy nằm 2.Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ tia Ox , có xOy hai tia Ox, Oz · = m0 , xOz · = n ; xOt · = p Nếu m < n Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox , có xOy Oz nằm hai tia Oy Ot CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN t z y O x IV TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc z y O  x · · = zOy · = xOy Nếu tia Oz tia phân giác góc xOy thì: xOz · · = xOy tia Oz tia phân giác góc xOy Nếu tia Oz nằm hai tia Ox, Oy xOz Đường thẳng chứa tia phân giác góc gọi đường phân giác góc Mỗi góc có đường phân giác - Ba cạnh: AB, BC , AC µ, C µ - Ba góc: µ A, B Nếu đường thẳng không qua đỉnh tam giác cắt cạnh tam giác cắt hai cạnh lại B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính số góc tạo thành từ điểm (hoặc từ tia) cho trước * Nếu có n tia chung gốc số góc tạo thành n(n - 1) góc Giải thích: - Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc - Xét tia, tia với n - tia cịn lại tạo thành n - góc - Làm với n tia ta n.(n-1) góc - Nhưng góc tính lần có tất n(n - 1) góc HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Bài tập 1: Cho 10 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nối điểm với Hỏi tất có góc tạo thành (có đỉnh điểm cho) ? Hướng dẫn Giả sử có 10 điểm A1, A2,…A10 khơng có điểm thẳng hàng * Xét đoạn thẳng A1A2 Nối A1 với điểm cịn lại ta góc có đỉnh A1 Nối A2 với điểm lại ta góc có đỉnh A2 Vậy với đoạn thẳng A1A2 ta 16 góc Mà có tổng cộng 10.9 45 đoạn thẳng có 45 16 góc Nhưng góc tính hai lần Vậy số gúc 1045.16 360 góc Bài tập 2: Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (khơng trùng với tia OA;OB;OC;OD cho) có tất góc? Hướng dẫn Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009 góc Nhưng góc tính hai lần Vậy có tất 2010.2009 = 019 045 góc Bài tập 3: Vẽ hai góc kề bù xOy zOy Vẽ tia Om tia On theo thứ tự tia phân giác góc xOy góc zOy Vẽ tia Om' tia đối tia Om Cần vẽ thêm tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300 góc Hướng dẫn Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300 góc Khi tổng số tia gốc O hình n + Cứ tia gốc O tạo với n + tia gốc O lại thành n + n y góc, mà có n + tia nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc m Vì tia tạo với ngược lại nên góc tính hai lần, suy số góc tạo thành là: n O z  n   góc m' x CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN Vì có 300 góc tạo thành nên: n  n   = 300  (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25  n + = 24  n = 19 Bài tập 4: Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn cho:  2xOx        xOx ; xOx 3xOx1 ; xOx 4xOx1 ; ; xOx n nxOx Tìm số n nhỏ để tia vẽ có tia tia phân giác chung 2017 góc Hướng dẫn  2xOx  Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn cho: xOx ;  3xOx      xOx ; xOx 4xOx ; ; xOx n nxOx  xOx xOx  x Ox  xOx 2 n n Vậy n nhỏ n = 2017.2 = 4034 lúc Ox 2017 tia phân giác chung 2017 góc:  4034 xOx   xOx 4033 x Ox 4032  x 2016 Ox 2018 Bài tập 5: Cho n tia chung gốc O: Ox1,Ox2, , Oxn nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox1 Có tất góc tạo thành? Hướng dẫn Số góc có từ n tia chung gốc là: n(n  1) Bài tập 6: Cho n tia chung gốc tạo thành tất 190 góc Tính n ? Hướng dẫn n(n - 1) = 190 n 20 Bài tập 