Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2012 z Mục lục Lời cam đoan i Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Toán tử ngẫu nhiên 1.4 Một số kết điểm bất động cho tốn tử tất định Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 12 16 2.1 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị 16 2.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị 28 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên 34 3.1 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị 35 3.2 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đa trị 43 3.3 Điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 48 ii z Kết luận kiến nghị 69 Các kết luận án 69 Những nghiên cứu 69 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 70 Tài liệu tham khảo 71 Chỉ số 81 iii z DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực dương C[a, b] Không gian hàm số liên tục [a, b] L(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên X-giá trị A, F σ-đại số B(X) σ-đại số Borel X A⊗F σ-đại số tích σ-đại số A F 2X Họ tập hợp khác rỗng X C(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng X CB(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng bị chặn X d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B d(A, B) Khoảng cách hai tập hợp khác rỗng A, B H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập hợp đóng A, B Gr(F ) Đồ thị ánh xạ F µ Độ đo Lebesgue P Độ đo xác suất p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất h.c.c Hầu chắn iv z MỞ ĐẦU Phương trình tốn tử ngẫu nhiên hướng nghiên cứu lý thuyết toán tử ngẫu nhiên Đó mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương trình tốn tử tất định Trong vịng 60 năm trở lại đây, hướng nghiên cứu nhận quan tâm nhiều nhà toán học thu nhiều kết Tuy nhiên, phần lớn kết đạt lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên tập trung vào trường hợp riêng lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên Các nghiên cứu định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên khởi đầu O Hans A Spacek năm 1950 (xem [35, 70]) Họ chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, phiên ngẫu nhiên nguyên lý ánh xạ co Banach Sau công trình Spacek Hans, phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động tiếng khác chứng minh Lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên thực tiếp thêm sức mạnh sau đời sách Random integral equations (1972) báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) A T Bharucha-Reid (xem [19, 20]) Nhiều tác giả thành công việc mở rộng kết điểm bất động ngẫu nhiên có chứng minh phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động cho toán tử tất định (chẳng hạn, xem [14, 28, 38, 42, 52, 60, 77]) Vào năm 1990, số tác giả như: H K Xu, K K Tan, X Z Yuan chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, tác giả với số điều kiện đó, quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định tốn tử ngẫu nhiên z có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [15, 71, 77]) Gần đây, số tác N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal đưa số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng kết tác giả trước sở phiên ngẫu nhiên nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định chứng minh (xem [58, 63, 64, 65]) Nếu lớp toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát rộng rãi việc ngẫu nhiên hóa định lý điểm bất động cho tốn tử tất định khơng cịn nhiều thú vị, việc chứng minh tồn điểm bất động toán tử ngẫu nhiên thực trở thành việc chứng minh tồn điểm bất động toán tử tất định Tuy nhiên, điều đáng ý là: Trong định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, điều kiện tác giả đặt lên toán tử ngẫu nhiên không gian thường phức tạp, chí nhiều ta khó tìm ví dụ tốn tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện Khi nghiên cứu phương trình tốn tử ngẫu nhiên, hy vọng đạt kết tương tự trường hợp toán điểm bất động ngẫu nhiên Tức là, đưa điều kiện để phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nghiệm tất định có nghiệm ngẫu nhiên Bằng việc sử dụng kết lý thuyết ánh xạ đa trị, chứng minh với điều kiện: Toán tử ngẫu nhiên đo được, xác định không gian metric khả ly đầy đủ, phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nghiệm tất định với ω phương trình có nghiệm ngẫu nhiên Chú ý điều kiện đo toán tử ngẫu nhiên yếu, chẳng hạn toán tử ngẫu nhiên liên tục thỏa mãn điều kiện Áp dụng kết đạt cho toán điểm bất động ngẫu z nhiên nhận được, mở rộng kết quả Xu, Tan, Yuan, Shahzad, nhận hầu hết định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát có Theo kết mà đạt được, định lý điểm bất động cho tốn tử tất định có phiên tương ứng cho toán tử ngẫu nhiên Toán tử ngẫu nhiên xem ánh xạ biến phần tử không gian metric thành biến ngẫu nhiên Mỗi phần tử không gian metric xem biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị phần tử với xác suất Từ cách quan niệm ta coi không gian metric X tập (gồm biến ngẫu nhiên suy biến) không gian biến ngẫu nhiên X-giá trị LX (Ω) Với f toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X xây dựng X ánh xạ Φ từ LX (Ω) vào L0 (Ω) mà hạn chế Φ X trùng với f f có điểm bất động ngẫu nhiên Φ có điểm bất động Dựa thực tiễn với kết điểm bất động ánh xạ không gian metric xác suất, O Hadzic E Pap có liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất động toán tử ngẫu nhiên (xem [33, 34]) Từ ý tưởng toán mở rộng miền xác định toán tử ngẫu nhiên kết Hadzic Pap, chúng tơi đưa khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, ánh xạ biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric Bước đầu, chứng minh số kết điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên dựa tính tốn túy xác suất mà không sử dụng công cụ lý thuyết không gian metric xác suất Chúng nhận kết tương tự Hadzic Pap z Nội dung luận án liên quan đến kết nghiên cứu phương trình tốn tử ngẫu nhiên điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Luận án gồm chương Chương thống khái niệm trình bày số kết tác giả khác mà sử dụng phần sau luận án Những kết trích dẫn khơng có chứng minh chi tiết Chương trình bày kết nghiên cứu tác giả phương trình tốn tử ngẫu nhiên Nội dung chương định lý tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình tốn tử ngẫu nhiên Chương liên quan đến toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Áp dụng kết phương trình tốn tử ngẫu nhiên cho toán điểm bất động ngẫu nhiên nhận mở rộng số định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên Phiên ngẫu nhiên số định lý điểm bất động cho tốn tử tất định trình bày Trong chương đưa khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên chứng minh số định lý điểm bất động cho tốn tử Luận án hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy quan tâm hướng dẫn bảo suốt nhiều năm qua Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn thầy Khoa Tốn - Cơ Tin học cung cấp nhiều giảng giới thiệu cho tơi nhiều tài liệu bổ ích Tác giả xin cảm ơn thầy Hội đồng cấp sở có nhiều ý kiến đóng góp quý báu z Tác giả xin cảm ơn thành viên seminar Toán tử ngẫu nhiên, tạo điều kiện cho tác giả trình bày giúp tác giả kiểm tra kết nghiên cứu Tôi xin cảm ơn cấp lãnh đạo, đồng nghiệp quan Học viện Kỹ thuật Quân Đoàn 871 Bộ Quốc Phịng tạo điều kiện cho tơi học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, hỗ trợ kinh phí cho chúng tơi q trình nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thành viên đại gia đình, ln động viên, chia sẻ chỗ dựa vững mặt Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2012 Nghiên cứu sinh Tạ Ngọc Ánh z ... KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... tử x ∈ X ánh xạ ω 7→ f (ω, x) biến ngẫu nhiên Y -giá trị Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X gọi toán tử ngẫu nhiên X Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R gọi hàm ngẫu nhiên Với x cố định, f (ω, x) biến ngẫu. .. 1.4 Một số kết điểm bất động cho toán tử tất định Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 12 16 2.1 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị 16 2.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị