Chuyên đề bài toán tìm điểm trên đồ thị

CHỦ ĐỀ 9: BÀI TỐN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ  Dạng 1: Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách Điểm M thuộc đồ thị hàm số = y f ( x ) ⇒ M ( x0 ; f ( x0 ) )  Khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng: d ( M ; Ox ) = f ( x0 )  Khoảng cách từ điểm M đến trục Oy bằng: d ( M ; Oy ) = x0 ax0 + b f ( x0 ) + C  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = là: d ( M ; ∆ ) = a + b2  Khoảng cách hai điểm MN Ví dụ 1: Cho hàm số: y = y = − x ( xM − xN ) + ( yM − yN ) 2 x+2 ( C ) Tìm điểm M thuộc ( C ) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng x −1 Lời giải  a+2 Gọi M  a;  ∈ ( C ) , ( a ≠ 1)  a −1  Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = − x là: d = a+ a+2 a −1 = 2 ⇔ a2 + = a −1 ⇒ M ( 0; −2 ) a =  a − 2a + = ⇔ ⇔ a + 2a =0 ⇔   a + 2a =  a =−2 ⇒ M ( −2;0 ) Vậy tọa độ điểm M cần tìm M ( 0; −2 ) M ( −2;0 ) Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x +1 ( C ) Gọi M điểm nằm đồ thị ( C ) H , K tương ứng hình chiếu x −1 vng góc M trục Ox Oy Có điểm M thỏa mãn tứ giác MHOK có diện tích A B C Lời giải  2a +  Gọi M  a;  ∈ ( C )( a ≠ 1) Tứ giác MHOK hình chữ nhật  a −1  S MHOK MH = MK d ( M ; Ox ) d ( M ; Oy ) Ta có:=   2a + a = 2a −  2a − a + = a= 2a + 2a + a  = a = = 2⇔ ⇔ ⇔  a −1 a −1  2a + a =−2a +  2a + 3a − =0  a = −2 D 1  Vậy M  ;  M ( −2 :1) Chọn C 2  Ví dụ 3: Cho hàm số y = ∆ : y = x − −x −1 ( C ) Có điểm M ∈ ( C ) để khoảng cách từ M đến đường thẳng x −1 A B C D Lời giải  −a −  Gọi M  a;  ∈ ( C )( a ≠ 1) Ta có: ∆ : x − y − = ⇒ d ( M ; ∆ ) =  a −1  2a + a +1 −1 a −1 = 5   2a − 2a + = 3a −  2a − 5a + = a=  ⇔ 2a − 2a + = a − ⇔  ⇔ ⇔   2a − 2a + =−3a +  2a + a − =0  a = −1 Vậy có điểm M thỏa mãn u cầu tốn Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − x + Tìm tất điểm M thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến trục tung A M (1;0 ) M ( −1; ) B M ( 0;1) M ( 2; −1) C M (1;0 ) D M ( 2; −1) Lời giải  M (1;0 ) ⇒ yM = x = Khoảng cách từ M đến trục tung 1, suy  M ⇒  xM =−1 ⇒ yM =2  M ( −1; ) Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số = y x − x có đồ thị ( C ) điểm K (1; −3) Biết điểm M ( x; y ) ( C ) thỏa mãn xM ≥ −1 độ dài KM nhỏ Tìm phương trình đường thẳng OM A y = x B y = − x C y = x D y = −2 x Lời giải Điểm M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ M ( x; x3 − x ) với x ≥ −1 Ta có KM = ( x − 1; x3 − x + 3) ⇒ KM = ( x − 1) + ( x3 − x + 3) Đặt f ( x ) = ( x − 1) + ( x3 − x + 3) 2 Xét hàm số f ( x ) đoạn [ −1; +∞ ) , ta có f ′ ( = x ) ( x − 1) + ( x − 1)( x − x + 3) ; ∀x ≥ −1 Phương trình f ′ ( x ) = ⇔ ( x − 1) 1 + ( x + 1) ( x − x + 3)  = ⇔ x = g ( x ) ≥ 0; ∀x ≥ −1  g ( x) Giá trị nhỏ f ( x ) Dấu " = " xảy x =⇒ M (1; −2 ) ⇒ ( OM ) : y = −2 x Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y = 2x −1 ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm M ( C ) đến hai đường tiệm cận x +1 đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C D Lời giải  2a −  Gọi điểm M  a;  ∈ ( C ) Hai đường tiệm cận ( C ) x = −1 y =  a +1  d (M , x = d1 = −1) =a +  Suy khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận  d = d M , = y = ( )  a +1  Khi tổng khoảng cách d = d1 + d = a + + 3 ≥ a +1 = a +1 a +1 Chọn A Ví dụ 7: Tìm tất điểm thuộc trục hồnh cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y =x − x + A M ( −1;0 ) B M (1;0 ) C M ( 2;0 ) D M (1;0 ) Lời giải x =0 ⇒ y =2 Ta có: y′ =3 x − x =0 ⇔  ⇒ A ( 0; ) ; B ( 2; −2 ) Gọi M ( t ;0 ) −2 2⇒ y = x = Khi MA2 = MB ⇔ t + =( t − ) + ⇔ t =1 ⇒ M (1;0 ) Chọn D Ví dụ 8: Có điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x+2 mà khoảng cách từ M đến trục Oy hai x −1 lần khoảng cách từ M đến trục Ox ? A B C Lời giải  a+2 Gọi M  a;  ( a ≠ 1) ∈ đồ thị hàm số cho  a −1  Ta có: = d ( M ; Oy ) a= ; d ( M ; Ox ) a+2 a −1 D a +  a − = 2a  2a − 3a − = a+2 Theo giả thiết ta có: 2a ⇔ 2; a = = ⇔ ⇔a= − 2 a −1  a + = −2a  −2a + a − =  a −   Vậy có điểm A ( 2; ) B  − ; −1 Chọn C   Ví dụ 9: Tìm đồ thị hàm số y = 2x +1 điểm M cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x −1 ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang đồ thị 7  A M  −4;  M ( 2;5 ) 5  B M ( 4;3) M ( −2;1) C M ( 4;3) M ( 2;5 ) 7  D M  −4;  M ( −2;1) 5  Lời giải  2a +  Tiệm cận đứng: x = Tiệm cận ngang y = Gọi M  a;   a −1  Khi đó: d ( M ; TCN ) = 2a + −2 = , d ( M ; TCD ) = a − a −1 a −1 Theo ta có: a − =  a= ⇒ M ( 4;3) ⇔ ( a − 1) = ⇔  a −1  a =−2 ⇒ M ( −2;1) Chọn B Ví dụ 10: Giả sử đường thẳng d = : x a, a > cắt đồ thị hàm số y = 2x +1 điểm nhất, biết x −1 khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1; ký hiệu ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm Tìm y0 A y0 = −1 B y0 = C y0 = D y0 = Lời giải  2a +  Gọi M  a;  ( a > ) điểm cần tìm TCĐ đồ thị hàm số cho là: x =  a −1  a >0 Khi d ( M ; x= 1)= ⇔ a − = → a= ⇒ y0 = 2a + = a −1 Chọn B Ví dụ 11: Cho hàm số y = x +1 ( C ) Gọi M điểm thuộc ( C ) cho tích khoảng cách từ điểm M đến x−2 trục Ox đến đường tiệm cận ngang Tổng hoành độ điểm M thỏa mãn yêu cầu toán A −1 B C D Lời giải  a +1  Gọi M  a;  ( a ≠ ) TCĐ: x = TCN: y =  a−2 a) Ta có: d ( M= ; Ox ) a +1 a +1 −1 = = d2 = d1 ; d ( M ; TCN : y = 1) = a−2 a−2 a−2  a +1 =2  a = ⇒ M (1; −2 )  − a ( )  2a − 9a + = ( a + 1)  Theo ta có: d1d = = ⇔ ⇔  6⇔ 7   a +1 ⇒ M  ;3  a= 2a − a + = ( a − 2)  = −   2   ( a − ) 7  Vậy M (1; −2 ) M  ;3  điểm cần tìm Chọn B 2   Dạng 2: Tìm điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách  Tìm điểm đối xứng: Gọi A ( a; f ( a ) ) B ( b; f ( b ) ) ( a ≠ b ) hai điểm thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) a + b = 2α  Hai điểm A, B đối xứng qua I ( α; β ) ⇔  2β  f ( a ) + f (b) = a = −b  Hai điểm A, B đối xứng qua trục tung ⇔   f ( a ) = f (b)  Tìm điểm A, B thuộc nhánh đồ thị cho độ dài AB ngắn Bài toán: Cho hàm số y = ax + b ( C ) Tìm điểm thuộc nhánh đồ thị ( C ) cho ABmin cx + d Cách giải: Ta phân tích: y= −d a k y = tiệm cận đứng (C) + c cx + d c Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) điểm thuộc nhánh ( C ) ta có: x1 < −   y1= −d −d Đặt = x1 − α, x= + β ( α, β > ) ⇒  c c y=  k2  1  = ( α + β) +  +  = c α β Do ( α + β ) ≥ 4αβ + ( α + β) a k − c c.