(Luận án tiến sĩ) một số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phân

VIN HN LM KHOA HÅC V CỈNG NGH VIT NAM VIN TON HÅC NGUYN VIT PH×ÌNG MËT SÈ VN CÕA LÞ THUYT NEVANLINNA V ÙNG DƯNG CHO A THÙC VI PHN LUN N TIN S TON HÅC H Nëi - 2022 luan an VIN HN LM KHOA HÅC V CặNG NGH VIT NAM VIN TON HC NGUYN VIT PHìèNG MËT SÈ VN CÕA LÞ THUYT NEVANLINNA V ÙNG DƯNG CHO A THÙC VI PHN Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i tẵch MÂ số: 46 01 02 LUN N TIN S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TSKH TÔ Thà Ho i An H Nëi - 2022 luan an Líi cam oan Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH TÔ Th Hoi An CĂc kát quÊ luên Ăn viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc Â ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ ữủc nảu luên Ăn l trung thüc v ch÷a tøng ÷đc cỉng bè bĐt ký cổng trẳnh no khĂc TĂc giÊ Nguyạn Viằt Phữỡng i luan an Lới cÊm ỡn Luên Ăn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH TÔ Th Hoi An, mởt nh giĂo mău mỹc, nh khoa hồc tên tƠm Â khổng ch nh hữợng v dẳu dưt tĂc giÊ trản ữớng nghiản cựu, m cỏn luổn quan tƠm v dÔy bÊo cho tĂc giÊ nhỳng bi hồc quỵ giĂ cuởc sống Lới Ưu tiản, tĂc giÊ xin ữủc php by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt án ngữới cổ Ăng kẵnh TĂc giÊ xin ữủc trƠn trồng cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Vi»n To¡n håc - Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cổng nghằ Viằt Nam, Trung tƠm o tÔo sau Ôi håc, c¡c pháng chùc n«ng v c¡c nh khoa håc cừa Viằn ToĂn hồc Â giúp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi nhĐt cho tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Viằn TĂc giÊ cụng xin trƠn trồng cÊm ỡn Ôi số v Lỵ thuyát số Â tÔo iÃu kiằn thuên lủi tĂc giÊ ữủc tham gia cĂc buời sinh hoÔt khoa hồc cừa liản TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Kinh tá v QuÊn tr Kinh doanh - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Khoa Khoa hồc cì b£n v c¡c th¦y cỉ gi¡o Bë mỉn ToĂn Â luổn ởng viản v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ hon thnh ữủc luên Ăn ny Nh¥n dàp n y t¡c gi£ cơng xin gûi líi c£m ỡn sƠu sưc tợi PGS TS H TrƯn Phữỡng Â d nh cho t¡c gi£ nhúng t¼nh c£m v sü ëng viản giúp ù quỵ bĂu Cuối cũng, xin dnh mõn qu tinh thƯn ny dƠng tng Bố, Mà, cĂc anh ch em Ôi gia ẳnh thƠn yảu, tng ngữới vủ hiÃn yảu dĐu, nhỳng ngữới Â chu nhiÃu khõ khôn v dnh hát nhỳng tẳnh cÊm yảu thữỡng, ởng viản tĂc giÊ hon thnh kát quÊ nghiản cựu cừa mẳnh TĂc giÊ Nguyạn Viằt Phữỡng ii luan an Mửc lưc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Mð ¦u Khỉng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa hm phƠn hẳnh 1.1 Mởt số kián thực chuân b 7 1.1.1 Lỵ thuyát Nevanlinna cê iºn 1.1.2 Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi 12 1.2 ìợc lữủng khổng im cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 15 1.3 Kát luên 20 Ph¥n bè gi¡ trà cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 22 2.1 Quan hằ số khuyát cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 23 2.2 Mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho mët sè dÔng a thực vi phƠn 26 2.3 Kát luªn 37 Tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä 39 3.1 C¡c hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ 39 3.2 C¡c a thùc vi ph¥n cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ 52 3.3 Kát luên 73 Kát luên cừa luên Ăn Ti liằu tham khÊo 75 79 iii luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mð ¦u nh lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số nõi rơng mởt a thực bêc n trản trữớng số phực C cõ úng n khổng im Vo nhỳng nôm cuối cừa thá k 18 Ưu thá k 19, cĂc nh toĂn hồc Â phĂt trin nhỳng kát quÊ Ôt ữủc vÃ sỹ phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a thực lản ối tữủng l cĂc hm nguyản mt phng phực Trong thới gian ny, Borel Â thnh cổng viằc kát hđp v c£i ti¸n c¡c k¸t qu£ cõa Picard, Poincar² v Hadamard cho cĂc hm nguyản v lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr bưt Ưu hẳnh thnh Lỵ thuyát ny nghiản cựu mêt ở cừa cĂc im m tÔi õ hm phƠn hẳnh nhên mởt giĂ tr cử th Mởt õng gõp nời bêt cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cho cĂc hm phƠn hẳnh Â ữủc nh toĂn hồc ngữới PhƯn Lan Rolf Nevanlinna ữa Sau ny, cĂc kát quÊ õ Â gưn liÃn vợi tản tuời cừa v thữớng ữủc nhưc án vợi tản gồi Lỵ thuyát Nevanlinna Sỹ ới cừa lỵ thuyát ny ữủc Ănh giĂ l mởt nhỳng thnh tỹu àp v sƠu sưc nhĐt ngnh giÊi tẵch phực v ng y c ng câ nhi·u ùng dưng nhúng l¾nh vỹc khĂc cừa toĂn hồc, chng hÔn nhữ lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, lỵ thuyát hồ chuân tưc, hẳnh hồc phực v lỵ thuyát số, TrÊi qua gƯn mởt trôm nôm, hữợng nghiản cựu Â ữủc phĂt trin rĐt mÔnh m v Â chựng kián sỹ õng gõp to lợn cừa cĂc nh toĂn hồc nữợc ngoi nhữ Gol'dberg, Ostrovskii, Ahlfors, Shimizu, Drasin, Hayman, Bergweiler, Langley, Ru, Vojta, Yamanoi, v cĂc nh toĂn hồc nữợc nhữ L V Thi¶m, H H Kho¡i, Th¡i, S Quang, T V T§n, T T H An, Tuy nhiản, vợi tƯm quan trồng giÊi tẵch phực, hữợng nghiản cựu ny văn ang tiáp tửc thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa cĂc nh toĂn hồc Mửc tiảu cừa cĂc nh toĂn hồc l ữa cĂc bĐt ng thực giỳa hm ám, hm xĐp x v hm c trững cừa hm phƠn hẳnh, thổng qua cĂc bĐt ¯ng thùc â câ thº xem x²t sü ph¥n bè giĂ tr cừa cĂc hm phƠn hẳnh v tẳm cĂc ùng dưng cõa c¡c k¸t qu£ â B i to¡n quan trồng lỵ thuyát ny l nghiản cựu mối quan h» giúa c¡c khæng iºm, cüc iºm cõa mët h m v Ôo hm cừa hm õ Nôm 1922, Põlya [43] Â chựng mẳnh rơng náu hm phƠn hẳnh f cõ ẵt nhĐt hai cỹc im thẳ vợi mội số nguyản dữỡng k ừ lợn, Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh õ cõ ẵt nhĐt mởt khổng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iºm Li¶n quan tợi kát quÊ õ, Gol'dberg [19] Â t giÊ thuyát sau: Cho f l mởt hm phƠn hẳnh siảu vi»t tr¶n C v k ≥ l mët sè nguy¶n Khi â, ta câ N (r, f ) ≤ N r, f (k) + o(T (r, f )), r → ∞ ngo i mët tªp câ ë o hỳu hÔn, õ T (r, f ) l h m °c tr÷ng Nevanlinna, N (r, f ) l hm ám cĂc cỹc im khổng tẵnh cừa f v N r, f (k) l h m ¸m c¡c khổng im cừa Ôo hm cĐp k cừa hm f tẵnh cÊ GiÊ thuyát cừa Gol'dberg ch úng vợi cĂc Ôo hm cõ cĐp ẵt nhĐt l hai, x²t v½ dư ìn gi£n l h m f (z) = tan z , â h m f câ væ số cỹc im Ôo hm cĐp mởt f khỉng câ khỉng iºm N«m 1986, Frank v Weissenborn [18] Â chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg bơng phữỡng phĂp Wronskian ối vợi trữớng hủp hm phƠn hẳnh f ch câ c¡c cüc iºm ìn Sau â, Langley [25] ¢ chựng