Thông tin tài liệu
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT” LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN THỨ NHẤT : ĐẶT VẤN ĐỀ 1,Lý chọn giải pháp : Bất đẳng thức coi câu khó đề thi Đại học mơn tốn đề thi học sinh giỏi Đa phần giáo viên không trọng tới phần tới câu bất đẳng thức Điều dẫn tới thực trạng học sinh sợ câu bất đẳng thức Thực với đề tài hay khó , lựa chọn bỏ qua đơn giản bạn nghĩ tới chuyện dũng cảm đối đầu với khó khăn để vượt qua thân ? Nếu thực mong muốn tập giải pháp xin giành cho bạn cách trân trọng , kinh nghiệm đúc kết thân sau nhiều năm công tác giảng dạy , nghiên cứu đề tài bất đẳng thức Những đường tư duy, kỹ quan trọng , thuật toán hiệu chia sẻ Trên thực tế , không giáo viên học sinh dù xây dựng cho kiến thức chắn , khó khăn trước toán bất đẳng thức Bạn có kiến thức , việc xâu chuỗi sử dụng kiến thức nói cách khác khả vận dụng để thu lời giải lại vấn đề khác Tập giải pháp đưa kỹ thuật phương pháp giải cho dạng Tốn 2, Mục đích nghiên cứu : Nắm cách giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhỏ hàm số phương pháp giải 3, Nhiệm vụ nghiên cứu : Phân loại đưa phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp giải : sử dụng bất đẳng thức , lượng giác hoá phương pháp xét chiều biến thiên hàm số (sử dụng đạo hàm) 4, Phương pháp nghiên cứu : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +Nghiên cứu lý luận dạy học tập toán để vận dụng vào hoạt động dạyhọc Nghiên cứu chương trình tốn THPTbao gồm : SGK lớp 10,11,12 phần bất đẳng thức , đạo hàm tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số sách tham khảo khác -Sử dụng đề thi đậi học 10 năm gần LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN 2: NỘI DUNG A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU Chúng ta sống sống thời đại bùng nổ tri thức khoa học công nghệ Xã hội phồn vinh kỉ 21 phải xã hội dựa vào tri thức, vào tư sáng tạo, vào tài sáng chế người Trong xã hội biến đổi nhanh chóng nay, người lao động phải biết ln tìm tịi kiến thức trau dồi lực cho phù hợp với phát triển khoa học kĩ thuật Lúc người lao động phải có khả tự định hướng tự học để thích ứng với địi hỏi xã hội Chính vậy, mục đích giáo dục nước ta giới không dừng lại việc truyền thụ cho học sinh kiến thức, kĩ loài người tích lũy trước đây, mà cịn đặc biệt quan tâm đến việc bồi dưỡng cho họ lực sáng tạo tri thức mới, phương pháp mới, cách giải vấn đề cho phù hợp Rèn luyện lực tự suy nghĩ truyền thụ kiến thức cho học sinh vấn đề quan trọng dạy học nói chung dạy học mơn Tốn nói riêng Để việc dạy học đạt kết cao người giáo viên phải biết phát huy tính tích cực học sinh, chọn lựa phương thức tổ chức hoạt động, cách tác động phù hợp giúp học sinh vừa học tập, vừa phát triển nhận thức Việc giải tập Tốn khơng nhằm mục đích giải tốn, mà cịn có ý nghĩa to lớn việc rèn luyện cho học sinh khả vận dụng kiến thức, kĩ tính tốn, suy luận logic để giải vấn đề thực tế sống Trong q trình dạy học tậpTốn, vai trị tự học học sinh cần thiết Để giúp học sinh khả tự học, người giáo viên phải biết lựa chọn tập cho phù hợp, xếp chúng cách có hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp hướng dẫn cho học sinh cách giải để tìm chất Toán 1.Những sở lý luận hoạt động giải tập Tốn phổ thơng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.1 Những sở lý luận hoạt động giải tập Toán phổ thơng 1.1.1 Mục đích, ý nghĩa việc giải tập: - Q trình giải tập Tốn q trình tìm hiểu điều kiện tốn, dựa vào kiến thức Tốn để tìm chưa biết sở biết Thông qua hoạt động giải tập, học sinh củng cố lý thuyết tìm lời giải cách xác, mà cịn hướng cho học sinh cách suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ chất vấn đề, có nhìn đắn khoa học Vì thế, mục đích đặt giải tập Toán làm cho học sinh hiểu sâu sắc quy luật Tốn , biết phân tích ứng dụng chúng vào vấn đề thực tiễn, vào tính tốn kĩ thuật cuối phát triển lực tư duy, lực tư giải vấn đề - Muốn giải tậpToán , học sinh phải biết vận dụng thao tác tư duy, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái qt hóa…để xác định chất Toán Vận dụng kiến thức Toán để giải nhiệm vụ học tập vấn đề thực tế đời sống thước đo mức độ hiểu biết học sinh Vì vậy, việc giải tập Toán phương tiện kiểm tra kiến thức, kĩ học sinh 1.1.2Tác dụng tập Toán dạy họcToán: 1.1.2.1Bài tập giúp cho việc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức Trong giai đoạn xây dựng kiến thức, học sinh nắm chung, khái quát khái niệm, định luật trừu tượng Trong tập, học sinh phải vận dụng kiến thức khái quát, trừu tượng vào trường hợp cụ thể đa dạng, nhờ mà học sinh nắm biểu cụ thể chúng thực tế Ngoài ứng dụng quan trọng kĩ thuật, tập Toán giúp học sinh thấy ứng dụng mn hình, mn vẻ thực tiễn kiến thức học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tập Toán phương tiện củng cố, ôn tập kiến thức sinh động Khi giải tập, học sinh phải nhớ lại kiến thức học, có phải sử dụng tổng hợp kiến thức thuộc nhiều chương, nhiều phần chương trình 1.1.2.2Bài tập điểm khởi đầu để dẫn dắt đến kiến thức Các tập sử dụng khéo léo dẫn học sinh đến suy nghĩ tượng xây dựng khái niệm để giải thích tượng tập phát 1.1.2.3Giải tập Toán rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát Bài tập Toán phương tiện quý báu để rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát thu nhận để giải vấn đề thực tiễn Có thể xây dựng nhiều tập có nội dung thực tiễn, học sinh phải biết vận dụng lý thuyết để giải thích dự đoán điều kiện cho trước 1.1.2.4Giải tập hình thức làm việc tự lực cao học sinh Trong làm tập, phải tự phân tích điều kiện đầu bài, tự xây dựng lập luận, kiểm tra phê phán kết luận mà học sinh rút nên tư học sinh phát triển, lực làm việc tự lực họ nâng cao, tính kiên trì phát triển 1.1.2.5Giải tập Tốn góp phần làm phát triển tư sáng tạo học sinh Việc giải tập Tốn địi hỏi phải phân tích tốn để tìm chất với mức độ khó nâng dần lên giúp học sinh phát triển tư LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Có nhiều tập Tốn khơng dừng lại phạm vi vận dụng kiến thức học mà giúp bồi dưỡng cho học sinh tư sáng tạo 1.1.2.6 Giải tập Toán để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức học sinh Bài tập Toán phương tiện có hiệu để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức học sinh Tùy theo cách đặt câu hỏi kiểm tra, ta phân loại mức độ nắm vững kiến thức học sinh, khiến cho việc đánh giá chất lượng kiến thức học sinh xác 2.Phân loại tập Toán : 2.2.Phân loại theo nội dung Người ta dựa vào nội dung chia