7: a) Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ? Vì sao? b) Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ Hướng dẫn a) Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia cịn lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.6 góc Nhưng góc tính lần có tất 5.6 = 15 góc ỉn - 1ư ÷ b) Từ câu a suy tng quỏt Vi n tia chung gc cú n ỗ ữ ỗ ữ(gúc) ỗ ố ứ Dng 2: Bi tập liên quan tới tính đo góc * Cho biết tia phân giác tính số đo góc * Cho biết số đo góc chứng minh tia phân giác góc HSG VÀ TỐN CHUN * Chứng minh góc nhau, so sánh hai góc * Dựa vào việc tính số đo góc hai góc kề bù, hai tia đối Bài tập 1: Vẽ góc kề bù xƠy x’ , biết xƠy = 700 Gọi Ot tia phân giác xÔy, Ot’ tia phân giác x’Ơy Tính x’; tƠt’; xƠt’ Hướng dẫn HD: Ta có xƠy x’ góc kề bù  xƠy + x’ = 1800  x’= 1800 – 700 = 1100 y Vì Ot’ tia phân giác yÔx’  t’Ôx’ = tÔy = 1 yÔx’ = 1100 = 550 2 t' t Vì Ot tia phân giác xƠy  xÔt = tÔy = 700 1 xÔy = 700= 350 2 x x' O Vì Ox Ox’ đối  Ot Ot’ nằm Ox Ox’  xÔt + tÔt’ + t’Ôx’= 1800  tÔt’ = 1800 – 350 – 550 = 900 xÔt’ t’Ơx’ góc kề bù  xƠt’ + t’Ơx’ = 1800  xÔt’ = 1800 – 550 = 1250 Bài tập 2: Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c)* Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với tia OA; OB; OC; OD cho) có tất góc? Hướng dẫn a) Vì góc AOB góc BOC hai góc kề bù nên:   + BOC =1800 AOB B D    mà BOC = AOB nên: AOB = 1800 C Do đó:   = 180 : = 30 ; BOC = 30 = 150 AOB 0 A   b)Vì OD tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC =  = 750 BOC   hai góc kề bù nên: DOA   Vì góc DOA góc DOC + DOC =1800   Do DOA =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 O CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN c) Tất có n + tia phân biệt Cứ tia n+4 tia tạo với n+4 - 1= n+3 tia cịn lại thành n+3 góc Có n+4 tia nên tạo thành (n + 4)(n + 3) góc, góc tính hai lần Vậy có tất (n  4)(n  3) góc Bài tập 3: Cho hai góc kề bù  xOy yOz Biết  620 xOy Om tia phân giác góc xOy; On tia phân giác góc yOz a/ Tính số đo góc  xOm b/ Tính số đo góc c/ Tính số đo góc  mOz  mOn  mOy ;  yOn  nOz  xOn Rồi rút nhận xét Hướng dẫn  1800  620 1180   yOz 1800 ( kề bù )  yOz 1800  xOy a/ Ta có : xOy  nên ta có Vì Om phân giác xOy  xOy 620   xOm mOy   310 2 m y n Vì On phân giác yOz nên ta có yOz 1180   yOn nOz   590 2 x  yOz hai góc kề bù Om phân giác xOy  b/ Vì xOy On phân giác yOz nên tia Oy nằm gữa tia Om Oz ; Ox On ; Om On + Oy Nằm Om Oz Ta có     mOz  310  1180 1490 mOy yOz mOz + Oy nằm Ox On Ta có     xOn  620  590 1210 xOy yOn  xOn c/ Vì Oy nằm Om On nên ta có     mOn  mOy yOn mOn 310  590 900 Nhận xét : Hai tia phân giác hai góc kề bù tạo thành góc vng O HSG VÀ TỐN CHUYÊN Bài tập 4: Cho góc ·AOB = 1100 , tia OC nằm góc Gọi OM , ON theo thứ tự tia · phân giác góc AOC , BOC Tính MON ? Hướng dẫn ·AOC COB · ·AOC + COB · · AOB 1100 · · · MON = MOC + CON = + = = = = 550 2 2 Bài tập 5: Cho góc ·AOB = 1000 OC tia phân giác góc Trong góc ·AOB vẽ tia · · OA, OE cho ·AOD = BOE = 200 Chứng tỏ tia OC tia phân giác góc DOE Hướng dẫn · · Chứng tỏ COD = COE = 300 Bài tập 6: Cho góc tù xOy Bên góc xOy , vẽ tia Om cho góc xOm 900 vẽ tia On cho góc yOn 900 a) Chứng minh góc xOn góc yOm b) Gọi Ot tia phân giác góc xOy Chứng minh Ot tia phân