minh rơng náu f l mởt hm phƠn hẳnh cĐp hỳu hÔn thọa mÂn iÃu kiằn Ôo hm cĐp hai f 00 cõ hỳu hÔn khổng im thẳ f cõ hỳu hÔn cỹc im Nôm 2013, bơng viằc xƠy dỹng hm xĐp x hiằu chnh v ữa cĂc chn cho hm xĐp x õ, Yamanoi [33] Â tÔo mởt bữợc ởt phĂ lỵ thuyát Nevanlinna vợi chựng minh hon ton giÊ thuyát Gol'dberg v thêm chẵ kát quÊ cừa ữa cỏn mÔnh hỡn giÊ thuyát ban Ưu Viằc chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg cõ ỵ nghắa rĐt lợn lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr, nõ Â giúp cho cĂc nh toĂn hồc vữủt qua nhiÃu khõ khôn viằc giÊi quyát cĂc bi toĂn quan trồng cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cừa cĂc hm phƠn hẳnh GiÊ sỷ f l mởt hm phƠn hẳnh trản C v a C Kẵ hi»u δ(a, f ) = lim inf r→∞ m r, f −a = − lim sup T (r, f ) N r, f −a r→∞ T (r, f ) l sè khuy¸t Nevanlinna cõa h m f v Θ(a, f ) = − lim sup r→∞ N r, f −a T (r, f ) l phƠn nhĂnh ton phƯn cừa f Tứ cĂc nh nghắa trản, dng thu ữủc cĂc ch°n sau: ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) Mt khĂc, nh lỵ cỡ bÊn thự hai cõa Nevanlinna cho chóng ta th§y têng t§t c£ cĂc số khuyát cừa mởt hm phƠn hẳnh luổn b chn trản bi v Ơy l b chn tốt nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh xt trữớng hủp tờng quĂt Tuy nhiản, ối vợi mởt số lợp hm hàp hỡn, chn trản ny cõ th ữủc giÊm xuống Thêt vêy, vợi Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ỵ rơng tĐt cÊ cĂc cỹc im cừa Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh f Ãu cõ ẵt nhĐt l k + 1, Hayman [21] Â ch rơng, vợi mồi k N, X Θ(a, f (k) ) ≤ + a∈C k+1 Nôm 1971, Mues [41] Â chựng minh dĐu bơng bĐt ng thực trản xÊy f l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati vợi cĂc hằ số hơng iÃu õ chựng tọ bĐt ng thực trản cừa Hayman l tốt nhĐt Khi thay phƠn nhĂnh ton phƯn (a, f (k) ) bi số khuyát (a, f (k) ) bĐt ng thực trản thẳ chn trản thu ữủc cõ th l mởt số nhä hìn thüc sü Cư thº, Mues ¢ chùng minh r¬ng X δ(a, f (k) ) ≤ a∈C k + 5k + 4k + 12 + υ(5k + 2) + Pl i=υ+1 mi ta cõ mƠu thuăn vợi giÊ thiát vÃ cĂc hm f v g Nhữ vêy, nh lỵ 3.2.8 ữủc chựng minh Kát luên (ii) nh lỵ 3.2.8 cõ th ữủc bọ i náu ta bờ sung thảm cĂc r ng buëc v· sè khæng iºm bëi cõa Q0 (z) hoc náu thảm giÊ thiát f v g chung cỹc im khổng tẵnh nh lỵ 3.2.9 Cho f v g l cĂc hm phƠn hẳnh khĂc hơng, v l mởt hm phƠn hẳnh khĂc khổng, nhọ so vợi f Gi£ sû [Q(f )](k) v [Q(g)](k) chung α khæng tẵnh GiÊ sỷ rơng q > 4k + 12 + υ(5k + 2) + Pl i=υ+1 mi v mët c¡c i·u ki»n sau 3m1 −2k+3 , v q 6= 3mi − 2k + 3, vỵi måi thäa m¢n (i) h ≥ 4; (ii) h = v q 6= 2m1 − 2k + 2, q 6= i = 1, 2, 3; ho°c (iii) h = v f v g chung ∞ khỉng t½nh bëi Khi â, ta câ Q(f ) = Q(g) + c, vỵi hơng số c no õ Chựng minh nh lỵ 3.2.9 ữủc suy tứ nh lỵ 3.2.8 v Bờ Ã 3.2.5 Chú ỵ 3.2.10 Mởt a thực Q C[z] ữủc gồi l mởt a thực nhĐt cho mởt lợp hm F náu vợi hai hm f, g F bĐt ký thọa mÂn Q(f ) = Q(g) ko theo f = g Trong cĂc kát quÊ trản ta cõ th suy ữủc Q(f ) = Q(g) vợi cĂc iÃu kiằn thẵch hủp Do õ, náu xt Q l mởt a thực nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh thẳ cõ th kát luên rơng f = g Kát quÊ tiáp theo chúng tổi s nghiản cựu trữớng hñp Q(f ) = Q(g) + c c¡c ành lỵ trản Trữợc tiản, chúng tổi nhưc lÔi nh nghắa sau Ơy nh nghắa 3.2.11 a thực Q(z) C[z] ữủc gồi l thọa mÂn GiÊ thiát I náu Q(i ) 6= Q(ζj ) vỵi i 6= j; i, j = 1, 2, , l, â ζ1 , , ζl l c¡c khæng iºm ph¥n bi»t cõa Q0 (z) 69 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Khi c¡c a thùc P v Q thọa mÂn GiÊ thiát I v cõ bªc, T T H An v N T N Di»p [4, nh lỵ 4] Â ữa mởt iÃu kiằn cƯn v ừ ữớng cong xĂc nh bi phữỡng tr¼nh P (x) − Q(y) = khỉng câ c¡c thnh phƯn bĐt khÊ quy giống hoc Kát quÊ cừa hồ nhữ sau nh lỵ 3.2.12 ([4]) Cho P v Q l c¡c a thùc cịng bªc n thọa mÂn GiÊ thiát I Gồi , αl l c¡c khỉng iºm ph¥n bi»t cõa P (x) vợi cĂc tữỡng ựng l p1 , , pl v β1 , , βh l c¡c khỉng iºm ph¥n bi»t cõa Q0 (x) vợi cĂc tữỡng ựng l q1 , qh Khi â, ÷íng cong P (x) Q(y) cõ thnh phƯn bĐt khÊ quy cõ gièng ho°c v ch¿ P v Q thäa m¢n mët c¡c i·u ki»n sau (1) P (x) Q(y) cõ nhƠn tỷ tuyán tẵnh (2) n = ho°c n = (3) n = v tỗn tÔi ẵt nhĐt hai ch số i cho P (αi ) = Q(βi ) ho°c ch¿ tỗn tÔi mởt ch số i cho P (i ) = Q(βi ) v |pi − qi | = (4) n = p1 + 1, l = 1, h = 2, p1 = q1 + 1, q2 = v P (α1 ) = Q(β1 ); ho°c n = p1 + 2, l = 2, h = 1, q1 = p1 + 1, p2 = v P (α1 ) = Q(β1 ) (5) l = h = 2, p2 = q2 = 1, p1 = q1 , n = p1 + v P (α1 ) = Q(β1 ) (6) n = 5, l0 = l = h = 3, p3 = q3 = p2 = q2 = 1, p1 = q1 = v P (αi ) = Q(βi ) vỵi i = 1, 2, 3, õ l0 l số phƯn tỷ cừa têp A0 := {(i, j)|1 ≤ i ≤ l, ≤ j ≤ h, P (αi ) = Q(αj )} (7) n = 5, l0 = l = h = 2, pi = qi = 2, P (αi ) = Q(βi ) vỵi i = 1, Sû dưng c¡c i·u ki»n Â ữủc ữa nh lỵ trản, chúng tổi cõ th ữa cĂc iÃu kiằn ừ nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Q(f ) = Q(g) + c Kát quÊ cừa chúng tổi ữủc phĂt biu nhữ sau 70 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ành lỵ 3.2.13 Cho f v g l cĂc hm phƠn hẳnh khĂc hơng, Q(z) l mởt a thực bêc ẵt nh§t Gi£ sû Q(f ) = Q(g) + c vợi hơng số c no õ Khi õ, ta cõ cĂc khng nh sau (i) Náu tỗn tÔi i (1 ≤ i ≤ l) cho mi > q+1 , thẳ c = (ii) Náu Q(z) thọa mÂn GiÊ thiát I thẳ f = g , ngoÔi trứ tr÷íng hđp Q(z) = (z − ζ1 )m1 (z − ) Chựng minh nh lỵ 3.2.13 (i) Trong trữớng hủp ny, tỗn tÔi i, (1 i l), cho ζi l mët khæng iºm cõa Q0 (z) vỵi bëi mi > q+1 Do â, ta câ thº vi¸t Q(z) − Q(ζi ) = (z − ζi )mi +1 R(z), (3.51) â R(z) l mët a thùc bªc q − mi − v R(ζi ) 6= Ta câ Q(f ) = Q(g) + c, (3.52) T (r, f ) = T (r, g) + O(1), (3.53) (f − ζi )mi +1 R(f ) = Q(g) − Q(ζi ) + c (3.54) suy v Gi£ sû c 6= 0, â tø (3.51), (3.53), (3.54) v nh lỵ cỡ bÊn thự hai Ăp dưng cho h m Q(g) − Q(ζi ) + c vỵi c¡c gi¡ trà 0, −c, ∞, ta câ 1 ) + N (r, ) + N (r, g) + o(T (r, g)) Q(g) − Q(ζi ) + c Q(g) − Q(ζi ) 1 1 ≤ N (r, ) + N (r, ) + N (r, ) + N (r, ) f − ζi R(f ) g − ζi R(g) + N (r, g) + o(T (r, g)) qT (r, g) ≤ N (r, ≤ (2q − 2mi + 1)T (r, g) + o(T (r, g)) Do â, (2mi − q − 1)T (r, g) ≤ o(T (r, g)), 71 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iÃu ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát mi > q+1 Tø â, suy c = Nh÷ vêy, khng nh (i) ữủc chựng minh (ii) Vẳ giÊ thiát q nản ta ch phÊi xt cĂc Trữớng hủp v nh lỵ 3.2.12 Trữợc hát xt Trữớng hủp cừa nh lỵ 3.2.12 V¼ Fc (X, X) = Q(X) − Q(X) − c = c, nản X Y l mởt nhƠn tỷ tuyán tẵnh cừa Fc (X, Y ) c = Gi£ sû Y − rX − s l mởt nhƠn tỷ tuyán tẵnh cừa Fc (X, Y ) vỵi (r, s) 6= (1, 0) Khi â r 6= v (3.55) Q(X) = Q(rX + s) + c Do â, ta câ Q0 (X) = rQ0 (rX + s) = r l Y (rX + s − αi )mi i=1 Do tẵnh nhĐt cừa têp nghiằm cừa mởt a thực nản tỗn tÔi mởt hoĂn v τ cõa {1, , l} cho αi −s r = ατ (i) Tø (3.55) ta câ Q(ατ (i) ) = Q(rατ (i) + s) + c = Q(αi ) + c, vỵi ≤ i l Tứ ng thực trản v ỵ rơng l X i=1 Q(ατ (i) ) = l X Pl i=1 Q(ατ (i) ) Q(αi ) + lc = i=1 l X = Pl i=1 Q(αi ), ta câ Q(αi ) i=1 Tø â suy c = B¥y giớ xt Trữớng hủp cừa nh lỵ 3.2.12 Trong tr÷íng hđp n y, ta câ Q(ζ1 ) = Q(ζ1 ) + c Suy c = Nh÷ vêy, tĐt cÊ cĂc trữớng hủp Ãu câ c = M°t kh¡c, n¸u c = thẳ tứ giÊ thiát q v nh lỵ [9], ta câ f = g n¸u v ch náu l 2, trứ trữớng hủp Q0 (z) = b(z − ζ1 )m1 (z − ζ2 ) Nhữ vêy, nh lỵ ữủc chựng minh 72 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an °c bi»t, x²t a thực cõ dÔng Q(z) = z n P (z), thu ữủc cĂc kát quÊ Â biát [40, nh lỵ 1] nhữ sau Hằ quÊ 3.2.14 (nh lỵ 1, [40]) Cho f v g l cĂc hm phƠn hẳnh khĂc hơng, l mởt hm phƠn hẳnh kh¡c khỉng nhä so vỵi f v P l mët a thùc bªc m Gi£ sû [f n P (f )](k) v [g n P (g)](k) chung α t½nh c£ Náu n > 3k + m + thẳ mởt cĂc trữớng hủp sau thọa mÂn (i) f n P (f ) = g n P (g); ho°c (ii) [f n P (f )](k) [f n P (f )](k) = α2 Chùng minh °t Q(z) := z n P (z) v q := deg Q = n + m Gi£ sû Q (z) = bz n−1 l Y (z − ζj )mj j=2 vỵi b ∈ C∗ Chóng ta s³ chùng minh c¡c gi£ thi¸t cừa hằ quÊ thọa mÂn cĂc giÊ thiát q+1 cừa nh lỵ 3.2.8 Thêt vêy, ta cõ n > 3k + m + = 3k + q − n + 8, dâ n > , v q = n + m > 3k + 2m + = 3k + υ X l X mj + j=2 mj + j=υ+1 ≥ 3k + + 2(υ − 1)(k + 1) + l X mj j=υ+1 = k + + 2υ(k + 1) + l X mj , j=υ+1 Do â, c¡c iÃu kiằn nh lỵ 3.2.1 ữủc thọa mÂn Nhữ vêy, Hằ quÊ 3.2.14 Â ữủc chựng minh 3.3 Kát luên Trong phƯn Ưu cừa chữỡng ny, chúng tổi Â ữa ữủc cĂc bĐt ng thực th hiằn mối quan hằ giỳa hm ám v hm c trững trữớng hủp cĂc hm phƠn 73 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an hẳnh chung mởt hm phƠn hẳnh nhọ tẵnh cÊ (xem nh lỵ 3.1.2) v khổng tẵnh (xem nh lỵ 3.1.5) CĂc kát quÊ ny l m rởng cừa cĂc c trững cừa hm phƠn hẳnh chung mởt giĂ tr (tẵnh cÊ hoc khổng tẵnh bởi) Trữợc Ơy, xem xt cĂc bi toĂn liản quan án hm nhọ, nhiÃu tĂc giÊ thữớng quy vÃ trữớng hủp hơng cõ th Ăp dửng cĂc c trững cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt giĂ tr Tuy nhiản, trữớng hủp ny, cĂc bĐt ng thực s xuĐt hiằn thảm cĂc khổng im v cĂc cüc iºm cõa h m nhä Do â, mët sè t¡c giÊ Â cõ nhỳng tẵnh toĂn sai quĂ trẳnh chùng minh º tr¡nh sai l¦m n y, mët sè t¡c giÊ khĂc lÔi tẳm cĂch thay ời nh nghắa vÃ c¡c h m chung mët h m nhä, ho°c th¶m c¡c i·u ki»n º câ thº tri»t ti¶u c¡c khỉng iºm, cüc iºm cõa h m nhä c¡c b§t ¯ng thùc Viằc chựng minh ữủc cĂc nh lỵ 3.1.2 v nh lỵ 3.1.5 thỹc sỹ cõ ỵ nghắa v cƯn thiát vẳ nhớ õ khổng cƯn quy bi toĂn vÃ trữớng hủp hơng, khổng cƯn phÊi thay ời nh nghắa, v khổng cƯn thảm giÊ thiát vo bi toĂn p dửng nh lỵ 3.1.2 v nh lỵ 3.1.5, phƯn sau cừa chữỡng chúng tổi ữa cĂc kát quÊ vÃ tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh c¡c a thùc vi ph¥n cõa c¡c h m ph¥n hẳnh õ chung mởt hm nhọ tẵnh cÊ (xem nh lỵ 3.2.1, 3.2.4 v 3.2.6) v khổng tẵnh (xem nh lỵ 3.2.8 v 3.2.9) Thảm nỳa, phƯn n y chóng tỉi cơng ÷a c¡c i·u ki»n õ nghiản cựu phữỡng trẳnh hm cõ dÔng Q(f ) = Q(g) + c, â Q l a thùc vợi hằ số trản C v c l hơng số 74 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an K¸t luên cừa luên Ăn Luên Ăn nghiản cựu phƠn bố giĂ tr cừa mởt số dÔng a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản trữớng số phực C v ữa mởt số kát quÊ vÃ sỹ xĂc nh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh õ chung mởt hm nhọ CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn l: ữa mối liản hằ giỳa hm ám cĂc cỹc im cừa mởt hm phƠn hẳnh trản trữớng số phực C v hm ám cĂc khỉng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n hẳnh õ (xem nh lỵ 1.2.1) Ơy l mởt m rởng cừa giÊ thuyát Gol'dberg cho trữớng hủp a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh Kát quÊ cừa Yamanoi l mởt hằ quÊ trỹc tiáp cừa nh lỵ ny (xem H» qu£ 1.2.4) ÷a quan h» sè khuyát cừa mởt a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh v cĂc số phực hỳu hÔn vợi chn trản bơng (xem nh lỵ 2.1.1) Ơy l mởt m rởng cừa giÊ thuyát Mues m gƯn Ơy Â ữủc giÊi quyát hon ton bi Yamanoi Xem xt phƠn bố giĂ tr cừa mởt số dÔng a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh ữa iÃu kiằn vÃ mối liản hằ giỳa bêc, số khổng im phƠn biằt, sè bëi cõa c¡c nghi»m cõa c¡c a thùc v cĐp cừa Ôo hm, tứ õ khng nh rơng cĂc a thực vi phƠn cõ dÔng [Q(f )](k) , Φ = Q0 (f )Q1 (f ) Qk (f (k) ) nhªn méi gi¡ trà húu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn (xem nh lỵ 2.2.1 v nh lỵ 2.2.7) v a thực vi phƠn cõ dÔng P (f ) + Q(f (k) ) cõ vổ số khổng im (xem nh lỵ 2.2.5) ữa cĂc c trững cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm phƠn hẳnh nhọ tẵnh cÊ (xem nh lỵ 3.1.2) v khổng tẵnh (xem nh lỵ 3.1.5) CĂc kát quÊ ny l m rởng cho trữớng hủp cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt giĂ tr Â biát trữợc â C¡c k¸t qu£ n y cơng gióp chóng ta tr¡nh ữủc nhỳng sai lƯm thữớng gp mởt số vĐn Ã liản quan án cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt h m nhä 75 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ữa cĂc iÃu kiằn vÃ bêc cừa a thực v số nghiằm cừa Ôo hm cừa a thực õ tứ õ kát luên vÃ tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh â chung mët h m nhä 76 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C¡c cỉng tr¼nh cỉng bè liản quan án luên Ăn T T H An and N V Phuong, Zeros of differential polynomials of meromorphic functions, Acta Mathematica Vietnamica 47 (2022), 211 - 221 T T H An and N V Phuong, Uniqueness theorems for differential polynomials sharing a small function, Computational Methods and Function Theory 17 (2017), 613 - 634 T T H An and N V Phuong, A Note on Hayman's Conjecture, International Journal of Mathematics Vol 31 (2020), No 06, 2050048 T T H An and N V Phuong, A lemma about meromorphic functions sharing a small function, Computational Methods and Function Theory 22 (2022), No 02, 277 - 286 N V Phuong, Normality and uniqueness property of meromorphic function in terms of some differential polynomials, Vietnam Journal of Mathematics 49 (2021), 1317 - 1332 77 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C¡c k¸t qu£ luên Ăn Â ữủc bĂo cĂo tÔi cĂc hởi ngh: • Hëi nghà nghi¶n cùu sinh cõa Vi»n To¡n håc: 10/2016, 11/2017, 11/2018, 11/2019, 11/2020 v 11/2021 • Hëi nghà Ôi số - Lỵ thuyát số - Hẳnh hồc v Tổ pổ thĂng 12/2019 tÔi B Ra - Vụng Tu ã Seminar Ôi số v Lỵ thuyát số - Viằn To¡n håc 78 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ti liằu tham khÊo Tiáng Viằt [1] TÔ Th Hoi An, VÃ têp xĂc nh nhĐt v a thực nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh, Luên Ăn Tián sắ ToĂn hồc - HSP Vinh, 2001 [2] Nguyạn Th Ngồc Diằp, Phữỡng trẳnh a thực trản trữớng cĂc hm hỳu t v ựng dửng, Luên Ăn Tián sắ ToĂn hồc - HSP Vinh, 2014 [3] H TrƯn Phữỡng, nh lỵ cỡ bÊn thự hai vợi cưt cửt v têp xĂc nh nhĐt, Luên Ăn Tián sắ To¡n håc - Vi»n To¡n håc, 2009 Ti¸ng Anh [4] T T H An and N T N Diep, Genus one factors of curves defined by separated variable polynomials, Journal of Number Theory, 133 (2013), 2616 - 2634 [5] T T H An and N V Phuong, Zeros of differential polynomials of meromorphic functions, Acta Mathematica Vietnamica 47 (2022), 211 - 221 [6] T T H An and N V Phuong, Uniqueness theorems for differential polynomials sharing a small function, Computational Methods and Function Theory 17 (2017), 613 - 634 [7] T T H An and N V Phuong, A Note on Hayman's Conjecture, International Journal of Mathematics Vol 31 (2020), No 06, 2050048 [8] T T H An and N V Phuong, A lemma about meromorphic functions sharing a small function, Computational Methods and Function Theory 22 (2022), No 02, 277 - 286 79 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an [9] T T H An and J T Y Wang, Uniqueness polynomials for complex meromorphic functions, International Journal of Mathematics 13(10) (2002), 1095 - 1115 [10] W Bergweiler and A Eremenko, On the singularities of the inverse to a meromorphic function of finite order, Revista Matem¡tica Iberoamericana 11 (1995), no 2, 355 - 373 [11] S S Bhoosnurmatha and R S Dyavanal, Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions, Computers and Mathematics with Applications 53 (2007), 1191 - 1205 [12] K Boussaf, A Escassut and J Ojeda, Complex meromorphic functions f P (f ), g P (g) sharing a small function, Indagationes Mathematicae 24 (2013), 15 - 41 [13] W Cherry and Z Ye, Nevanlinna's theory of value distribution The second main theorem and its error terms, Springer Monographs in Mathematics Springer-Verlag, Berlin, 2001 xii+201 pp [14] H H Chen and M L Fang, On the value distribution of f n f , Science in China Series A 38 (1995), 789 - 798 [15] W Doeringer, Exceptional values of differential polynomials, Pacific Journal of Mathematics, 98 (1982), no 1, 55 - 62 [16] M Fang and W Hong, A unicity theorem for entire functions concerning differential polynomials, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (9) (2001), 1343 - 1348 [17] M Fang and X H Hua, Entire functions that share one value, J Nanjing Univ Math Biq 13 (1) (1996), 44 - 48 [18] G Frank and G Weissenborn, Rational deficient functions of meromorphic functions, Bull London Math Soc 18 (1986), no 1, 29 - 33 [19] A Gol'dberg and I Ostrovskii, Value Distribution of Meromorphic Functions, Translations of Mathematical Monographs American Mathematical Society, Providence (2008) 80 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an [20] W K Hayman, On the characteristic of functions meromorphic in the plane and of their integrals, Proceedings of the London Mathematical Society 3.1 (1965), 93 - 128 [21] W K Hayman, Picard values of meromorphic functions and their derivatives, Annals of Mathematics 70 (1959), - 42 [22] W K Hayman, Meromorphic Functions, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford, 1964 [23] K Ishizaki, Some remarks on results of Mues about deficiency sums of derivatives, Archiv der Mathematik (Basel) 55 (1990), 374 - 379 [24] Y Jiang and B Huang, A note on the value distribution of f (f (k) )n , Hiroshima Mathematical Journal 46.2 (2016), 135 - 147 [25] J K Langley, The second derivative of a meromorphic function of finite order, Bulletin of the London Mathematical Society 35 (2003), 97 - 108 [26] R J Li, L Qiu and Z X Xuan, Uniqueness of meromorphic functions sharing one small function, Journal of Computational and Applied Mathematics 263 (2014), 225 - 235 [27] W C Lin and H X Yi, Uniqueness theorems for meromorphic functions concerning fixed-points, Complex Variables, Theory and Application: An Interna- tional Journal 49 (11) (2004), 793 - 806 [28] N V Phuong, Normality and uniqueness property of meromorphic function in terms of some differential polynomials, Vietnam Journal of Mathematics 49 (2021), 1317 - 1332 [29] M Ru, Nevanlinna theory and its relation to Diophantine approximation, World Scientific, 2001 [30] Y F Wang, On Mues conjecture and Picard values, Science in China Series A 36, 28 - 35 (1993) [31] J F Xu, F L u and H X Yi, Fixed-points and uniqueness of meromorphic functions, Computers and Mathematics with Applications 59 (2010), -17 81 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an [32] K Yamanoi, The second main theorem for small functions and related problems, Acta mathematica 192 (2004), no 2, 225 - 294 [33] K Yamanoi, Zeros of higher derivatives of meromorphic functions in the complex plane, Proceedings of the London Mathematical Society (3) 106 (2013), 703 - 780 [34] C C Yang, On deficiencies of differential polynomials II, Mathematische Zeitschrift 149 (1972), 107 - 112 [35] C C Yang and X Hua, Uniqueness and value sharing of meromorphic functions, Ann Acad Sci Fenn Math 22 (1997), 395 - 406 [36] L Yang, Precise estimate of total deficiency of meromorphic derivatives, Journal d'Analyse Mathematique 55 (1990), 287 - 296 [37] L Yang and Y F Wang, Drasin's problems and Mues's conjecture, Sci China Ser A 35 (1992), 1180 - 1190 [38] J L Zhang, Uniqueness theorems for entire functions concerning fixed-points, Computers and Mathematics with Applications 56 (2008), 3079 - 3087 [39] J L Zhang and L Z Yang, Some results related to a conjecture of R Bru ¨ck, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics (1) (2007), Art 18 [40] X B Zhang and J F Xu, Uniqueness of meromorphic functions sharing a small function and its applications, Computers and Mathematics with Appli- cations 61 (2011), 722 - 730 Ti¸ng ùc [41] E Mues, Uber eine Defekt-und Verzweigungsrelation f ur die Ableitung meromorpher Funktionen (German), Manuscripta mathematica 5.3 (1971), 275 - 297 [42] E Mues, Uber ein Problem von Hayman (German), Mathematische Zeitschrift 164 (1979), no 3, 239 - 259 82 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn luan an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn