THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN NHƠN lu an n va p ie gh tn to DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE d oa nl w TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC m ll fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN NHƠN lu an n va DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE to p ie gh tn TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC fu an nv a lu m ll Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 oi z at nh z Người hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH MINH HIỀN gm @ m co l an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan lu kết luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm an bào tính trung thực, xác n va tn to Quy Nhơn, tháng năm 2020 p ie gh Học viên oa nl w Nguyễn Văn Nhơn d oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ii Mục lục Mục lục ii Mở đầu iv lu an Kiến thức chuẩn bị va n 1.1 p ie gh tn to 1.1.1 Đa tạp trơn 1.1.2 Không gian tiếp xúc 1.1.3 Đa tạp Riemann 4 Nhóm PSL(2, R) oa nl w Đường trắc địa 1.2.1 a lu Đa tạp Bin i Măobius 1.2.2 Nhóm PSL (2, R) Dòng 1.1.4 oi m ll fu an nv 1.3 d 1.2 z at nh Mặt phẳng hyperbolic 10 Mặt phẳng hyperbolic 10 2.2 Phân thớ tiếp xúc đơn vị 2.3 Đường trắc địa H2 17 2.4 Horocycle H2 20 2.5 Diện tích thể tích hyperbolic 22 z 2.1 gm @ 11 m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng hyper- lu bolic 24 3.1 Dòng trắc địa 24 3.2 Dòng horocycle 26 3.3 Tính bảo tồn thể tích 28 3.4 Cấu trúc tích địa phương 31 3.5 Hình chữ nhật PSL(2, R) 35 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu Hình học hyperbolic mảng đặc biệt quan trọng hình học phi-Euclide có nhiều ứng dụng vật lý lý thuyết, thiên văn lu học, khoa học vũ trụ, Những người tiên phong lĩnh vực an Nikolai Lobachevsky (1792-1856) Felix Klein (1849-1925) Hình học va n hyperbolic nghiên cứu tính chất hình học đa tạp có độ cong tn to âm Ví dụ đơn giản cho đa tạp có độ cong âm mặt phẳng p ie gh hyperbolic, nửa mặt phẳng H2 = {(x, y) ∈ R : y > 0} trang dx2 + dy bị mêtric hyperbolic ds2 = Nhóm phép đẳng cự trờn y H2 l nhúm cỏc phộp bin i Măobius, nhóm đẳng cấu với nhóm oa nl w PSL(2, R) = PSL(2, R)/ {E2 , −E2 } có cách đồng ma d fu an nv a lu trận nhóm ma trận vng cấp với định thức đơn vị SL(2, R) Đường trắc địa mặt phẳng hyperbolic đường thẳng đứng nửa đường trịn có tâm trục thực Dòng trắc địa hệ động m ll lực dọc theo đường trắc địa Horocycle mặt phẳng đường oi z at nh thẳng nằm ngang đường tròn tiếp xúc với trục thực Tương tự dòng trắc địa, dòng horocycle hệ động lực dọc theo horocycle z Quỹ đạo dòng trắc địa (tương ứng dòng horocycle) đường @ gm trắc địa (tương ứng horocycle) Ta xét đường trắc địa m co l horocycle có vận tốc đơn vị Vì vậy, dịng trắc địa dịng horocycle xác định phân thớ tiếp xúc đơn vị T H2 Có song ánh từ T H2 an Lu vào nhóm PSL(2, R) thay nghiên cứu dòng trắc địa dòng horocycle T H2 , ta nghiên cứu dòng tương ứng PSL(2, R) Mục đích n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an đề tài giúp người học làm quen với kiến thức hình học hyperbolic mặt phẳng hyperbolic, qua nghiên cứu chun sâu tính chất dòng trắc địa horocycle mặt phẳng hyperbolic Các kết luận văn tham khảo tài liệu tham khảo, đồng thời phát triển xét trường hợp cụ thể Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương chuẩn bị số kiến thức đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, đa Riemann, lu bin i Măobius, nhúm PSL(2, R), ng trắc địa an n va Chương 2: Mặt phẳng hyperbolic: Trong chương chúng tơi tn to trình bày số kiến thức mặt phẳng hyperbolic, tìm đường trắc địa, xây dựng tham số cho đường trắc địa đường gh p ie horocycle, diện tích thể tích mặt phẳng hyperbolic oa nl w Chương 3: Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng hyperbolic: Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dòng d trắc địa, dòng horocycle tính chất hai dịng này, cấu trúc tích a lu địa phương (local product structure) đưa ví dụ hình chữ nhật fu an nv Qua đây, xin gửi lời cảm ơn đến Phịng Đào tạo Sau đại học, m ll Khoa Tốn quý Thầy, Cô giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải oi tích khóa 21 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt z at nh trình học tập nghiên cứu Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, z gm @ điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót l để luận văn hồn thiện m co Chúng tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Kiến thức chuẩn bị lu Trong chương này, trình bày số kiến thức sở, làm an tảng cho chương sau n va Đa tạp p ie gh tn to 1.1 Trong mục này, liệt kê lại khái niệm cần thiết để giới oa nl w thiệu khái niệm đa tạp Riemann Nội dung mục tham khảo tài liệu [1, 6] d a lu 1.1.1 Đa tạp trơn fu an nv Định nghĩa 1.1 Cho M khơng gian tơpơ Ta nói M đa tạp tôpô m ll n chiều oi z at nh (i) M không gian tôpô Hausdorff, tức với x, y ∈ M, x 6= y tồn tập mở U, V cho x ∈ U, y ∈ V U ∩ V = ∅ z @ m co l đếm gm (ii) M không gian đếm thứ hai, tức M có sở tơpơ (iii) M khơng gian Euclid n chiều địa phương, tức với x ∈ M , phép đồng phôi an Lu tồn U lân cận x V ⊂ Rn tập mở cho ϕ : U → V n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 1.1 (i) Rn đa tạp tôpô n chiều (ii) Tập ma trận n dịng m cột có hệ số thực M (n × m, R) đa tạp tôpô n × m chiều Định nghĩa 1.2 Cho M đa tạp tôpô n chiều, biểu đồ cặp (U, ϕ) với U ⊂ M tập mở ϕ : U → ϕ(U ) ⊂ Rn phép đồng phôi lu an Định nghĩa 1.3 Cho M đa tạp tôpô n chiều va n (i) Một biểu đồ M họ biểu đồ {Uα , ϕα } cho họ {Uα } to gh tn phủ M p ie (ii) Nếu (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) hai biểu đồ cho Uα ∩ Uβ 6= ∅ Ánh xạ oa nl w hợp ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ) d a lu gọi ánh xạ chuyển fu an nv (iii) Hai biểu đồ (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) gọi tương thích trơn m ll Uα ∩ Uβ = ∅ ánh xạ chuyển trơn, tức ánh xạ chuyển có oi đạo hàm riêng tất cấp liên tục z at nh (iv) Một biểu đồ gọi trơn hai biểu đồ z tương thích trơn gm @ Định nghĩa 1.4 (Đa tạp trơn) Cho M đa tạp tôpô m co l (i) Một biểu đồ trơn A đa tạp M gọi cực đại biểu an Lu đồ mà tương thích trơn với tất biểu đồ A nằm A Khi A gọi cấu trúc trơn M n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (ii) Đa tạp M gọi đa tạp trơn sở hữu cấu trúc trơn Ví dụ 1.2 (i) Rn đa tạp trơn n chiều cấu trúc trơn biểu đồ (Rn , Id) (ii) Nửa mặt phẳng H2 = {x + iy ∈ C : y > 0} tập mở C = R2 đa tạp trơn chiều (iii) Tập ma trận n dòng m cột M (n × m, R) đa tạp trơn n × mchiều lu (iv) Tập ma trận vng có định thức 1, SL(n, R), đa tạp an trơn n2 − chiều n va Không gian tiếp xúc gh tn to 1.1.2 p ie Định nghĩa 1.5 (Không gian tiếp xúc) Giả sử M đa tạp trơn oa nl w x điểm thuộc M Chọn biểu đồ ϕ : U → Rn d fu an nv a lu với U tập mở M chứa x Giả sử hai đường cong γ1 : (−1, 1) → M γ2 : (−1, 1) → M m ll với γ1 (0) = γ2 (0) = x cho ϕ ◦ γ1 ϕ ◦ γ2 khả vi Khi γ1 oi z at nh γ2 gọi tương đương (ϕ ◦ γ1 )0 (0) = (ϕ ◦ γ2 )0 (0) Lớp tương đương đường cong γ kí hiệu [γ (0)] gọi véctơ z tiếp xúc với đa tạp M x Không gian tiếp xúc M x, kí hiệu @ m co l M x gm Tx M, không gian véctơ gồm tất véctơ tiếp xúc với đa tạp Định lý 1.1 Nếu đa tạp M có số chiều n khơng gian tiếp xúc an Lu Tx M , x ∈ M không gian véctơ n chiều n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si = r, − = r τ |z(τ ) − (x0 + r)| = 2r τ ie + ie + Chú ý z(R) ⊂ C Ngoài ra, z(R) = C thỏa Vì z dạng tham số C Tiếp theo thấy z = T ◦ z0 với z0 (τ ) = ieτ biến đổi z z (2r + x0 )z + x0 T (z) = 2r + x0 Ta xét T (z) = 2r + x0 = , z+1 z+1 z+1 T Măob(H2 ) Tht vy: ta cú th vit T = Ψ0 (A) lu với an ! 2r + x0 x0 n va A= , gh tn to detA = 2r > p ie Vì T phép đẳng cự H2 theo Bổ đề 1.1, ánh xạ đẳng cự từ đường trắc địa đến đường trắc địa, từ ta thấy C đường oa nl w trắc địa với tham số z xác định cách tổng quát thỏa mãn: d kz (τ )k2z(τ ) = gz(τ ) (z (τ ), z (τ )) a lu fu an nv = gT (z0 (τ )) (DT (z0 (τ )) z 0 (τ ), DT (z0 (τ )) z 0 (τ )) = gz0 (τ ) (z 0 (τ ), z 0 (τ )) = oi m ll nghĩa có vận tốc đơn vị Đường trắc địa vận tốc đơn vị (H2 , g) z at nh hình ảnh trục ảo dương biến i Măobius H qu 2.1 (a) Nu C l ng trắc địa mặt phẳng hyperbolic z H2 tồn ti mt phộp bin i Măobius T Măob(H2 ) cho C = gm @ T (I) với I = {z ∈ H2 : Re z = 0} l tham số z(t) = T (et i) có vận tc n v m co (b) Nu T Măob(H2 ) C = T (I) C đường trắc địa với an Lu Chứng minh n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 20 (a) Nếu C = {z ∈ H2 : Re z = x0 } đường thẳng đứng lấy T (z) = z − x0 Nếu C = {z ∈ H2 : |z − (x0 + r)|2 = r2 } đường tròn có tâm trục thực, xét z + x0 , ú T Măob(H2 ) tht vy: T (z) = 2r z+1 theo chứng minh Định lý 2.2 ta có C = T (I) Do đó, điều ta thay T T Măob(H2 ) (b) Vỡ I l ng trc địa T đẳng cự nên suy C = T (I) lu an đường trắc địa Hơn nữa, z (t) = T (et i)et i ta suy ra: va n kz (τ )k2z(τ ) = gz(τ ) (z (τ ), z (τ )) = gT (et i) T et i et i, T et i et i t = get i et i, et i = e i (et i) = t (Im e i) p ie gh tn to oa nl w Kết cho phép ta xác định dạng tường minh dòng trắc d địa trình bày chương sau fu an nv a lu 2.4 Horocycle H2 m ll Định nghĩa 2.2 Các đường thẳng nằm ngang đường tròn tiếp oi z at nh xúc với trục thực (ngoại trừ điểm tiếp xúc) gọi horocycle z Định lý 2.3 (a) Nếu H horocycle H2 thỡ tn ti mt phộp @ gm bin i Mă obius T Măob(H2 ) cho H = T (J) với l m co J = {z ∈ H2 : Im z = 1} z(t) = T (t + i), t ∈ R an Lu (b) Nếu T Măob(H2 ) v H = T (J) thỡ H horocycle với tham số n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 21 Hình 2.3: Horocycle H2 Chứng minh (a) Nếu H = {z ∈ H2 : Im z = y} đường thẳng nằm lu ngang ta lấy T (z) = yz Khi ú T Măob(H2 ) v T (J) = H an n va Nếu H = {z ∈ H2 : |z − (x0 + ir)|2 = r2 } đường tròn p ie gh tn to tiếp xúc với trục thực điểm có hồnh độ x0 C có tham số −2r z(τ ) = x0 − , τ ∈ R Thật vậy, τ +i+4 2r |z(τ ) − (x0 + ir) =
Ngày đăng: 31/07/2023, 20:02
Xem thêm: