(Luận văn) dòng trắc địa và dong horocycle trên mặt phẳng hyperbolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN NHƠN lu an n va p ie gh tn to DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE d oa nl w TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN NHƠN lu an n va DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE to p ie gh tn TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 z at nh oi z Người hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH MINH HIỀN m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan lu kết luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm an bào tính trung thực, xác n va tn to Quy Nhơn, tháng năm 2020 p ie gh Học viên oa nl w Nguyễn Văn Nhơn d nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Mục lục Mục lục ii Mở đầu iv lu an Kiến thức chuẩn bị n p ie gh tn to 1.1.1 Đa tạp trơn 1.1.2 Không gian tiếp xúc 1.1.3 Đa tạp Riemann Đường trắc địa Nhóm PSL(2, R) Đa tạp w va 1.1 d lu 1.2.1 Bin i Măobius 1.2.2 Nhóm PSL (2, R) nf va an lm ul 1.3 oa nl 1.1.4 1.2 Dòng z at nh oi Mặt phẳng hyperbolic 10 Mặt phẳng hyperbolic 10 2.2 Phân thớ tiếp xúc đơn vị 2.3 Đường trắc địa H2 17 2.4 Horocycle H2 20 2.5 Diện tích thể tích hyperbolic z 2.1 m co l gm @ 11 an Lu 22 n va ac th si Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng hyper- lu bolic 24 3.1 Dòng trắc địa 24 3.2 Dòng horocycle 26 3.3 Tính bảo tồn thể tích 28 3.4 Cấu trúc tích địa phương 31 3.5 Hình chữ nhật PSL(2, R) 35 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Hình học hyperbolic mảng đặc biệt quan trọng hình học phi-Euclide có nhiều ứng dụng vật lý lý thuyết, thiên văn lu học, khoa học vũ trụ, Những người tiên phong lĩnh vực an Nikolai Lobachevsky (1792-1856) Felix Klein (1849-1925) Hình học va n hyperbolic nghiên cứu tính chất hình học đa tạp có độ cong tn to âm Ví dụ đơn giản cho đa tạp có độ cong âm mặt phẳng p ie gh hyperbolic, nửa mặt phẳng H2 = {(x, y) ∈ R : y > 0} trang dx2 + dy 2 bị mêtric hyperbolic ds = Nhóm phép đẳng cự trờn y H2 l nhúm cỏc phộp bin i Măobius, nhóm đẳng cấu với nhóm nl w d oa PSL(2, R) = PSL(2, R)/ {E2 , −E2 } có cách đồng ma an lu trận nhóm ma trận vng cấp với định thức đơn vị SL(2, R) nf va Đường trắc địa mặt phẳng hyperbolic đường thẳng đứng lm ul nửa đường trịn có tâm trục thực Dòng trắc địa hệ động lực dọc theo đường trắc địa Horocycle mặt phẳng đường z at nh oi thẳng nằm ngang đường tròn tiếp xúc với trục thực Tương tự dòng trắc địa, dòng horocycle hệ động lực dọc theo horocycle z Quỹ đạo dòng trắc địa (tương ứng dòng horocycle) đường @ gm trắc địa (tương ứng horocycle) Ta xét đường trắc địa co l horocycle có vận tốc đơn vị Vì vậy, dịng trắc địa dịng horocycle m xác định phân thớ tiếp xúc đơn vị T H2 Có song ánh từ T H2 an Lu vào nhóm PSL(2, R) thay nghiên cứu dòng trắc địa dòng horocycle T H2 , ta nghiên cứu dòng tương ứng PSL(2, R) Mục đích n va ac th si đề tài giúp người học làm quen với kiến thức hình học hyperbolic mặt phẳng hyperbolic, qua nghiên cứu chuyên sâu tính chất dịng trắc địa horocycle mặt phẳng hyperbolic Các kết luận văn tham khảo tài liệu tham khảo, đồng thời phát triển xét trường hợp cụ thể Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương chuẩn bị số kiến thức đa tạp trơn, không gian tip xỳc, a Riemann, lu bin i Măobius, nhúm PSL(2, R), đường trắc địa an n va Chương 2: Mặt phẳng hyperbolic: Trong chương tn to trình bày số kiến thức mặt phẳng hyperbolic, tìm đường trắc địa, xây dựng tham số cho đường trắc địa đường gh p ie horocycle, diện tích thể tích mặt phẳng hyperbolic w Chương 3: Dòng trắc địa dòng horocycle mặt phẳng oa nl hyperbolic: Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dịng d trắc địa, dịng horocycle tính chất hai dịng này, cấu trúc tích lu nf va an địa phương (local product structure) đưa ví dụ hình chữ nhật Qua đây, xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Đào tạo Sau đại học, lm ul Khoa Tốn q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải trình học tập nghiên cứu z at nh oi tích khóa 21 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, z gm @ điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót l m để luận văn hoàn thiện co Chúng tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở, làm an tảng cho chương sau n va Đa tạp ie gh tn to 1.1 p Trong mục này, liệt kê lại khái niệm cần thiết để giới nl w thiệu khái niệm đa tạp Riemann Nội dung mục tham d oa khảo tài liệu [1, 6] lu Đa tạp trơn nf va an 1.1.1 Định nghĩa 1.1 Cho M không gian tôpô Ta nói M đa tạp tơpơ z at nh oi lm ul n chiều (i) M không gian tôpô Hausdorff, tức với x, y ∈ M, x 6= y tồn tập mở U, V cho x ∈ U, y ∈ V U ∩ V = ∅ z @ co l đếm gm (ii) M không gian đếm thứ hai, tức M có sở tơpơ m (iii) M không gian Euclid n chiều địa phương, tức với x ∈ M , phép đồng phôi an Lu tồn U lân cận x V ⊂ Rn tập mở cho ϕ : U → V n va ac th si Ví dụ 1.1 (i) Rn đa tạp tôpô n chiều (ii) Tập ma trận n dịng m cột có hệ số thực M (n × m, R) đa tạp tơpơ n × m chiều Định nghĩa 1.2 Cho M đa tạp tôpô n chiều, biểu đồ cặp (U, ϕ) với U ⊂ M tập mở ϕ : U → ϕ(U ) ⊂ Rn phép đồng phôi lu an Định nghĩa 1.3 Cho M đa tạp tôpô n chiều va n (i) Một biểu đồ M họ biểu đồ {Uα , ϕα } cho họ {Uα } to gh tn phủ M p ie (ii) Nếu (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) hai biểu đồ cho Uα ∩ Uβ 6= ∅ Ánh xạ nl w hợp d oa ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ) lu nf va an gọi ánh xạ chuyển (iii) Hai biểu đồ (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) gọi tương thích trơn lm ul Uα ∩ Uβ = ∅ ánh xạ chuyển trơn, tức ánh xạ chuyển có z at nh oi đạo hàm riêng tất cấp liên tục (iv) Một biểu đồ gọi trơn hai biểu đồ z tương thích trơn gm @ Định nghĩa 1.4 (Đa tạp trơn) Cho M đa tạp tôpô co l m (i) Một biểu đồ trơn A đa tạp M gọi cực đại biểu an Lu đồ mà tương thích trơn với tất biểu đồ A nằm A Khi A gọi cấu trúc trơn M n va ac th si (ii) Đa tạp M gọi đa tạp trơn sở hữu cấu trúc trơn Ví dụ 1.2 (i) Rn đa tạp trơn n chiều cấu trúc trơn biểu đồ (Rn , Id) (ii) Nửa mặt phẳng H2 = {x + iy ∈ C : y > 0} tập mở C = R2 đa tạp trơn chiều (iii) Tập ma trận n dòng m cột M (n × m, R) đa tạp trơn n × mchiều lu (iv) Tập ma trận vng có định thức 1, SL(n, R), đa tạp an trơn n2 − chiều n va Không gian tiếp xúc gh tn to 1.1.2 p ie Định nghĩa 1.5 (Không gian tiếp xúc) Giả sử M đa tạp trơn w x điểm thuộc M Chọn biểu đồ d oa nl ϕ : U → Rn nf va an lu với U tập mở M chứa x Giả sử hai đường cong γ1 : (−1, 1) → M γ2 : (−1, 1) → M lm ul với γ1 (0) = γ2 (0) = x cho ϕ ◦ γ1 ϕ ◦ γ2 khả vi Khi γ1 z at nh oi γ2 gọi tương đương (ϕ ◦ γ1 )0 (0) = (ϕ ◦ γ2 )0 (0) Lớp tương đương đường cong γ kí hiệu [γ (0)] gọi véctơ z tiếp xúc với đa tạp M x Không gian tiếp xúc M x, kí hiệu @ co l M x gm Tx M, không gian véctơ gồm tất véctơ tiếp xúc với đa tạp m Định lý 1.1 Nếu đa tạp M có số chiều n khơng gian tiếp xúc an Lu Tx M , x ∈ M không gian véctơ n chiều n va ac th si = r, − = r τ |z(τ ) − (x0 + r)| = 2r τ ie + ie + Chú ý z(R) ⊂ C Ngoài ra, z(R) = C thỏa Vì z dạng tham số C Tiếp theo thấy z = T ◦ z0 với z0 (τ ) = ieτ biến đổi z z (2r + x0 )z + x0 T (z) = 2r + x0 Ta xét T (z) = 2r + x0 = , z+1 z+1 z+1 T Măob(H2 ) Tht vy: ta cú th vit T = Ψ0 (A) lu với an ! 2r + x0 x0 n va A= , gh tn to detA = 2r > p ie Vì T phép đẳng cự H2 theo Bổ đề 1.1, ánh xạ đẳng cự từ đường trắc địa đến đường trắc địa, từ ta thấy C đường oa nl w trắc địa với tham số z xác định cách tổng quát thỏa mãn: d kz (τ )k2z(τ ) = gz(τ ) (z (τ ), z (τ )) lu nf va an = gT (z0 (τ )) (DT (z0 (τ )) z 0 (τ ), DT (z0 (τ )) z 0 (τ )) = gz0 (τ ) (z 0 (τ ), z 0 (τ )) = lm ul nghĩa có vận tốc đơn vị Đường trắc địa vận tốc đơn vị (H2 , g) z at nh oi  hỡnh nh ca trc o dng di bin i Măobius Hệ 2.1 (a) Nếu C đường trắc địa mặt phẳng hyperbolic z H2 tồn phộp bin i Măobius T Măob(H2 ) cho C = l gm @ T (I) với I = {z ∈ H2 : Re z = 0} tham số z(t) = T (et i) có vận tốc đơn vị an Lu Chứng minh m co (b) Nếu T Măob(H2 ) v C = T (I) thỡ C đường trắc địa với n va ac th si 20 (a) Nếu C = {z ∈ H2 : Re z = x0 } đường thẳng đứng lấy T (z) = z − x0 Nếu C = {z ∈ H2 : |z − (x0 + r)|2 = r2 } đường trịn có tâm trục thực, xét z + x0 , ú T Măob(H2 ) thật vậy: T (z) = 2r z+1 theo chứng minh Định lý 2.2 ta có C = T (I) Do đó, điều ta thay T bng T Măob(H2 ) (b) Vỡ I l đường trắc địa T đẳng cự nên suy C = T (I) lu an đường trắc địa Hơn nữa, z (t) = T (et i)et i ta suy ra: va n


kz (τ )k2z(τ ) = gz(τ ) (z (τ ), z (τ )) = gT (et i) T et i et i, T et i et i

t = get i et i, et i = e i (et i) = t (Im e i) p ie gh tn to w  oa nl Kết cho phép ta xác định dạng tường minh dòng trắc d địa trình bày chương sau an lu Horocycle H2 nf va 2.4 lm ul Định nghĩa 2.2 Các đường thẳng nằm ngang đường tròn tiếp z at nh oi xúc với trục thực (ngoại trừ điểm tiếp xúc) gọi horocycle z Định lý 2.3 (a) Nếu H horocycle H2 tồn phép @ l gm bin i Mă obius T Măob(H2 ) cho H = T (J) với m co J = {z ∈ H2 : Im z = 1} z(t) = T (t + i), t ∈ R an Lu (b) Nếu T Măob(H2 ) v H = T (J) thỡ H horocycle với tham số n va ac th si 21 Hình 2.3: Horocycle H2 Chứng minh (a) Nếu H = {z ∈ H2 : Im z = y} đường thẳng nằm lu ngang ta lấy T (z) = yz Khi T ∈ Măob(H2 ) v T (J) = H an n va Nếu H = {z ∈ H2 : |z − (x0 + ir)|2 = r2 } đường tròn p ie gh tn to tiếp xúc với trục thực điểm có hồnh độ x0 C có tham số −2r z(τ ) = x0 − , τ ∈ R Thật vậy, τ +i+4 2r |z(τ ) − (x0 + ir) =