luận văn giáo dục toán học
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN ĐỀ TÀI THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN LỜI MỞ ĐẦU Một nhiệm vụ việc dạy học nhà trường đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức truyền thụ, nghĩa làm cho học sinh hiểu chất kiến thức biết cách vận dụng chúng vào thực tiễn Trong nhà trường, trình học sinh nắm vững kiến thức khơng phải tự phát mà q trình có mục đích rõ rệt, có kế hoạch, có tổ chức chặt chẽ, q trình nỗ lực tư duy, học sinh phát huy tính tích cực, tính tự giác đạo giáo viên Trong trình ấy, mức độ tự lực học sinh cao kiến thức nắm sâu sắc, tư độc lập sáng tạo phát triển, lực nhận thức ngày nâng cao, kết học tập tốt, đặc biệt hoàn cảnh khoa học kỹ thuật phát triển mạnh mẽ Do vậy, sau thực đề tài tham luận này, hy vọng sau bạn đồng nghiệp giảng dạy tốt cho học trị “các tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình lơgarit”, giúp cho học sinh hiểu phương pháp giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình lơgarit để vận dụng vào việc giải tốn có liên quan Và thông qua đề tài thân rút kinh nghiệm thiết thực để vận dụng tốt vào cơng tác giảng dạy Thị Xã Hồng Ngự, ngày 20 tháng 09 năm 2010 Tổ Toán Trường THPT Hồng Ngự I THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LƠGARIT a Các tính chất biểu thị đẳng thức: Cho a ∈ R+, a ≠ x1, x2 ∈ R+, ta có: log a = a log a x1 = x1 log a x1α = α log a x1 log a a = log a a x1 = x1 log a β x1 = β log a x1 log a ( x1 x ) = log a x1 + log a x log a x1 = log a x1 - log a x x2 log a b = ; với a, b > 0, a ≠ 1, b ≠ log b a log a b = log c b ; với a, b, c > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠ log c a b Các tính chất biểu thị bất đẳng thức: Cho a ∈ R+, a ≠ x1, x2 ∈ R+, ta có: Nếu a > log a x1 > log a x ⇔ x1 > x2 Nếu < a < log a x1 > log a x ⇔ x1 < x2 PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1.1 Kiến thức bản: Phương trình lơgarit có dạng: THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MÔN TỐN CẤP THPT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN ⎧0 < a ≠ • log a f ( x) = b ⇔ ⎨ ⎩ f ( x) = a b ⎧0 < a ≠ ⎩ f ( x) = g ( x) > • log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ ⎨ ⎧ϕ ( x) > 0, ϕ ( x) ≠ ⎪ • l ogϕ (x) f(x) = logϕ (x) g(x) ⇔ ⎨ f ( x) = g ( x) ⎪ f ( x) > ⎩ 1.2 Các dạng toán phương pháp giải: 1.2.1 Phương pháp mũ hóa đưa số: Ví dụ 1: Giải phương trình: log x + log x + log x = 11 Giải: Điều kiện: x > Ta có: log x + log x + log x = 11 ⇔ log x + log 2 x + log x = 11 1 ⇔ log x + log x + log x = 11 ⇔ 11 log x = 11 ⇔ log x = = log 2 ⇔ x = = 64 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = 64 Ví dụ : Giải phương trình: log ( x + 3) − log ( x − 1) = − log Giải : ⎧x − > Điều kiện: ⎨ ⇔ x>1 ⎩x + > Ta có: log ( x + 3) − log ( x − 1) = − log ⇔ log ⇔ log x+3 = log 4 − log x −1 x+3 16 x + 16 = log ⇔ = =2 x −1 x −1 ⇔ x + = 2x − ⇔ x = THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TỐN Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = Ví dụ 3: Giải phương trình: log ( x + 2)2 + log x + x + = Giải: ⎧( ⎪ )2 Điều kiện: ⎨ x + > ⇔ x ≠ −2 + 4x + > ⎪ x ⎩ Khi phương trình cho tương đương: log ( x + 2)2 + log (x + 2)2 =9 ⇔ log ( x + 2)2 + log x + = ⇔ log x + + log x + = ⇔ log x + + log x + = ⇔ log x + = ⇔ log x + = = log 27 ⇔ x + = 27 ⇔ ⎡ x = −29 (thỏa điều kiện) ⎢ x = 25 ⎣ Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = −29 ; x = 25 Ví dụ 4: Giải phương trình: log (2 log (1 + log (1 + log x))) = (1) Giải: Điều kiện: x > Phương trình (1) tương đương: log (1 + log (1 + log x)) = ⇔ log (1 + log (1 + log x)) = ⇔ + log (1 + log x) = ⇔ log (1 + log x ) = ⇔ + log x = ⇔ log x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 5: Giải phương trình: log x ( x + x − 4) = THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MÔN TỐN CẤP THPT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN Giải: ⎧⎡ x > −2 + ⎪⎢ ⎧x + 4x − > Điều kiện: ⎨ ⇔ ⎨⎢ x < −2 + ⇔ −2 + < x ≠ ⎣ ⎩0 < x ≠ ⎪ < x ≠1 ⎩ (1) Phương trình cho tương đương: log x ( x + x − 4) = log x x ⇔ x + 4x − = x3 ⇔ x3 − x − 4x + = ⎡x = ⇔ ( x − 1)( x − 4) = ⇔ ⎢ x = ⎢ ⎢ x = −2 ⎣ Vậy nghiệm phương trình là: x = 1, x = Ví dụ 6: Giải phương trình: log ( x − 1) = log ( x + x + 1) Giải: Điều kiện: x ≠ Phương trình cho tương đương: log x − = log ( x + x + 1) ⎡⎧ x − > ⎢⎨ ⎢⎩ x − = x + x + ⇔ x −1 = x + x +1 ⇔ ⎢ ⇔ ⎧x − < ⎢⎨ ⎢ ⎩− x + = x + x + ⎣ ⎡⎧ x > ⎢⎨ ⎢⎩ x + = ⇔ x=0 ⎢ x ⇔ x > (*) Phương trình (1) tương đương: log m + ( x − 1) = log m + (mx + 1) ⇔ ( x − 1) = mx + ⇔ (m − 1) x + x = ⇔ (m − 1) x = −2 (2) Với m = thì: (2) ⇔ = -2 (vơ nghiệm) Với m ≠ thì: (2) ⇔ x = 1− m Để nghiệm thỏa (*) , điều kiện là: 1+ m >1⇔ > ⇔ −1 < m < 1− m 1− m Kết luận: Với m < phương trình (1) có nghiệm: x = 1− m Với m ≥ phương trình (1) vơ nghiệm 1.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Mục đích phương pháp chuyển tốn cho phương trình hệ phương trình đại số quen biết Dạng 1: Dùng ẩn phụ chuyển phương trình logarit thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu ý phép đặt ẩn phụ sau: • Nếu đặt t = log a x với x > thì: log k a x = t k log x a = với < x ≠ t • Ta biết a log c = c log a , ta đặt t = a log b b b x t = x log b a Tuy nhiên nhiều tốn có chứa a log x , ta thường đặt ẩn phụ dần b với t = log b x Ví dụ 9: Giải phương trình: log x − log x + =0 THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN Giải: ⎧x > Điều kiện: ⎨ ⎩x ≠ Khi phương trình cho tương đương: 1 − log 2 x + = ⇔ − log x + = log x log x (1) Đặt t = log x Khi đó: (1) ⇔ − t + = ⇔ 3t − 7t − = t ⎡t = ⇔ ⎢ ⎢t = − ⎣ Với t = 3, ta có: log x = ⇔ x = 23 = − 2 Với t = − , ta có: log x = − ⇔ x = = 3 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = 8; x = ( ) Ví dụ 10: Giải phương trình: x(lg − 1) = lg x + − lg Giải: Phương trình cho tương đương: ( ) ( ) ⎛ 1⎞ x(lg − lg10 ) = lg x + − lg ⇔ x⎜ lg ⎟ = lg x + − lg ⎝ 2⎠ ( ) ⇔ lg x + lg(2 x + 1) = lg ⇔ lg x (2 x + 1) = lg ⇔ x (2 x + 1) = ⇔ (2 x ) + x − = (1) ⇔ x lg + lg x + = lg Đặt t = x , t > Khi đó: THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN (1) ⇔ t + t − = ⎡t = ⇔ ⎢ ⎣t = −3 < (loại) Với t = 2, ta có: x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = Ví dụ 11: Giải phương trình: log x + log x + log16 x = Giải: ⎧x > ⎪x ≠ ⎧x > ⎪ ⎪x ≠ ⎪ ⎪ Điều kiện: ⎨ ⇔ ⎨x ≠ ⎪ ⎪4 x ≠ ⎪16 x ≠ ⎪ ⎩ ⎪x ≠ 16 ⎩ Khi phương trình cho tương đương: log x + log x + log16 x = ⇔ 6 + + =0 log x log x log 16 x ⇔ 6 + + =0 log x log + log x log 16 + log x ⇔ 6 + + =0 log x + log x + log x (1) Đặt t = log x Khi đó: (1) ⇔ 6 + + =0 t 2+t 4+t ⇔ 6(2 + t )(4 + t ) + 4t (4 + t ) + 6t (2 + t ) = ⎡t = −1 ⇔ 2t + 8t + = ⇔ ⎢ ⎣t = −3 1 ⇔x= 2 Với t = −1 , ta có: log x = −1 ⇔ log x = log Với t = −3 , ta có: log x = −3 ⇔ log x = log 2 − ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = 1 ; x= THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TỐN Ví dụ 12: Giải phương trình: x lg x − x lg x − = 10 − lg x Giải: Điều kiện: x > Phương trình cho tương đương: x lg x − x lg x − = (10 lg x ) − = x − ⇔ lg x − lg x − = −2 ⇔ lg x − lg x − = Đặt t = lgx, phương trình có dạng: 1 ⎡ ⎡ − ⎡ ⎢t = − ⎢lg x = − ⎢ x = 10 ⇔⎢ ⇔⎢ 8t − 6t − = ⇔ ⎢ ⎢t = ⎢lg x = ⎢ x = 10 ⎣ ⎢ ⎢ 4 ⎣ ⎣ − Vậy phương trình có nghiệm: x = 10 , x = 10 Ví dụ 13: Giải phương trình: a log ( x ) log x 2 = b log x + log x = x Giải: a Điều kiện: < x ≠ Viết lại phương trình dạng: + log x log x = ⇔ log x − log x − = (1) Đặt t = log x (1) có dạng: t − 2t − = ⇔ t = ± ⇔ log x = ± ⇔ x = 21± Vậy phương trình có nghiệm x = 21± 5 b Điều kiện: < x ≠ Viết lại phương trình dạng: x + log x = ⇔ − log x + log x = 5 log (5 x ) + log x log (2) Đặt t = log x , Khi (2) có dạng: THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 10 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TỐN ( ) b) log x − x + < −2 Ta có: x − x + > 0, ∀x ∈ R Do đó: ( ( ) ) ⎛1⎞ log x − x + < −2 ⇔ log x − x + < log ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 2 −2 = log ⇔ x − 4x + < ⇔ x2 − 4x + < ⇔ 2− < x < 2+ Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: − < x < + Bài 4: Giải bất phương trình: log log x − ≥ e Giải: ⎧ ⎡x > ⎪ x −3 > Điều kiện: ⎨ ⇔⎢ ⎪log x − > ⎣x < ⎩ Vì < nên bất phương trình cho tương đương: e log x − ≤ ⇔ log x − ≤ log 3 ⎡0 ≤ x < ⎡x > ⇔ x −3 ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇒ ⎢ (do điều kiện ⎢ ) ⎣4 < x ≤ ⎣x < ⎡0 ≤ x < Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: ⎢ ⎣4 < x ≤ Bài 5: Giải bất phương trình: ( ) log 35 − x >3 log (5 − x ) Giải: ⎧ ⎪35 − x > Điều kiện: ⎨ ⇔ x < 35 ⎪5 − x > ⎩ Vì x < 35 ⇒ − x > − 35 > ⇒ log (5 − x ) > Nên bất phương trình cho tương đương: ( ) log 35 − x > log (5 − x ) THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MÔN TỐN CẤP THPT 59 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN ⇔ 35 − x > (5 − x )3 ⇔ x − x + < ⇔ < x < (thỏa điều kiện) Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: < x < Bài 6: Giải bất phương trình: log x − x + + log x − > log ( x + 3) Giải: ⎧x − 5x + > ⎪ Điều kiện: ⎨ x − > ⇔ x>3 ⎪x + > ⎩ Khi bất phương trình cho tương đương: ( ) 1 log x − x + − log ( x − 2) > − log ( x + 3) 2 ⇔ log [( x − 2)( x − 3)] > log ( x − 2) − log ( x + 3) ⎛ x−2⎞ ⇔ log [( x − )( x − 3)] > log ⎜ ⎟ ⎝ x +3⎠ ⇔ ( x − 2)( x − 3) > x−2 ⇔ x > 10 (thỏa điều kiện) x+3 Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: x > 10 Bài 7: Giải bất phương trình: ( log x + log x − > log x − ) Giải: Bất phương trình cho tương đương: log x − log x − > (log x − 3) (1) Đặt t = log x Khi đó: (1) ⇔ ⎡t ≤ −1 ⎢ t − t − > (t − 3) ⇔ ⎢⎧t ≥ ⎪ ⎢⎨(t + 1)(t − 3) > 5(t − 3)2 ⎩ ⎣⎪ ⎡log x ≤ −1 ⎡t ≤ −1 ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⎣3 < t < ⎣3 < log x < THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 60 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TỐN 1 ⎡ ⎡ log x ≤ log 0< x≤ ⇔⎢ ⇔ ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎣8 < x < 16 ⎣log < log x < log 16 ⎡ ⎢0 < x ≤ Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: ⎢ ⎣8 < x < 16 Bài 8: Giải bất phương trình: log ( x + 1)2 − log ( x + 1)3 x − 3x − >0 Giải: ⎧x + > ⎧ x > −1 ⎪ Điều kiện: ⎨ ⇔⎨ ⎪ x − 3x − ≠ ⎩x ≠ ⎩ Khi bất phương trình cho tương đương: log ( x + 1) − log ( x + 1) x − 3x − >0 ⇔ log ( x + 1) − log log ( x + 1) ⇔ log ( x + 1)(2 − log ) ⇔ log ( x + 1)(log − log 8) ⇔ log ( x + 1) x − 3x − x − 3x − x − 3x − x − 3x − >0 ⇔ >0 >0 >0 log ( x + 1) x − 3x − >0 ⎡⎪log ( x + 1) > ⎡⎧ x + > ⎧ ⎪ ⎢⎨ ⎢⎨ ⎢⎪ x − 3x − > ⎢⎪ x − 3x − > ⎩ ⎩ ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢⎧log ( x + 1) < ⎢⎧ x + < ⎨ ⎢⎪ x − 3x − < ⎢⎨ x − 3x − < ⎩ ⎣⎪ ⎣⎩ ⎡x > (thỏa điều kiện) ⇔⎢ ⎣− < x < ⎡x > Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: ⎢ −1 < x < ⎣ Bài 9: Giải bất phương trình: ( ) ( log 3x + x + + > log 3x + x + ) THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 61 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN Giải: ( ( ) Đặt t = log 3x + x + ≥ ⇒ t = log 3x + x + ( ) ) ⇒ log 3 x + x + = 2t Khi bất phương trình cho tương đương: 2t − t − < ⇔ ≤ t < (do điều kiện t ≥ ) ( ) ( ) ⇔ ≤ log 3x + x + < ⇔ log ≤ log x + x + < log 9 ⎧3 x + x + ≥ ⎪ ⇔ ≤ 3x + x + < ⇔ ⎨ ⎪3 x + x + < ⎩ ⎧⎡ x ≤ −1 ⎡ ⎪⎢ ⎧3x + x + ≥ ⎢− < x ≤ −1 ⎪⎢ x ≥ − ⎪ ⇔ ⎨⎣ ⇔⎨ ⇔⎢ ⎪3x + x − < ⎢− ≤ x < ⎪ ⎩ ⎪− < x < ⎢ ⎣ ⎩ ⎡ ⎢− < x ≤ −1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: ⎢ ⎢− ≤ x < ⎢ ⎣ Bài 10: Giải bất phương trình: log x (2 − x ) ≥ Giải: ⎧x > ⎪ ⎪ Điều kiện: ⎨ x ≠ ⇔ x< ⎪2 − x > ⎪ ⎩ Khi bất phương trình cho tương đương: log x (2 − x ) ≥ log x x (1) ⎡x > 1 + Nếu x > ⇔ ⎢ ⇒ x < − (do điều kiện x < ) Khi đó: ⎣ x < −1 (1) ⇔ − x ≥ x ⇔ x ≤ ⇒ x < − (do điều kiện x < − ) THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 62 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN + Nếu < x < ⇔ −1 < x < ⇒ − < x < (1) ⇔ − x ≤ x ⇔ x ≥ 1 (do điều kiện x < ) Khi đó: 2 2 1 (do điều kiện − < x < ) ⇒ ≤x< 5 2 Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: x < − ; Bài 11: Giải bất phương trình: log x − log 2 2 ≤x< 32 x3 + log 2 < log x x Giải: Điều kiện: x > Khi bất phương trình cho tương đương: log x + log 2 x3 25 + log 2 < log x x ⇔ log x + 3log x + ( log 25 − log x ) < −4log x 2 2 ⇔ log x − ( log x − 1)2 + ( − 2log x ) < 4log x 2 ⇔ log x − 13log x + 36 < (1) 2 Đặt t = log x Khi đó: (1) ⇔ t − 13t + 36 < (2) Đặt X = t > Khi đó: (2) ⇔ X − 13 X + 36 < ⇔ < X < Vậy ta có: ⎧⎡t < −2 ⎧t > ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨⎢t > 4 ⎣ ⎢ ⎪ −3 ⎣4 < x < ⎪2 < x < ⎩ ⎡1 ⎢8 < x < Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: ⎢ ⎣4 < x < THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 63 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN ⎛ ⎞ Bài 12: Giải bất phương trình: log ( x − 1) ≥ ⎜ log ⎟ log ( x − 1) 25 2x −1 −1⎠ ⎝ Giải: ⎧x −1 > Điều kiện: ⎨ ⇔ x >1 ⎩ 2x −1 −1 > Khi bất phương trình cho tương đương: ⎡ ⎤ log ( x − 1)⎢log ( x − 1) + log ≥ (1) x − − 1⎥ ⎣ ⎦ Bất phương trình (1) có khả xảy ra: Khả 1: ⎧log ( x − 1) ≥ ⎪ ⎨ ⎪log ( x − 1) + log x − − ≥ ⎩ ⎧x − ≥ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪log ( x − 1) ≥ log ⎩ ( ⎧x ≥ ⇔ ⎨ 2x −1 −1 ⎩2 x − ≥ x + ) ⎧x ≥ ⎧x ≥ ⎪ ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩2 x − ≥ x + ⎪ x − x + ≤ ⎩ ⎧x ≥ ⇔ ⎨ ⇔ ≤ x < (thỏa điều kiện) ⎩1 ≤ x ≤ Khả 2: ⎧log ( x − 1) < ⎪ (hệ vô nghiệm) ⎨ ⎪log ( x − 1) + log x − − < ⎩ Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: ≤ x < Bài 13: Giải bất phương trình: log x + log x < + log x log x Giải: Điều kiện: x > Khi bất phương trình cho tương đương: (log x − 1) + log x(1 − log x ) < ⇔ (1 − log x )(1 − log x ) < THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 64 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TOÁN ⎡⎧log x < ⎡⎧ x < ⎢⎨ ⎢⎨ ⎢⎩log x < ⇔ ⎢⎩ x < ⇔ ⎢⎧log x > ⎢⎧ x > ⎢⎨ ⎢⎨ ⎢⎩log x > ⎢⎩ x > ⎣ ⎣ ⎡x < ⇔ ⇔⎢ ⇒ ⎣x > ⎡0 < x < (do điều kiện x > 0) ⎢x > ⎣ ⎡0 < x < Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: ⎢ ⎣x > HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT: 4.1 Hệ bất phương trình logarit ẩn: Phương pháp chung: Đối