Hàm số đa thức và những vấn đề lên quan

Hàm số đa thức và những vấn đề lên quan

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 119 BÀI 6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC VẤN ĐỀ 1: HÀM BẬC BA DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tập xác định: D=  Đạo hàm: 2 2 ' 3 2 ' 0 3 2 0 (1) y ax bx c y ax bx c          Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hàm số có cực đại và cực tiểu  Nếu (1) vô nghiệm hay có nghiệm kép, thì hàm số đơn điệu trên TXĐ Giới hạn: 3 2 3 0 lim lim 1 0 x x khi a b c d y ax ax ax ax khi a                     Bảng biến thiên: Dấu của ' y phụ thuộc vào dấu của   0 0 a a hay a   và dấu của ' y  , do đó ta có bốn trường hợp biến thiên khác nhau. Đồ thị hàm số: Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm bậc ba có bốn dạng sau đay: a > 0 a < 0 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  ' 0 y   ( Có hai cực trị) y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  ' ' 0 0 y y         ( Không có cực trị) y x 0 I y x 0 I y x 0 I y x 0 I Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 120 @ Mẹo nhỏ: Đối với trường hợp đồ thị hàm số không có cực trị, để vẽ đồ thị được đẹp và chính xác ta nên tìm điểm uốn (điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0) để biết đồ thị “uốn lượn” ở đâu? Và ta dễ dàng thấy rằng: đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: (Trường hợp có cực trị) 3 2 3 2 ) 3 1 ) 2 3 2 a y x x b y x x        Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp ' 0 y  có nghiệm kép) 3 2 3 2 1 ) 3 3 1 ) 1 3 a y x x x b y x x x          Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp ' 0 y  vô nghiệm) 3 2 3 2 ) 3 4 2 ) a y x x x b y x x x        LUYỆN TẬP: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: 3 2 3 2 3 3 2 1 5 ) 2 1 ) 3 3 3 1 2 1 ) 3 ) 4 3 3 a y x x x b y x x x c y x x d y x x               DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BẬC BA MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN: Cho hàm số 3 2 ax ( ) y bx cx d C     1. Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) là: 2 ' ( ) 3 2 0 y g x ax bx c      có hai nghiệm phân biệt 1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. Ba điểm A, I, B thẳng hàng (I là điểm uốn: điểm mà tại đó y’’=0 , A và B là hai điểm cực trị)  Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0 thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q . Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt chính là phần dư trong phép chia đa thức ( ): '( ) f x f x  Để chứng minh ba điểm A,I, B thẳng hàng ta chứng minh AB k AI    2. Qũy tích cực trị, điểm uốn hàm bậc ba: Từ các điểm A,B,I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó bằng cách: Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 121  Khử tham số m  Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với moih giá trị tham số m m D   Qũy tích của A,B, hay I là y = r x + q. 4. Xác định tham số m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hồnh trong từng trường hợp cụ thể: a) (C) tiếp xúc với Ox thì hệ sau có nghiệm  0 ' 0 y y      b) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  1 2 1 2 ' 0 có 2 nghiệm phân biệt x , ( ). ( ) 0 y x y x y x        c) (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt  1 2 1 2 ' 0 có 2 nghiệm phân biệt x , ( ). ( ) 0 y x y x y x        d) (C) cắt Ox ít nhất 1 điểm 3 2 ax 0( 0) bx cx d a       khơng thể vơ nghiệm e) (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất  1 2 1 2 phương trình y'=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ' 0 có hai nghiệm phân biệt x , ( ) ( ) 0 y x y x y x             (C) A x 0 O x y (h.1a) (C) A x 0 x y (h.1b) x 1 o x 2 y CT y CĐ x" 0 C x 1 (C) y CĐ y A o x 2 x (H.3) y CĐ x 0 x' 0 B (C) y CĐ y A x 0 o x 1 B x' 0 (y CT = f(x 0 ) = 0) x (H.2) Bi 6. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm a thc Trn ỡnh C. GV Trng THPT Gia Hi, Hu 122 f) Phng trỡnh 3 2 ax 0( 0) bx cx d a cú 3 nghim dng 0 0 . 0 . 0 hoaởc (0) 0 (0) 0 0 0 CD CT CD CT CD CT a a y y y y f f x x g) Phng trỡnh 3 2 ax 0( 0) bx cx d a cú 3 nghim õm 0 0 . 0 . 0 hoaởc (0) 0 (0) 0 0 0 CD CT CD CT CT CD a a y y y y f f x x h) Phng trỡnh 3 2 ax 0( 0) bx cx d a cú 2 nghim dng: 0 0 y'=0 coự hai nghieọm phaõn bieọt y'=0 co ự hai nghieọm phaõn bieọt hoaởc . 0 . 0 0 0 CD CT CD CT CT CT a a y y y y x x Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 123 i) Phương trình 3 2 ax 0( 0) bx cx d a      có 2 nghiệm âm: 0 0 y'=0 có hai nghiệm phân biệt y'=0 co ù hai nghiệm phân biệt hoặc . 0 . 0 0 0 CD CT CD CT CD CT a a y y y y x x                      5. Phương trình bậc 3 cắt Ox lập thành cấp số cộng tức (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau.     1 3 2 y'=0 có hai nghiệm phân biệt 2 hay ( ) Ox , , : 0 : điểm uốn I DU x x x C A B C AB BC f x Ox              6. Biện luận số nghiệm của phương trình : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) (a  0) khi x =  là 1 nghiệm của (1). Nếu x   là 1 nghiệm của (1), ta có ax 3 + bx 2 + cx + d = (x - )(ax 2 + b 1 x + c 1 ) nghiệm của (1) là x =  với nghiệm của phương trình ax 2 + b 1 x + c 1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau:  nếu (2) vơ nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x =   nếu (2) có nghiệm kép x =  thì (1) có duy nhất nghiệm x =   nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt   thì (1) có 3 nghiệm phân biệt  nếu (2) có 1 nghiệm x =  và 1 nghiệm khác  thì (1) có 2 nghiệm.  nếu (2) có nghiệm kép   thì (1) có 2 nghiệm 7. Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M  (C): 3 2 ax ( 0) y bx cx d a      .  Nếu M  I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.  Nếu M khác I và M ( ) C  thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.  Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N khơng nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn. Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 124  Nếu a>0: hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé nhất; a<0: hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn lờn nhất Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 125 BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1(TNTHPT – 2008) .Cho hàm số 3 2 2 3 1 y x x    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Biệm luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 2 3 1 x x m    Bài 2 (TN THPT- lần 2 – 2008). Cho hàm số 3 2 3 y x x   a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b. Tìm các giá trị của m để phương trình 3 2 3 0 x x m    có 3 nghiệm phân biệt. Bài 3 (TNTHPT - 2007). Cho hàm số y= 3 3 2 x x   có đồ thị là (C) . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2 ;4) . Bài 4 (TNTHPT - 2006). Cho hàm số y= 3 2 3 x x   có đồ thị (C) . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình : 3 2 3 2 x x m     . Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB).Cho hàm số y= 3 2 6 9 x x x   có đồ thị là (C) . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình '' 0 y  c/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng 2 y x m m    đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối cực đại vào cực tiểu . Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB). Cho hàm số 3 2 3 3 4 y x mx m    . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi 1 m  . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 1 x  . Bài 7 (ĐH- A- 2002). Cho hàm số 3 2 2 3 2 3 3(1 ) y x mx m x m m        a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1 m  b. Tìm k để phương trình: 3 2 3 2 3 3 0 x x k k      có 3 nghiệm phân biệt. c. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004). Cho hàm số 3 2 3 4 y x x m    Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 126 a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị. b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi 1 m  Bài 9 (ĐH-B- 2007). Cho hàm số 3 2 2 2 3 3( 1) 3 1 y x x m x m        a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1 m  b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O. Bài 10 (ĐH - D - 2004). Cho hàm số 3 2 3 9 1 y x mx x     a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 2 m  b. Tìm m để nghiệm của phương trình '' 0 y  thuộc đường thẳng 1 y x   LUYỆN TẬP Bài 1. (ĐH 2006- D) Cho hàm số 3 3 2 y x x    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm phần biệt. (Gợi ý đường thẳng d qua M(x 0 ;y 0 ) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x 0 ) + y 0 ) Bài 2. Cho hàm số y = (x - m) 3 - 3x a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 1 m  b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ 0 x  . Bài 3. Cho hàm số y = (x -1)(x 2 + mx + m) a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với 4 m  Bài 4. Cho hàm số y = 3 2 2 2 2 x mx m x    a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi 1 m  b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại 1 x  Bài 5. Cho hàm số 3 2 4 3 y x mx x    1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi 0 m  . 2. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại 1 x và 2 x thỏa 1 2 4 x x   Hướng dẫn: D   Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 127 2 ' 12 2 3 y x mx    Ta có: 2 ' 36 0 m     với mọi m , vậy luôn có cực trị 1 2 1 2 1 2 4 9 6 2 1 4 x x m x x m x x                    Bài 6. Cho hàm số 3 2 2 ( 3) 4 y x mx m x      có đồ thị là   m C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị   1 C của hàm số trên khi 1 m  . 2. Cho d có phương trình 4 y x   và điểm   1;3 K . Tìm các giá trị của tham số m sao cho d cắt   m C tại ba điểm phân biệt   0;4 A , , B C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 . Hướng dẫn: Phương trình hoành độ điểm chung của   m C và d là: 3 2 2 2 2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0 0 ( ) 2 2 0 (2) x mx m x x x x mx m x g x x mx m                      (d) cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C  phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. / 2 1 2 2 0 ( ) 2 (0) 2 0 m m m m a m g m                         . Mặt khác: 1 3 4 ( , ) 2 2 d K d     Do đó: 2 1 8 2 . ( , ) 8 2 16 256 2 KBC S BC d K d BC BC         2 2 ( ) ( ) 256 B C B C x x y y     với , B C x x là hai nghiệm của phương trình (2). 2 2 2 2 ( ) (( 4) ( 4)) 256 2( ) 256 ( ) 4 128 B C B C B C B C B C x x x x x x x x x x               Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 128 2 2 1 137 4 4( 2) 128 34 0 2 m m m m m            (thỏa ĐK (a)). Vậy 1 137 2 m   Bài 7. Cho hàm số: y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 có đồ (C m ); (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 3 m  . 2. Xác định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuông góc với nhau. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và đường thẳng y = 1 là: 3 2 2 0 3 1 1 3 0 (2) x x x mx x x m             * (C m ) cắt đường thẳng 1 y  tại C(0, 1), , D E phân biệt:  Phương trình (2) có 2 nghiệm , 2 0 9 4 0 0 4 0 3 0 0 9 D E m m x x mm                        Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là: k D = y’(x D ) = 2 3 6 ( 2 ); D D D x x m x m      k E = y’(x E ) = 2 3 6 ( 2 ). E E E x x m x m      Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k D k E = –1. (3x D + 2m)(3x E + 2m) = 9x D x E +6m(x D + x E ) + 4m 2 = –1 9m + 6m  (–3) + 4m 2 = –1;(vì x D + x E = –3; x D x E = m theo định lý Vi-et). 4m 2 – 9m + 1 = 0  m =   1 9 65 8  Đáp số:     1 1 9 65 9 65 8 8 m hay m    [...]... 2002) Cho hàm số y   x 4  2 mx 2 (Cm ) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1 b Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị Bài 4 (ĐH Vinh - 2002) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y   x 4  5 x 2  4 2 Xác định m để phương trình x 4  5x 2  m 2  3  0 có 4 nghiệm phân biệt x4 9 Bài 5 Cho hàm số y   2x 2  4 4 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b Biện luận theo k số giao... sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ: Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 3 cực trị) a) y  x 4  x 2 b) y   x4 3 2  x 4 2 Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 1 cực trị) a) y  1 4 3 x  x2  2 2 b)y   x4 3 2  x 4 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 4 x  x 2... đồ thị (P) của hàm số y  k  2 x 2 Bài 6 Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m3  m 2 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 b Xác định m để đồ thị (Cm ) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hồnh tại 2 điểm Bài 7 (ĐH Cần thơ - 2002) Cho hàm số y  x 4  2 x 2  2  m (Cm) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m  0 b Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm) của hàm số chỉ có hai... (TNTHPT-2008) Cho hàm số y  x 4  2 x 2 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x  2 Bài 2 (ĐH Đà Lạt - 2002) a Giải phương trình x 4  2 x 2  1  0 Trần Đình Cư GV Trường THPT Gia Hội, Huế 132 Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 4  2 x 2  1 c Biện luận theo m số nghiệm... 1  m Số nghiệm của phương trình (3) chính là số giao điểm của đồ thò (C1 ) và (D) Chú ý rằng: đồ thò (C1 ) giống với đồ thò (C) trong miền -1  t  1 Dựa vào đồ thò (C) ta rút ra được kết luận Bài 12 Cho hàm số y  1 4 x  mx 2  m  1 4 Trần Đình Cư GV Trường THPT Gia Hội, Huế 134 Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức a) Khảo sát hàm số khi m=1 b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị và ba... và vẽ đồ thị hàm đa thức  AB  AC    Dễ thấy    nên tam giác ABC vng cân  AB 2  AC 2  BC 2  m  1  AC AB  0  Vậy, m  1 là những giá trị cần tìm Bài 9 Cho hàm số y = x4 – 2(2m 2 – 1)x2 + m (1) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 2/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hòanh Bài 10 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x4 –... 2 Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu (có ba cực trị)  y '  0  2 x (2 ax  b)  0 có ba nghiệm phân biệt  b 0 2a 3 Đồ thị hàm số ln nhận Oy là trục đối xứng a  0 4 Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu   b  0 a  0 5 Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu   b  0 6 Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân 7 Đồ thị (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số. ..Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức VẤN ĐỀ 2: HÀM TRÙNG PHƯƠNG DẠNG 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=ax4 +bx2+c ( a  0) Miền xác định : D= Đạo hàm:  y '  4ax 3  2bx  2 x 2ax 2  b  Phương trình y '  0 hoặc có một nghiệm ( a.b  0 ) hoặc có 3 nghiệm phân biệt Do đó hàm số hoặc chỉ có một cực trị hoặc có ba cực trị Giới hạn:  b... thiên và vẽ đồ thị hàm a) y  a y  - x 4  2 x 2 b y  x 4  x 2  2 c y  x 4  6 x 2  1 d) y  x4  2x2  1 d y  e.y  - x 4  2 x 2  3 1 4 5 x  3x 2  2 2 4 2 f y  x  2x 1 Trần Đình Cư GV Trường THPT Gia Hội, Huế 130 Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN Một số tính chất của hàm trùng phương 1 Hàm số ln có cực trị với mọi giá trị của tham số. ..   log3 a < 3  log3 a  1  1  log3 a  1  Bài 3 Cho hàm số y  x 4  2(1  m 2 ) x 2  m  1 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=0 2: Tìm m để hàm số có cực đại cực,cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất Hướng dẫn: y'=4x3-4(1-m2)x Lập luận để hàm số có cực đại,cực tiểu khi và chỉ khi m  1 Tọa độ các điểm cực trị: A(0;m+1); B( 1