giác góc mOn Hướng dẫn a) Lập luận được: · · · · · hay 900 + mOy xOm + mOy = xOy = xOy ·yOn + nOx · = xOy · · = xOy · Þ xOn · = ·yOm hay 900 + nOx b) Lập luận được: · = tOy · xOt · = xOn · + nOt · xOt · = ·yOm + mOt · tOy · = mOt · Þ nOt Þ Ot tia phân giác góc mOn Bài tập 7: Trên đường thẳng xx ¢ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx ¢ vẽ tia Oy, Ot , Oz cho góc x ¢Oy = 400 ; xOt = 970 ; xOz = 540 a) Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz b) Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy Hướng dẫn CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN a) Theo đề ta có x ¢Ox = 1800 mà góc x ¢Oy góc yOx k bự M gúc x ÂOy = 400 ị gúc yOx =1800 - 400 =1400 Suy góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot nằm hai tia Oz Oy b) Theo câu a) ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy Þ Góc zOt + góc tOy = góc zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy Þ Góc xOt + góc tOy = góc xOy Hay góc tOy = 430 (vì góc xOt = 97 góc xOy = 540 ) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot => Góc xOz + góc zOt = góc xOt Hay góc zOt = 430 (vì góc xOt = 97 xOy = 540 ) Suy góc tOy = góc zOt = 430 Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy Bài tập 8: Cho tia Ox Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz 1200 Chứng minh rằng: a) Góc xOy = góc xOz = góc yOz b) Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại Hướng dẫn a) Ta có: góc x ¢Oy = 600 , góc x ¢Oz = 600 tia Ox ¢ nằm hai tia Oy, Oz nên góc yOz = yOx ¢+ x ¢Oz = 1200 Vậy góc xOy = góc xOz = góc yOz b) Do tia Ox ¢ nằm hai tia Oy, Oz góc x ¢Oy = góc x ¢Oz nên Ox ¢ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz Tương tự tia Oy ¢ (tia đối Oy ) tia Oz ¢ (tia đối tia Oz ) phân giác góc xOz xOy Bài tập 9: Cho góc AOB = 1350 , C điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC HSG VÀ TỐN CHUN b) Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD Hướng dẫn a) Theo giả thiết C nằm góc AOB nên tia OC nằm hai tia OB OA Þ góc AOC + góc BOC = góc AOB Þ góc AOC = góc AOB - góc BOC Þ góc AOC = 1350 - 900 = 450 b) Vì OD tia đối tia OC nên C , O, D thẳng hàng Do góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù) Þ góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 = 1350 Góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD Bài tập 10: Cho tam giác ABC BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = 3cm a) Tính độ dài BM b) Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 Tính góc CAM c) Vẽ tia Ax, Ay tia phân giác góc BAC CAM Tính góc xAy d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM CK = 1cm Tính độ dài BK Hướng dẫn a) M , B thuộc tia đối CB CM Þ C nằm B M Þ BM = BC + CM = 8(cm) b) C nằm B, M => Tia AC nằm tia AB, AM · · · Þ CAM = BAM - BAC = 200 1· · 1· · = xAC · + CAy · = BAC · · + CAM = ( BAC + CAM ) = BAM = 800 = 400 c) Có xAy 2 2 d) - Nếu K Ỵ tia CM Þ C nằm giữat B K1 Þ BK1 = BC + CK1 = 6(cm) - Nếu K Ỵ tia CB Þ K nằm B C Þ BK = BC = CK = 4(cm) Bài tập 11: Cho góc bẹt xOy, tia Ox lấy điểm A cho OA = cm; z tia Oy lấy hai điểm M B cho OM = cm; OB = cm a) Chứng tỏ: Điểm M nằm hai điểm O B; Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB x A O M y B 10 z'