Luận văn đối ngẫu trong quy hoạch phân tuyến tính(tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN TRUNG KIÊN ĐỐI NGẪU TRONG QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HĨA, NĂM 2016 Luận văn hồn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS TS Trần Vũ Thiệu Phản biện 1: GS.TSKH Đinh Dũng Phản biện 2: PGS TS Tạ Duy Phượng Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Trường Đại học Hồng Đức Vào hồi: 14 00 ngày 05 tháng 11 năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ mơn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Qui hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viết tắt LFP) toán tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm phân thức afine (tỉ số hai hàm tuyến tính afine) với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Qui hoạch phân tuyến tính trường hợp riêng qui hoạch phi tuyến, thường dùng để mô hình hố tốn thực tế với hay nhiều mục tiêu (chẳng hạn lợi nhuận / chi phí, sản phẩm / số lao động, ) ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khác kỹ thuật, kinh tế, tài chính, Một tốn qui hoạch phân thức sớm mơ hình cân kinh tế Von Neumann nêu năm 1973 Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, kiến thức mở rộng ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn "Đối ngẫu qui hoạch phân tuyến tính." Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [3], [4] [5] Mục đích nghiên cứu Hiểu trình bày rõ ràng tốn qui hoạch phân tuyến tính, toán đối ngẫu định lý quan hệ đối nghẫu cặp toán đối ngẫu qui hoạch phân tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các tốn tối ưu tuyến tính phân tuyến tính Các quan hệ đối ngẫu qui hoạch phân tuyến tính (đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh) Phương pháp nghiên cứu Vận dụng phương pháp nghiên cứu giải tích, giải tích lồi tối ưu hóa Dự kiến đóng góp luận văn Tổng hợp giới thiệu có chọn lọc kết đối ngẫu lý thuyết đối ngẫu qui hoạch phân tuyến tính Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm hai chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương đề cập tới số kiến thức sở tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm lõm mở rộng, tính chất cực trị hàm 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.1.1 Tập lồi tính chất Định nghĩa 1.1.1 Tập C Rn gọi tập lồi (convex set) λ x + (1 − λ )y ∈ C với x, y ∈ C ≤ λ ≤ Định nghĩa 1.1.2 a) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, λ1 + + λk = 1, gọi tổ hợp lồi điểm a1 , a2 , , ak b) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λ1 + + λk = 1, gọi tổ hợp afine điểm a1 , a2 , , ak c) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, gọi tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón điểm a1 , a2 , , ak Định nghĩa 1.1.3 Cho tập E Rn Bao afine bao lồi tập E (xem chi tiết luận văn) Định nghĩa 1.1.4 Thứ nguyên (số chiều) tập afine M, tập lồi C (định nghĩa chi tiết xem luận văn) Định nghĩa 1.1.5 Một tập K Rn gọi nón (cone) hay tập nón (mũi 0) với x ∈ K λ > λ x ∈ K Nón K gọi nón lồi (convex cone) K tập lồi 1.1.2 Tập lồi đa diện định lý biểu diễn Định nghĩa 1.1.6 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện (polyhedral convex set) Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính: ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, , m, nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A = (ai j ) ∈ Rm×n , b = (b1 , , bm )T Định lý 1.1.7 Mỗi điểm tập lồi đa diện D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} biểu diễn dạng tổ hợp lồi tập hữu hạn đỉnh D cộng với tổ hợp tuyến tính khơng âm tập hữu hạn phương cực biên D 1.2 Hàm lồi, hàm lõm mở rộng Định nghĩa 1.2.1 a) Hàm f : S → [±∞] xác định tập lồi S ⊆ Rn gọi hàm lồi S với x, y ∈ S số thực λ ∈ [0, 1] ta có f [λ x + (1 − λ )y] ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) (khi vế phải xác định) b) Hàm f gọi hàm lồi chặt S với x, y ∈ S, x 6= y số thực λ ∈ (0; 1) ta có: f [λ x + (1 − λ )y] < λ f (x) + (1 − λ ) f (y) Định nghĩa 1.2.2 Hàm lõm( Hàm lõm chặt ), Hàm tuyến tính afine (chi tiết xem luận văn) Một hàm afine Rn có dạng f (x) = aT x + α với a ∈ Rn , α ∈ R Định lý sau nêu mối liên hệ đáng ý hàm lồi tập lồi Định lý 1.2.3 Giả sử f : Rn → [−∞, +∞] hàm lồi Rn α ∈ [−∞, +∞] Khi đó, tập mức Cα = {x : f (x) < α} , C¯α = {x : f (x) ≤ α} tập lồi Tương tự, f hàm lõm Rn β ∈ [−∞, +∞] tập mức Cβ = {x : f (x) > β } , C¯β = {x : f (x) ≥ β } tập lồi Định nghĩa 1.2.4 Hàm tựa lồi, tựa lõm (chi tiết xem luận văn) Định nghĩa 1.2.5 Hàm tựa lồi chặt, tựa lõm chặt (chi tiết xem luận văn) Định nghĩa 1.2.6 Cho S tập lồi mở, khác rỗng Rn f : S → R hàm khả vi S Hàm f gọi giả lồi với x, y ∈ S mà ∇ f (x)T (y − x) ≥ ta có f (y) ≥ f (x) hay nói cách khác, f (y) < f (x) ∇ f (x)T (y − x) < Hàm f gọi giả lõm − f giả lồi Định lý 1.2.7 Giả sử S tập lồi mở, khác rỗng Rn f : S → R hàm giả lồi, khả vi S Khi đó, f đồng thời hàm tựa lồi tựa lồi chặt 1.3 Cực tiểu cực đại hàm lồi Định nghĩa 1.3.1 Cực tiểu địa phương, cực tiểu địa phương chặt hàm f tập S (chi tiết xem luận văn) Định nghĩa 1.3.2 Cực tiểu toàn cục, cực đại toàn cục f S (chi tiết