MathScope: Topic In Olympiad Inequalities
© 2009 By Red Devils MathScope.Org Topic In Olympiad Inequalities Volume 1 MathScope, Tháng 9- 2009 Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils Trang 2 Lời nói đầu Topic In Olympiad Inequalities là cuốn sách gồm nhiều tập ghi lại những bài toán bất đẳng thức qua các kì thi Oympiad được các thành viên của Diễn đàn MathScope (1) đề xuất đề bài và lời giải (2) . Sở dĩ chúng tôi chọn các bất đẳng thức trong các kì thi Olympiad vì bất đẳng thức là một lĩnh vực rộng, tuy nhiên cũng vì thế mà có quá nhiều các bất đẳng thức được tạo ra một cách vô tội vạ và thiếu tính thẩm mĩ, do vậy, một cách chủ quan chúng tôi thấy rằng những bất đẳng thức đã được chọn lọn qua các kì thi Olympiad ít nhiều đảm bảo được độ thẩm mĩ và chất lượng. Dù đã có nhiều nỗ lực cố gắng, xong chắc chắn cuốn sách vẫn không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến phản hồi của các bạn về địa chỉ: reddevils.info@gmail.com hoặc liên hệ qua diễn đàn MathScope- Red Devils. Ngày 5 tháng 9 năm 2009 Tác giả . (1) http://forum.mathscope.org (2) Chi tiết xem tại: http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=9330 Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils Trang 3 MỤC LỤC Lời nói đầu…………………………………………………………………… 2 Mục lục………………………………………………………… ……… 3 Phần Một: Bài toán…………………………………………………………………… 4 Phần Hai: Lời giải ……………………………………………………………………… 8 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………20 Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils Trang 4 Phần Một Bài Toán Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils Trang 5 Bài toán 1. (Posted by Red Devils) Cho n số thực tuỳ ý 1 2 , , , n x x x ¼ . Chứng minh rằng: 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 n n x x x n x x x x x + + + < + + + + + + L L IMO Shortlist 2001 Bài toán 2. (Posted by Red Devils) Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có: 2 2 2 1 8 8 8 a b c a bc b ca c ab + + ³ + + + IMO Shortlist 2001 Bài toán 3. (Posted by Red Devils) Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có: 8 8 8 3 3 3 1 1 1 a b c a b c a b c + + + + £ IMO LongList 1967 Bài toán 4. (Posted by Red Devils) Với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức a+b+ c=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ab c c bc a a ca b b ab bc ca + + ³ + + + + + + + + 14 th Turkish Mathematical Olympiad, 2006 Bài toán 5. (Posted by Hung_DHSP) Cho a, b, c, d là các số thực có tổng bằng 0. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 12 6 ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd + + + + + + ³ + + + Bài toán 6. (Posted by caube94) Cho 2 2 2 , , 0; 4 a b c a b c abc ³ + + + = . Chứng minh rằng: 0 2 ab bc ca abc £ + + - £ USAMO 2001 Bài toán 7. (Posted by Conan Edogawa) Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng: 4 4 4 4 6 6 3 3 2 4 6 6 3 3 2 4 6 6 3 3 2 3 3 3 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c a a b a c b b c b a c c a c b + + £ + + + + + + + + + Olympic 30/4 năm 2006 Bài toán 8. (Posted by trungdeptrai) Cho a, b, c dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a b c b c a æ öæ öæ ö - + - + - + £ ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø IMO Shortlist 2000 Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils Trang 6 Bài toán 9. (Posted by trungdeptrai) Với a, b, c dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 a b c b c c a a b æ ö æ ö æ ö + + ³ ç ÷ ç ÷ ç ÷ + + + è ø è ø è ø MOP 2002 Bài toán 10. (Posted by Hung_DHSP) Cho , , 0 x y z ³ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 7 7 6 5 2 6 5 4 2 2 6 7 1 2 2 2 x z y z P x y z y y z x z x x yz = + + + + + Đề chọn ĐT vòng 2 Khối THPT chuyên ĐH KHTN- ĐHQG HN Bài toán 11. (Posted by xiloxila) Cho a, b, c là các số thực không âm tùy ý. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 5 1 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) a b c abc a b c a c a a b b c c a + + + ³ + + + + + + *** Bài toán 12. (Posted by Conan Edogawa) Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng: 3 3 1 1 1 3 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) a b b c c a abc abc + + ³ + + + + USAMO Summer Program 2006 Bài toán 13. (Posted by Conan Edogawa) Cho a, b, c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng: 3 3 3 1 1 1 1 6 6 6b c a a b c abc + + + + + £ IMO Shortlist 2004 Bài toán 14. (Posted by Conan Edogawa) Cho a, b, c>0 thỏa mãn 1 abc ³ . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a + + £ + + + + + + Romania 2005 Bài toán 15. (Posted by caube94) Cho , , 0; 1 a b c ab bc ca ³ + + = . Chứng minh rằng: 3 3 3 2 a a b b c c a b c + + + + + ³ + + Iran TST 2008 Bài toán 16. (Posted by Minh Tuấn) Cho 1 , , 0, 3 a b c ab bc ca > + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 a bc b ca c ab + + £ - + - + - + China TST 2005 Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils Trang 7 Bài toán 17. (Posted by Minh Tuấn) Cho x, y, z>0 và x+y+z=1. Chứng minh rằng: 2 2 xy yz zx xy yz yz zx zx xy + + £ + + + China TST 2006 Bài toán 18. (Posted by trungdeptrai) Cho x, y, z dương và xyz=1.Chứng minh rằng: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 4 x y z y z z x x y + + ³ + + + + + + IMO Shortlist 1998 Bài toán 19. (Posted by Red Devils) Cho x, y, z> 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 3( )( )( ) ( ) ( ) x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx + + + + + + ³ + + + + Ấn Độ 2007 Bài toán 20. (Posted by Red Devils) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c £ £ . Chứng minh rằng với mọi , , 0 x y z ³ thì: 2 2 ( ) ( ) ( ) 4 a c x y z x y z ax by cz ac a b c + æ ö + + ³ + + + + ç ÷ è ø Austria 1971 Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils Trang 8 Phần Hai Lời giải Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils Trang 9 Bài toán 1. (Posted by Red Devils) Cho n số thực tuỳ ý 1 2 , , , n x x x ¼ . Chứng minh rằng: 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 n n x x x n x x x x x + + + < + + + + + + L L IMO Shortlist 2001 Lời giải. (Posted by Conan Edogawa) Đặt 2 2 0 1 1 1, 1 . , 1 i i i i i y y x x i n x y y - = = + + + " £ £ Þ = - . BĐT tương đương với: 1 0 1 2 1 1 2 n n n y y y y y y n y y y - - - - + + + < Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được: 1 0 12 1 1 0 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 .,, . . n n n n n n y y y yy y y y y y y y n y y y y y y - - - æ ö - - - + + + £ + + + ç ÷ è ø Cần chứng minh: 1 0 1 2 1 2 2 2 1 2 . 1 n n n y y y y y y y y y - - - - + + + < Dễ thấy: 1 0 12 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n y y y yy y VT y y y y y y y y y y y y y - - - - - - £ + + + = - + - + + - = - < Vậy 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 n n x x x n x x x x x + + + < + + + + + + L L . Bài toán 2. (Posted by Red Devils) Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có: 2 2 2 1 8 8 8 a b c a bc b ca c ab + + ³ + + + IMO Shortlist 2001 Lời giải. (Posted by Red Devils and Conan Edogawa) Ta sẽ đi chứng minh bài toán tổng quát hơn sau: Bài toán tổng quát. (Posted by trungdeptrai) Với , , 0 a b c > và 8 k ³ . Chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 a b c k a kbc b kca c kab + + ³ + + + + Lời giải. Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta được: ( ) ( ) 2 2 2 a a a kbc a a kbc æ ö + ³ ç ÷ + è ø å å å Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 ( ) a a kbc a a kabc a a kabc + = + £ + å å å å Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils Trang 10 Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 2 2 ( ) a a a a kabc a a kbc a a kbc a kbc æ ö æ ö + ³ + ³ ç ÷ ç ÷ + + è ø è ø å å å å å å ( ) ( ) 3 2 3 2 ( ) a a a kabc a kbc æ ö Û ³ ç ÷ + + è ø å å å Cần chứng minh: ( ) ( ) 3 3 ( 1) 9 ( ) k a a kabc + ³ + å å ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 8 3 1 27 k a b c k a b b c c a kabc Û - + + + + + + + ³ (đúng vì 8 k ³ ) Bài toán 3. (Posted by Red Devils) Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có: 8 8 8 3 3 3 1 1 1 a b c a b c a b c + + + + £ IMO LongList 1967 Lời giải. (Posted by Red Devils) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 3 3 2 3 3 2 3 3 8 8 8 a b c b c a c a b a b c + + £ + + . Áp dụng BĐT AM-GM ta được: 8 8 8 8 8 8 8 8 2 3 3 8 8 8 2 3 3 8 8 8 8 a a b b b c c c a b c a b c + + + + + + + £ = + + Tương tự: 2 3 3 8 8 8 2 3 3 8 8 8 2 3 3 8 8 8 2 3 3 8 8 8 b c a b c a c a b c a b £ + + £ + + Cộn từng vế của 3 BĐT trên cho ta đpcm. Bài toán 4. (Posted by Red Devils) Với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức a+b+ c=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ab c c bc a a ca b b ab bc ca + + ³ + + + + + + + + 14 th Turkish Mathematical Olympiad, 2006 Lời giải. (Posted by Minh Tuấn) Ta có: ( ) 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 6 2 ab a b VT a b a b c a b c a b a b c abc ab = ³ + + + + å å å å Cần chứng minh: ( ) 3 3 3 2 2 2 6 2 ab a b a b c abc ab ³ + + å å å 2 2 2 3 ( )( )( ) 6 2 ( ) abc a b b c c a a b c abc ab bc ca Û + + + ³ + + + Bất đẳng thức cuối đúng vì 2 2 2 3 ( )( )( ) 6 4 abc a b b c c a a b c + + + ³ và [...]... by + cz + ac ỗ + + ữ ữ ốa b cứ ố ố a b c ứứ Ta cn chng minh: y (a - b)(b - c) ổx y zử (a + c)( x + y + z ) ax + by + cz + ac ỗ + + ữ 0 (ỳng) b ốa b cứ Trang 20 Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils Ti liu tham kho [1] Mathlinks [http://mathlinks.ro] [2] MathScope [http://forum.mathscope.org] [3] MathVn [http://mathvn.org] [4] Din n Toỏn hc [http://diendantoanhoc.net] [5] Tp chớ Toỏn... Cho x, y, z> 0 Chng minh rng: 3( x 2 + xy + y 2 )( y 2 + yz + z 2 )( z 2 + zx + x 2 ) ( x + y + z ) 2 ( xy + yz + zx)2 n 2007 Li gii Cỏch 1 (Posted by Minh Tun) Xột tam giỏc ABC din tớch l S vi M l im Torricelli trong tam giỏc v MA=x, MB=y, MC=z Theo nh lớ hm s cos ta tớnh c: a = BC = y 2 + yz + z 2 , b = CA = z 2 + zx + x 2 , c = AB = x 2 + xy + y 2 Trang 18 Topic In Olympiad Inequalities â 2009... b4 b 4 + 3 (b 6 + c 6 )(b3 + a 3 ) 2 Vy bi toỏn c chng minh + c4 c 4 + 3 (c 6 + a 6 )(c 3 + b3 )2 Ê a4 a2 Êồ 4 =ồ 2 =1 a + a 2 c 2 + a 2b 2 a + b2 + c2 Bi toỏn 8 (Posted by trungdeptrai) Cho a, b, c dng tha món abc=1.Chng minh rng: 1 ửổ 1 ửổ 1ử ổ ỗ a - 1 + ữỗ b - 1 + ữ ỗ c - 1 + ữ Ê 1 b ứố c ứố aứ ố IMO Shortlist 2000 Trang 12 Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils Li gii (Posted by Red... 13 Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils Bi toỏn 11 (Posted by xiloxila) Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tựy ý Chng minh rng: a3 b3 c3 5abc + + + 1 3 3 3 (a + b) (c + a ) (c + a ) (a + b)(b + c)(c + a ) *** Li gii (Posted by Red Devils) b-c c-a a -b t x = ,y= ,z = Khi ú ta cú ng thc x + y + z + xyz = 0 b+c c+a a+b li cú: 2b 2c 2a 1+ x = ,1 + y = ,1 + z = b+c c+a a+b BT cn chng minh... + ồ 1 + b 3 abc + 3 3 abc Trang 14 Topic In Olympiad Inequalities Do ú: â 2009 by Red Devils 1 1 1 + + a (1 + b ) b (1 + c ) c (1 + a ) 3 3 + 3 3 abc - 3 3 abc = (pcm) 3 1 + abc abc 1 + 3 abc ( ) Bi toỏn 13 (Posted by Conan Edogawa) Cho a, b, c>0 tha món ab+bc+ca=1 Chng minh rng: 1 1 1 1 3 + 6b + 3 + 6c + 3 + 6a Ê a b c abc IMO Shortlist 2004 Li gii (Posted by Minh Tun) p dng BT Holder cho v trỏi... ta cú: Trang 15 Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils c 2 ( a + b ) + a 2 ( b + c ) + b 2 ( c + a ) 2c 2 ab + 2a 2 bc + 2b 2 ca = 3 3 3 ổ 3 ử ổ a + b + c ử2 ổ a+b+c ử a+b+c = 2 abc ỗ a 2 + b 2 + c 2 ữ 2.3 ỗ ữ = 6 ỗ ữ 3 3 3 ố ứ ố ứ ố ứ 2 (a + b + c) 3 3 abc 2(a + b + c) 3 Vy bt ng thc c chng minh Bi toỏn 15 (Posted by caube94) Cho a, b, c 0; ab + bc + ca = 1 Chng minh rng: a 3 +.. .Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils 9 abc(a + b)(b + c)(c + a ) 2abc(ab + bc + ca) 4 9(a + b)(b + c)(c + a) 8(ab + bc + ca ) 9(1 - c)(1 - a )(1 - b) 8(ab + bc + ca) ab + bc + ca 9abc (*) a+b+c 1 (*) ỳng vỡ ab + bc + ca 3 3 (abc)2 9abc , do 3 abc Ê = 3 3 Vy bt ng thc c chng minh Bi toỏn 5 (Posted by Hung_DHSP) Cho a, b, c, d l cỏc s thc cú tng bng 0 Chng minh rng:... + b) 2 (b + c)2 (c + a )2 128abc(a + b)(b + c)(c + a ) v (a + b) 2 (b + c) 2 (c + a ) 2 64a 2b 2 c 2 Vy bt ng thc c chng minh Trang 19 Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils Bi toỏn 20 (Posted by Red Devils) Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha món a Ê b Ê c Chng minh rng vi mi x, y, z 0 thỡ: ( a + c) 2 ổx y zử ( x + y + z ) 2 (ax + by + cz ) ỗ + + ữ 4ac ốa b cứ Austria 1971 Li gii (From... ỳng nu ta cm c ổ q+r q+r ử f ỗ p, , ữ0 2 2 ứ ố 2 3 p 4 - 8 p 3 + 16 = 0 ( p - 2 ) ( 3 p 2 - 4 p + 4 ) 0 (ỳng) 2 Vy BT c chng minh Trang 11 Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils Bi toỏn 6 (Posted by caube94) Cho a, b, c 0; a 2 + b 2 + c 2 + abc = 4 Chng minh rng: 0 Ê ab + bc + ca - abc Ê 2 USAMO 2001 Li gii (Posted by trungdeptrai) Trong ba s a - 1, b - 1, c - 1 luụn cú ớt nht 2 s... 2bc + 3ab + 3ca Trang 16 Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils BT (1) ỳng vỡ: (ồ a) a a2 ồ a 2 + 2bc + 3ab + 3ca = ồ a3 + 2abc + 3a 2b + 3ca 2 a3 + 2abc + 3a 2b + 3ca 2 ồ 2 1 a+b+c 1 1 1 Vy 2 + 2 + 2 Ê 3 a - bc + 1 b - ca + 1 c - ab + 1 = Bi toỏn 17 (Posted by Minh Tun) Cho x, y, z>0 v x+y+z=1 Chng minh rng: xy yz zx 2 + + Ê 2 xy + yz yz + zx zx + xy China TST 2006 Li gii (Posted by Red . minh: 1 0 1 2 1 2 2 2 1 2 . 1 n n n y y y y y y y y y - - - - + + + < Dễ thấy: 1 0 12 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n y y y yy y VT y y y y y y y y y y y y y - -. ) 3 3 1 1 1 1 4 8 4 y y z x z x ³ - + - + + ( )( ) ( ) 3 3 1 1 1 1 4 8 4 z z x y x y ³ - + - + + Cộng từng vế của 3 BĐT trên ta được: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 3 3 3 3 1 3 1 3 3 .3 1 1 1 1 1. ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 b c abc a ab a abc a b b c c a a b a b b ổ ử + + + + + + + + + = = + ỗ ữ ỗ ữ + + + + + + ố ứ ồ ồ ồ p dng BT AM-GM ta c: ( ) ( ) 3 3 1 1 3 3 1 1 b c a abc a