Dòng trắc địa và dong horocycle trên mặt phẳng hyperbolic

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN NHƠN DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Bình Đinh - 2020 NGUYỄN VĂN NHƠN DỊNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH MINH HIEN Bình Đinh - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bào tính trung thực, xác Quy Nhơn, tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Văn Nhơn ii Mục lục Mục lục ii Mở đầu iv Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp 1.1.1 Đa tạp trơn 1.1.2 Không gian tiếp xúc 1.1.3 Đa tạp Riemann 1.1.4 Đường trắc địa 1.2 Nhóm PSL(2, R) 1.2.1 Biến đổi Mobius 1.2.2 Nhóm PSL (2, R) 1.3 Dòng Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng hyper bolic 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 24 Dòng trắc địa 24 Dòng horocycle 26 Tính bảo tồn thể tích 28 Cấu trúc tích địa phương 31 Hình chữ nhật PSL(2, R) 35 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Hình học hyperbolic mảng đạc biệt quan trọng hình học phi-Euclide có nhiều ứng dụng vật lý lý thuyết, thiên văn học, khoa học vũ trụ, Những người tiên phong lĩnh vực Nikolai Lobachevsky (1792-1856) Felix Klein (1849-1925) Hình học hyperbolic nghiên cứu tính chất hình học đa tạp có độ cong âm Ví dụ đơn giản cho đa tạp có độ cong âm mạt phẳng hyperbolic, nửa mạt phẳng H = {(x,y) G R : y > 0} trang 2 dx + dy bị mêtric hyperbolic ds2 = —— - Nhóm phép đẳng cự y H nhóm phép biến đổi Mobius, nhóm đẳng cấu với nhóm PSL(2, R) = PSL(2, R)/{E , —E } có cách đồng ma trận nhóm ma trận 2 vng cấp với định thức đơn vị SL(2, R) Đường trắc địa mạt phẳng hyperbolic đường thẳng đứng nửa đường trịn có tâm trục thực Dịng trắc địa hệ động lực dọc theo đường trắc địa Horocycle mạt phẳng đường thẳng nằm ngang đường tròn tiếp xúc với trục thực Tương tự dòng trắc địa, dòng horocycle hệ động lực dọc theo horocycle Quỹ đạo dòng trắc địa (tương ứng dòng horocycle) đường trắc địa (tương ứng horocycle) Ta xét đường trắc địa horocycle có vận tốc đơn vị Vì vậy, dòng trắc địa dòng horocycle xác định phân thớ tiếp xúc đơn vị T H Có song ánh từ T H vào nhóm PSL(2, R) thay 2 nghiên cứu dịng trắc địa dòng horocycle T H , ta nghiên cứu dòng tương ứng PSL(2, R) Mục đích đề tài giúp người học làm quen với kiến thức hình học hyperbolic mạt phẳng hyperbolic, qua nghiên cứu chun sâu tính chất dịng trắc địa horocycle mạt phẳng hyperbolic Các kết luận văn tham khảo tài liệu tham khảo, đồng thời phát triển hoạc xét trường hợp cụ thể Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương chuẩn bị số kiến thức đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, đa tạp Riemann, biến đổi Mobius, nhóm PSL(2,R), đường trắc địa Chương 2: Mặt phẳng hyperbolic: Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức mạt phẳng hyperbolic, tìm đường trắc địa, xây dựng tham số cho đường trắc địa đường horocycle, diện tích thể tích mạt phẳng hyperbolic Chương 3: Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng hyperbolic: Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dịng trắc địa, dịng horocycle tính chất hai dịng này, cấu trúc tích địa phương (local product structure) đưa ví dụ hình chữ nhật Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải tích khóa 21 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Mạc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện 7^Q( y) x, Khi đó, d mêtric theo nghĩa thông thường gọi mêtric cảm sinh mêtric Riemann ban đầu Định nghĩa 1.8 Cho M đa tạp Riemann Một đường trắc địa M đường ngắn (theo mêtric cảm sinh) nối điểm Ký hiệu L(Y(t)) = (Y'(t), Y'(t)) ( ) Phương trình Euler-Lagrange: Y t /7x d ” Lx — dt Định lý 1.2 Đường trắc địa thỏa mãn phương trình Euler-Lagrange có vận tốc 1.2 Nhóm PSL(2, R) Phần trình bày số tính chất nhóm PSL(2, R) Chúng tơi tham khảo tài liệu [5] 1.2.1 Biến đổi Mobius Nhắc lại H nửa mạt phẳng Ta ký hiệu tập phép biến đổi Mobius H : Mob (H ) — ỊT : H 2 H :z T(z) — '7 + b : ad - bc > > cz + d Lưu ý phép tốn có nghĩa T (az + b az + b\ , —_ , 2i cz + d czz + d (az + b)(czz + d) - (azz + b)(cz + d) 2i (cz + d)(czz+ d) ad- bc z - zz det A — •—,w _ —— -. -•—-77 Im z > (cz + d)(czz + d) 2i |cz + d| Im T(z) — — Ký hiệu Mobi (H ) = IT : H H :z T(z) = az+b : ad - bc =1 > cz + d 2 Bổ đề 1.1 Mob (H ) Mob (H ) nhóm Mob (H2) = Mob (H2) 2 i 1.2.2 Nhóm PSL (2, R) Định nghĩa 1.9 Ký hiệu SL(2, R) nhóm gồm ma trận thực vng cấp hai có định thức 1, có phần tử đơn vị E Khi {E , —E } nhóm chuẩn tắc 2 nhóm SL(2,R) Ta định nghĩa nhóm thương PSL(2, R) := SL(2,R)/{E , —E } 2 Mỗi phần tử g G PSL(2, R) tập gồm hai phần tử đối SL(2, R), tức g = [A] = {A, —A} , với A G SL(2,R) Kí hiệu e = [E , —E ] phần tử đơn vị PSL(2, R), 2 Ví dụ 1.3 Với t G R, ma trận At = t 01 Ct = phần tử SL(2,R) Ta ký hiệu a := [A ] = {A , —A }, t t t t bt := [Bt] = {Bt, — Bt}, ct := [Ct] = {Ct, —Ct},Khiđóat,bt,Ct G PSL(2,R) Mệnh đề 1.1 Xét ánh xạ *i(A) = tfi : SL(2, R) T:z Mobi (H ) , az +b cz +d Khi đó, Ỹ tồn cấu nhóm với Ker^ = {E , — E } i i 2 Theo định lý đồng cấu nhóm, ta thu kết sau Hệ 1.2 Nhóm PSL(2, R) nhóm Mob (H2) đẳng cấu với i Kí hiệu $ : PSL(2, R) Mob (H ) (1.1) đẳng cấu cảm sinh Ỹ Mệnh đề 1.2 Với t,s G R, ta có: (a) A0 = B0 = C0 = E2 (b) AtAs = At+s, BtBs = Bt+s, CtCs = Ct+s (c) BetsAt = AtBs (d) AtCs = AtCse t Chứng minh (a) Ta có A0 = Bổ đề 1.2 ([5]) (a) Tồn = 10 01 e-0/2 mêtric Riemann 0 bên trái, tức mêtric cảm sinh d bất biến G = PSL(2,BR0)=sao cho C0 = = E2, G d (hgi,hg2) = dc(gi,g2), với gi,g2,h E G G (b) Thật es/2 AtAs e-t/2 e-s/2 e(t+s)/2 0 e-((t+s)/2) = At +s vàCác thỏa mãn hợp lại chứng minh tương tự trường (c) Ta có d (bt, e) < |t|, t G R d (ct, e) < |t|, t G R G G et/2 et/2 et/2s 1es e s t -t/2 (b) Với £ > 0, tồn ỗ > có0tính chất sau Nếu g0 G ePSL(2, R) thỏa d (g, e-t/2 01 e) < ỗ tồn G = ( 911 g G SL(2, R) e-t/2 t B t A = G 12 g g 2i 22 cho = n(G) |gii - 1| + |gi2| + |g2i| + |g22 - 1| < £ Chứng minh (a) Với f : T H R g E PSL(2, R) cố định ta cần (f°Dg)dV = T 1H2 tức ỉ dx í0 dy y r ds(f R0 fdV T1H2 °Dg) (z, ye ) ix í0 = ỉ dx 0R dy r dsf y (z, yeix) Đạt T = &(g) E Mob (H2), ta có Dg(z, Ệ) = (T(z),T'(z)Ệ) Ta thực đổi biến T:( z s) ( z, s) (T(z),T'(z)yeis) = Dg (z,yels) = (ỉ,ỹe!Ỉ) Ma trận Jacobi T / dx d x y x d d \ dx dx dy dy dy dx \ ds dy ds ds dy ds ds / ta suy định thức T D= T = ^i(A) với A =det DT (z,s) = |c d • G SL(2,R) Trong thực tế, ta có (3.12) thể lập luận chứng minh Bổ đề 2.4 để có JR dx ỈE ‘ệ ỉỏ"dsf (z> ye* ) s = JR dx r (ESF J0 2n dsf Gy- = /RdxJO“(ằElcz + d| Ỉỉ^dsư°Da) (z,yeis) ídetDT(z,s)l = JR dx Ỉ0° ậ fỉ'ds(f ° Da)(z ye“) Do (3.12), ta có z = T(z) ye = T'(z)ye Vì ddx = ff = Do đó, is is cách lấy vi phân biểu thức thứ hai, = ỈT’(z )ye = iỹe1* is n = Ta có |cz + d| nhờ vào sử dụng (2.8) (b) Đối với hàm phù hợp f : PSL(2, R) R g E PSL(2, R) cố định ta phải det DT = det = det DT = chứng minh í (f ◦ Lg} dVG = Ị PSL(2,R) fdVG, PSL(2,R) theo định nghĩa (2.10) có nghĩa í T 1H2 (f ◦ Lg ◦ Y dV = / (f ◦ Y)dV T 1H2 T1H2 Vì L ◦ Y = Y ◦ Dg nên ta suy g T 1H2 [(f ◦ Y oDg)dV = í (f ◦ Y)dV T1H2 Tuy nhiên, điều có từ (a) với f = f ◦ Y Hệ 3.3 Công thức thể tích hyperbolic dV bất biến dịng trắc địa G dòng horocycle PSL(2, R) Chứng minh Tất hai dịng ỚG viết dạng ộ : g gm với m = [M ] G PSL(2, R) ma trận M G SL(2, R) cho M = M M với t, s G R; t t t+s t s phải chứng minh dV (ộ (A)) = dV (A) với t G R tập đo A c G t _1 G PSL(2, R) Vì ộ-1 = ộ ộ (A) = {gm : g G A} = R (A) ảnh A theo phép -t -t -t m-t biến đổi bên phải, điều suy từ tính bất biến dV G □ 3.4 Cấu trúc tích địa phương Nhắc lại định nghĩa dịng Ự) , Ỡ nG Ví dụ 1.4: G G ^G(g) = gat, ^G(g) = gb', ^G(g) = gQ Định nghĩa 3.3 (Đa tạp ổn định/không ổn định) Cho g E G Đa tạp ổn định không ổn định g định nghĩa tương ứng bởi: W (g) = {h E G : d (^>G(g), ^>G(h)) s t °} G W (g) = {h E G : dG (^G(g),^G(h)) t ■ o } u Định lý 3.3 (Đa tạp ổn định) Cho g, h E G = PSL(2,R) Các mệnh đề sau tương đương: (a) ( ), với g ^ (h)) G t ^ ° (b) Tồn số C > cho d ( ), G (^G g ^G(h)) < Ce -t với t E [0, °] (c) h E {0G(g) = gbs : s E R} Chứng minh (b) (a): Điều hiển nhiên (a) (c): Do (a ) = a , d bất biến trái theo Bổ đề 1.2(a) theo t -1 -t G định nghĩa dG (a-ig-'ha^e) = dG (hat,gat) = dG (^G(h),^G(g)) t Đạt g h = n(C), C = ( a E SL(2 -1 0, Khi A-tCAt = -t t e-t/2 e et/2 ■') (Ya (0 n(A_tCAt) = a_ g Ta có e Y t a t e-t/2 et/2 0 t > X xảy Y = t t eY Hơn nữa, a = ỗ = a = ỗ = -1 Ta suy g h = bg g h = b_g, cho h E {gb : s E R} hai trường hợp -1 -1 s C= (c) (b): Đặt h = gb với s E R Khi s dG (^G(g),^G(h)) = dG (gat, hat) = dG (e,a_tg hat) = dG (e, a-tbsat) = dG(e,bse-t) < \s\e~_ □ Định lý 3.4 (Đa tạp không ổn định) Cho g, h E G = PSL(2, R) Các mệnh đề sau tương đương: (a) d G với t (^G(g),^G(h^ ■ (b) Tồn số C > cho d ( ), G (^G g với t E [_rc>, rc)] (c) h E {nf(g) = gCs : s E R} ^G(h^ < Ce \; Định nghĩa 3.4 (Đa tạp ổn định yếu/đa tạp không ổn định yếu) Cho g G G Đa tạp yếu đa tạp không ổn định g cho W (g) = {(0s ◦ ^t) (g) : s,t G R} = {gatbs : s,t G R} ws W (g) = {(nu ◦ 0, tồn ỗ = ỗ(£) > có tính chất sau Nếu g,h G G thỏa mãn d (g, h) < ỗ, giao hai tập hợp G W (g) n W (h) ws e u chứa điểm giao hai tập hợp W (g) n W (h) wu chứa điểm s Chứng minh Với £ > cho trước, theo Bổ đề 1.2 (b) tồn ỗ = ỗ(£) > có tính chất sau: Nếu u G G d (u, e) < ỗ ta có cho u = n(A) = [A] |a G — 1| + |b| + |c| + |d — 1| < {2, 4} Với g, h G G cho d (g, h) < ỗ Khi G G SL(2, R) (3.13) dG (g h, e = dG(g, h) < ỗ, —1 (e = n (E ) phần tử đơn vị G) có A G SL(2, R) (3.13) cho g h = [A] |a —1| + |b| + |c| + |d —1| < {1,44}; cụ thể d —1 G [1/2,3/2] Chúng ta viết g h = atbscu với —1 Do hc = ga b |t| = 2| lnd| < 4|d — 1| < £ doc| ln(1 + z)| < 2|z| với |z| t = — ln d, s = bd, u < 1/2 Hơn nữa, |s| = \b\\d\ < 2|b| < £/2 |u| = |d| = < d 2|c| < £/2 Do đó, ta —u t s đạt z = ga b = hc G G, z G W (g) n W (h) Tiếp theo ta chứng minh t s —u e ws £ u giao hai tập hợp Tức giả sử có z ' G W (g) n e ws W (h), ta cần chứng minh z = z '.Vì z G Ww (g) n wu(h) nên z = ga b = hc với u e s t s —u |t'| , |s'|, |u'| < £ Do hc a b = g = hc at'b !, tức hc a b = hc at'b ! Suy u t s u/ s u t u/ s s c a b = cuat'bs! Suy u = u', t = t' s = s' z = gb = gb = z' Mệnh đề u t s —s —s sau chứng minh tương tự Hệ 3.4 (Cấu trúc tích địa phương) Với £ > 0, tồn ỗ = ỗ(£) với tính chất sau: Nếu g,h G G d (g, h) < ỗ có v = v(g, h) G R, |v| < £ thỏa G mãn (^v (g)) n wu(h) = Chính xác hơn, giao hai tập hợp điểm nhất, ký hiệu (g,h) Chứng minh Với £ > 0, tồn ỗ = ỗ(£) Định lý 3.5 Giả sử g, h G G cho d (g, h) < ỗ Khi W (g) n W (h) = 0, tồn s,v,u E (—£,£) ws £ G u £ cho ga b = hc Vì ^ (g) = ga ta có v s u v v W( ^v (g)) = {gavb8' : Is'I dịng (^G) teR (a) S tập đóng (b) S n ^G-£ ](x) = {x} với x E S £ Xem minh họa Hình 3.3 Hình 3.3: Thiết diện cắt ngang địa phương BỔ đề 3.2 Cho £ > g G G, thiết diện Poincaré đóng bán kính £ P (g) = {gCubs, |u| < £, |s| < £ P'(g) = {gbsCu, |s| < £, |u| < thiết diện cắt ngang thời gian p > tùy ý đường kính khơng q 4s Chứng minh Giả sử x = gc b G P (g) y G Ọ2[— ] (x) r P (g) Khi y = ui S1 £ £ gc b tồn T G [—p, p] cho x = ^ (y) Suy u2 G S2 c b C u i Sl b a U2 S2 T Ta viết đẳng thức dạng đẳng thức ma trận tương ứng SL(2, R) thu u = u , s = s T = nên y = x Do P (g) thiết diện e cắt ngang địa phương với thời gian p Tiếp theo, với x = gx = gc b y = gc b , ta có Ul d (x, y) = d (gc b G G , gc b u1 S1 < u2 S2 d (c b G = d (b G S1 u1 S1 ,c —u Sl u2 ) = d (c b G u1 S1 u S2 , e) + d (e, c b G ) + d (b ,c b G u1 S1 S2 ,c —u S2 ) ) ) < dG(bS , e) + dG(cu , e) + dG(bS , e) + dG(cu , e) 1 2 < |s | + |u | + |s | + |u | i i 2 < 4s Do diamP < 4s Chứng minh tương tự cho P^(g') □ e Định nghĩa 3.6 Cho S thiết diện cắt ngang địa phương thời gian s Ánh xạ Prs : ^- , ](S) S ee Prs (^G(g)) = g gọi phép chiếu lên S Từ trở đi, ta ký hiệu = ớ(1) Hệ 3.4 Định nghĩa 3.7 Cho D thiết diện cắt ngang địa phương T c D tập hợp đóng khơng giao với dD diamT < ổ Ta định nghĩa G -)D : T X T —> D {g,h)D = PrD((g,hD (3 14) Ví dụ 3.1 Đặt D = P£(z) thiết diện Poincaré bán kính s z; s > Chọn T = P / (z) Với g,h G T, xác định {g, hD sau: £ Bước 1: Xây dựng (g, h) Ta có g = CU bS y = cu bs 1 2 u = wp (S?(g)) n Wp h p = {Cuibsiavbs, |s| < p} Pl {Cu2bs2Cu, |u| < p} với t, u, s (nhỏ cho trước) Do đó, ta tìm t, u, s cho C b a b = c b c U1 S1 v s u2 b-siCu2-uibs2 = avbsC-u Ta thấy u1 - u2 ", + (u2 - u1 ) s2 s = (s2 - s1 + (u1 - u2) s1s2) (1 + (u2 - u1) s2) v = -2ln (1 + (U2 - U1) S2), u = Do (g h c b a b ui si v s , c b a ui si+se v v Bước 2: Xây dựng (g, h)T.Ta có |v| < £ , s2 u s , \\„ cho min{s, ĩ^2} < ỏ0/4 g G G Khi tập s' với sf G [—£, s] > — us' > u' với u' G [—£, s] > T(g) = gbsCu : s G [—ổ,s],u = hình — chữ nhật G su' Chứng minh S (g) = gCubs : u G [—ổ,s],s = £ Chúng ta chứng minh cho S := S (g) Lưu ý từ giả thiết, diam S < £ ổ0 Lấy x = gCux bsx ,y = gCuy bsy e S Do (x,y) = Wp (^v(x)) n wp(y) = gCuxbsxavbs = gc ybsyCu với U v = -2ln(1 + (uy - ux)sy) s= (s — s — (u — u ) s s ) (1 + (u — u ) s ) y x u u= x x y y x y u y + (u y x u s y x) y Suy (x,y) = gCuxbsxa bs = gCuxbsx+seva nghĩa {x,y)s = gCuxbsx+sev Chúng ta v cần gc b Ux Sx+sev v G S Ta thấy sy G [—£,£] thỏa mãn s = sSy _ ; {x,y)s G S, ta có điều phải s + se + (u — u ) s u s y x y xy chứng minh □ y v x 1- y s, Với u = s = £, đạt S (g) = S£(g) T (g) = T£(g) £ £ Mệnh đề 3.2 Với £ > cho min{£, } < ớo/4 g G Ĩ^£Z G Cho S,T thiết diện cắt ngang địa phương S (g) c S, T (g) c T hình chữ nhật định nghĩa £ £ Định lý 3.6 Khi S (g) hình chiếu T (g) S T (g) hình £ £ £ chiếu S (g) T £ Chứng minh Cho h = gCubg G S (g), ta viết g = gCubg = gbãCũat với u = u(1 + us), t = — 2ln(1+ us) s + us’ Vì h G S (g) nên s = ! ' với s’ G [—£,£] Tức s = s’ G [—£,£] Ngoài — su £ s £ í; s- =1 — i+usu = ĩ+us tức u = u(1 + us) = ; g = ^Gt(g) = PrT(g) = bsCu G T(g) Ngược lại, g = b~ C G T(g) s ủ g = Cubs at với Tương tự, kiểm tra u G [—£,£],s = ĩ^ut g = pr (g) s = s(1 + us), t = 2ln(1+ us) u= us’Chứng minh tương tự Prs (T£(g)) = S£(g) Vì pr (S (g)) = 1T +(g) □ T T £ £ Kết luận Tác giả chọn lọc kiến thức có tài liệu tham khảo trình bày số nội dung sau luận văn: Luận văn trình bày số khái niệm mạt phẳng hyperbolic tính chất liên quan Luận văn trình bày cách hệ thống tính chất dòng trắc địa dòng horocycle mạt phẳng hyperbolic Đóng góp luận văn xây dựng dịng horocycle cách tự nhiên thơng qua tham số horocycle, đồng thời đưa tính chất dịng trắc địa PSL(2, R) đa tạp ổn định, khơng ổn định, cấu trúc tích địa phương từ tính chất dịng trắc địa r \PSL(2, R) tài liệu tham khảo [3] Vì thời gian kiến thức có hạn nên cịn vấn đề dòng trắc địa dòng horocycle chưa trình bày luận văn Những vấn đề chúng tơi tiếp tục tìm hiểu tương lai Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lưu Văn Long: Nhóm Fuchs miền bản, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Quy Nhơn, 2018 Tiếng Anh [2] A.F Beardon: The Geometry of Discrete Groups, Springer, BerlinHeidelberg-New York 1983 [3] H.Hien: Symbolic dynamics for the geodesic flow on compact factors of the hyperbolic plane, preprint [4] S Katok: Fuchsian Groups, University of Chicago Press, Chicago 1992 [5] M Kunze: Dynamics of the Geodesic Flow on Compact Factors of the Hyperbolic Plane, preprint [6] J Lee: Introduction to Smooth Manifolds, Springer Science and Business Media 2003 Mặt phẳng hyperbolic 10 2.1Mạt phẳng hyperbolic 10 2.2Phân thớ tiếp xúc đơn vị 11 2.3Đường trắc địa H2 17 2.4Horocycle H2 20 2.5Diện tích thể tích hyperbolic 22 01s = At B s (d) Chứng minh tương tự (c) ... thực Tương tự dòng trắc địa, dòng horocycle hệ động lực dọc theo horocycle Quỹ đạo dòng trắc địa (tương ứng dòng horocycle) đường trắc địa (tương ứng horocycle) Ta xét đường trắc địa horocycle có... mạt phẳng hyperbolic Chương 3: Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng hyperbolic: Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dịng trắc địa, dịng horocycle tính chất hai dịng này, cấu trúc tích địa. .. PSL(2,R), đường trắc địa Chương 2: Mặt phẳng hyperbolic: Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức mạt phẳng hyperbolic, tìm đường trắc địa, xây dựng tham số cho đường trắc địa đường horocycle,