xem luận văn) Các khái niệm cực đại địa phương, cực đại địa phương chặt, cực đại toàn cục cực đại toàn cục chặt định nghĩa tương tự Định lý sau nêu tính chất đặc trưng hàm lồi Định lý 1.3.3 Cho S tập lồi, khác rỗng Rn f : Rn → R hàm lồi Mọi điểm cực tiểu địa phương f S điểm cực tiểu toàn cục Tập tất điểm cực tiểu f S tập lồi Định lý 1.3.4 Một hàm lồi chặt f tập lồi S có nhiều điểm cực tiểu S, nghĩa tập argmin f (x) gồm nhiều phần tử x∈S Định lý 1.3.5 Cho S tập lồi, khác rỗng Rn f : Rn → R hàm tựa lồi chặt Mọi điểm cực tiểu địa phương f S điểm cực tiểu toàn cục Định nghĩa 1.3.6 Cho tập lồi C ⊆ Rn , x0 ∈ C điểm cực biên (extreme
point) C không tồn x1 , x2 ∈ C x1 6= x0 , x2 6= x0 , λ ∈ (0, 1) cho x0 = λ x1 + (1 − λ )x2 Khi C tập lồi đa diện, điểm cực biên C gọi đỉnh (vertex) C Định lý 1.3.7 Giả sử S tập lồi compact Rn f : S → R hàm lồi, f đạt cực đại S cực đại đạt điểm cực biên S Định lý 1.3.8 Cho D 6= ∅ đa diện lồi Rn f : D → R hàm tựa lồi, liên tục D Khi đó, f đạt cực đại D đỉnh D 1.4 Hàm phân thức afine Hàm phân thức afine thường gặp toán tối ưu Hàm có dạng p(x) pT x + α = , q(x) qT x + β  p, q ∈ Rn , α, β ∈ R dom f = x ∈ Rn : qT x + β > f (x) = Ký hiệu S tập lồi cho q (x) = qT x + β 6= với x ∈ S Không giảm tổng quát, ta giả thiết q (x) > với x ∈ S Định lý 1.4.1 f (x) = p (x) /q (x) hàm đơn điệu đoạn thẳng nằm  trọn tập lồi S = x : qT x + β >

Định lý 1.4.2 Giả sử f (x) = pT x + α / qT x + β S tập lồi cho
qT x + β 6= S Khi đó, hàm f (x) vừa giả lồi, vừa giả lõm S 1.5 Đối ngẫu qui hoạch tuyến tính 1.5.1 Bài tốn qui hoạch tuyến tính Qui hoạch tuyến tính tốn tìm cực tiểu (cực đại) hàm tuyến tính f (x) tập lồi đa diện D ∈ Rn Bài tốn thường viết hai dạng: • Dạng chuẩn tắc: min{ f (x) = cT x : Ax ≥ b, x ≥ 0},trong A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn , x ≥ có nghĩa x ∈ Rn+ Trong toán tập ràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} tập lồi đa diện  • Dạng tắc: f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ , A, b, c x xác định Trong toán tập ràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} tập lồi đa diện Định lý 1.5.1 Nếu qui hoạch tuyến tính có nghiệm chấp nhận hàm mục tiêu toán bị chặn tập ràng buộc (đối với tốn min) qui hoạch chắn có nghiệm tối ưu 1.5.2 Cặp tốn đối ngẫu • Đối ngẫu qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (qui hoạch gốc) (P)  f (x) = cT x : Ax ≥ b, x ≥ tốn qui hoạch tuyến tính (qui hoạch  đối ngẫu): (Q) max g (y) = bT y : AT y ≤ c, y ≥ • Đối ngẫu qui hoạch tuyến tính dạng tắc (qui hoạch gốc): (P)  