(Luận văn) tia trắc địa yếu trong không gian các thế vị kahler và lớp e(x,w)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như lu an n va tn to p ie gh TIA TRẮC ĐỊA YẾU nl w TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER d oa VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thành phố Hồ Chí Minh -2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như lu an n va TIA TRẮC ĐỊA YẾU ie gh tn to TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER p VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) w : 8460102 nf va an lu Mã số d oa nl Chun ngành : Tốn giải tích z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : z m co l gm @ TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG an Lu Thành phố Hồ Chí Minh -2019 n va ac th si LI CAM OAN Hồc viản xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng hồc viản Luên vôn ữủc hon thnh bi cĂ nhƠn dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn Vôn ổng CĂc ti liằu tham khÊo, cĂc nh lỵ, bờ à v cĂc kát quÊ trẵch dăn, sỷ dửng luên vôn Ãu ữủc nảu Ưy ừ nguỗn gốc cử th, ró rng Thnh phố Hỗ Chẵ Minh, ngy 27 thĂng 09 nôm 2019 Hồc viản thỹc hiằn lu an va n Nguyạn Th Tuyát Nhữ p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LI CM èN Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc sữ phÔm Thnh phố Hỗ Chẵ Minh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn Vôn ổng NhƠn dp ny, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi ThƯy, ngữới  tên tẳnh v ởng viản tổi rĐt nhiÃu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Tổi xin chƠn thnh cĂm ỡn án Quỵ thƯy cổ Hởi ỗng chĐm luên vôn  dnh thới gian ồc, chnh sỷa v õng gõp ỵ kián giúp luên vôn ữủc hon chnh hỡn Tổi xin cĂm ỡn tĐt cÊ cĂc thƯy, cổ  nhiằt tẳnh giÊng dÔy, truyÃn Ôt kián lu an thùc v  gióp ï tỉi st qu¡ tr¼nh hồc têp n va Tổi xin cĂm ỡn án Quỵ thƯy cổ Phỏng Sau Ôi hồc cừa trữớng Ôi tn to hồc Sữ phÔm Thnh phố Hỗ Chẵ Minh  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi hon thnh chữỡng trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny gh p ie Xin c¡m ìn c¡c anh chà, c¡c bÔn hồc viản ngnh toĂn  ởng viản giúp ù tổi v cõ nhiÃu ỵ kián õng gõp quĂ trẳnh hon thnh luên vôn nl w Do trẳnh ở v thới gian cõ hÔn cừa bÊn thƠn nản luên vôn khổng trĂnh d oa khọi sai sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc sỹ ch bÊo v gõp ỵ tứ quỵ thƯy cổ, cĂc an lu anh ch v cĂc bÔn Xin chƠn thnh cĂm ỡn nf va Hồc vi¶n thüc hi»n z at nh oi lm ul Th nh phố Hỗ Chẵ Minh, ngy 27 thĂng 09 nôm 2019 z Nguyạn Th Tuyát Nhữ m co l gm @ an Lu n va ac th si Möc löc lu an M Ưu 1 Kián thực chuân b n va 1.1 Php tẵnh vi phƠn trản a tÔp khÊ vi 1.1.1 a tÔp khÊ vi a tÔp Riemann 1.1.3 CĂc dÔng vi phƠn trản a tÔp khÊ vi 1.1.4 Dáng tr¶n c¡c a tÔp khÊ vi 10 Ôo hm ngoi v tẵch ngoi cừa dỏng trản a tÔp khÊ vi 11 p ie gh tn to 1.1.2 Php tẵnh vi phƠn phực 12 1.2.1 12 DÔng vi phƠn trản a tÔp phực nf va an Dỏng trản a tÔp phực 16 Hm a iÃu hỏa dữợi trản a tÔp phực 17 1.3 ăhler a tÔp Hecmit v a tÔp Ka 1.4 Hm a iÃu hỏa dữợi 18 19 z at nh oi ω− 21 z Tr­c àa y¸u khổng gian cĂc thá v Kaăhler @ Tia trưc àa y¸u 2.2 CĂch xƠy dỹng dữợi trưc a yáu cừa Berndtsson 2.3 Phiám hm nông lữủng Aubin-Mabuchi 24 25 29 m an Lu Tia trưc a yáu v lợp nông lữủng (X, ) co Chuân tưc hõa trưc a yáu 22 l gm 2.1 2.4 13 lm ul 1.2.4 lu 1.2.3 a tÔp phực d 1.2.2 oa 1.2 nl w 1.1.5 34 n va ac th si (X, ) 3.1 Lợp 3.2 CĂch xƠy düng tia tr­c àa y¸u 3.3 35 41 3.2.1 ăm Tia tr­c àa y¸u cõa Ross v  Witt-Nystro 41 3.2.2 Mởt cĂch xƠy dỹng cĂc tia trưc a yáu cừa TamĂs Darvas 45 Php bián ời Legendre ngữủc cừa mët tia tr­c àa y¸u v  ε(X, ω) 49 K¸t luªn 53 T i li»u tham kh£o 54 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MÖC CC K HI›U I ToĂn tỷ ỗng nhĐt Ck Khổng gian cĂc hm kh£ vi k C s (Ω, R) Tªp hđp c¡c hm thuởc lợp Cs TX,a Khổng gian tiáp xúc cừa khỉng gian ∗ TX,a Khỉng gian èi ti¸p xóc ∗ TX , TX PhƠn thợ tiáp xúc cừa TX = ∪x∈X TX,x |I| lu an C s (X, ∗) TX p n va Ôo hm ngoi cừa mởt tn to du gh p v v p dÔng thuởc lợp Nỷa chu©n psL (u) = supx∈L max|I|=p,|α|≤s |Dα uI (x)| Khæng gian C ∞ (X, Vp Khæng gian cõa ∗) TX εp (X) ÷đc trang bà tỉpỉ x¡c ành bi nỷa chuân vợi cĂc phƯn tỷ cõ giĂ compact K d (Dp (X))0 ối ngău tổpổ cừa codimM ối chiÃu cừa O() Têp hủp cĂc hm chnh hẳnh tr¶n Dp (X) nf va an lu Dp (X) := K Dp (K) M lm ul Têp hủp cĂc dÔng vi ph¥n kiºu z at nh oi (X) Cs M Dp (X) Vp,q Cs  oa Dp (K) a u nl w p (X) u ối ỗng iÃu Rham trản ie psL tÔi dÔng vi phƠn thuởc lợp Tẵch ngo i cõa p HdR (M ) X X u ∧ vv Gi¡ cõa ω ∗ =∪ ∗ TX x∈X TX,x v  Khỉng gian cõa suupu tr¶n I ë d i cõa Vp lƯn vợi cĂc Ôo hm liản tửc (p, q) CĂc toĂn tỷ vi phƠn ngoi P SH() Têp hủp cĂc hm a iÃu hỏa dữợi trản Hua DÔng Hess phùc cõa Imz Ph¦n £o cõa Rez Ph¦n thüc cõa P SH(X, ω) Tªp hđp c¡c