tập theo đề tài tài liệu Toán Sự phân chia có tính chất quy ước tập đề cập tới kiến thức phần khác chương trình Tốn Theo nội dung, người ta phân biệt tập có nội dung trừu tượng, tập có nội dung cụ thể - Bài tập có nội dung trừu tượng điều kiện toán, chất nêu bật lên, chi tiết không chất bỏ bớt - Bài tập vui tập có tác dụng làm giảm bớt khô khan, mệt mỏi, ức chế học sinh, tạo hứng thú đồng thời mang lại trí tuệ cao 2.3 Phân loại theo yêu cầu rèn luyện kĩ năng, phát triển tư học sinh q trình dạy học: phân biệt thành tập luyện tập, tập sáng tạo, tập nghiên cứu, tập thiết kế - Bài tập luyện tập: loại tập mà việc giải chúng khơng địi hỏi tư sáng tạo học sinh, chủ yếu yêu cầu học sinh nắm vững cách giải loại tập định dẫn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an - Bài tập sáng tạo: loại tập này, việc phải vận dụng số kiến thức học, học sinh bắt buộc phải có ý kiến độc lập, mẻ, suy cách logic từ kiến thức học - Bài tập nghiên cứu: dạng tập trả lời câu hỏi “tại sao” - Bài tập thiết kế: dạng tập trả lời cho câu hỏi “phải làm nào” 2.4.Phân loại theo cách thể tập: người ta phân biệt tập thành - Bài tập khoa - Bài tập lựa chọn câu trả lời câu trả lời cho sẵn (test) Loại có hạn chế khơng kiểm tra đường suy nghĩ người giải có hiệu định việc kiểm tra trình độ kiến thức, kĩ năng,kĩ xảo học sinh 2.5 Phân loại theo hình thức làm 2.5.1.Bài tập tự luận : yêu cầu học sinh giải thích, tính tốn hồn thành theo logic cụ thể Nó bao gồm loại trình bày 2.5.2.Bài tập trắc nghiệm khách quan : loại tập cho câu hỏi đáp án Các đáp án đúng, gần sai Nhiệm vụ học sinh tìm câu trả lời nhất, có câu bỏ lửng yêu cầu điền vào chỗ trống để có câu trả lời Bài tập loại gồm: - Câu – sai: câu hỏi phát biểu, câu trả lời hai lựa chọn - Câu nhiều lựa chọn: câu hỏi, nhiều phương án lựa chọn, yêu cầu học sinh tìm câu trả lời - Câu điền khuyết: nội dung câu bị bỏ lửng, yêu cầu học sinh điền từ ngữ công thức vào chỗ bị bỏ trống - Câu ghép hình thức: nội dung câu chia thành hai phần, học sinh phải tìm phần phù hợp để ghép thành câu 3.Phương pháp giải tập LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Đối với học sinh phổ thông, vấn đề giải sửa tập gặp khơng khó khăn học sinh thường không nắm vững lý thuyết kĩ vận dụng kiến thứcTốn Vì em giải cách mị mẫm, khơng có định hướng rõ ràng, áp dụng cơng thức máy móc nhiều khơng giải Có nhiều nguyên nhân: - Học sinh chưa có phương pháp khoa học để giải tập Toán Việc rèn luyện cho học sinh biết cách giải tập cách khoa học, đảm bảo đến kết cách xác việc cần thiết Nó giúp học sinh nắm vững kiến thức mà rèn luyện kĩ suy luận logic, làm việc cách khoa học, có kế hoạch Q trình giải tập Tốn thực chất q trình tìm hiểu điều kiện tập, xác lập mối liên hệ cụ thể dựa vận dụng kiến thức Toán vào điều kiện cụ thể tập cho Từ tính tốn mối liên hệ xác lập để dẫn đến lời giải kết luận xác Sự nắm vững mối liên hệ giúp cho giáo viên định hướng phương pháp dạy tập cách hiệu Bài tập Toán đa dạng, phương pháp giải phong phú Vì khơng thể phương pháp cụ thể mà áp dụng để giải tất tập Từ phân tích nêu trên, vạch dàn chung gồm bước sau: 3.1 Tìm hiểu đầu bài, tóm tắt kiện - Đọc kĩ đề bài, tìm hiểu ý nghĩa thuật ngữ quan trọng, xác định đâu ẩn số, đâu kiện - Dùng kí hiệu tóm tắt đề cho gì? Hỏi gì? 3.2 Xây dựng lập luận Thực chất bước tìm quan hệ ẩn số phải tìm với kiện cho Đối chiếu kiện cho phải tìm liên hệ với nào, qua công thức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 3.2.1 Đối với tập tổng hợp phức tạp, có hai phương pháp xây dựng lập luận để giải: - Phương pháp phân tích: xuất phát từ ẩn số cần tìm, tìm mối liên hệ ẩn số với đại lượng theo - Phương pháp tổng hợp: xuất phát từ kiện cho đầu bài, xây dựng lập luận biến đổi công thức diễn đạt mối quan hệ kiện cho với đại lượng khác để tiến dần đến cơng thức cuối có chứa ẩn số kiện cho 3.2.2 Đối với tập định tính: ta khơng cần tính tốn nhiều mà chủ yếu sử dụng lập luận, suy luận logic dựa vào kiến thức Tốn để giải thích dự đốn khả xảy 3.4 Kiểm tra, xác nhận kết biện luận - Từ mối liên hệ bản, lập luận giải để tìm kết - Phân tích kết cuối để loại bỏ kết không phù hợp với điều kiện đầu tập không phù hợp với thực tế Việc biện luận cách để kiểm tra đắn q trình lập luận Đơi khi, nhờ biện luận mà học sinh tự phát sai lầm trính lập luận, vô lý kết thu Xây dựng lập luận giải tập Xây dựng lập luận giải tập bước quan trọng q trình giải tậpTốn Trong bước này, ta phải vận dụng định lý, quy tắc, công thức để thiết lập mối quan hệ đại lượng cần tìm, tượng cần giải thích hay dự đốn với kiện cụ thể cho đầu Muốn làm điều đó, cần phải thực suy luận logic biến đổi tốn học thích hợp Có nhiều cách lập luận tùy theo loại tập hay đặc điểm tập Tuy nhiên, tất tập mà ta nêu mục phân loại tập chứa đựng số yếu tố tập Dưới đây, ta xét đến phương pháp xây dựng lập luận để giải tập 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời giải vắn tắt sau: đưa dạng: p= đặt đưa xét chiều biến thiên hàm số: từ để có: p Nhận xét: Lời giải gọn gàng tự nhiên! Bài 12 Cho x, y,z ba số thực dương cho x + y + z =3 Tìm giá trị lớn biểu thức Hướng dẫn giải Áp dụng đẳng thức giả thiết x + y + z = 3, ta có: (1) từ (1) ta có: 3p (2) (chú ý x + y + z = 3) Xét hàm số với ta có: hay (ở đặt 83 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an phương trình =0 có nghiệm từ để suy phương trình nghiệm cể nghiệm nên nghiệm nên có bảng biến thiên sau: t f'(t) f(t) từ suy (vè ) từ (2) suy dấu (3) sảy tìm lại Nhận xét: Ta có cách giải khác phương pháp bất đẳng thức sau đây: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cể hay (1) dấu (1) xảy lập luận tương tự, ta có ( ) , (2) (3) dấu trong(2) (3) tương ứng xảy cộng vế (1)(2)(3) có + (4) (do x + y + z = 3) 84 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an dấu (4) xảy Áp dụng đẳng thức ta viết lại (4) dạng sau: + + hay dấu (5) xảy ta có max ta thu lại kết bạn thích cách giải nào? Bài 13 Tìm giá trị nhỏ hàm số với Hướng dẫn giải viết lại dạng (1) Áp dụng công thức đặt để từ (1) xét hàm số với ta có 85 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an từ (2) suy Bài 14 Giả sử Tìm giá trị nhỏ biểu thức Hướng dẫn giải Xét hàm số với ta có từ ta có bảng xét dấu sau: t f'(t) + f(t) hay (1) dấu (1) xảy ta có (2) (3) 86 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (4) nên x, y, z đồng thời sau cộng vế (2)(3)(4), ta có (5) ta lại có dấu trong(6) xảy nên từ (5)(6) suy dấu (7) xảy (7) đồng thời có dấu trong(5)(6) Vậy Bài 15 Cho ba số thực Tìm giá trị lớn biểu thức Hướng dẫn giải Với y, z cố định Xét hàm số biến x sau ta có (do ) 87 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vậy hàm đồng biến có ba khả sau đây: Nếu Khi để hàm đồng biến với ta có (do Nếu ) để hàm nghịch biến Từ để với , ta có < Nếu y, z có dấu thay đổi hàm đồng biến nên cể thể x f'(x) + + f(x) , nên suy với kết hợp lại, ta ln có , ta ln có Nhận xét : 1.Trong tốn biểu thức phụ thuộc vào ba biến x,y,z ta coi hàm biến ( biến x chẳng hạn ) sau để ta sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số để giải toán cho 88 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2.Cách giải áp dụng để giải đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học khối A– 2011: cho cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 16 (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A) Cho hai số thực khác thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức Hướng dẫn giải ta có: (1) từ (1) giả thiết suy đặt (2) để từ giả thiết ta có (3) thay(3) vào (2) có với với t -1 F'(t) F(t) ta có có bảng biến thiên sau: + 89 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta có nên Nhận xét: Xem cách giải toán phương pháp bất đẳng thức Bài tập tự luyện Bài 1:cho x>0, y>0 x+ y= Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài 2: cho bốn số thực dương x, y, z, t Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài 3: cho x, y, z số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức p= Bài 4: cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z==1 Tìm giá trị lớn biểu thức P= Bài 5:Giả sử x, y, z lả số thực dương thỏa mãn điều kiện tìm giá trị nhỏ biểu thức P= Bài 6: cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Tim giá trị nhỏ biều thức P= Bài 7: cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Tìm giá trị lớn biểu thức p= Bài 8: cho x,y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P= 90 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài 9: cho x>0, y>0, z>0 x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ nhât biểu thức p= Bài 10: cho x, y, z ba số thực dương xyz=1 Tìm giá trị lớn biểu thức P= Bài 11: cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện tìm giá tri nhỏ biểu thức P= Bài 12: cho x>0, y>0 x+y=1 tìm giá trị nhỏ biểu thức P= Bài 13: cho x>0, y>0 x+y=1 tìm giá trị nhỏ biểu thưc p= Bài 14: cho x>1, y>1 tìm giá trị nhỏ biểu thức P= Bài 15:cho x>0, y>0, z>0 x+y+z=3 tìm giá tri nhỏ biểu thức p= 16: cho x, y, z số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= Bài 17: cho x>0, y>0, z>0 xyz=1 Tìm giá trị nhỏ cuar biểu thức P= Bài 18: cho số thực dương cho Tìm gia trị nhỏ biểu thức P= 91 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài 19: cho x>0, y>0, z>0 x+y+z=3xyz tìm giá trị lớn biểu thức p= Bài 20: cho Tim giá trị lớn hàm số Bài 21: cho x, y số dương thỏa mãn điều kiện xy=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= Bài 22: cho x>0, y>0, z>0 x+y+z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= Bài 23: cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3 tìm giá trị nhát biểu thức S= Bài 24: cho x>0, y>0 x+y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 92 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C: HIỆU QUẢ CỦA GIẢI PHÁP Thực nghiệm sư phạm Năm học 2012 - 2013 áp dụng giải pháp lớp 12C 12A, trường THPT Dân Tộc Nội Trú 1lớp thực nghiệm 12A lớp đối chứng 12C.Lớp thực nghiệm lớp đối chứng có lực học tập đợt khảo sát đầu năm tương đương Một thuận lợi việc thực giải pháp lớp mà tiến hành thực nghiệm em thi đại học khối A D, tuần em có tham gia học ơn trường buổi lý phần quỹ thời gian tơi đủ để tiến hành thực nghiệm Sau trình giảng dạy hết Bài bất đẳng thức tiến hành ôn tập hệ thống lại kiến thức Lớp thực nghiệm giảng dạy theo nghiên cứu giải pháp lớp đối chứng tiến hành dạy thông thường không lưu ý đến áp dụng nghiên cứu giải pháp: Cụ thể lớp thực nghiệm cho: Học sinh đa số biết vận dụng kiến thức để giải toán bất đẳng thức , tương đối thành thạo phát phương pháp giải - Chúng có buổi học trao đổi nhiều lý thuyết chương bất đẳng thức đưa phương pháp giải dạng tương ứng Khi tiến hành giảng dạy bất đẳng thức tiến hành ôn tập với phương thức : - Bước đầu: học sinh củng cố lý thuyết - hiểu sâu nắm lý thuyết - Bước hai: phân thành chuyên đề, chuyên đề phân thành dạng tập thường gặp Mỗi dạng tập có xây dựng phương pháp giải tập vận dụng - Bước ba: tiến hành phôtô tập theo chuyên đề sau có buổi trao đổi với học sinh 93 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an - Bước bốn: Sau học sinh hiểu rõ lý thuyết, làm quen với chuyên đề bất đẳng thức áp dụng cho học sinh giải tập mà cịn giải với tốc độ nhanh Đối với lớp đối chứng tiến hành ơn tập bình thường, sau tiến hành kiểm tra với đề lớp thực nghiệm lớp đối chứng cho kết sau: Kết kiểm tra Điểm Lớp Lớp thực 12C Sĩ 10 0 0 10 32 0 10 32 số nghiệm đối 12A Lớp chứng Nhận xét - Qua theo dõi kết kiểm tra cho thấy số học sinh tiếp cận với giải pháp so với học sinh chưa tiếp cận hiểu sâu lý thuyết so với lớp đối chứng Kỹ làm tập tốt Tốc độ làm tập nhanh Một biểu rõ học sinh lớp thực nghiệm em tự tin việc tiếp cận dạng tập đề thi đại học năm đề thi thử đại học trường C: Hiệu giải pháp : Khi thực giải pháp thấy học sinh biết vận dụng phương pháp để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Kết thu sau: Kết đối chứng so sánh - Giải pháp áp dụng cho học sinh lớp 12C, 12A trường THPT DTNT Hoà Bình - Khi chưa áp dụng tơi dạy học sinh cho kết sau: 94 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nhóm I: Số HS 15 Điểm giỏi Điểm Điểm Điểm Điểm TB yếu SL % SL % 01 6,7 03 20 S L % SL % 05 33,3 05 33, S L % 01 6, Nhóm II: Số HS 16 Điểm giỏi Điểm Điểm TB SL % SL % SL % 0 25 Điểm yếu SL % 31,25 Điểm SL % 31,25 12,5 95 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an PHẦN KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 3.2 Khả ứng dụng, triển khai: Bản thân nghĩ triển khai kỹ , tham khảo giải pháp em học sinh đồng nghiệp đỡ lúng túng trước toán bất đẳng thức , em có hướng biến đổi trước tốn khó 3.3 Những kiến nghị, đề xuất: Nhằm giúp cho học sinh học tốt với môn học, thân có kiến nghị với phịng thiết bị, Ban giám hiệucó kế hoạch mua bổ sung số sách tham khảo chuyên đề bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhỏ Sở giáo dục có nhiều lớp tập huấn cơng tác chun mơn cử dồng chí cốt cán dạy chuyên đề 96 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn
Ngày đăng: 06/08/2023, 11:57
Xem thêm:
