Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2023 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Huy Chiêu NGHỆ AN - 2023 luan an LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ “Một số vấn đề giải tích biến phân bậc hai ứng dụng” cơng trình nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Huy Chiêu Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu từ trước đến Tác giả Hà Anh Tuấn luan an LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn - Người đặt toán, định hướng nghiên cứu Thầy dành nhiều công sức, kiên nhẫn, tận tình bảo, dẫn dắt, giảng dạy cho kiến thức, kinh nghiệm tư người làm Tốn Tơi xin cảm ơn Trường đại học Vinh, Khoa Tốn học, phịng Đào tạo Sau đại học, phòng chức Nhà trường, quý thầy Bộ mơn Tốn Giải tích, Hội đồng khoa học Khoa Tốn cho tơi mơi trường học tập nghiên cứu lý tưởng tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Cơ bản, anh chị em bạn bè đồng nghiệp Trường Đại học Giao thông Vận tải TP Hồ Chí Minh Xin chân thành cảm ơn TS Trần Thái An Nghĩa (Đại học Oakland, Mỹ) TS Lê Văn Hiển (Đại học Hà Tĩnh) có trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu đóng góp nhiều ý kiến q báu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Bố Mẹ, cảm ơn anh, chị, em người thân gia đình, người động viên, kiên nhẫn mong đợi kết học tập Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn tới vợ tơi Hồng Yến Huy Hoàng, Bá Dương, người hy sinh nhiều, lo lắng mong mỏi tiến ngày Tôi xin dành tặng luận án cho người mà yêu thương Nghệ An, ngày 10 tháng 03 năm 2022 Tác giả Hà Anh Tuấn luan an MỤC LỤC Mở đầu Chương Một số kết phép tính vi phân suy rộng giải tích biến phân 15 1.1 Các khái niệm tính chất bổ trợ 15 1.2 Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng 26 1.3 Kết luận Chương 59 Chương Điều kiện tăng trưởng bậc hai tính quy mêtric mạnh vi phân 60 2.1 Điều kiện tối ưu cho hàm thường nửa liên tục dựa vào đạo hàm đồ thị gradient 60 2.2 Quan hệ tương đương điều kiện tăng trưởng bậc hai tính quy mêtric mạnh vi phân 76 2.3 Kết luận Chương 92 Chương Điều kiện tối ưu bậc hai cho lớp tốn quy hoạch nón 93 3.1 Điều kiện cần tối ưu bậc hai 93 3.2 Đặc trưng cực tiểu địa phương mạnh 105 luan an 3.3 Kết luận Chương 113 Kết luận chung kiến nghị 114 Danh mục công trình NCS có liên quan đến luận án 116 Tài liệu tham khảo 117 luan an MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN ∃x tồn phần tử x ∀x với phần tử x f :X→Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y gphF đồ thị ánh xạ F : X ⇒ Y domF miền hữu hiệu ánh xạ F : X ⇒ Y rgeF ảnh ánh xạ F : X ⇒ Y Br (x) hình cầu đóng tâm x bán kính r > B hình cầu đơn vị đóng ∇f (x) đạo hàm ánh xạ f x R tập hợp số thực R− tập hợp số thực không dương R+ tập hợp số thực không âm R tập số thực mở rộng R ∪ {±∞} Rn không gian Ơclit thực n chiều Rn+ tập hợp phần tử Rn có tọa độ khơng âm Rn− tập hợp phần tử Rn có tọa độ không dương ∅ tập hợp rỗng x∈X x phần tử không gian X Ω⊂X Ω tập hợp X luan an (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich h., i tích vơ hướng khơng gian Rn k.k chuẩn sinh tích vơ hướng h., i Rn p tức kxk = hx, xi với x ∈ Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A intΩ phần tập hợp Ω convΩ bao lồi tập hợp Ω Ω⊥ phần bù trực giao tập hợp Ω Rn Ωo nón cực Ω Rn clΩ bao đóng tập Ω {xi } dãy phần tử Rn ϕ x → x¯ ϕ(x) → ϕ(¯ x) Ω x → x¯ x → x¯ x ∈ Ω ε↓0 ε → ε ≥ d(x, Ω) khoảng cách Ơclit từ phần tử x đến tập hợp Ω δΓ hàm tập Γ o(t) vô bé bậc cao t o(t2 ) vô bé bậc cao t2 P := Q P định nghĩa Q kết thúc chứng minh lim inf ψ giới hạn hàm số ψ lim sup ψ bΩ (x) N giới hạn hàm số ψ NΩ (x) nón pháp tuyến qua giới hạn tập hợp Ω x TΩ (x) nón tiếp tuyến tập Ω x DF đạo hàm đồ thị ánh xạ F D(∂f ) b ∂f đạo hàm đồ thị gradient hàm f ∂f vi phân qua giới hạn hàm số f ∂p f vi phân gần kề hàm số f σ ·, Ω hàm tựa tập hợp Ω x → x¯ nón pháp tuyến quy tập hợp Ω x vi phân quy hàm số f (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich Λ(x, x∗ ) tập hợp nhân tử Lagrange tương ứng với (x, x∗ ) ΛG (¯ x) tập hợp nhân tử Lagrange mở rộng Λ(x, x∗ ; v) tập hợp nhân tử theo hướng v KΓ (x, x∗ ) nón tới hạn tập hợp Γ (x, x∗ ) Kf (x, x∗ ) nón tới hạn hàm f (x, x∗ ) L(x, λ) hàm Lagrange LG (x, α, λ) hàm Lagrange mở rộng Pu toán tối ưu phụ thuộc vào tham số u Du toán đối ngẫu toán Pu subregF (¯ x|¯ y) mơđun tính quy mêtric ánh xạ F (¯ x, y¯) QG(f, x ¯) mơđun xác điều kiện tăng trưởng bậc hai x ¯ (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MFCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz MSCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc quy mêtric RCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an Dλ (∂p f )(¯ x|p)(u) = z ∃zk ∈ t1k ∂p f (¯ x + tk uk ) − p , với zk → z, (tk , uk ) → (0+ , u), o với λ < r(f,¯x+tk u1k ,p+tk zk ) , ∀k (2.20) Trong đó, r(f, x, p) := inf{r > thỏa mãn bất đẳng thức (2.21)} f (u) ≥ f (x) + hp, u − xi − r ku − xk2 , ∀u (2.21) (ii) Nón tiếp tuyến λ−ổn định gần kề (λ−proximally stable tangent cone) cho λ Tgph (¯ x, p) = {(u, z)| z ∈ Dλ (∂p f )(¯ x|p)(u)} ∂p f = gphDλ (∂p f )(¯ x|p)(·) (iii) Ta nói f ổn định gần kề x¯ p ∈ ∂p f (¯ x) [ λ Tgph (¯ x, p) = Tgph∂p f (¯ x, p) ∂p f λ>0 2.1.10 Bổ đề Giả sử hàm f : Rn → R lồi thường nửa liên tục p ∈ ∂p f (¯ x) Khi đó, hàm f ổn định gần kề x¯ p Chứng minh Do hàm f lồi nên với p ∈ ∂p f (x), x ∈ Rn , ta có f (u) ≥ f (x) + hp, u − xi, ∀u (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich 72 Do đó, (2.21) thỏa mãn, với r > Từ đó, suy r(f, x, p) = 0, ∀p ∈ ∂p f (x), x ∈ Rn Khi đó, với p ∈ ∂p f (x) x ∈ Rn , ta có λ< , ∀λ > r(f, x, p) Theo Định nghĩa 2.1.9 (i), với p ∈ ∂p f (¯ x), ta có n Dλ (∂p f )(¯ x|p)(u) = z ∃zk ∈ t1k ∂p f (¯ x + tk uk ) − p , với zk → z, (tk , uk ) → (0+ , u), o với λ < r(f,¯x+tk u1k ,p+tk zk ) , ∀k n = z ∃zk ∈ tk ∂p f (¯ x + tk uk ) − p, o với zk → z, (tk , uk ) → (0+ , u) = D(∂p f )(¯ x|p)(u) Do đó, theo Định nghĩa 2.1.9 (ii), với λ > 0, ta có λ (¯ x, p) = gphDλ (∂p f )(¯ x|p)(·) Tgph ∂p f = gphD(∂p f )(¯ x|p)(·) = Tgph∂p f (¯ x, p) Từ suy S λ x, p) = λ>0 Tgph∂p f (¯ S x, p) λ>0 Tgph∂p f (¯ = Tgph∂p f (¯ x, p) = Tgph∂p f (¯ x, p) Do vậy, theo Định nghĩa 2.1.9 (iii), hàm f ổn định gần kề x ¯ p ∈ ∂p f (¯ x) (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich 73 2.1.11 Định lý [24, Theorem 71(2)] Cho f : Rn → R hàm nửa liên tục dưới, bị chặn gần kề ∈ ∂p f (¯ x) Giả sử f ổn định gần kề thỏa mãn điều kiện đủ loại hai x ¯ Khi đó, x¯ cực tiểu địa phương mạnh f Định lý 2.1.11 Eberhard Wenczel đưa năm 2009 báo [24], khẳng định f : Rn → R hàm nửa liên tục dưới, bị chặn gần kề ổn định gần kề điều kiện đủ loại hai x ¯ với ∈ ∂p f (¯ x) đảm bảo điều kiện tăng trưởng bậc hai hàm f x ¯ thỏa mãn Tuy nhiên, ví dụ sau khẳng định Định lý 2.1.11 khơng xác 2.1.12 Ví dụ Xét hàm số f : R → R cho x x > αn+1 x + βn+1 αn+1 < x ≤ αn , n = 0, 1, 2, f (x) = (2.22) β x = +∞ x < 0, n X 1 , βn+1 = αn = (n + 1)! k!(k + 2)! k=0 với n = 0, 1, 2, , β0 = 0, β = limn→∞ βn Dễ dàng thấy hàm f lồi thường nửa liên tục dưới, với nghiệm tối ưu toàn cục x ¯ = Suy ra, f hàm bị chặn gần kề Do đó, theo Bổ đề 2.1.10, hàm f ổn định gần kề x ¯ Hơn nữa, tính (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich 74 tốn trực tiếp, ta ∂p f (x) = ∂f (x) {1} [αn+1 , αn ] = {αn+1 } R− ∅ x > x = αn , n = 0, 1, 2, (2.23) αn+1 < x < αn , n = 0, 1, 2, x = x < Đặt K := {(w, z)| ≤ z ≤ w} ∪ {0} × R− Ta có gph ∂p f ⊂ K T := Tgph ∂p f (¯ x, 0) ⊂ TK (¯ x, 0) = K (2.24) Bây giờ, ta chứng minh K ⊂ T Lấy (w, z) với ≥ z ≥ w xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Với (w, z) = (0, 0) Khi đó, rõ ràng (w, z) ∈ T • Trường hợp 2: Với z = < w Chọn tn = αn w Ta có tn ↓ n → ∞ Khi đó, tn w w, = (αn , αn+1 ) ∈ gph ∂p f, ∀n ∈ N∗ n+2 Từ suy w w, → (w, 0) ∈ T n+2 (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich 75 • Trường hợp 3: Với < z ≤ w Cố định k ∈ N thỏa mãn z ≤ k+2 w Đặt tn := αn với n ≥ k w Ta có αn z tn (w, z) = αn , ∈ {αn } × [αn+1 , αn ] ⊂ gph ∂p f w Do đó, {(w, z)| ≤ z ≤ w} ⊂ T Hơn nữa, với z ∈ R− n ∈ N, ta có z ∈ ∂p f (0) với n ∈ N∗ n Điều có nghĩa (0, z) ∈ T hay {0} × R− ⊂ T Như vậy, ta chứng minh K ⊂ T Kết hợp điều với (2.24), ta K = T Mặt khác, ∈ D(∂p f )(¯ x|0)(1), điều chứng tỏ điều kiện đủ loại hai (2.19) thỏa mãn x ¯ với κ = Tuy nhiên, điều kiện (2.11), (2.12) không thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai (2.1) không thỏa mãn x ¯ Điều cho thấy phát biểu Định lý 2.1.11 khơng xác, trường hợp hàm lồi (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich 76 2.2 Quan hệ tương đương điều kiện tăng trưởng bậc hai tính quy mêtric mạnh vi phân Trong phần này, thiết lập số đặc trưng điều kiện tăng trưởng bậc hai cho hàm lồi biến phân lớp hàm biểu diễn dạng tổng hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng hàm liên tục vi phân, quy gần kề khả vi đồ hai lần Đối với lớp hàm này, chứng minh điều kiện tăng trưởng bậc hai tương đương với xác định dương đạo hàm đồ thị gradient tính quy mêtric ánh xạ vi phân 2.2.1 Định nghĩa [39, 46] Hàm số f : Rn → R gọi liên tục vi phân (subdifferentially continuous) x ¯ v¯ v¯ ∈ ∂f (¯ x) với dãy (xk , vk ) → (¯ x, v¯), với vk ∈ ∂f (xk ), ta có f (xk ) → f (¯ x) Khái niệm lớp hàm lồi biến phân sau giới thiệu R T Rockafellar tài liệu [47] 2.2.2 Định nghĩa [47] Cho hàm f : Rn → R thường, nửa liên tục (¯ x, v¯) ∈ gph ∂f Ta nói hàm f lồi biến phân (variationally convex) x ¯ v¯ tồn lân cận X × V (¯ x, v¯) hàm lồi nửa liên tục fˆ ≤ f X ε > cho [Xε × V ] ∩ gph ∂f = [X × V ] ∩ gph ∂ fˆ f (x) = fˆ(x) với x ∈ ΠX [Xε × V ] ∩ gph ∂f , Xε := {x ∈ X|f (x) < f (¯ x) + ε} ΠX : Rn × Rn → Rn ánh xạ cho ΠX (x, v) = x, với x ∈ Rn v ∈ Rn Lớp hàm lồi biến phân chứa lớp hàm lồi Tuy nhiên, lớp hàm gồm hàm khơng lồi [47, 48] Lưu ý tính lồi biến phân (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich 77 kéo theo tính quy gần kề tính liên tục vi phân hàm số [47, Theorem 1] Để đến kết phần này, chúng tơi cần kết bổ trợ sau 2.2.3 Bổ đề [46, Theorem 13.40] Giả sử hàm f : Rn → R quy gần kề, liên tục vi phân khả vi đồ thị hai lần x ¯ v¯ ∈ ∂f (¯ x) Khi đó, ta có x|¯ v ) D(∂f )(¯ x|¯ v ) = ∂h với h = d2 f (¯ (2.25) 2.2.4 Bổ đề [46, Theorem 13.24] Giả sử f : Rn → R hàm thường x ¯ ∈ Rn Khi đó, x¯ cực tiểu địa phương mạnh f ∈ ∂f (¯ x) d2 f (¯ x|0)(w) > 0, với w 6= 2.2.5 Bổ đề Giả sử h : Rn → R hàm thường dương bậc hai theo nghĩa h(λw) = λ2 h(w), với λ > w ∈ dom h Khi đó, với w ∈ dom h z ∈ ∂h(w), ta có hz, wi = 2h(w) Chứng minh Giả sử w ∈ dom h Lấy z ∈ ∂h(w) Khi đó, theo (1.3) (1.4), tồn dãy {wk } ⊂ dom h, zk ∈ ∂p h(wk ) εk , rk > 0, cho wk → w, h(wk ) → h(w), zk → z Ta có h(u) − h(wk ) ≥ hzk , u − wk i − rk ku − wk k2 , ∀u ∈ Bεk (wk ) Chọn u = λwk ∈ Bεk (wk ), < λ kwk k · |λ − 1| < εk Sử dụng bất đẳng thức tính dương bậc hai h, ta thu (λ2 − 1)h(wk ) = h(λwk ) − h(wk ) ≥ hzk , (λ − 1)wk i − rk (λ − 1)2 kwk k2 (Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich(Luan.an.tien.si).mot.so.van.de.trong.giai.tich.bien.phan.bac.hai.va.ung.dung.chuyen.nganh.toan.giai.tich luan an (2.26)
Ngày đăng: 30/12/2023, 05:15
Xem thêm:
