BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN NHƠN DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN NHƠN DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN NHƠN DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH MINH HIỀN Bình Định - 2020 e Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bào tính trung thực, xác Quy Nhơn, tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Văn Nhơn e ii Mục lục Mục lục ii Mở đầu iv Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Đa tạp 1.1.1 Đa tạp trơn 1.1.2 Không gian tiếp xúc 1.1.3 Đa tạp Riemann 1.1.4 Đường trắc địa Nhóm PSL(2, R) 1.2.1 Bin i Măobius 1.2.2 Nhóm PSL (2, R) Dòng Mặt phẳng hyperbolic 10 2.1 Mặt phẳng hyperbolic 10 2.2 Phân thớ tiếp xúc đơn vị 11 2.3 Đường trắc địa H2 17 2.4 Horocycle H2 20 2.5 Diện tích thể tích hyperbolic 22 e Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng hyperbolic 24 3.1 Dòng trắc địa 24 3.2 Dòng horocycle 26 3.3 Tính bảo tồn thể tích 28 3.4 Cấu trúc tích địa phương 31 3.5 Hình chữ nhật PSL(2, R) 35 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 e Mở đầu Hình học hyperbolic mảng đặc biệt quan trọng hình học phi-Euclide có nhiều ứng dụng vật lý lý thuyết, thiên văn học, khoa học vũ trụ, Những người tiên phong lĩnh vực Nikolai Lobachevsky (1792-1856) Felix Klein (1849-1925) Hình học hyperbolic nghiên cứu tính chất hình học đa tạp có độ cong âm Ví dụ đơn giản cho đa tạp có độ cong âm mặt phẳng hyperbolic, nửa mặt phẳng H2 = {(x, y) ∈ R : y > 0} trang dx2 + dy 2 bị mêtric hyperbolic ds = Nhóm phép đẳng cự y H2 nhóm cỏc phộp bin i Măobius, nhúm ny ng cu vi nhóm PSL(2, R) = PSL(2, R)/ {E2 , −E2 } có cách đồng ma trận nhóm ma trận vng cấp với định thức đơn vị SL(2, R) Đường trắc địa mặt phẳng hyperbolic đường thẳng đứng nửa đường tròn có tâm trục thực Dịng trắc địa hệ động lực dọc theo đường trắc địa Horocycle mặt phẳng đường thẳng nằm ngang đường tròn tiếp xúc với trục thực Tương tự dòng trắc địa, dòng horocycle hệ động lực dọc theo horocycle Quỹ đạo dòng trắc địa (tương ứng dòng horocycle) đường trắc địa (tương ứng horocycle) Ta xét đường trắc địa horocycle có vận tốc đơn vị Vì vậy, dịng trắc địa dòng horocycle xác định phân thớ tiếp xúc đơn vị T H2 Có song ánh từ T H2 vào nhóm PSL(2, R) thay nghiên cứu dòng trắc địa dòng horocycle T H2 , ta nghiên cứu dòng tương ứng PSL(2, R) Mục đích e đề tài giúp người học làm quen với kiến thức hình học hyperbolic mặt phẳng hyperbolic, qua nghiên cứu chun sâu tính chất dòng trắc địa horocycle mặt phẳng hyperbolic Các kết luận văn tham khảo tài liệu tham khảo, đồng thời phát triển xét trường hợp cụ thể Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương chuẩn bị số kiến thức đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, đa Riemann, bin i Măobius, nhúm PSL(2, R), ng trc địa Chương 2: Mặt phẳng hyperbolic: Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức mặt phẳng hyperbolic, tìm đường trắc địa, xây dựng tham số cho đường trắc địa đường horocycle, diện tích thể tích mặt phẳng hyperbolic Chương 3: Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng hyperbolic: Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dịng trắc địa, dịng horocycle tính chất hai dịng này, cấu trúc tích địa phương (local product structure) đưa ví dụ hình chữ nhật Qua đây, xin gửi lời cảm ơn đến Phịng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải tích khóa 21 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện e Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở, làm tảng cho chương sau 1.1 Đa tạp Trong mục này, liệt kê lại khái niệm cần thiết để giới thiệu khái niệm đa tạp Riemann Nội dung mục tham khảo tài liệu [1, 6] 1.1.1 Đa tạp trơn Định nghĩa 1.1 Cho M không gian tơpơ Ta nói M đa tạp tơpơ n chiều (i) M không gian tôpô Hausdorff, tức với x, y ∈ M, x 6= y tồn tập mở U, V cho x ∈ U, y ∈ V U ∩ V = ∅ (ii) M không gian đếm thứ hai, tức M có sở tơpơ đếm (iii) M không gian Euclid n chiều địa phương, tức với x ∈ M , tồn U lân cận x V ⊂ Rn tập mở cho ϕ : U → V phép đồng phơi e Ví dụ 1.1 (i) Rn đa tạp tôpô n chiều (ii) Tập ma trận n dịng m cột có hệ số thực M (n × m, R) đa tạp tơpơ n × m chiều Định nghĩa 1.2 Cho M đa tạp tôpô n chiều, biểu đồ cặp (U, ϕ) với U ⊂ M tập mở ϕ : U → ϕ(U ) ⊂ Rn phép đồng phôi Định nghĩa 1.3 Cho M đa tạp tôpô n chiều (i) Một biểu đồ M họ biểu đồ {Uα , ϕα } cho họ {Uα } phủ M (ii) Nếu (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) hai biểu đồ cho Uα ∩ Uβ 6= ∅ Ánh xạ hợp ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ) gọi ánh xạ chuyển (iii) Hai biểu đồ (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) gọi tương thích trơn Uα ∩ Uβ = ∅ ánh xạ chuyển trơn, tức ánh xạ chuyển có đạo hàm riêng tất cấp liên tục (iv) Một biểu đồ gọi trơn hai biểu đồ tương thích trơn Định nghĩa 1.4 (Đa tạp trơn) Cho M đa tạp tôpô (i) Một biểu đồ trơn A đa tạp M gọi cực đại biểu đồ mà tương thích trơn với tất biểu đồ A nằm A Khi A gọi cấu trúc trơn M e (ii) Đa tạp M gọi đa tạp trơn sở hữu cấu trúc trơn Ví dụ 1.2 (i) Rn đa tạp trơn n chiều cấu trúc trơn biểu đồ (Rn , Id) (ii) Nửa mặt phẳng H2 = {x + iy ∈ C : y > 0} tập mở C = R2 đa tạp trơn chiều (iii) Tập ma trận n dịng m cột M (n × m, R) đa tạp trơn n × mchiều (iv) Tập ma trận vng có định thức 1, SL(n, R), đa tạp trơn n2 − chiều 1.1.2 Không gian tiếp xúc Định nghĩa 1.5 (Không gian tiếp xúc) Giả sử M đa tạp trơn x điểm thuộc M Chọn biểu đồ ϕ : U → Rn với U tập mở M chứa x Giả sử hai đường cong γ1 : (−1, 1) → M γ2 : (−1, 1) → M với γ1 (0) = γ2 (0) = x cho ϕ ◦ γ1 ϕ ◦ γ2 khả vi Khi γ1 γ2 gọi tương đương (ϕ ◦ γ1 )0 (0) = (ϕ ◦ γ2 )0 (0) Lớp tương đương đường cong γ kí hiệu [γ (0)] gọi véctơ tiếp xúc với đa tạp M x Không gian tiếp xúc M x, kí hiệu Tx M, không gian véctơ gồm tất véctơ tiếp xúc với đa tạp M x Định lý 1.1 Nếu đa tạp M có số chiều n khơng gian tiếp xúc Tx M , x ∈ M không gian véctơ n chiều e ... thực Tương tự dòng trắc địa, dòng horocycle hệ động lực dọc theo horocycle Quỹ đạo dòng trắc địa (tương ứng dòng horocycle) đường trắc địa (tương ứng horocycle) Ta xét đường trắc địa horocycle có...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN NHƠN DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích... 20 2.5 Diện tích thể tích hyperbolic 22 e Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng hyperbolic 24 3.1 Dòng trắc địa 24 3.2 Dòng horocycle