f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ tốn qui hoạch tuyến tính (qui hoạch  đối ngẫu): (Q) max g (y) = bT y : AT y ≤ c 1.5.3 Các định lý đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Định lý 1.5.2 (Đối ngẫu yếu) Nếu x lời giải chấp nhận toán gốc (P) y lời giải chấp nhận toán đối ngẫu (Q) f (x) = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn ≥ g (y) = b1 y1 + b2 y2 + + bm ym Định lý 1.5.3 (Đối ngẫu mạnh) Nếu qui hoạch có nghiệm tối ưu qui hoạch đối ngẫu có nghiệm tối ưu hai giá trị tối ưu Định lý 1.5.4 (Định lý đối ngẫu bản) Đối với cặp toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu có ba khả loại trừ sau đây: a) Cả hai tốn khơng có nghiệm chấp nhận b) Cả hai tốn có nghiệm chấp nhận Khi đó, hai có nghiệm tối ưu giá trị tối ưu hai hàm mục tiêu c) Một tốn có nghiệm chấp nhận tốn khơng có nghiệm chấp nhận Khi đó, tốn có nghiệm chấp nhận có giá trị tối ưu vơ cực (+∞ hay −∞ tùy theo toán max hay min) Chương CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU TRONG QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính Sau ta xét toán qui hoạch phân tuyến tính, ký hiệu (LFP), có dạng: n f (x) = p(x) = q(x) p0 + ∑ p j x j j=1 n → max (2.1) q0 + ∑ q j x j j=1 với điều kiện n ∑ j x j ≤ bi, i = 1, 2, , m, (2.2) x j ≥ 0, j = 1, 2, , n (2.3) j=1 Kí hiệu A = (ai j )m ×n , b = (b1 , , bm )T S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} gọi tập chấp nhận toán Rõ ràng, S tập lồi đa diện Ta giả thiết q (x) 6= 0, ∀x ∈ S Từ đó, q(x) hàm tuyến tính
afin nên ta giả thiết q (x) > 0, ∀x ∈ S, có x1 ∈ S với q x1 >
 
x2 ∈ S với q x2 < tồn x3 ∈ x1 , x2 ⊆ S cho q x3 = 0, trái với giả thiết q (x) 6= 0, ∀x ∈ S Trường hợp q (x) < 0, ∀x ∈ S, ta nhân tử số p(x) mẫu số q(x) hàm mục tiêu với (−1) để đưa trường hợp q (x) > 0, ∀x ∈ S • Ý nghĩa thực tế toán (LEP) (xem chi tiết luận văn) • Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (LFP) đưa tốn qui hoạch tuyến tính, nhờ dùng phép biến đổi Charnes - Cooper sau đây: t= > 0, y = t.x (t ∈ R, y ∈ Rn ) T q0 + q x qT = (q1 , , qn ) Nhân ràng buộc Ax ≤ b với t > 0, ta đưa (LFP) tốn tuyến tính:  (LP) max g (t, y) ≡ p0t + pT y : −b.t + Ay ≤ 0, q0t + qT y = 1,t ≥ 0, y ≥ So với (LFP), tốn (LP) có thêm biến ràng buộc Các nghiệm (tối ưu) hai tốn (LP) (LFP) có mối liên hệ sau Định lý 2.1.1 Với ký hiệu trên, ta có kết luận sau đây:
a) Nếu t , y0 nghiệm chấp nhận (LP) t > x0 = y0 /t nghiệm chấp nhận (LFP)


f x0 = t p0 + pT x0 = p0t + pT y0 = g t , y0
b) Nếu x0 nghiệm chấp nhận (LFP) t , y0 nghiệm chấp nhận (LP) với , y0 = x0 t q0 + qT x


g t , y0 = q0t + pT y0 = t q0 + pT x0 = f x0 t0 = Định lý 2.1.2 a) Nếu (t ∗ , y∗ ) nghiệm tối ưu (LP) t ∗ > x∗ = y∗ /t ∗ nghiệm tối ưu (LFP) b) Giả sử (LFP) chấp nhận Khi đó, (LP) khơng bị chặn (LFP) không bị chặn Định lý 2.1.3 Giả sử (LFP) có nghiệm chấp nhận Khi đó, (LP) có nghiệm tối ưu nghiệm tối ưu có t = giá trị mục tiêu (LFP) có cận hữu hạn, cận khơng đạt tới Đó trường hợp (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận Các định lý áp dụng vào cặp ràng buộc {x : Ax = b, x ≥ 0} {(t, y) : −bt + Ay = 0,t ≥ 0, y ≥ 0} 2.2 Đối ngẫu Lagrange phân thức Xét toán qui hoạch phân tuyến tính tổng quát (LFP) cho dạng 2.1 - 2.3 Từ sau ta giả thiết  q (x) > 0, ∀x ∈ Rn+ = x ∈ Rn : x j ≥ 0, j = 1, , n (2.4) 10 p0 (y) + p j (y)x j , j = 1, 2, , n, q0 + q j x j Với j = 1, , n, ta xét toán: G j (x, y) = G∗j (y) = max G j (x, y) , j = 1, 2, , n x≥0 Để ý G j (x, y) hàm phân tuyến tính, j = 1, , n, theo giả thiết (2.4) mẫu số q0 + q j x j > 0, ∀x ∈ Rn+ Vì thế, p0 (y) + p j (y)x j x≥0 q0 + q j x j   p0 (y) p j (y) = max , , j = 1, 2, , n q0 qj G∗j (y) = max (2.8) Như vậy, cách ý tới (2.7) (2.8) ta diễn đạt lại tốn cực đại (2.6) sau:  p j (y) , (2.9) Ψ (y) = max L (x, y) = max j∈J0 x≥0 qj  J0 = {0, 1, , n} Ký hiệu tập số J1 = j ∈ J0 : q j = Nói chung  tập khác rỗng Do đó, có số j ∈ J1 cho p j (y) > từ (2.9) suy Ψ (y) = max L (x, y) = ∞ x≥0 Do toán đối ngẫu, mục tiêu ta cực tiểu hàm mục tiêu Ψ (y) nên cần xét hàm miền giá trị y mà hàm bị chặn Điều có nghĩa ta khơng cần xét điểm y mà hàm Ψ (y) Khơng có cận Nói cách khác, ta loại bỏ giá trị y thỏa mãn p j (y) > 0, j ∈ J1 Bây phát biểu tốn đối ngẫu toán (LFP) sau:   p j (y) Ψ (y) = max → j∈J0 qj (2.10) với điều kiện p j (y) ≤ 0, j ∈ J1 , y ≥ Đặt biến y0 = Ψ (y) Từ 2.10 ta nhận y0 ≥ p j (y) qj , j ∈ J0 Sử dụng bất đẳng thức để ý tới 2.4 phát biểu lại toán đối ngẫu dạng sau: Ψ (y) = y0 → 11 với điều kiện p j (y) ≤ 0, j ∈ J1 , q j (y) − p j (y) ≥ 0, j ∈ J0 , yi ≥ 0, i = 1, 2, , m Từ định nghĩa tập J1 (tức q j = 0, ∀ j ∈ J1 ) trở lại dùng ký hiệu ban đầu, ta phát biểu toán đối ngẫu toán qui hoạch phân tuyến tính (LFP) cho dạng 2.1 - 2.3 sau: Ψ (y) = y0 → với điều kiện (2.11) m q0 y0 − ∑ bi yi ≥ p0 , (2.12) i=1 m q j y0 + ∑ j yi ≥ p j , j = 1, 2, , n, (2.13) yi ≥ 0, i = 1, 2, , m (2.14) i=1 Chú ý toán đối ngẫu 2.11 - 2.14 toán qui hoạch tuyến tính, đối ngẫu tốn qui hoạch tuyến tính có dạng n φ (t) = ∑ p jt j → max (2.15) j=0 với điều kiện n ∑ q jt j = 1, (2.16) − bit0 + ∑ jt j ≤ 0, i = 1, 2, , m, (2.17) t j ≥ 0, j = 0, 1, , n (2.18) j=0 n j=1 Dễ dàng nhận thấy toán (2.15) - (2.18), xây dựng toán đối ngẫu toán đối ngẫu (2.11) - (2.14), tốn tuyến tính tương ứng tốn (LFP) (2.1) - (2.3) Đó sở cho nhận xét quan trọng sau: Nhận xét 2.2.1 Từ "đối ngẫu" bắt nguồn từ tiếng Latin "duo" có nghĩa "cặp đôi", nhiên qui hoạch phân tuyến tính có tới ba tốn: 12 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (LFP) gốc (2.1) - (2.3), Bài tốn qui hoạch tuyến tính (LP) đối ngẫu (2.11) - (2.14) (LFP) Bài toán (2.15) - (2.18) đối ngẫu toán (LP) đối ngẫu (2.11) (2.14) đồng thời tốn tuyến tính tương ứng tốn (LFP) gốc • Tiếp theo, ta xét rường hợp toán (LFP) viết dạng tắc: n f (x) = p(x) = q(x) p0 + ∑ p j x j j=1 n → max (2.19) q0 + ∑ q j x j j=1 với điều kiện n ∑ j x j = bi, i = 1, 2, , m, (2.20) x j ≥ 0, j = 1, 2, , n (2.21) j=1 Để xây dựng toán đối ngẫu dùng hàm Lagrange phân thức 2.5 ta xét toán tối ưu: Ψ (y) = max L (x, y) x≥0 khơng có giả thiết khơng âm biến y Rõ ràng cách sử dụng ý tưởng tương tự trường hợp trước đây, ta nhận toán đối ngẫu sau: Ψ (y) = y0 → với điều kiện (2.22) m q0 y0 − ∑ bi yi ≥ p0 , (2.23) i=1 m q j y0 + ∑ j yi ≥ p j , j = 1, 2, , n, (2.24) i=1 Chú ý tốn khơng có hạn chế dấu biến đối ngẫu yi , i = 1, 2, , m Theo lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính, đối ngẫu tốn (2.22) - (2.24) toán: n φ (t) = ∑ p jt j → max j=0 13 với điều kiện n ∑ q jt j = 1, j=0 n − bit0 + ∑ jt j ≤ 0, i = 1, 2, , m, j=1 t j ≥ 0, j = 0, 1, 2, , n • Cuối cùng, trình bày tốn đối ngẫu tốn qui hoạch phân tuyến tính với ràng buộc viết dạng hỗn hợp n f (x) = p(x) = q(x) p0 + ∑ p j x j j=1 n → max (2.25) q0 + ∑ q j x j j=1 với điều kiện        n ∑ j x j ≤ bi , i = 1, 2, , m1 , j=1 n (2.26) ∑ j x j = bi , i = m1 + 1, m1 + 2, , m, j=1 x j ≥ 0, j = 1, 2, , n1 , (2.27) m1 ≤ m n1 ≤ n Đối ngẫu toán qui hoạch phân tuyến tính (2.25) - (2.27) tốn: Ψ (y) = y0 → với điều kiện (2.28) m q0 y0 − ∑ bi yi ≥ p0 (2.29) i=1  m    q j y0 + ∑ j yi ≥ p j , j = 1, 2, , n1 , i=1 m    q j y0 + ∑ j yi ≥ p j , j = n1 + 1, n1 + 2, , m, (2.30) i=1 yi ≥ 0, i = 1, 2, , n1 , (2.31) 14 2.3 Ví dụ tốn đối ngẫu Ví dụ 2.3.1 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính gốc: f (x) = + x1 + 2x2 → max + 4x1 + 5x2 với điều kiện i = : 7x1 + 8x2 ≤ 100 i = : 9x1 + 10x2 ≤ 200 i = : 11x1 + 12x2 ≤ 300 x1 ≥ 0, x2 ≥ Bài tốn tuyến tính đối ngẫu: Ψ (y) = y0 → với điều kiện j = : 6y0 − 100y1 − 200y2 − 300y3 ≥ 3, j = : 4y0 + 7y1 + 9y2 + 11y3 ≥ 1, j = : 5y0 + 8y1 + 10y2 + 12y3 ≥ 2, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ Nhận thấy