α ⇒ AB= a k + c c.α d < x2 c ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )  k2  1 +   c ( α.β )2    k k2 k2 ≥ = 2 2 c ( α.β ) c ( α.β ) c α.β 2 α = β k k  Dấu xảy ⇔  k Do AB ≥ 4α.β.2 = c α.β c  c αβ =  Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − x − x + ( C ) a) Tìm điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O b) Tìm tọa độ điểm A B đối xứng qua trục Oy Lời giải a) Gọi A ( a; b ) B ( −a; −b ) điểm đối xứng qua gốc tọa độ O ( 0;0 ) b = a − 3a − 4a + Vì A, B thuộc đồ thị ( C ) nên ta có:  −b = ( −a ) − ( −a ) − ( −a ) + b = a − 3a − 4a + b = a − 3a − 4a +  a = 1; b = −3 ⇔ ⇔ ⇔  a = 2 −1; b =  −b =−a − 3a + 4a + 0 =−6a + Vậy điểm A, B cần tìm là: A (1; −3) : B ( −1;3) ngược lại b) Gọi A ( a; b ) B ( −a; b ) điểm đối xứng qua trục Oy b = a − 3a − 4a + Vì A, B thuộc đồ thị ( C ) nên ta có:  b =( −a ) − ( −a ) − ( −a ) +  a =b =0 ⇒ A ≡ B ( loai ) b = a − 3a − 4a + b = a − 3a − 4a +  2; b = ⇔ ⇔ ⇔ a = −9 3 2a − 8a −a − 3a + 4a + 0 = b =  a = −2; b = −9 Vậy điểm A, B cần tìm là: A ( 2; −9 ) ; B ( −2; −9 ) ngược lại Ví dụ 2: Tìm đồ thị hàm số hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số y = ngắn Lời giải 2x − 2) − x −3 2( 1 Ta có: y= = = − 2x − 2x − 2 x −1 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x = Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) điểm thuộc nhánh ( C ) ta có: x1 < < x2   y1= Đặt x1 =1 − a, x2 =1 + b ( a, b > ) ⇒  y=  1 + 2 a ⇒ AB =( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 1 + b x −3 cho AB 2x − 2   1 1 =( a + b ) +  +  =( a + b ) 1 +   ( ab )2  a b   ( a + b )2 ≥ 4ab  Ta có:  AB ≥ 2 1 ⇒ AB ≥ 4ab ab =⇒ + ≥ =  2 a 2b ab  ab a = b  Dấu " = " xảy ⇔  ⇔ a =b =1 ⇒  ab = 1  3  A  0;  , B  2; −  2  2  Ví dụ 3: Tìm đồ thị hàm số y = − x3 + x + hai điểm mà chúng đối xứng qua tâm I ( −1;3) A ( 0; ) ( −2; ) B ( −1;0 ) ( −1;6 ) C (1; ) ( −3; ) D Không tồn Lời giải Gọi A ( a; −a + 3a + ) ; B ( b; −b3 + 3b + ) ( a ≠ b ) điểm thuộc đồ thị hàm số cho đối xứng qua điểm I ( −1;3) a + b =2 x1 =−2 a + b =−2 Ta có:  ⇔  3 −a + 3a + − b + 3b + 2= y1= − ( a + b ) + ( a + b ) = a + b =−2 a + b =−2 a + b =−2  a =0; b =−2 ⇔ 3 ⇔ ⇔ ⇔ −8 −2; b = −8 ab = a + b = a = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) = Vậy ( 0; ) ( −2; ) cặp điểm cần tìm Chọn A x3 11 Ví dụ 4: Tìm đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng qua − + x + 3x − 3 trục tung 16  16    A  3; −   −3; −  3 3    16   16  B  3;   −3;  3  3   16   16  C  ;3   − ;3      D Không tồn Lời giải  −b3  −a3 11  11  + b + 3b −  ( a ≠ b ) điểm thuộc đồ thị chúng đối Gọi A  a; + a + 3a −  B  b; 3 3   xứng qua trục tung −b −b a = a =   3 Khi đó:  −a 11 −b 11 ⇔  −a 11 a 11 2 + a + 3a − = + b + 3b − + a + 3a − = + a − 3a −   3 3 3   a = −b a = −b   ⇔  −2a ⇔ a = 0 − 6a =    a = ±3   Với a = ⇒ b = ⇒ A ≡ B (loại)  16   16  Với a =±3 ⇒ b =3 ⇒ A  3;  ; B  −3;  Chọn B 3  3  Ví dụ 5: Tìm đồ thị hàm số y = − x + x + hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với qua trục tung A Không tồn B A ( 2; ) B ( −2; ) C A ( −1; −1) B (1; −1) D A ( 3; −13) B ( −3; −13) Lời giải  A ( x A ; y A )  x A = − xB Gọi hai điểm thỏa mãn đề  ⇒ ⇒ x A ≠  B ( xB ; yB )  y A = yB Khi ta có − x A2 + x A + =− ( − x A ) + ( − x A ) + ⇔ x A =−4 x A ⇔ x A =0 ( L ) Suy không tồn hai điểm thỏa mãn đề Chọn A Ví dụ 6: Tìm nhánh đồ thị ( C ) : y = 3x + điểm A, B để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất, x +1 giá trị nhỏ bằng: A B 2 C D Lời giải Ta có: y= x + ( x + 1) + 3 = = 3+ x +1 x +1 x +1 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x = −1 Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) điểm thuộc nhánh ( C ) ta có: x1 < −1 < x2   y1= − a 2 Đặt x1 =−1 − a, x2 =−1 + b ( a, b > ) ⇒  ⇒ AB =( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) y = 3+  b   2 1 1 =( a + b ) +  +  =( a + b ) 1 +   ( ab )2  a b   ( a + b )2 ≥ 4ab  Ta có:  9 ⇒ AB ≥ 4ab ab =24 ⇒ AB ≥ 1 + 2 ≥ 2 = ab ab  ab a = b  Dấu xảy ⇔  ⇔ a = b = Chọn C =  ab  Dạng 3: Bài tốn tìm điểm kết hợp toán tương giao tiếp tuyến  Bài toán 1: Tìm hai điểm A ( a; f ( a ) ) B ( b; f ( b ) ) ( a ≠ b ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ) cho tiếp tuyến A B ( C ) song song với A, B thỏa mãn điều kiện K Cách giải: Giải hệ phương trình f ′ ( a ) = f ′ ( b ) điều kiện K  Bài toán 2: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ) cho AB ⊥ ∆ (hoặc AB / /∆ ) A, B thỏa mãn điều kiện K Cách giải:  Dựa vào giả thiết AB ⊥ ∆ AB / /∆ ta viết phương trình đường thẳng AB theo tham số m  Viết phương trình hồnh độ giao điểm AB đồ thị ( C )  Dựa vào điều kiện K để tìm giá trị tham số m Ví dụ 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x + x + điểm A ( −3; −2 ) cắt đồ thị điểm thứ hai B Điểm B có tọa độ A B (1;10 ) B B ( −2;1) C B ( 2;33) D B ( −1;0 ) Lời giải Ta có: y′= x + x + ⇒ y′ ( −3)= PTTT điểm A ( −3; −2 ) là: y = ( x + 3) − = x + 19 (d) Phương trình hồnh độ tiếp điểm đồ thị tiếp tuyến d là: x3 + x + x + 1= x + 19  x =−3 ⇒ y =−2 Vậy B ( 2;33) Chọn C ⇔ ( x + 3) ( x − ) =0 ⇔   x = ⇒ y = 33 Ví dụ 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + x + điểm A cắt đồ thị điểm thứ hai B ( −1; −2 ) Điểm A có tọa độ A A ( 2;5 ) C A ( 0;1) B A ( −1; −4 ) Lời giải Ta có: y′ = x − x + , gọi A ( a; a − a + a + 1) Phương trình tiếp tuyến A là: = y ( 3a − 2a + 1) ( x − a ) + a − a + a + Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị tiếp tuyến là: D A (1; ) x3 − x + x += ( 3a − 2a + 1) ( x − a ) + a − a + a + ⇔ ( x − a ) ( x + xa + a ) − ( x − a )( x + a ) + ( x − a )= ( 3a − 2a + 1) ( x − a ) ⇔ ( x − a ) ( x + xa + a − x − a + − 3a + 2a − 1) =0 ⇔ ( x − a ) ( x + xa − 2a − x + a ) =  x= a ⇒ A ⇔ ( x − a ) ( x + 2a − 1) = ⇔  −2a + x = Do xB =−1 ⇔ −2a + =−1 ⇔ a =1 ⇒ A (1; ) Chọn D − x + x + mà tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc Ví dụ 3: Điểm M thuộc đồ thị hàm số ( C ) : y = lớn nhất, có tọa độ A M ( 0; ) B M ( −1;6 ) C M (1; ) D M ( 2;6 ) Lời giải Ta có: k =y′ =−3 x + x =−3 ( x − 1) + ≤ Tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc lớn hoành độ tiếp điểm x = Khi M (1; ) Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y = 2x + ( C ) Gọi A, B điểm phân biệt ( C ) cho tiếp tuyến A B x −1 song song với AB = Tính = T OA + OB A T = B T = C T = D T = Lời giải     Gọi A  a; +  , B  b; +  ( a, b ≠ 1, a ≠ b ) Do tiếp tuyến A, B song song với nên ta có: a −1   b −1   y′ ( = a ) y′ ( b ) ⇔ = ( a − 1) Ta có: AB = (a − b) + 2 ( b − 1) a − = b − (l ) ⇔ ⇒ a += b a − = − b 16 ( a − b )    16  2 = = ( a − b ) 1 + ( a − b ) 1 + 2 2 ( a − 1)( b − 1)   ( ab − a − b + 1)   ( ab − 1)  2   16  16  = ( a + b ) − 4ab  1 + = − ab + 1   ( ) 2    ( ab − 1)2  ab − ( )       a + b = 16  16  Đặt t = − ab ta có: 4t 1 +  =32 ⇔ t + =8 ⇔ t =4 ⇒ ab =−3 ⇒  t  t  ab = −3 ( C ) điểm thứ hai N ( M ≠ N ) thỏa mãn xM + xN = −3 Hoành độ điểm M A B −1 C D −3 Lời giải = y′ x −  → y′= Vì M ∈ ( C ) ⇒ M ( m; m3 − 3m ) Ta có ( m ) 3m2 − Phương trình tiếp tuyến ( C ) M y − y ( m= ) y′ ( m ) ( x − m ) ⇔ y − m3 + 3m = ( 3m − 3) ( x − m ) ⇔ y = ( 3m − 3) ( x − m ) + m3 − 3m (d) Hoành độ giao điểm ( d ) ( C ) nghiệm phương trình x3 − x= ( 3m ⇔ x − m3 − ( x − m )= ( 3m 2 − 3) ( x − m ) + m3 − 3m − 3) ( x − m ) ⇔ ( x − m ) ( x + mx + m ) − ( x − m )= ( 3m − 3) ( x − m )  x = m= x − m = x m x m ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x − m x + 2m =  2 2 3m −  x + mx − 2m −2m )( ) x =  x + mx + m − = ( x = m Suy  M  → xM + xN= m − 2m= −m= −3 ⇔ m=  xN = −2m Vậy xM = Chọn A Ví dụ 9: Cho hàm số y = 2x + ( C ) Gọi A, B điểm phân biệt ( C ) cho A, B đối xứng x −1 qua đường thẳng d : x + y − 11 = Tính tổng tung độ y A + yB A y A + yB = B y A + yB = C y A + yB = −4 D y A + yB = Lời giải 11 Viết lại phương trình đường thẳng d : y = − x+ 5 Vì AB ⊥ ( d ) nên phương trình đường thẳng AB có dạng: = y 5x + m Phương trình hoành độ giao điểm AB ( C ) là: x ≠ 2x + = 5x + m ⇔  x −1  g ( x )= x + ( m − ) x − m − 3= 0 có nghiệm phân biệt khác Để AB cắt ( C ) điểm phân biệt ⇔ g ( x ) =  g (1) ≠ −5 ≠ (*) I ⇔ ⇔ ∆ > ( m − ) + 12 ( m + 3) > 7−m   x1 + x2 =5 Khi gọi A ( x1 ;5 x1 + m ) , B ( x2 ;5 x2 + m ) Theo định lý Viet ta có:   x x = −m −   x + x ( x1 + x2 )  7−m m+7 Trung điểm I AB : I  ; + m  hay I  ;  ∈(d ) 2   10   ⇒ − m 5m + 35 11 ⇔ m = + = −3 10 Với m = −3 ( tm ) ⇒ A ( 0; −3) , B ( 2;7 ) ⇒ y A + yB = Chọn D Ví dụ 10: Cho hàm số y = x −1 ( C ) điểm C , D thuộc đường thẳng d : y= x − Gọi điểm A, B x+2 hai điểm phân biệt nằm ( C ) cho tứ giác ABCD hình chữ nhật có đường chéo Độ dài AB thỏa mãn B < AB < A AB < C < AB < 2 D AB > Lời giải Do AB / / CD nên phương trình đường thẳng AB : y= x + m ( m ≠ ) PT hoành độ giao điểm AB ( C ) là: x −1  x ≠ −2 =x + m ⇔  x+2  g ( x ) = x + ( m + 1) x + 2m + =  g ( −2 ) ≠ 3 ≠ ⇔ ⇔  m − 6m − > ∆ >  x1 + x2 =− m − x2 2m +  x1= Khi gọi A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m ) ta có:  ( ) Ta có: AB = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2  = m − 6m= − , AD d= ( AB; CD )   m+4 m + 8m + 16 2 AB + AD 2= AC 2= ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ( m − 6m − 3) +    m = −1 25 = m − 8m + = ⇔  m = 21 ( loai ) 2   x1 = ⇒ A (1;0 ) , B ( −1; −2 ) Với m =−1 ⇒   x1 =−1 ⇒ A ( −1; −2 ) , B (1;0 ) Kết luận: Vậy điểm thỏa mãn ycbt là: (1;0 ) , ( −1; −2 ) ⇒ AB = 2 Chọn D Ví dụ 11: [Đề thị THPT Quốc gia 2018] Cho hàm số y = x−2 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm x+2 hai tiệm cận ( C ) Xét tam giác ABI có hai đỉnh A, B thuộc ( C ) , đoạn thẳng AB có độ dài A C 2 B D Lời giải Giao điểm đường tiệm cận I ( −2;1) tâm đối xứng đồ thị hàm số Hàm số cho hàm đồng biến, có trục đối xứng đường phân giác đường tiệm cận có phương trình y = x y = − x Do tính chất đối xứng nên AB ⊥ d : y =− x ⇒ AB : y =x + m Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) AB là:  x ≠ −2 x−2 =x + m ⇔  x+2  g ( x ) = x + ( m + 1) x + 2m + = ∆= ( m + 1)2 − ( 2m + ) > Điều kiện để AB cắt ( C ) điểm phân biệt là:   g ( −2 ) ≠  x1 + x2 =− m − x2 2m +  x1= Khi gọi A ( x1 ; x1 + m ) ; B ( x2 ; x2 + m ) , theo Viet ta có:  3 Tam giác ABC ln cân I suy IH = AB ⇔ d ( I ; AB ) = AB ⇔ m−3 = 2  ( m + m + − 8m − ) ( x1 − x2 ) ⇔ ( m − 3= ) ( x1 + x2 ) − x1 x= 2 ⇔ m − 6m = 15 ⇒ AB = ( m − 6m − ) = Chọn B  Dạng 4: Tìm điểm cố định điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số  Tìm điểm cố định: Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f ( x ) qua Khi y0 = f ( x0 ) biến đổi phương trình dạng m  g ( x0 ; y0 )  + h ( x0 ; y0 ) =  g ( x0 ; y0 ) = ⇒ Tọa độ điểm M h ( x0 ; y0 ) = Giải hệ phương trình   Tìm điểm có tọa độ ngun:  y =f ( x )  f ( x ) có tọa độ nguyên tọa độ điểm M ( x; y ) thỏa mãn  x ∈  Điểm M ( x; y ) ∈ ( C ) : y = y ∈  Ví dụ 1: Cho hàm số ( C ) : y = x + mx − m − Tọa độ điểm cố định thuộc đồ thị ( C ) A ( −1;0 ) (1;0 ) B (1;0 ) ( 0;1) C ( −2;1) ( −2;3) D ( 2;1) ( 0;1) Lời giải Gọi M ( x0 ; y ) tọa độ điểm cố định ( C ) ta có: y0 = x04 + mx02 − m − ( ∀m ∈  ) −1; y0 =  x − =0  x0 = ±1  x0 = Vậy tọa ⇔ m ( x02 − 1) + x04 − y02 − = ( ∀m ∈  ) ⇔  04 ⇔ ⇔ = = x y 1; − = − = x y y 0  0   độ điểm cố định thuộc đồ thị ( C ) ( −1;0 ) (1;0 ) Chọn A Ví dụ 2: Gọi điểm M , N điểm cố định mà đồ thị hàm số y =x − 3mx + 3mx − 1( C ) ln qua Tính độ dài MN B MN = A MN = C MN = D MN = Lời giải Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm cố định thuộc ( C ) ta có: y0 = x03 − 3mx02 + 3mx0 − 1( ∀m ∈  ) x0 1;= y0  x − x0 = = ⇔ 3m ( x02 − x0 ) + y0 + − x03 = ( ∀m ∈  ) ⇔  ⇔   x0 = 0; y0 = −1  y0 + =x0 Vậy M (1;0 ) , N ( 0; −1) ⇒ MN =2 Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y = mx − 3mx + ( m − 1) x + ( C ) Phương trình đường thẳng qua điểm cố định đồ thị hàm số cho A y = −2 x + B = y x + C y = −2 x − D y = −2 x − Lời giải Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm cố định thuộc ( C ) ta có: y0= mx03 − 3mx02 + ( m − 1) x0 + ( ∀m ∈  )  x03 − x02 + x0 = ⇔ m ( x − x + x0 ) − x0 + − y0 = ( ∀m ∈  ) ⇔  ( *) −2 x0 +  y0 = Như đồ thị hàm số qua điểm cố định nghiệm hệ phương trình (*) điểm thuộc đường thẳng y = −2 x + Chọn A Ví dụ 4: Biết đồ thị hàm số y = x + mx − m − qua hai điểm cố định A B Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB = 2 B AB = C AB = D AB = Lời giải Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm cố định thuộc ( C ) ta có: y0 = x04 + mx02 − m − ( ∀m ∈  ) x 1,= y0  x02 − =0 = ⇔ m ( x − 1) + x − − y0 = ( ∀m ∈  ) ⇔  ⇔ −1, y0 =  x0 =  x0 − − y0 =0 Khi A (1;0 ) , B ( −1;0 ) ⇒ AB = Chọn B Ví dụ 5: Có thuộc đồ thị hàm số ( C ) : y = A B 2x − mà tọa độ số nguyên? x +1 C D Lời giải Ta có: y= x − 2 ( x + 1) − 4 = = 2− x +1 x +1 x +1 Điểm có tọa độ nguyên x ∈  x + = Ư ( ) ={±1; ±2; ±4} Khi có điểm có tọa độ nguyên thuộc ( C ) : y = 2x − Chọn D x +1 Ví dụ 6: Gọi M , N hai điểm thuộc đồ thị hàm số y = 3x + ( C ) cho tọa độ chúng số x +1 nguyên Tính độ dài MN A MN = 2 B MN = C MN = D MN = Lời giải Ta có: y= x + ( x + 1) − 1 = = 3− x +1 x +1 x +1  x + =−1  x =−2 Điểm có tọa độ nguyên x ∈  x + = Ư (1) ={±1} ⇒  ⇒ = x +1 = x Khi có điểm có tọa độ nguyên thuộc ( C ) : y = 2x − M ( −2; ) , N ( 0; ) x +1 Khi MN = 2 Chọn A Ví dụ 7: Có thuộc đồ thị hàm số ( C ) : y = A B x + x + 15 mà tọa độ số nguyên? x+3 C Lời giải x + x + 15 x + x + x + + 9 Ta có: y = = = x+2+ x+3 x+3 x+3 D  x = −4  x = −6   x = −2 Điểm có tọa độ nguyên x ∈  x + = Ư ( ) ={±1; ±3; ±9} ⇒  x =  x = −12  x = Từ suy có điểm có tọa độ số nguyên thuộc ( C ) Chọn A Ví dụ 8: Có thuộc đồ thị hàm số y = A B 3x + mà tọa độ số nguyên? 2x −1 C D Lời giải 3x + x + 14 ( x − 1) + 17 17 Ta có: y = ⇒ 2y = = = 3+ 2x −1 2x −1 2x −1 2x −1 Điểm có tọa độ nguyên x ∈  x − = Ư (17 ) ={±1; ±17}  x − =−17  x =−8 ⇒ y =1  x − =−1  x =0 ⇒ y =−7 Suy  ⇒ ⇒ Có điểm có tọa độ số nguyên Chọn D 2 x − =  x = ⇒ y = 10    x − = 17 x = ⇒ y = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Biết A ( 0; y ) , B ( x;1) thuộc đồ thị hàm số y = x + x − giá trị x + y A −1 B C D Câu 2: Điểm sau không thuộc đồ thị hàm số y =x − x − ? A ( −1; ) B ( 2;7 ) C ( 0; −1) D (1; −2 ) Câu 3: Đồ thị hàm số y = x + 2mx − m + ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ 1 3 A M  ;  2 2 B M ( −1;0 ) 1 5 C M  ;  2 4 D M ( 0;1) Câu 4: Tâm đối xứng đồ thị hàm số sau cách gốc tọa độ khoảng lớn nhất? A y = 2x −1 x+3 B y = Câu 5: Trên đồ thị hàm số y = A B C D y = − x3 + 3x − D 2x − có điểm có tọa độ số nguyên? 3x − B Vô số Câu 7: Trên đồ thị ( C ) hàm số y = A C y = x3 − x − 2x −1 có điểm có tọa độ nguyên? 3x + Câu 6: Trên đồ thị hàm số y = A 1− x 1+ x B C D x + 10 có điểm có tọa độ nguyên? x +1 C 10 D Câu 8: Đồ thị hàm số y = x3 − x + mx + m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ A M ( −1; −4 ) B M (1; −4 ) C M ( −1; ) D M (1; −2 ) Câu 9: Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = x+2 cho khoảng x−2 cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị ( C ) đạt giá trị nhỏ A M (1; −3) B M ( 3;5 ) C M ( 0; −1) Câu 10: Số điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số y = A 16 B 12 D M ( 4;3) x + x + 10 là: x+2 C 10 D Câu 11: Biết đồ thị ( Cm ) hàm số y = x − mx + m + 2018 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN A I (1; 2018 ) B I ( 0;1) C I ( 0; 2018 ) D I ( 0; 2019 ) Câu 12: Số điểm cố định đồ thị hàm số y = x3 + ( m − 3) x − ( 2m − 1) x − 3m − A B C D Câu 13: Đồ thị hàm số có tâm đối xứng điểm I (1; −2 ) ? A y = 2x − 2x + B y= x3 − x + x + C y =−2 x3 + x + x − Câu 14: Cho hàm số y = D y = − 2x 1− x − 3x có đồ thị ( C ) Điểm M nằm đồ thị ( C ) cho khoảng cách từ M 3− x đếm tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm đến tiệm cận ngang ( C ) Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng ( C ) A B Câu 15: Số điểm đồ thị hàm số y = A C D 2x +1 có tọa độ nguyên là: x −1 B Câu 16: Cho đồ thị ( C ) hàm số y = C D 2x + Tọa độ điểm M nằm ( C ) cho tổng khoảng cách x −1 từ M đến hai tiệm cận ( C ) nhỏ A M ( −1;0 ) M ( 3; ) B M ( −1;0 ) M ( 0; −2 ) C M ( 2;6 ) M ( 3; ) D M ( 0; −2 ) M ( 2;6 ) Câu 17: Gọi M ( a; b ) điểm đồ thị hàm số y = 2x +1 mà có khoảng cách đến đường thẳng x+2 d := y x + nhỏ Khi A a + 2b = B a + b = C a + b =−2 D a + 2b = Câu 18: A B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị hàm số y = x Khi độ dài đoạn x−2 AB ngắn A B Câu 19: Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y = C D 3x + cách đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x −1 khoảng A ( 0; −1) ; ( −2;7 ) B ( −1;0 ) ; ( 2;7 ) C ( 0;1) ; ( 2; −7 ) D ( 0; −1) ; ( 2;7 ) Câu 20: Cho hàm số y = x−2 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận ( C ) Xét tam giác x +1 ABI có hai đỉnh A, B thuộc ( C ) , đoạn thẳng AB có độ dài A B 2 C D Câu 21: Điểm thuộc đường thẳng d : x − y − =0 cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y =x − x + là: A (1;0 ) B ( 2;1) C ( −1; ) D ( 0; −1) Câu 22: Họ parabol ( Pm ) : y= mx − ( m − 3) x + m − ( m ≠ ) tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A ( 0; −2 ) B ( 0; ) C (1;8 ) D (1; −8 ) Câu 23: Gọi M , N hai điểm di động đồ thị ( C ) hàm số y =− x3 + x − x + cho tiếp tuyến ( C ) M N ln song song với Khi đường thẳng MN qua điểm cố định đây? A ( −1;5 ) B (1; −5 ) C ( −1; −5 ) Câu 24: Hai điểm M ; N thuộc hai nhánh đồ thị hàm số y = D (1;5 ) 3x − Khi độ dài đoạn thẳng x −3 MN ngắn bằng: A B 2017 C D Câu 25: A, B hai điểm di động thuộc hai nhánh khác đồ thị y = 2x −1 Khi khoảng cách x+2 AB bé là? A 10 B 10 C Câu 26: Cho hàm số y = x +1 có đồ thị ( C ) Gọi M ( xM ; yM ) điểm ( C ) Khi tổng x −1 D khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất, tính tổng xM + yM A 2 − B C − 2 D −