h m z i·u hỏa dữợi m -a co l gm z @ u Ω z d, δ, δ psL an Lu n va ac th si lu an Ch½nh quy hâa nûa li¶n tưc tr¶n cõa Sα,β Sα,β = {s ∈ C : α < Res < β} C ∞ (X) Têp hủp cĂc hm trỡn trản H Khổng gian cĂc thá v trỡn trản ÔohÔp hiằp bián AM (.) Phiám hm Aubin Mabichi u(u0 , u1 ) oÔn trưc a yáu nối (X, ) Lợp nông lữủng Cap (.) Dung l÷đng Monge-Ampere P (b0 ) P (b0 ) = sup{ψ ≤ b0 : ψ ∈ P SH(X, ω)}; P (b0 , b1 ) P (b0 , b1 ) = P (min{b0 , b1 }) = sup{ψ ≤ min{b0 , b1 }|ψ ∈ P SH(X, ω)} P[ψ] (φ) Bao cõa φ u0 v  u X X u1 èi vợi cĂc kiu kẳ d cừa P[] () = usc (limD→+∞ P (ψ + D, φ)) n va uscu p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u (X n , ω) Gi£ sỷ lữủng ăhler compact liản thổng l mởt a tÔp Ka n chiÃu Lợp nông (X, ) ữủc xem nhữ l lợp cĂc hm -a iÃu hỏa dữợi P SH(X, ) khổng lu nhĐt thiát b chn Ơy cụng l lợp lợn nhĐt cĂc hm -a iÃu hỏa dữợi m trản an n va õ toĂn tỷ Monge-Ampre phùc x¡c ành tèt Nâ ÷đc sû dưng º gi£i phữỡng trẳnh Monge-Ampre ton cửc vợi dỳ liằu thổ CĂc phƯn tỷ v (X, ) thữớng to tn khổng b chn cõ cĂc ký d rĐt nhà c biằt, theo [13] Corollary 1.8, tÔi gh xX bĐt ký số Lelong cừa v bơng khổng Tuy nhiản, nhữ  nhên xt ie p [11] tẵnh chĐt ny khổng c trững cho lợp (X, ) TamĂs Darvas bi bĂo nl w [7]  trẳnh by mởt kát quÊ lĐp Ưy lộ hờng ny, nghắa l c trững cĂc phƯn theo tẵnh nhà cừa cĂc ký d cừa chóng oa ε(X, ω) tû cõa d º thüc hi»n vi»c n y, t¡c gi£ b i b¡o ÷a mët c¡ch xƠy dỹng cĂc tia lu lợp (X, ) p dửng sỹ xƠy dỹng ny, tĂc giÊ  chựng minh mởt c trững cừa theo cĂc bao trản Kẵ hiằu AM (max{−l, ψ}) , l l→+∞ cψ = lim AM (.) P SH(X, ) l nông lữủng Aubin-Mabuchi cừa mởt hm dữợi c trững Ưu tiản cừa lợp (X, ω) ÷đc chùng minh l  cψ = câ thº khỉng ω -a i·u háa ψ ∈ ε(X, ω) n¸u v  z ch¿ n¸u â z at nh oi bà ch°n v  lm ul ε(X, ω) nf va an ăhler gưn kát vợi cĂc tẵnh chĐt cừa trưc a y¸u khỉng gian c¡c th¸ Ka @ (α, β) t 7→ ut ∈ P SH(X, ω) gm Bưt Ưu tứ mởt oÔn trưc a dữợi yáu viằc khổng tỗn tÔi Khưc phửc vĐn à ny cƯn mởt quĂ trẳnh chuân m t+ co u := lim ut l xƠy dỹng mởt tia trưc a yáu tờng quĂt trản gp tr ngÔi vẳ nõi chung giợi hÔn an Lu tưc hõa oÔn trưc a yáu Sỹ chuân t­c hâa n y thüc hi»n ÷đc nhí v o mð rëng mởt kát quÊ cừa Berndtsson [1] và tẵnh liản tửc Lipschitz cừa oÔn trưc a n va ac th si yáu tũy ỵ Vợi oÔn trưc a yáu ữủc chuân tưc hõa u := lim ut l hm t+ iÃu hỏa dữợi v khĂc Mửc tiảu tiáp theo l xƠy dỹng tia trưc a yáu ữủc chuân t­c hâa cho v0 = φ v  ω -a v∞ = ψ vỵi φ, ψ ∈ P SH(X, ω), ψ ≤ φ φ vỵi bà ch°n v  ψ t → vt câ thº khỉng bà ch°n º x¥y düng mởt tia nhữ thá bi bĂo giợi thiằu têp hủp cĂc tia trưc a yáu chuân tưc: R(, ) = {vt l mởt tia yáu chuân tưc hõa vợi vo = lim vt = φ(t) t→0 v  v∞ = lim vt (t)} t õ giợi hÔn l theo tøng iºm K½ hi»u (0, l) t → ult ∈ P SH(X, ω) lu an max{φ − l, ψ}v  n va Bi bĂo chựng minh ữủc rơng tia l+ Cuối cũng, vợi gh tn to cừa cĂc phƯn tỷ thuởc vợi R(, ) v nõ l hơng n¸u v  ch¿ n¸u ψ ∈ P SH(X, ω) v  v(φ, ψ) ψ ∈ ε(X, ω) φ ∈ P SH(X, ω) ∩ L1 (X) èi vỵi kiºu ký dà cõa l bao dữợi nh nghắa P[] () Dỹa v o c¡ch x¥y düng tia tr­c àa p ie l  bao trản cừa chẵnhquy hõa nỷa liản tửc trản cừa giợi hÔn cĂc oÔn ny l lim ul v(, ) = usc l oÔn trưc a yáu nhĐt nối yáu v tẵnh cỹc Ôi cừa php bián ời Legendre cừa tia trưc a yáu, bi bĂo  (X, ) theo tẵnh nhà cừa cĂc nl w chựng minh khng nh c trững cĂc phƯn tỷ cừa d oa ký dà cõa chóng: an lu ψ ∈ ε(X, ) náu v ch náu P[] () = vợi ψ ∈ P SH(X, ω) v  φ ∈ P SH(X, ) C(X) nf va Luên vôn ny trẳnh by lÔi nëi dung b i b¡o cõa Tam¡s Darvas [7] v· vi»c lm ul xƠy dỹng tia trưc a yáu khổng gian cĂc thá v gưn kát vợi cĂc tẵnh chĐt (X, ) v sỷ dửng chúng  c trững lợp nông lữủng ny theo cĂc bao trản Luên vôn gỗm chữỡng: z at nh oi cừa lợp z Chữỡng 1: PhƯn chuân b, trẳnh by cĂc kián thực và Hẳnh hồc phực, Lỵ thuyát @ a thá v cõ liản quan phửc vử cho cĂc chữỡng tiáp theo gm co l ăhler: Trẳnh by Chữỡng 2: Tia trưc a yáu khổng gian cĂc thá v Ka ăhler Kh¡i ni»m tr­c àa khỉng gian c¡c th¸ Ka Phữỡng phĂp cừa Berndtsson [2] xƠy dỹng cĂc oÔn trưc da yáu nối hai im iÃu hỏa dữợi bà ch°n àa ph÷ìng n va ω -a an Lu thc lỵp c¡c h m m ◦ ac th si 35 t vt ữủc chuân tưc hõa vợi v(, ) tiu mửc ny nõi rơng tia náu v ch náu ◦ lim vt = φ t→0 v  lim vt ≥ t l mởt bao dữợi cừa nh lỵ 3.2.7 R(φ, ψ) v  nâ l  h¬ng ψ ∈ ε(X, ω) Nëi dung ch½nh cõa mưc 3.3 l  ành lỵ 3.3.3 ch rơng tứ cĂch xƠy dỹng cĂc tia tr­c àa y¸u Tam¡s Darvas ta câ thº °c trững lợp th l (X, ) náu v ch¿ n¸u P[ψ] (φ) = φ ε(X, ω) theo c¡c bao tr¶n: Cư , â φ ∈ P SH(X, ω) ∩ C(X) 3.1 Lỵp ε(X, ω) lu Chóng ta nhưc lÔi Ơy mởt vi iÃu và lợp (X, ω) ⊂ P SH(X, ω) º cho an ng­n gồn ta trẳnh by cĂch tiáp cên tối giÊn nhĐt º xem x²t ¦y õ nëi dung n va n y cõ th tham khÊo [13] tn to Trữợc hát ta nhưc lÔi Nguyản lỵ so sĂnh cho cĂc hm a iÃu hỏa dữợi b Cn : Cho u, v l cĂc hm a iÃu hỏa dữợi b chn trản têp m D cừa p ie gh chn trản nl w χ{u>v} ω + ddc u  n d oa l mởt -a  iÃu hỏa dữợi trản l ∈ P SH(X, ω), l ∈ R (3.1.1) D nf va γ n = χ{u>v} ω + ddc max(u, v) an lu theo nghắa ở o Bolel trản LĐy â Cn , X v  ành ngh¾a h m ch°t cưt ch½nh t­c theo cỉng thùc sau lm ul γl := max{γ, −l} z at nh oi Nâ l  mët d¢y gi£m cho tø (3.1.1), z χ{γl >−k} (ω + ddc γl )n = χ{γl >−k} (ω + ddc max(γl , −k))n â, (γl > −k) = (γ > −k) v  max(γl , −k) = γk , â l gm l ≥ k, @ Gi£ sû χ{γ>−k} (ω + ddc γl )n = χ{γ>−k} (ω + ddc γk )n (γ > −k) ⊂ (γ > l), õ an Lu Chú ỵ rơng m co (3.1.2) l ≥ k ⇒ χ{γ>−l} (ω + ddc γl )n ≥ χ{γ>−k} (ω + ddc γk )n , (3.1.3) n va ac th si 36 γ theo ngh¾a y¸u cõa ë o Borel M°c dị têng χ{γ>−l} ω + i∂∂γl thº ành ngh¾a
n ω + i∂∂γ bà ch°n ·u bði
n câ thº khỉng bà ch°n, v¼ khối lữủng R X n, nản theo nh lỵ Stokes ta cõ nhữ l mởt giợi hÔn cừa dÂy tông c¡c ë o n y: µγ := lim χ{γ>−l} ω + i∂∂γl
n l→+∞ (3.1.4) ¥y l  mët ë o Borel dữỡng m xem xt theo lỵ thuyát a thá v a + i phữỡng cừa Bedford-Taylor chẵnh l phƯn khổng a cỹc cừa
n Ró rơng tø (3.1.4) ta câ Z  ≤ µγ (X) = lim χ{γ>−l} ω + i∂∂γ lu X Z ω n = V ol(X) ≤ X an n va ε(X, ω) tn to °t gh  ε(X, ω) :=  l+ iÃu ny dăn ta án khĂi niằm lợp nh ngh¾a 3.1.1
n ie  Z γ ∈ P SH(X, ω) µγ (X) = ω n = V ol(X) (3.1.5) X p Tứ nhỳng lêp luên trản ta h§y mët h m w ω + i∂∂γ oa nl tèt mët to¡n tû Monge-Amp±re phùc d mð rëng t¦m th÷íng cõa ω + i∂∂γ
n qua lu an Monge-Amp±re khæng a cüc Mët h m nf va phùc cõa nâ cõ khối lữủng tờng bơng vợi (X, )
n {γ = −∞} γ ∈ ε(X, ω) ωn tr¶n Ta gåi ω + i∂∂γ
n v  µγ l  l  ë o ë o Monge-Amp±re X \ {γ = −∞} Do â mët c¡ch
n l→+∞  Z
n γ ∈ P SH(X, ω) ω + i∂∂γ = ω n = V ol(X) z X l gm @ ε(X, ω) := X \ {γ = −∞} := µγ = lim χ{γ > −l} ω + i∂∂γl v   tr¶n z at nh oi ω + i∂∂γ X iÃu hỏa dữợi xĂc nh lm ul tỹ nhiản ta sỷ dửng kỵ hiằu R -a
n Nhữ Â trẳnh by [13], hƯu hát cĂc nh lỵ cờ in cừa lỵ thuyát Bedford l lợp lợn nhĐt cĂc hm -a iÃu hỏa dữợi m trản õ toĂn an Lu ε(X, ω) ε(X, ω) m Lỵp co v  Taylor ·u óng èi vỵi lỵp tû Monge-Amp±re phùc x¡c nh tốt v Nguyản lỵ so sĂnh văn úng n va ac th si 37 M»nh · 3.1.2 R ddc ϕ {ϕ−εl) γ > −εl Do â
n γl ω + i∂∂γl l Z −ε (−εl≥γ>−l) ω + i∂∂γl
n (>l) z số hÔng thự nhĐt ÷đc Z =− (−εl≥γ>−l) ω + i∂∂γl
n =− ω + i∂∂γεl (γ>−εl) +
n ω + i∂∂γl Z(γ>−l) + an Lu Z(γ>−εl) Z
n m ω + i∂∂γl
n co Z l viát lÔi bơng gm V ol(X) @ Số hÔng thự hai b chn dữợi bi + i∂∂γl (γ>−l)