thiết lập toán đối ngẫu số p0 = 3, q0 = hàm mục tiêu f (x) phần tử vế phải ràng buộc b1 = 100, b2 = 200, b3 = 300 trở thành hệ số ràng buộc đối ngẫu đánh dấu số j = Tiếp đó, hệ số ràng buộc thứ i toán gốc trở thành hệ số biến yi ràng buộc toán đối ngẫu Ngược lại, hệ số biến gốc x j ràng buộc trở thành hệ số ràng buộc thứ j toán đối ngẫu Hơn nữa, p1 = 1, p2 = q1 = 4, q2 = biến gốc cần tìm x1 x2 hàm mục tiêu f (x) trở thành hệ số ràng buộc đối ngẫu tương ứng vế phải vế trái Các ràng buộc đối ngẫu đánh dấu nhãn j = j = Ví dụ 2.3.2 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính gốc: f (x) = + x1 + 2x2 → + 4x1 + 5x2 15 với điều kiện i = : 7x1 + 8x2 = 100, i = : 9x1 + 10x2 ≤ 200, i = : 11x1 + 12x2 = 300, x1 ≥ 0, x2 ≥ Bài tốn tuyến tính đối ngẫu: Ψ (y) = y0 → max với điều kiện j = : 6y0 − 100y1 − 200y2 − 300y3 ≥ 3, j = : 4y0 + 7y1 + 9y2 + 11y3 ≥ 1, j = : 5y0 + 8y1 + 10y2 + 12y3 ≥ 2, y1 dấu tùy ý, y2 ≥ 0, y3 dấu tùy ý Ví dụ 2.3.3 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính gốc: + x1 + 2x2 f (x) = → max + 4x1 + 5x2 với điều kiện i = : 7x1 + 8x2 = 100, i = : 9x1 + 10x2 ≥ 200, i = : 11x1 + 12x2 = 300, x1 x2 ≥ dấu tùy ý, Để lập toán đối ngẫu, trước hết ta cần thực phép biến đổi sau đây: • Nhân ràng buộc thứ hai với (−1) Vì thế, thay cho ràng buộc ” ≥ ” ban đầu 9x1 + 10x2 ≥ 200 ta nhận ràng buộc ” ≤ ”: −9x1 − 10x2 ≤ −200 • Thay biến gốc dấu tuỳ ý x1 nơi có mặt (ở hàm mục tiêu ràng 00 00 buộc) hiệu hai biến không âm: x1 = x1 − x1 với x1 ≥ 0, x1 ≥ Vì thế, thay cho toán ban đầu ta nhận toán (LFP) sau đây: 00 + x1 − x1 + 2x2 f (x) = → max 00 + 4x1 − 4x1 + 5x2 16 với điều kiện 00 i = : 7x1 − 7x1 + 8x2 = 100, 00 i = : −9x1 + 9x1 − 10x2 ≤ −200, 00 i = : 11x1 − 11x1 + 12x2 = 300, 00 x1 ≥ 0, x1 ≥ 0, x2 ≥ Bài tốn tuyến tính đối ngẫu: Ψ (y) = y0 → với điều kiện j = : 6y0 − 100y1 + 200y2 − 300y3 ≥ 3,  0 j = x1 : 4y0 + 7y1 − 9y2 + 11y3 ≥ 1,  00  j = x1 : −4y0 − 7y1 + 9y2 − 11y3 ≥ −1, j = : 5y0 + 8y1 − 10y2 + 12y3 ≥ 2, y1 dấu tùy ý, y2 ≥ 0, y3 dấu tùy ý  0 Nhận thấy ràng buộc đối ngẫu đánh dấu j = x1  00  j = x1 viết lại thành  0 j = x1 : 4y0 + 7y1 − 9y2 + 11y3 ≥ 1,  00  j = x1 : 4y0 + 7y1 − 9y2 + 11y3 ≤ 1, Hai bất đẳng thức tương đương với đẳng thức 4y0 + 7y1 − 9y2 + 11y3 = Cuối cùng, ta phát biểu tốn tốn đối ngẫu sau: Ψ (y) = y0 → với điều kiện j = : 6y0 − 100y1 + 200y2 − 300y3 ≥ 3, j = : 4y0 + 7y1 − 9y2 + 11y3 = 1, j = : 5y0 + 8y1 − 10y2 + 12y3 ≥ 2, y1 dấu tùy ý, y2 ≥ 0, y3 dấu tùy ý 17 2.4 Các định lý đối ngẫu Định lý 2.4.1 (Định lý đối ngẫu yếu) Nếu véctơ x = (x1 , x2 , , xn )T nghiệm chấp nhận toán (LFP) gốc 2.1-2.3 véctơ y = (y0 , y1 , , ym )T nghiệm chấp nhận toán đối ngẫu tương ứng 2.11-2.14 f (x) ≤ Ψ (y) Bổ đề 2.4.2 Nếu x∗ = (x1∗ , x2∗ , , xn∗ )T nghiệm chấp nhận toán (LFP) gốc (2.1)-(2.3), y∗ = (y∗1 , y∗2 , , y∗m )T nghiệm chấp nhận tốn đối ngẫu (2.11)-(2.14) có đẳng thức: f (x∗ ) = Ψ (y∗ ) (2.32) x∗ nghiệm tối ưu (2.1)-(2.3) y∗ nghiệm tối ưu (2.11)-(2.14) Bổ đề 2.4.3 Nếu hàm mục tiêu Ψ (y) tốn đối ngẫu (2.11)-(2.14) khơng bị chặn tập chấp nhận Y tốn (LFP) gốc (2.1)-(2.3) khơng giải tập chấp nhận S tốn rỗng Định lý 2.4.4 (Định lý đối ngẫu mạnh) Nếu toán (LFP) gốc (2.1)-(2.3) giải véctơ x∗ nghiệm tối ưu toán, tốn đối ngẫu (2.11)-(2.14) giải Hơn nữa, với nghiệm tối ưu y∗ (2.11)-(2.14) ta có đẳng thức: f (x∗ ) = Ψ (y∗ ) (2.33) Ngược lại, toán đối ngẫu (2.11)-(2.14) giải y∗ nghiệm tối ưu nó, tốn gốc (2.1)-(2.3) giải được, với nghiệm tối ưu x∗ (2.1)-(2.3) ta có đẳng thức (2.33) Từ Định lý 2.4.4 suy số hệ sau Hệ 2.4.5 Điều kiện cần đủ để toán (2.1)-(2.3) (2.11)-(2.14) giải toán phải só nghiệm chấp nhận Hệ 2.4.6 Muốn cho nghiệm chấp nhận x∗ toán (LFP) (2.1)(2.3) nghiệm chấp nhận y∗ toán (2.11)-(2.14) nghiệm tối ưu hai tốn điều kiện cần đủ f (x∗ ) = Ψ (y∗ ) 18 Hệ 2.4.7 Bài toán qui hoạch phân tuyến tính (LFP) (2.1)-(2.3) giải tốn qui hoạch tuyến tính (LP) tương ứng với (2.15)-(2.18) giải Hơn nữa, với nghiệm tối ưu x∗ toán (LFP) (2.1)(2.3) nghiệm tối ưu t ∗ toán qui hoạch tuyến tính tương ứng (2.15)-(2.18) ta ln có đẳng thức f (x∗ ) = φ (t ∗ ) , x∗ , t ∗ có mối liên hệ sau: t0∗ > t0∗ = t ∗j x∗j x∗j = = ∗ , j = 1, 2, , n, t 0   t ∗j lim λk , j ∈ J , k→∞   0, 00 (2.34) (2.35) j∈J , Các định lý hệ nêu thiết lập mối liên hệ tính giải ba toán qui hoạch toán học: toán (LFP) gốc (2.1)-(2.3), toán (LP) đối ngẫu (2.11)-(2.14) toán tuyến tính tương ứng (2.15)-(2.18) Định nghĩa 2.4.8 Với số cố định i ∈ {1, 2, , m} , ta nói hai ràng buộc i sau (2.2) (2.17) cặp ràng buộc tương ứng: n n ∑ j x j ≤ bi j=1 − bit0 + ∑ jt j ≤ 0, i = 1, 2, , m, j=1 Cũng vậy, với số cố định j ∈ {1, 2, , n} , ta nói hai ràng buộc j sau 2.3 2.18 cặp ràng buộc tương ứng: x j ≥ t j ≥ 0, j = 1, 2, , n Định nghĩa 2.4.9 Với số cố định i ∈ {1, 2, , m} , ta nói hai ràng buộc i sau (2.2) (2.14) cặp ràng buộc đối ngẫu: n ∑ j x j ≤ bi yi ≥ 0, i = 1, 2, , m j=1 Cũng vậy, với số cố định j ∈ {1, 2, , n} , ta nói hai ràng buộc j sau (2.3) (2.13) cặp ràng buộc đối ngẫu: m x j ≥ q j y0 + ∑ j yi ≥ p j , j = 1, 2, , n, i=1 • Chẳng hạn, tốn (LFP) gốc tốn đối ngẫu có dạng: + x1 + 2x2 f (x) = → max + 4x1 + 5x2