Tối ưu hàm d.c và ứng dụng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ BÁ NAM Tối ưu d.c và ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ BÁ NAM Tối ưu d.c và ứng dụng Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số 60.46.36. Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - 2010 Th¸i Nguyªn - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn & Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X ∗ X R n n ∅ x := y x y ∀y y ∃x x I A ∩ B A B A ∪ B A B A T A A ∗ A inf x∈X F (x) {F (x) : x ∈ X} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C ⊆ R n x 1 , x 2 ∈ C λ ∈ [0, 1] λx 1 + (1 − λ)x 2 ∈ C. f C ⊆ R n x 1 , x 2 ∈ C λ ∈ [0, 1] f λx 1 + (1 − λ)x 2 ≤ λf (x 1 ) + (1 − λ)f (x 2 ). f C f (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) < λf (x 1 ) + (1 − λ)f (x 2 ), x 1 , x 2 ∈ C, x 1 = x 2 λ ∈ (0, 1) f dom f = {x ∈ C | f (x) < +∞} f C (a) C = int(domf) = ∅ (b) f C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (c) lim k→∞ f(x k ) = +∞ {x k } C ρ > 0 C R n θ : C −→ R ∪ {+∞} ρ− θ[λx + (1 − λ)x ] ≤ λθ(x) + (1 − λ)θ(x ) − λ(1 − λ) 2 ρx − x 2 , ∀λ ∈ [0, 1] ∀x, x ∈ C ρ(θ, C) = sup {ρ ≥ 0 : θ − (ρ/2). 2 C }. θ C (ρ, C) > 0 f : C −→ R ∪ {+∞} R n f (x) = +∞, ∀x /∈ domf f R n C ⊂ R n d.c C x ∈ C, f f (x) = g(x) − h(x), g, h C f g h f R n f : R n −→ R x 0 ∈ R n B(x 0 , ) = {x ∈ R n : x − x 0 ≤ }, > 0 f B(x 0 , ε) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f(x) = f(x 1 , x 2 ) = x 2 1 − 2x 1 x 2 + 3x 2 2 − x 2 1 + x 2 2 . g(x) = x 2 1 − 2x 1 x 2 + 3x 2 2 , h(x) = x 2 1 + x 2 2 = x . g(x) = 2x 1 −2x 2 −2x 1 6x 2 . 2 g(x) = 2 −2 −2 6 . g(x) 2 g(x) x g(x) h(x) = x f f i , (i = 1, 2, , m) (i) m i=1 λ i f i (x) λ i (i = 1, 2, , m) (ii) max i=1,2, ,m f i (x) min i=1,2, ,m f i (x) (iii) | f (x) |, f + (x) := max{0, f (x)}, f − (x) := min{0, f } (iv) Π m i=1 f i (x) f i , (i = 1, 2, , m) g i h i (i = 1, 2, , m) f i = g i − h i , (i = 1, 2, , m). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn λ i ∈ R I 1 i, i = 1, 2, , m λ i > 0 I 2 i, i = 1, 2, , m λ i < 0 m i=1 λ i f i (x) = m i=1 λ i g i (x) − h i (x) = m i=1 λ i g i (x) − m i=1 λ i h i (x) = i∈I 1 λ i g i (x) + i∈I 2 (−λ i )h i (x) − i∈I 2 (−λ i )g i (x) + i∈I 1 λ i h i (x) . g i h i (i = 1, 2, . . . , m) i∈I 1 λ i g i (x) + i∈I 2 (−λ i )h i (x) i∈I 2 (−λ i )g i (x) + i∈I 1 λ i h i (x) m i=1 λ i f i (x) f i d.c (i = 1, 2, . . . , m) g i (x), h i (x) (i = 1, 2, . . . , m) i f i = g i − h i . i (i = 1, 2, . . . , m) f i = g i + m j=1 j=i h j − m j=1 h j . max (i=1,2, ,m) f i = max (i=1,2, ,m) g i + m j=1 j=i h j − m j=1 h i . max (i=1,2, ,m) g i + m j=1 j=i h i m j=i h j max (i=1,2, ,m) f i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]...min Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có (iii) Vì f là hàm d.c nên tồn tại các hàm lồi fi (i=1,2, ,m) là hàm d.c g và h sao cho f = g h Ta có: | f |= 2 max{g, h} (g + h) Rõ ràng 2 max{g, h} và (g + h) là các hàm lồi nên | f | là hàm d.c Theo giả thiết f + (x) = max{0, f (x)}, f (x) = min{0, f (x)} Sử dụng (ii) ta có f + (x) và f (x) là các hàm d.c (iv) Vì fi = fi+ + fi , (i =... sao cho g(x) là hàm lồi Như vậy f (x) = g(x) d.c x 2 là hiệu của hai hàm lồi và do vậy f (x) là hàm 2 Hệ quả 1.2.2 Cho đó, hàm hợp thành f : Rn R là hàm d.c và g : R R là hàm lồi Khi g f cũng là d.c Chứng minh Cho x0 Rn và y0 là ảnh của x0 qua f , tức là y0 = f (x0 ) Khi đó, hàm g(y) có thể biểu diễn trong hình cầu nào đó B(y0 , 0 ) của y0 như sup theo từng điểm của một họ các hàm affin nào đó... không phụ thuộc vào i Suy ra g(f (x)) = sup(i (x) h(x)) = supgi (x) h(x) = g h g iI Với g là hàm lồi nó là hàm d.c Mệnh đề 1.1 iI Vậy hàm hợp thành gf là hàm d.c địa phương và vì thế 2 n Cho M là tập con đóng khác rỗng của R Khi đó, bình phương của hàm khoảng cách d2 (x) M là hàm d.c Chứng minh Hàm khoảng cách xác định như sau dM :Rn R x inf { y x : y M } 7 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc... sup{ x = x Hàm 2 2 sup{2xT y h(x) = sup{2xT y y 2 x 2 2 yx + yx y 2 d2 (x) M là hàm d.c : y M} : y M} : y M } : y M } là sup theo từng điểm của một họ các hàm affin nên nó là hàm lồi Rõ ràng lồi Vậy 2 2 g(x) = x 2 cũng là hàm 2 Tiểu kết chương 1 Trong chương này trước tiên nhắc lại khái niệm hàm lồi và từ đó đưa ra khái niệm hàm d.c Tiếp theo là trình bày một số tính chất của hàm d.c Đây là cơ... Định lí 1.2 2 Mọi hàm d.c địa phương là d.c Chứng minh Phần chứng minh định lý này xem trong [7] 5 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mọi hàm Hệ quả 1.2.1 f (x) khả vi cấp hai liên tục (kí hiệu trên một tập lồi compac bất kỳ f C 2) là d.c Rn Chứng minh Xét hàm số sao cho 2 g(x) = f (x) + đủ lớn 0 với mọi x Để ý rằng 2 u, 2 Muốn cho 2 u u, Ta xẽ chứng minh rằng... là cơ sở để tìm hiểu bài toán tối ưu d.c ở chương 2 8 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Bài toán tối ưu d.c Trong chương này chúng ta trình bày bài toán tối ưu d.c cũng như bài toán đối ngẫu của nó Từ đó đưa ra phương pháp giải địa phương để giải quyết bài toán này Đồng thời trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho các bài toán gốc và đối ngẫu 2.1 Phát biểu bài... tại các hàm lồi không âm sao cho với mỗi i ta có fi = gi hi Khi đó, với m = 2 ta có f1 f2 = (g1 h1 )(g2 h2 ) 1 = [(h1 + h2 )2 + (g1 + g2 )2 ] 2 1 [(g1 + h2 )2 + (g2 + h1 )2 ] 2 Do bình phương của hàm lồi không âm là hàm lồi cho nên 1 [(h1 + h2 )2 + (g1 + g2 )2 ] 2 và 1 [(g1 + h2 )2 + (g2 + h1 )2 ] 2 là các hàm lồi Vậy theo định nghĩa f1 f2 là hàm d.c Bằng quy nạp ta có m f (x) là hàm d.c (i=1)... không gian đối Ký hiệu hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trên Định nghĩa 2.1 0 (X) là tập tất cả những X Một bài toán tối ưu toàn cục được gọi là bài toán tối ưu d.c nếu nó có dạng sau (P ) trong đó g và = inf{f (x) := g(x) h(x) : x X}, h thuộc vào 0 (X) Định nghĩa 2.2 (i) Điểm x được gọi là cực tiểu địa phương của g h nếu g(x ) h(x ) là hữu hạn, nghĩa là x dom g dom h và tồn tại một lân... 2.4 (Pk ) Phương pháp giải bài toán d.c được gọi là đúng nếu có thể xây dựng hai dãy {xk } và {y k } từ một điểm bất kỳ x0 dom g sao cho {xk } range g = dom g {y k } range h = dom h Nhận xét 2.2 (ii) Các dãy chỉ nếu (i) (Dk ) và (Pk ) là các bài toán lồi {xk } và {y k } trong thuật toán d.c được định nghĩa đúng nếu và dom g dom h và dom h dom g (iii) Một hàm d.c có rất nhiều cách khai triển khác... thế, đối với mỗi bài toán tối ưu d.c có nhiều lời giải khác nhau phụ thuộc vào việc phân tích hàm mục tiêu f Việc tìm ra phân tích phù hợp cho hàm mục tiêu sẽ quyết định hiệu quả của thuật toán Định lý hội tụ Cho i và (i = 1, 2) là những số thực không âm sao cho i 0 i < fi , 17 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn trong đó i = 0 nếu (fi ) = 0 và i có thể nhận giá trị . tâm H c liệu – Đại h c Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI H C THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI H C KHOA H C VŨ BÁ NAM Tối ưu d. c và ứng d ng LUẬN VĂN TH C SĨ. H C VŨ BÁ NAM Tối ưu d. c và ứng d ng Chuyên ngành: Toán ứng d ng Mã số 60.46.36. Người hướng d n khoa h c: GS. TSKH LÊ D NG MƯU . (x 2 ), x 1 , x 2 ∈ C, x 1 = x 2 λ ∈ (0, 1) f dom f = {x ∈ C | f (x) < +∞} f C (a) C = int(domf) = ∅ (b) f C Số hóa bởi Trung tâm H c liệu – Đại h c Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (c) lim k→∞