n , n va ac th si 40 õ dỏng cuối ữủc suy tứ tẵnh àa ph÷ìng cõa ë o Monge-Ampere (3.1.2) χ{γ>−l} (ω + il )n Vẳ cĂc ở o tông theo l, nản cho qua giợi hÔn ng thực trản, ta ữủc Z ω + i∂∂γl lim l→+∞
n = (−εl≥γ>−l) Suy Z
n γl ω + i∂∂γl ≥ l lim l→+∞ Do γ−l) (3.1.8) n¶n (3.1.7) thäa v  â ta câ (3.1.6) lu an T÷ìng tü, ta câ thº chùng minh ÷đc va Z
n−j γl j ω ∧ ω + i∂∂γl = − lim l l→+∞ lim n l→+∞ X Z ω j ∧ ω + i∂∂γl
n−j , j = 0, , n (γ≤−l) to gh tn (3.1.9) j, j = 0, , n phữỡng trẳnh trản, sau cho cho l + ta ữủc p ie LĐy tờng theo n Z X
n−j γl j ω ∧ ω + i∂∂γl l (γ≤−l)
n−j γl j ω ∧ ω + i∂∂γl l w AM (γl ) X cγ = lim = lim l n+1 l→+∞ l→+∞ nl j=0 d oa n j=0 an lu −1 X = lim n+1 l→+∞ Z cγ = Tø M»nh · 2.3.4, ta câ X z at nh oi Z γ ∈ ε(X, ω) v  ch¿ lm ul nf va B¥y gií, ta chựng minh kát luên cuối nh lỵ: Z
n AM (γl ) γl ω + i∂∂γl ≤ l l n+1 Kát hủp bĐt ng thực trản vỵi (3.1.6) v  cho X
n γl ω + i∂∂γl , l > l l → +∞ ta ÷đc z l→+∞ ω + i∂∂γl (γ≤−l) AM (γl ) −1 ≤ lim = cγ ≤ lim l n + l→+∞ l→+∞ Z ω + i∂∂γl
n (γ≤−l) l gm − lim
n @ Z (3.1.10) co m Ta câ lim l→+∞ ω + i∂∂γl (γ>−l)
n Z ω n − lim = X l→+∞ Z an Lu Z ω + i∂∂γl (γ≤−l)
n n va ac th si 41 Theo nh nghắa cừa lợp (X, ) ta câ Z γ ∈ ε(X, ω) ⇔ lim ω + i∂∂γl l→+∞
n Z (γ>−l) X Z ⇔ lim l→+∞ Tø (3.1.10) ta ÷đc ωn = ω + i∂∂γl
n = (γ≤−l) cγ = M»nh · 3.1.6 Trong nh nghắa cừa c ta cõ th bưt Ưu vợi tia dữợi trưc a yáu giÊm l l := max{γ, β − l} lu vỵi måi β ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞(X) AM (˜ γl ) gièng nhữ c ban Ưu Hơng c = l+ lim l an n va gh tn to 3.2 C¡ch x¥y düng tia tr­c àa y¸u p ie 3.2.1 Tia tr­c àa yáu cừa Ross v Witt-Nystroă m w oa nl ăm [18] và cĂc Trong mửc ny, ta nhưc lÔi cĂch xƠy dỹng cừa Witt-Nystro tia trưc a yáu Mc dũ [18] ữủc viát liản hằ vợi cĐu trúc Kahler ([] d ton bở sỹ xƠy dỹng văn ữủc thỹc hiằn khổng thay ời ối vợi tẳnh an lu H (X, Z)), cong thỷ (ii) náu tỗn tÔi mởt hơng số (x) R τ → ψτ ∈ P SH(X, ω) lãm theo C > vợi mồi bơng mởt thá v bà ch°n ÷đc gåi l  ÷íng cho z at nh oi (i) Mởt Ănh xÔ lm ul nh nghắa 3.2.1 nf va tờng quĂt ữủc nảu luên v«n x ∈ X, ψ−∞ ∈ P SH(X, ω)∩L∞ (X) no õ vợi < C ; z náu > Cψ l  c¡c h m ch½nh quy hâa nûa li¶n tưc tr¶n X, ta m bao b0 , b1 co ành ngh¾a c¡c Cho l ành ngh¾a 3.2.2 gm ψτ = −∞ @ (iii) an Lu P (b0 ) = sup{ψ ≤ b0 : ψ ∈ P SH(X, ω)}; n va P (b0 , b1 ) = P (min{b0 , b1 }) = sup{ψ ≤ min{b0 , b1 }|ψ ∈ P SH(X, ω)} ac th si