với hệ bất phương trình logarit ẩn, thường giải việc giải bất phương trình hệ, kết hợp tập ngiệm tìm để đưa kết luận nghiệm cho hệ bất phương trình Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình: ⎧log 2 x − log x < ⎪ ⎨x ⎪ − 3x + x + > ⎩3 (1) ( 2) Giải: • Giải (1): ⎧x > (1) ⇔ ⎨ ⎩log 2 ⎧x > ⎧x > ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔1< x < x − log x < ⎩1 < x < ⎩0 < log x < • Giải(2): Xét hàm số y = x3 − 3x + x + Miền xác định: D = (1, 4) Đạo hàm: y’ = x2 -6x + y’ = ⇔ x − x + = ⇔ x = x = Bảng biến thiên: THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 65 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TỐN x -∞ y’ y +∞ 34/3 7/3 Từ bảng biến thiên suy ra: y > ∀x ∈ (1,4) Vậy nghiệm hệ bất phương trình < x < 4.2 Hệ bất phương trình logarit hai ẩn: 4.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương: Phương pháp chung: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Thực phép biến đổi tương đương để nhận từ hệ bất phương trình ẩn chứa tham số Bước 3: Giải biện luận theo tham số bất phương trình nhận Bước 4: Kiểm tra nghiệm tìm với điều kiện, kết luận Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình: ⎧log 2− x (2 − y ) > ⎨ ⎩log 4− y (2 x − 2) > Giải: ⎧0 < − x ≠ ⎪2 − y > ⎧1 < x < ⎪ ⇔⎨ Điều kiện: ⎨ ⎪0 < − y ≠ ⎩ y < ⎪2 x − > ⎩ (*) ⎧y > ⎧2 − y < ⎪ ⇔⎨ ⎩2 x − > ⎪ x > ⎩ Dựa vào điều kiện (*) ta biến đổi hệ dạng: ⎨ (**) ⎧3 ⎪ 1⇔ + log a x + log a x (3) Đặt t = log a x , đó: ⎡ ⎧a > ⎢⎪ −1 ⎢⎨⎡a < x < ⎢⎪⎢ x > a ⎡− < log a x < ⎡− < t < t2 −t ⎩⎣ (3) ⇔ >0⇔⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢⎧0 < a < 1+ t ⎣t > ⎣log a x > ⎢⎪ ⎢⎨⎡1 < x < a −1 ⎢⎪⎢ ⎣⎩⎣ x < a + Với ax = y, ta có: (2) ⇔ log a x − log a x + 1 + log a x >1⇔ > ⇔ log a x > x log a x + log a a THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 67 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TỐN ⎡ ⎧a > ⎢⎨ ⎩x > ⇔⎢ ⎢⎧0 < a < ⎢⎨ ⎢⎩ x < ⎣ Kết luận: - Với a > 1, hệ có nghiệm cặp (x; y) thỏa mãn: ⎧x = y ⎧x = y ⎪ −1 ⎨⎡a < x < ⎨ ⎩x > ⎪⎢ x > a ⎩⎣ - Với < a Giải (1) (1) ⇔ log ( ) x + x = log x (3) Đặt t = log x ⇒ t = x Khi (3) có dạng: ( t ) t ⎛ 2⎞ ⎛1⎞ log 2t + t = t ⇔ 2t + t = t ⇔ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ t (4) t ⎛ 2⎞ ⎛1⎞ Xét hàm số y = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ , hàm nghịch biến ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ Ta có: - Với t = 1, f(t) = 1, t = nghiệm phương trình (4) - Với t > 1, f(t) < f(1) = 1, phương trình (4) vơ nghiệm - Với t < 1, f(t) > f(1) = 1, phương trình (4) vô nghiệm Vậy t = nghiệm phương trình (4) Khi đó: log x = ⇔ x = ⇔ x = 16 Giải (2): Thay x = 16 vào (2) ta được: sin π + < − cos π ⇔ −1 < cos π Vậy hệ có nghiệm x = 16 Bài 2: (ĐHSP I 89) Giải hệ bất phương trình sau với < a < 2: ⎧1 ⎪ ⎨ ⎩3a − ax > Do đó: 5 ⎧1 ⎧1 ⎪ ta chứng minh x log a x ≥1 (3) Thật vậy, lấy logarit số a > hai vế (3), ta được: log a x log a x ≥ log a ⇔ log a x ≥ ln Từ suy ra: VT( ) = 2.x log x + y log3 y ≥ 2.1 + 3.1 = Vậy hệ chuyển dạng: ⎧.x log x = ⎧x = ⎪ log3 y ⎪ =1 ⇔ ⎨y = ⎨y ⎪ log3 x ⎪m ≤ − y log y ≥ m ⎩ ⎩3.x Kết luận: - Với m > hệ vơ nghiệm - Với m ≤ hệ có nghiệm x = y = THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 71 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỒNG NGỰ I – TỔ TỐN KẾT LUẬN Trong trình thực đề tài tham luận này, tổ tốn chúng tơi nhận quan tâm giúp đỡ tận tình BGH Trường THPT Hồng Ngự I, đoàn kết chung sức tất q thầy thuộc mơn Tốn nhà trường Trong thực đề tài này, tổ tốn chúng tơi cố gắng chắn tham luận không tránh khỏi sai sót khiếm khuyết Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý báu Sở GD & ĐT Tỉnh Đồng Tháp, q thầy dạy mơn tốn trường bạn để đề tài tham luận chúng tơi hồn thiện Tổ Toán – Trường THPT Hồng Ngự I THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 72 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG NGỰ I – TỔ TỐN TÀI LIỆU THAM KHẢO Dỗn Minh Cường (chủ biên), Nguyễn Hắc Hải, Nguyễn Đức Hoàng, Đỗ Đức Thái, Phan Dỗn Thoại – Tốn ơn thi đại học tập – Đại số – NXB Đại học Sư Phạm – 2002 Hoàng Kỳ – Đại số sơ cấp –Bộ GD & ĐT - 1998 Huỳnh Cơng Thái – Hướng dẫn giải phương trình mũ, logarit hệ Phuong trình đại số - Nhà xuất ĐHQG TPHCM – 2004 Lại Thị Cẩm – Giáo trình đại số sơ cấp – Trường Đại Học Cần Thơ - 2006 Nguyễn Đức Đơng, Lê Hồn Hóa, Võ Khác Thường, Lê Quang Tuấn, Nguyễn Văn Vĩnh – Phương pháp giải toán đại số sơ cấp – ĐHQG – 1999 Phạm An Hòa – Chuyên đề phương trình, bất phương trình mũ, logarit (LTĐH BDHSG) – NXB Trẻ - 2001 Trần Phương, Lê Hồng Đức – Tuyển tập chun đề LTĐH mơn Tốn – Đại số sơ cấp – NXB Hà Nội – 2002 Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn – Bài Tập Đại số Giải tích 11 – NXBGD – 2001 Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí – Phương pháp giải toán mũ, logarit – NXB Hà Nội – 2007 10 Võ Đại Mau – Phương trình, bất phương trình đại số - NXB Trẻ - 1997 THAM LUẬN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY MƠN TỐN CẤP THPT 73 ... số a bất phương trình logarit 3.2 Các dạng tốn phương pháp giải: 3.2.1 Phương pháp mũ hóa đưa số: Ví dụ 1: Giải bất phương trình: log x + x log x ≤ 12 Giải: Điều kiện: x > Khi bất phương trình. .. tham luận này, hy vọng sau bạn đồng nghiệp giảng dạy tốt cho học trị “các tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình lơgarit”, giúp cho học sinh hiểu phương pháp giải. .. 1− m Kết luận: Với m < phương trình (1) có nghiệm: x = 1− m Với m ≥ phương trình (1) vơ nghiệm 1.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Mục đích phương pháp chuyển tốn cho phương trình hệ phương trình đại