Thông tin tài liệu
VIN HN L
M KHOA HÅC V CỈNG NGH VIT NAM VIN TON HÅC NGUYN VIT PH×ÌNG MËT SÈ VN CÕA LÞ THUYT NEVANLINNA V ÙNG DƯNG CHO A THÙC VI PH
N LUN N TIN S TON HÅC H Nëi - 2022 VIN HN L
M KHOA HÅC V CỈNG NGH VIT NAM VIN TON HÅC NGUYN VIT PH×ÌNG MËT SÈ VN CÕA LÞ THUYT NEVANLINNA V ÙNG DƯNG CHO A THC VI PHN Chuyản ngnh: ToĂn giÊi tẵch M sè: 46 01 02 LUN N TIN S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TSKH TÔ Th Hoi An H Nëi - 2022 Líi cam oan Tỉi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH TÔ Th Hoi An CĂc kát quÊ luên Ăn viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ ữủc nảu luên Ăn l trung thỹc v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt ký cổng trẳnh no khĂc TĂc giÊ Nguyạn Viằt Phữỡng i Lới cÊm ỡn Luên Ăn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH TÔ Th Hoi An, mởt nh giĂo mău mỹc, nh khoa hồc tên tƠm  khổng ch nh hữợng v dẳu dưt tĂc giÊ trản ữớng nghiản cựu, m cỏn luổn quan tƠm v dÔy bÊo cho tĂc giÊ nhỳng bi hồc quỵ giĂ cuởc sống Lới Ưu tiản, tĂc giÊ xin ữủc php by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt án ngữới cổ Ăng kẵnh TĂc giÊ xin ữủc trƠn trồng cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Viằn ToĂn hồc - Viằn Hn l¥m Khoa håc v Cỉng ngh» Vi»t Nam, Trung t¥m o tÔo sau Ôi hồc, cĂc chực nông v c¡c nh khoa håc cõa Vi»n To¡n håc ¢ gióp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi nhĐt cho tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Viằn TĂc giÊ cụng xin trƠn trồng cÊm ỡn Ôi số v Lỵ thuyát số  tÔo iÃu kiằn thuên lđi º t¡c gi£ ÷đc tham gia c¡c bi sinh hoÔt khoa hồc cừa liản TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Kinh tá v QuÊn tr Kinh doanh - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Khoa Khoa hồc cỡ bÊn v cĂc thƯy cổ giĂo Bở mổn ToĂn  luổn ởng viản v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ hon thnh ữủc luên Ăn ny NhƠn dp ny tĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi PGS TS H TrƯn Phữỡng  dnh cho tĂc giÊ nhỳng tẳnh cÊm v sỹ ởng viản giúp ù quỵ bĂu Cuối cũng, xin dnh mõn qu tinh thƯn ny dƠng tng Bố, Mà, cĂc anh ch em Ôi gia ẳnh thƠn yảu, tng ngữới vủ hiÃn yảu dĐu, nhỳng ngữới  chu nhiÃu khõ khôn v dnh hát nhỳng tẳnh cÊm yảu thữỡng, ởng viản tĂc giÊ hon thnh kát quÊ nghiản cựu cừa mẳnh TĂc giÊ Nguyạn Viằt Phữỡng ii Mưc lưc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Mð ¦u Khỉng iºm cõa c¡c a thùc vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 1.1 Mởt số kián thực chu©n bà 7 1.1.1 Lỵ thuyát Nevanlinna cờ in 1.1.2 Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi 12 1.2 ìợc lữủng khổng im cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 15 1.3 Kát luên 20 Ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n hẳnh 22 2.1 Quan hằ số khuyát cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 23 2.2 Mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho mởt số dÔng a thực vi phƠn 26 2.3 Kát luên 37 T½nh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä 39 3.1 CĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ 39 3.2 C¡c a thùc vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ 52 3.3 Kát luên 73 Kát luên cừa luên Ăn Ti liằu tham khÊo 75 79 iii M Ưu nh lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số nõi rơng mởt a thực bêc n trản trữớng số phực C cõ úng n khổng im Vo nhỳng nôm cuối cừa thá k 18 Ưu thá k 19, c¡c nh to¡n håc ¢ ph¡t triºn nhúng kát quÊ Ôt ữủc và sỹ phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a thực lản ối tữủng l cĂc hm nguy¶n m°t ph¯ng phùc Trong thíi gian n y, Borel  thnh cổng viằc kát hủp v cÊi tián c¡c k¸t qu£ cõa Picard, Poincar² v Hadamard cho c¡c hm nguyản v lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr bưt Ưu hẳnh thnh Lỵ thuyát ny nghiản cựu mêt ở cừa cĂc im m tÔi õ hm phƠn hẳnh nhên mët gi¡ trà cư thº Mët âng gâp nêi bªt cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cho cĂc hm phƠn hẳnh  ữủc nh toĂn hồc ngữới PhƯn Lan Rolf Nevanlinna ữa Sau ny, cĂc kát quÊ õ  gưn liÃn vợi tản tuời cừa v thữớng ữủc nhưc án vợi tản gồi Lỵ thuyát Nevanlinna Sỹ ới cừa lỵ thuyát ny ữủc Ănh giĂ l mởt nhỳng thnh tỹu àp v sƠu sưc nhĐt ngnh giÊi tẵch phực v ngy cng cõ nhi·u ùng dưng nhúng l¾nh vüc kh¡c cõa toĂn hồc, chng hÔn nhữ lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, lỵ thuyát hồ chuân tưc, hẳnh hồc phực v lỵ thuyát số, TrÊi qua gƯn mởt trôm nôm, hữợng nghiản cựu  ữủc phĂt trin rĐt mÔnh m v  chựng kián sỹ õng gõp to lợn cừa cĂc nh toĂn hồc nữợc ngoi nhữ Gol'dberg, Ostrovskii, Ahlfors, Shimizu, Drasin, Hayman, Bergweiler, Langley, Ru, Vojta, Yamanoi, v c¡c nh toĂn hồc nữợc nhữ L V Thiảm, H H Kho¡i, Th¡i, S Quang, T V TĐn, T T H An, Tuy nhiản, vợi tƯm quan trồng giÊi tẵch phực, hữợng nghiản cựu ny văn ang tiáp tửc thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa c¡c nh to¡n håc Mưc ti¶u cõa c¡c nh to¡n hồc l ữa cĂc bĐt ng thực giỳa hm ám, hm xĐp x v hm c trững cừa hm phƠn hẳnh, thổng qua cĂc bĐt ng thực õ cõ thº xem x²t sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c hm phƠn hẳnh v tẳm cĂc ựng dửng cừa cĂc kát quÊ õ Bi toĂn quan trồng lỵ thuyát n y l nghi¶n cùu mèi quan h» giúa c¡c khỉng im, cỹc im cừa mởt hm v Ôo hm cừa hm õ Nôm 1922, Põlya [43]  chựng mẳnh rơng náu hm phƠn hẳnh f cõ ẵt nhĐt hai cỹc im thẳ vợi mội số nguyản dữỡng k ừ lợn, Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh õ cõ ẵt nhĐt mởt khổng im Liản quan tợi kát quÊ õ, Gol'dberg [19]  t giÊ thuyát sau: Cho f l mởt hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C v k ≥ l mët sè nguy¶n Khi â, ta câ N (r, f ) ≤ N r, f (k) + o(T (r, f )), r → ∞ ngo i mët tªp câ ë o húu hÔn, õ T (r, f ) l hm c trững Nevanlinna, N (r, f ) l hm ám c¡c cüc iºm khỉng t½nh bëi cõa f v N r, f (k) l h m ¸m c¡c khỉng iºm cừa Ôo hm cĐp k cừa hm f tẵnh cÊ GiÊ thuyát cừa Gol'dberg ch úng vợi cĂc Ôo hm cõ cĐp ẵt nhĐt l hai, xt v½ dư ìn gi£n l h m f (z) = tan z , â h m f câ væ sè cüc im Ôo hm cĐp mởt f khổng cõ khổng im Nôm 1986, Frank v Weissenborn [18]  chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg bơng phữỡng phĂp Wronskian ối vợi trữớng hủp hm phƠn hẳnh f ch cõ cĂc cüc iºm ìn Sau â, Langley [25] ¢ chùng minh rơng náu f l mởt hm phƠn hẳnh cĐp hỳu hÔn thọa mÂn iÃu kiằn Ôo hm cĐp hai f 00 cõ hỳu hÔn khổng im thẳ f cõ hỳu hÔn cỹc im Nôm 2013, bơng viằc xƠy dỹng hm xĐp x hiằu chnh v ữa cĂc chn cho hm xĐp x õ, Yamanoi [33]  tÔo mởt bữợc ởt phĂ lỵ thuyát Nevanlinna vợi chựng minh hon ton giÊ thuyát Gol'dberg v thêm chẵ kát quÊ cừa ữa cỏn mÔnh hỡn giÊ thuyát ban Ưu Viằc chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg cõ ỵ nghắa rĐt lợn lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr, nõ  giúp cho cĂc nh toĂn hồc vữủt qua nhiÃu khõ khôn viằc giÊi quyát cĂc bi toĂn quan trồng cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cừa cĂc hm phƠn hẳnh GiÊ sỷ f l mởt hm phƠn hẳnh trản C v a C Kẵ hiằu (a, f ) = lim inf r→∞ m r, f −a = − lim sup T (r, f ) N r, f −a r→∞ T (r, f ) l sè khuy¸t Nevanlinna cõa h m f v Θ(a, f ) = − lim sup r→∞ N r, f −a T (r, f ) l phƠn nhĂnh ton phƯn cừa f Tứ cĂc nh nghắa trản, dng thu ữủc cĂc chn sau: ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) ≤ Mt khĂc, nh lỵ cỡ bÊn thự hai cừa Nevanlinna cho chóng ta th§y têng t§t c£ c¡c sè khuyát cừa mởt hm phƠn hẳnh luổn b chn trản bi v Ơy l b chn tốt nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh xt trữớng hủp tờng quĂt Tuy nhiản, ối vợi mởt số lợp hm hàp hỡn, chn trản ny cõ th ữủc giÊm xuống Thêt vêy, vợi ỵ rơng tĐt cÊ cĂc cỹc im cừa Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh f Ãu cõ ẵt nhĐt l k + 1, Hayman [21]  ch rơng, vợi mồi k N, X Θ(a, f (k) ) ≤ + a∈C k+1 Nôm 1971, Mues [41]  chựng minh dĐu bơng bĐt ng thực trản xÊy f l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati vợi cĂc hằ số hơng iÃu õ chựng tọ bĐt ng thực trản cừa Hayman l tốt nhĐt Khi thay phƠn nhĂnh ton phƯn (a, f (k) ) bi số khuyát (a, f (k) ) bĐt ng thực trản thẳ chn trản thu ữủc cõ th l mởt số nhä hìn thüc sü Cư thº, Mues ¢ chùng minh r¬ng X δ(a, f (k) ) ≤ a∈C k + 5k + < + k + 4k + k+1 vỵi måi k ∈ N Ngoi ra,  t giÊ thuyát rơng chn trản õ phÊi l 1, v  chựng minh ữủc giÊ thuyát õ vợi k v hm phƠn hẳnh f cõ ẵt cỹc im Nôm 1990, Yang [36] v Ishizaki [23]  ởc lêp ữa mởt chn trản tốt hỡn cho tờng số khuyát cừa Ôo hm cừa hm phƠn hẳnh l 2k+2 2k+1 án nôm 1992, Yang v Wang [37]  chựng minh giÊ thuyát Mues úng vợi mồi k K(f ), vợi K(f ) l mởt số nguyản dữỡng ch phử thuởc vo hm f Sau õ, giÊ thuyát ny  ữủc Wang [30] chựng minh l úng vợi mồi k 0, ngoÔi trứ nhiÃu nhĐt bốn giĂ tr cừa k Chẳa khõa cĂc chựng minh ữủc ữa bði c¡c t¡c gi£ ð tr¶n ·u câ mët iºm chung â l hå cè gng t¼m mèi liản hằ giỳa số cỹc im cừa hm phƠn hẳnh v số khổng im cừa Ôo hm cừa hm phƠn hẳnh õ dÔng yáu hỡn giÊ thuyát Gol'dberg Nôm 2013, Yamanoi [33]  chựng minh thnh cổng giÊ thuyát Gol'dberg, v tứ õ thu ữủc giÊ thuyát Mues nhữ mởt hằ quÊ VĐn à tỹ nhiản ữủc t â l têng qu¡t gi£ thuy¸t Gol'dberg v gi£ thuyát Mues theo hữợng nhữ sau: 1) Tẳm mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa mởt hm phƠn hẳnh v sè khỉng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa hm phƠn hẳnh õ 2) Tẳm quan hằ số khuyát cừa a thực vi phƠn cừa mởt hm phƠn hẳnh Liản quan án vĐn à thự hai trản, Jiang v Huang [24] ¢ x²t cho c¡c ìn thùc vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh f cõ dÔng f l (f (k) )n , â l, n, k l cĂc số nguyản lợn hỡn Hồ  nhên ữủc chn trản cho tờng cĂc số khuyát cừa ỡn thực vi ph¥n n y l + nk+n+l Tuy nhiản, chn ny cõ th ữủc lm tốt hỡn, Ơy l mởt nhỳng mửc tiảu cừa luên vôn ny Ta nâi r¬ng mët gi¡ trà a ∈ C l mởt giĂ tr Picard cừa hm phƠn hẳnh f náu f a khổng cõ khổng im nh lỵ Picard ch rơng mởt hm phƠn hẳnh khĂc hơng ch¿ câ thº câ nhi·u nh§t hai gi¡ trà Picard hỳu hÔn Nôm 1959, Hayman  chựng minh rơng Ôo hm cĐp k (k 1) cừa mởt hm phƠn hẳnh bĐt ký cõ th cõ nhiÃu nhĐt mởt giĂ tr Picard hỳu hÔn ối vợi trữớng hủp hm nguyản, kát quÊ cừa Milloux [22] ch rơng náu mởt h m nguy¶n si¶u vi»t câ mët gi¡ trà Picard húu hÔn thẳ cĂc Ôo hm cừa nõ nhên mội giĂ tr hỳu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn Kát quÊ ny sau õ ữủc m rởng cho hm phƠn hẳnh siảu viằt bi Hayman [21] Mởt im hÔn chá cĂc kát quÊ trản õ l yảu cƯu hm phƠn hẳnh cõ giĂ tr Picard hỳu hÔn Mởt cƠu họi tỹ nhiản ữủc t l liằu giÊ thiát và sỹ tỗn tÔi cừa giĂ tr Picard cõ th bọ i hay khổng náu ta xem xt mởt lợp hm phƠn hẳnh no õ? Liản quan án vĐn à ny, Hayman [21]  chựng minh rơng: Cho f l mởt hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C v n l mët sè nguy¶n Khi â, f n f nhên mội giĂ tr hỳu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn ặng giÊ thuyát rơng kát quÊ ny úng vợi mồi n Nôm 1979, Mues [42]  ÷a chùng minh cho tr÷íng hđp n = án nôm 1995, Bergweiler v Eremenko [10] v Chen v Fang [14]  ữa chựng minh cho trữớng hủp n = Thay cho vi»c ch¿ x²t b i to¡n cho ỡn thực vi phƠn, Hayman [21]  ữa cƠu họi: Náu f l hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C, n v a 6= thẳ ϕ = f − af n nhªn méi gi¡ tr hỳu hÔn vổ số lƯn? ặng  chựng minh ữủc rơng khng nh õ úng n v cụng ữa cĂc phÊn vẵ dử ch rơng khng nh trản khổng úng n = v n = Tuy nhiản, Mues [42]  ữa cĂc phÊn vẵ dử ch rơng kh¯ng ành â khỉng óng vỵi n = 3, bơng viằc xt hm f l nghiằm khĂc hơng bĐt ký cừa phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati w0 = (1 + 2η)(w + 1)(w + η) (vỵi η = e2πi/3 ) cho trữớng hủp n = v phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati w0 = 2(w2 + 1) cho trữớng hủp n = Nôm 1982, Doringer [15]  chựng minh rơng kát quÊ trản ữủc thọa mÂn náu thay ϕ = f − af n bði ϕ = f (k) − af n n ≥ k + Mửc tiảu tiáp theo ữủc chúng tổi nghiản cựu luên Ăn ny õ l: Xem xt phƠn bố gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n têng qu¡t hìn Thổng thữớng vợi mội kát quÊ trản lỵ thuyát ph¥n bè gi¡ trà, chóng ta hy vång câ mët kát quÊ tữỡng ựng và sỹ xĂc nh nhĐt cừa cĂc hm Nôm 1996, Fang v Hua [17]  xem x²t sü x¡c ành nh§t cõa c¡c h m nguyản f thổng qua Ênh ngữủc cừa a thực vi phƠn f f n Sau õ, kát quÊ n y ÷đc Yang v Hua [35] mð rëng cho tr÷íng hủp cĂc hm phƠn hẳnh Bi toĂn cho a thực vi phƠn cĐp mởt f f n (f 1) ÷đc chùng minh bði Fang v Hong [16] f l h m nguy¶n v bði Lin v Yi [27] f l hm phƠn hẳnh Nôm 2013, Boussaf v cĂc ỗng nghiằp [12]  xt bi toĂn cho trữớng hủp tờng quĂt hỡn bơng viằc ữa cĂc iÃu ki»n th½ch hđp v· sè bëi cõa c¡c khỉng iºm cừa Ôo hm cừa a thực Q(z) cho vợi hai hm phƠn hẳnh f v g , náu (Q(f ))0 v (Q(g))0 chung mët h m nhä α t½nh c£ thẳ f = g Bản cÔnh õ mởt số tĂc giÊ khĂc chng hÔn nhữ: Bhoosnurmatha v Dyavanal [11], Zang [38], Xu ỗng nghiằp [31],  xt cho trữớng hủp a thực vi phƠn cĐp cao hỡn Chú ỵ rơng cĂc kát quÊ trản Ãu xt a thực vi phƠn cõ dÔng [f n P (f )](k) v kát luên rơng náu f v g l cĂc hm phƠn hẳnh thọa mÂn [f n P (f )](k) − α v [g n P (g)](k) − α chung khỉng iºm, vỵi α l h m nhä v n l số nguyản dữỡng ừ lợn, thẳ f = g Tuy nhiản, chúng tổi nhên thĐy cõ mởt số hÔn chá liản quan án cĂc kát quÊ ny Cử th, c¡c t¡c gi£ ch¿ x²t c¡c a thùc câ ½t nh§t mët khỉng iºm c§p õ cao v c¡c h m nhọ phÊi cõ hỳu hÔn khổng im v cỹc im Vẳ vêy, mửc tiảu tiáp theo cừa chúng tổi l xt bi toĂn trản cho cĂc biu diạn tờng qu¡t hìn v bä qua i·u ki»n v· t½nh húu hÔn cừa cĂc khổng im v cỹc im cừa hm nhọ ỗng thới, chúng tổi cụng ữa cĂc kát quÊ trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn chung mởt hm nhọ khổng tẵnh Luên Ăn ữủc chia thnh ba chữỡng vợi phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng 1, ngoi phƯn Ưu dnh cho viằc trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn ữủc dũng luên Ăn, chúng tổi ữa c¡c k¸t qu£ v· c¡c khỉng iºm cõa a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh ( nh lỵ 1.2.1) nh lỵ ny ữa mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa mởt hm phƠn hẳnh v số khỉng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n hẳnh õ Nhữ mởt hằ quÊ cừa nh lỵ 1.2.1 chúng tổi thu ữủc kát quÊ cừa Yamanoi trữớng hđp °c bi»t v mð rëng gi£ thuy¸t Gol'dberg K¸t quÊ nghiản cựu cừa chúng tổi chữỡng ny dỹa vo bi bĂo [5] Chữỡng dnh cho viằc nghiản cùu ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c a thùc vi phƠn PhƯn Ưu cừa chữỡng ữa quan hằ số khuyát cho a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh ( nh lỵ 2.1.1) nh lỵ ny l mởt ựng dửng trỹc tiáp cừa nh lỵ 1.2.1 Chữỡng v ỗng thới cụng cho ta mởt dÔng tờng quĂt hỡn cừa giÊ thuyát Mues cho a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh PhƯn cuối cừa chữỡng ny ữủc dnh cho viằc nghiản cựu phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh Trong phƯn ny, cĂc nh lỵ 2.2.1, 2.2.5 v 2.2.7 l c¡c mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho c¡c a thực vi phƠn tờng quĂt hỡn Chữỡng ữủc trẳnh b y düa v o c¡c b i b¡o [5, 7] Ch÷ìng trẳnh by cĂc kát quÊ và tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn chung mởt hm nhọ PhƯn Ưu cừa chữỡng ữa cĂc c trững cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ cĂc trữớng hủp tẵnh cÊ v khổng tẵnh ( nh lỵ 3.1.2, nh lỵ 3.1.4 v nh lỵ 3.1.5) PhƯn cuối cừa chữỡng ữa cĂc ựng dửng cừa cĂc nh lỵ phƯn Ưu cho viằc nghiản cựu tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi Do â, q > 4k + 12 + υ(5k + 2) + Pl i=υ+1 mi ta cõ mƠu thuăn vợi giÊ thiát và cĂc hm f v g Nhữ vêy, nh lỵ 3.2.8 ữủc chựng minh Kát luên (ii) nh lỵ 3.2.8 cõ th ữủc bọ i náu ta bờ sung thảm cĂc rng buởc v· sè khỉng iºm bëi cõa Q0 (z) ho°c n¸u thảm giÊ thiát f v g chung cỹc im khổng tẵnh nh lỵ 3.2.9 Cho f v g l cĂc hm phƠn hẳnh khĂc hơng, v l mởt hm phƠn hẳnh khĂc khổng, nhọ so vợi f GiÊ sû [Q(f )](k) v [Q(g)](k) chung α khỉng t½nh bëi Gi£ sû r¬ng q > 4k + 12 + υ(5k + 2) + Pl i=υ+1 mi v mët c¡c i·u ki»n sau 3m1 −2k+3 , v q 6= 3mi 2k + 3, vợi mồi thọa mÂn (i) h ≥ 4; (ii) h = v q 6= 2m1 − 2k + 2, q 6= i = 1, 2, 3; ho°c (iii) h = v f v g chung ∞ khỉng t½nh bëi Khi â, ta cõ Q(f ) = Q(g) + c, vợi hơng số c no õ Chựng minh nh lỵ 3.2.9 ữủc suy tứ nh lỵ 3.2.8 v Bờ à 3.2.5 Chú þ 3.2.10 Mët a thùc Q ∈ C[z] ÷đc gåi l mởt a thực nhĐt cho mởt lợp hm F náu vợi hai hm f, g F bĐt ký thäa m¢n Q(f ) = Q(g) k²o theo f = g Trong cĂc kát quÊ trản ta cõ th suy ữủc Q(f ) = Q(g) vợi cĂc iÃu kiằn thẵch hủp Do õ, náu xt Q l mởt a thực nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh thẳ cõ th kát luên rơng f = g Kát quÊ tiáp theo chúng tổi s nghiản cựu trữớng hủp Q(f ) = Q(g) + c cĂc nh lỵ trản Trữợc tiản, chúng tổi nhưc lÔi nh nghắa sau Ơy nh nghắa 3.2.11 a thực Q(z) C[z] ữủc gồi l thọa mÂn GiÊ thiát I náu Q(i ) 6= Q(ζj ) vỵi i 6= j; i, j = 1, 2, , l, â ζ1 , , ζl l c¡c khỉng iºm ph¥n bi»t cõa Q0 (z) 69 Khi c¡c a thùc P v Q thọa mÂn GiÊ thiát I v cõ bªc, T T H An v N T N Di»p [4, nh lỵ 4]  ữa mởt iÃu kiằn cƯn v ừ ữớng cong xĂc nh bi phữỡng tr¼nh P (x) − Q(y) = khỉng câ c¡c thnh phƯn bĐt khÊ quy giống hoc Kát quÊ cừa hồ nhữ sau nh lỵ 3.2.12 ([4]) Cho P v Q l c¡c a thùc cịng bªc n thọa mÂn GiÊ thiát I Gồi , αl l c¡c khỉng iºm ph¥n bi»t cõa P (x) vợi cĂc tữỡng ựng l p1 , , pl v β1 , , βh l c¡c khỉng iºm ph¥n bi»t cõa Q0 (x) vợi cĂc tữỡng ựng l q1 , qh Khi â, ÷íng cong P (x) Q(y) cõ thnh phƯn bĐt khÊ quy cõ gièng ho°c v ch¿ P v Q thäa m¢n mët c¡c i·u ki»n sau (1) P (x) Q(y) cõ nhƠn tỷ tuyán tẵnh (2) n = ho°c n = (3) n = v tỗn tÔi ẵt nhĐt hai ch số i cho P (αi ) = Q(βi ) ho°c ch¿ tỗn tÔi mởt ch số i cho P (i ) = Q(βi ) v |pi − qi | = (4) n = p1 + 1, l = 1, h = 2, p1 = q1 + 1, q2 = v P (α1 ) = Q(β1 ); ho°c n = p1 + 2, l = 2, h = 1, q1 = p1 + 1, p2 = v P (α1 ) = Q(β1 ) (5) l = h = 2, p2 = q2 = 1, p1 = q1 , n = p1 + v P (α1 ) = Q(β1 ) (6) n = 5, l0 = l = h = 3, p3 = q3 = p2 = q2 = 1, p1 = q1 = v P (αi ) = Q(βi ) vỵi i = 1, 2, 3, õ l0 l số phƯn tỷ cừa têp A0 := {(i, j)|1 ≤ i ≤ l, ≤ j ≤ h, P (αi ) = Q(αj )} (7) n = 5, l0 = l = h = 2, pi = qi = 2, P (αi ) = Q(βi ) vỵi i = 1, Sû dưng c¡c i·u ki»n  ữủc ữa nh lỵ trản, chúng tổi cõ th ữa cĂc iÃu kiằn ừ nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Q(f ) = Q(g) + c Kát quÊ cừa chúng tổi ữủc phĂt biu nhữ sau 70 nh lỵ 3.2.13 Cho f v g l cĂc hm phƠn hẳnh khĂc hơng, Q(z) l mởt a thực bêc ẵt nhĐt GiÊ sỷ Q(f ) = Q(g) + c vợi hơng số c no õ Khi õ, ta cõ cĂc khng nh sau (i) Náu tỗn tÔi i (1 ≤ i ≤ l) cho mi > q+1 , thẳ c = (ii) Náu Q(z) thọa mÂn GiÊ thiát I thẳ f = g , ngoÔi trứ trữớng hủp Q(z) = (z )m1 (z ) Chựng minh nh lỵ 3.2.13 (i) Trong trữớng hủp ny, tỗn tÔi i, (1 i ≤ l), cho ζi l mët khæng iºm cõa Q0 (z) vỵi bëi mi > q+1 Do â, ta câ thº vi¸t Q(z) − Q(ζi ) = (z − ζi )mi +1 R(z), (3.51) â R(z) l mët a thùc bªc q − mi − v R(ζi ) 6= Ta câ Q(f ) = Q(g) + c, (3.52) T (r, f ) = T (r, g) + O(1), (3.53) (f − ζi )mi +1 R(f ) = Q(g) − Q(ζi ) + c (3.54) suy v Gi£ sû c 6= 0, â tứ (3.51), (3.53), (3.54) v nh lỵ cỡ bÊn thự hai ¡p döng cho h m Q(g) − Q(ζi ) + c vỵi c¡c gi¡ trà 0, −c, ∞, ta câ 1 ) + N (r, ) + N (r, g) + o(T (r, g)) Q(g) − Q(ζi ) + c Q(g) − Q(ζi ) 1 1 ≤ N (r, ) + N (r, ) + N (r, ) + N (r, ) f − ζi R(f ) g − ζi R(g) + N (r, g) + o(T (r, g)) qT (r, g) ≤ N (r, ≤ (2q − 2mi + 1)T (r, g) + o(T (r, g)) Do â, (2mi − q − 1)T (r, g) ≤ o(T (r, g)), 71 iÃu ny mƠu thuăn vợi giÊ thi¸t mi > q+1 Tø â, suy c = Nhữ vêy, khng nh (i) ữủc chựng minh (ii) Vẳ giÊ thiát q nản ta ch¿ ph£i x²t c¡c Tr÷íng hđp v nh lỵ 3.2.12 Trữợc hát xt Trữớng hủp cừa nh lỵ 3.2.12 Vẳ Fc (X, X) = Q(X) − Q(X) − c = −c, n¶n X − Y l mởt nhƠn tỷ tuyán tẵnh cừa Fc (X, Y ) c = Gi£ sû Y − rX s l mởt nhƠn tỷ tuyán tẵnh cừa Fc (X, Y ) vỵi (r, s) 6= (1, 0) Khi â r 6= v (3.55) Q(X) = Q(rX + s) + c Do â, ta câ 0 Q (X) = rQ (rX + s) = r l Y (rX + s − αi )mi i=1 Do tẵnh nhĐt cừa têp nghiằm cừa mởt a thực nản tỗn tÔi mởt hoĂn v cừa {1, , l} cho αi −s r = ατ (i) Tø (3.55) ta câ Q(ατ (i) ) = Q(rατ (i) + s) + c = Q(αi ) + c, vỵi ≤ i ≤ l Tø ¯ng thực trản v ỵ rơng l X i=1 Q( (i) ) = l X Pl i=1 Q(ατ (i) ) Q(αi ) + lc = i=1 l X = Pl i=1 Q(αi ), ta câ Q(αi ) i=1 Tø â suy c = B¥y gií chóng ta x²t Trữớng hủp cừa nh lỵ 3.2.12 Trong trữớng hủp n y, ta câ Q(ζ1 ) = Q(ζ1 ) + c Suy c = Nhữ vêy, tĐt cÊ c¡c tr÷íng hđp chóng ta ·u câ c = Mt khĂc, náu c = thẳ tứ giÊ thiát q v nh lỵ [9], ta câ f = g n¸u v ch¿ n¸u l ≥ 2, trø tr÷íng hđp Q0 (z) = b(z − )m1 (z ) Nhữ vêy, nh lỵ ÷đc chùng minh 72 °c bi»t, x²t a thùc cõ dÔng Q(z) = z n P (z), thu ữủc cĂc kát quÊ Â biát [40, nh lỵ 1] nhữ sau Hằ quÊ 3.2.14 ( nh lỵ 1, [40]) Cho f v g l cĂc hm phƠn hẳnh khĂc hơng, l mởt hm phƠn hẳnh khĂc khổng nhä so vỵi f v P l mët a thùc bªc m Gi£ sû [f n P (f )](k) v [g n P (g)](k) chung tẵnh cÊ Náu n > 3k + m + th¼ mët cĂc trữớng hủp sau thọa mÂn (i) f n P (f ) = g n P (g); ho°c (ii) [f n P (f )](k) [f n P (f )](k) = α2 Chùng minh °t Q(z) := z n P (z) v q := deg Q = n + m Gi£ sû Q (z) = bz n−1 l Y (z − ζj )mj j=2 vỵi b ∈ C∗ Chóng ta s³ chùng minh c¡c gi£ thi¸t cõa h» quÊ thọa mÂn cĂc giÊ thiát q+1 cừa nh lỵ 3.2.8 Thªt vªy, ta câ n > 3k + m + = 3k + q − n + 8, dâ n > , v q = n + m > 3k + 2m + = 3k + υ X l X mj + j=2 mj + j=υ+1 ≥ 3k + + 2(υ − 1)(k + 1) + l X mj j=υ+1 = k + + 2υ(k + 1) + l X mj , j=υ+1 Do â, c¡c i·u ki»n nh lỵ 3.2.1 ữủc thọa mÂn Nhữ vêy, Hằ quÊ 3.2.14  ữủc chựng minh 3.3 Kát luên Trong phƯn Ưu cừa chữỡng ny, chúng tổi  ữa ữủc cĂc bĐt ng thực th hiằn mối quan hằ giỳa hm ám v hm c trững trữớng hủp cĂc hm phƠn 73 hẳnh chung mởt hm phƠn hẳnh nhọ tẵnh cÊ (xem nh lỵ 3.1.2) v khổng tẵnh (xem nh lỵ 3.1.5) CĂc kát quÊ ny l m rởng cừa cĂc c trững cừa hm phƠn hẳnh chung mởt giĂ tr (tẵnh cÊ hoc khổng tẵnh bởi) Trữợc Ơy, xem xt cĂc bi toĂn liản quan án hm nhọ, nhiÃu tĂc giÊ thữớng quy và trữớng hủp hơng cõ th Ăp dửng cĂc c trững cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt giĂ tr Tuy nhiản, trữớng hủp ny, cĂc bĐt ng thực s xuĐt hiằn thảm cĂc khổng im v cĂc cüc iºm cõa h m nhä Do â, mët sè t¡c giÊ Â cõ nhỳng tẵnh toĂn sai quĂ trẳnh chùng minh º tr¡nh sai l¦m n y, mët sè t¡c giÊ khĂc lÔi tẳm cĂch thay ời nh nghắa và c¡c h m chung mët h m nhä, ho°c th¶m c¡c i·u ki»n º câ thº tri»t ti¶u c¡c khỉng iºm, cüc iºm cõa h m nhä c¡c b§t ¯ng thùc Viằc chựng minh ữủc cĂc nh lỵ 3.1.2 v nh lỵ 3.1.5 thỹc sỹ cõ ỵ nghắa v cƯn thiát vẳ nhớ õ khổng cƯn quy bi toĂn và trữớng hủp hơng, khổng cƯn phÊi thay ời nh nghắa, v khổng cƯn thảm giÊ thiát vo bi toĂn p dửng nh lỵ 3.1.2 v nh lỵ 3.1.5, phƯn sau cừa chữỡng chúng tổi ữa cĂc kát quÊ và tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh c¡c a thùc vi ph¥n cõa c¡c h m ph¥n hẳnh õ chung mởt hm nhọ tẵnh cÊ (xem nh lỵ 3.2.1, 3.2.4 v 3.2.6) v khổng tẵnh (xem nh lỵ 3.2.8 v 3.2.9) Thảm nỳa, phƯn n y chóng tỉi cơng ÷a c¡c i·u ki»n õ nghiản cựu phữỡng trẳnh hm cõ dÔng Q(f ) = Q(g) + c, â Q l a thùc vợi hằ số trản C v c l hơng số 74 Kát luên cừa luên Ăn Luên Ăn nghiản cựu phƠn bố giĂ tr cừa mởt số dÔng a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản trữớng số phực C v ữa mởt số kát quÊ và sỹ xĂc nh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh õ chung mởt hm nhọ CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn l: ữa mối liản hằ giỳa hm ám cĂc cỹc im cừa mởt hm phƠn hẳnh trản trữớng số phực C v hm ám cĂc khổng im cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh õ (xem nh lỵ 1.2.1) Ơy l mởt m rởng cừa giÊ thuyát Gol'dberg cho trữớng hủp a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh Kát quÊ cõa Yamanoi l mët h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lỵ ny (xem Hằ quÊ 1.2.4) ữa quan hằ số khuyát cừa mởt a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh v cĂc số phực hỳu hÔn vợi chn trản bơng (xem nh lỵ 2.1.1) Ơy l mởt m rởng cừa giÊ thuyát Mues m gƯn Ơy  ữủc giÊi quyát hon ton bi Yamanoi Xem xt phƠn bố giĂ tr cừa mởt số dÔng a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh ữa iÃu kiằn và mối liản hằ giỳa bêc, số khổng im ph¥n bi»t, sè bëi cõa c¡c nghi»m cõa c¡c a thực v cĐp cừa Ôo hm, tứ õ khng nh rơng cĂc a thực vi phƠn cõ dÔng [Q(f )](k) , Φ = Q0 (f )Q1 (f ) Qk (f (k) ) nhªn méi gi¡ tr hỳu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn (xem nh lỵ 2.2.1 v nh lỵ 2.2.7) v a thực vi phƠn cõ dÔng P (f ) + Q(f (k) ) cõ vổ số khổng im (xem nh lỵ 2.2.5) ữa cĂc c trững cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm phƠn hẳnh nhọ tẵnh cÊ (xem nh lỵ 3.1.2) v khổng tẵnh (xem nh lỵ 3.1.5) CĂc kát quÊ ny l m rởng cho trữớng hủp cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt giĂ tr  biát trữợc õ CĂc kát quÊ ny cụng giúp trĂnh ữủc nhỳng sai lƯm thữớng gp mởt số vĐn à liản quan án cĂc hm phƠn hẳnh chung mët h m nhä 75 ÷a c¡c i·u ki»n v· bªc cõa a thùc v sè nghi»m bëi cừa Ôo hm cừa a thực õ tứ õ kát luên và tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh õ chung mởt hm nhọ 76 CĂc cổng trẳnh cổng bố liản quan án luên ¡n T T H An and N V Phuong, Zeros of differential polynomials of meromorphic functions, Acta Mathematica Vietnamica 47 (2022), 211 - 221 T T H An and N V Phuong, Uniqueness theorems for differential polynomials sharing a small function, Computational Methods and Function Theory 17 (2017), 613 - 634 T T H An and N V Phuong, A Note on Hayman's Conjecture, International Journal of Mathematics Vol 31 (2020), No 06, 2050048 T T H An and N V Phuong, A lemma about meromorphic functions sharing a small function, Computational Methods and Function Theory 22 (2022), No 02, 277 - 286 N V Phuong, Normality and uniqueness property of meromorphic function in terms of some differential polynomials, Vietnam Journal of Mathematics 49 (2021), 1317 - 1332 77 CĂc kát quÊ luên Ăn  ữủc bĂo cĂo tÔi cĂc hởi ngh: ã Hởi nghà nghi¶n cùu sinh cõa Vi»n To¡n håc: 10/2016, 11/2017, 11/2018, 11/2019, 11/2020 v 11/2021 ã Hởi ngh Ôi số - Lỵ thuyát số - Hẳnh hồc v Tổ pổ thĂng 12/2019 tÔi B Ra - Vụng Tu ã Seminar Ôi số v Lỵ thuyát số - Viằn ToĂn hồc 78 Ti liằu tham khÊo Tiáng Viằt [1] TÔ Th Hoi An, Và têp xĂc nh nhĐt v a thực nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh, Luên Ăn Tián sắ ToĂn hồc - HSP Vinh, 2001 [2] Nguyạn Th Ngồc Diằp, Phữỡng trẳnh a thực trản trữớng cĂc hm hỳu t v ựng dửng, Luên Ăn Tián sắ ToĂn hồc - HSP Vinh, 2014 [3] H TrƯn Phữỡng, nh lỵ cỡ bÊn thự hai vợi cưt cửt v têp xĂc nh nhĐt, Luên Ăn Tián sắ To¡n håc - Vi»n To¡n håc, 2009 Ti¸ng Anh [4] T T H An and N T N Diep, Genus one factors of curves defined by separated variable polynomials, Journal of Number Theory, 133 (2013), 2616 - 2634 [5] T T H An and N V Phuong, Zeros of differential polynomials of meromorphic functions, Acta Mathematica Vietnamica 47 (2022), 211 - 221 [6] T T H An and N V Phuong, Uniqueness theorems for differential polynomials sharing a small function, Computational Methods and Function Theory 17 (2017), 613 - 634 [7] T T H An and N V Phuong, A Note on Hayman's Conjecture, International Journal of Mathematics Vol 31 (2020), No 06, 2050048 [8] T T H An and N V Phuong, A lemma about meromorphic functions sharing a small function, Computational Methods and Function Theory 22 (2022), No 02, 277 - 286 79 [9] T T H An and J T Y Wang, Uniqueness polynomials for complex meromorphic functions, International Journal of Mathematics 13(10) (2002), 1095 - 1115 [10] W Bergweiler and A Eremenko, On the singularities of the inverse to a meromorphic function of finite order, Revista Matem¡tica Iberoamericana 11 (1995), no 2, 355 - 373 [11] S S Bhoosnurmatha and R S Dyavanal, Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions, Computers and Mathematics with Applications 53 (2007), 1191 - 1205 [12] K Boussaf, A Escassut and J Ojeda, Complex meromorphic functions f P (f ), g P (g) sharing a small function, Indagationes Mathematicae 24 (2013), 15 - 41 [13] W Cherry and Z Ye, Nevanlinna's theory of value distribution The second main theorem and its error terms, Springer Monographs in Mathematics Springer-Verlag, Berlin, 2001 xii+201 pp [14] H H Chen and M L Fang, On the value distribution of f n f , Science in China Series A 38 (1995), 789 - 798 [15] W Doeringer, Exceptional values of differential polynomials, Pacific Journal of Mathematics, 98 (1982), no 1, 55 - 62 [16] M Fang and W Hong, A unicity theorem for entire functions concerning differential polynomials, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (9) (2001), 1343 - 1348 [17] M Fang and X H Hua, Entire functions that share one value, J Nanjing Univ Math Biq 13 (1) (1996), 44 - 48 [18] G Frank and G Weissenborn, Rational deficient functions of meromorphic functions, Bull London Math Soc 18 (1986), no 1, 29 - 33 [19] A Gol'dberg and I Ostrovskii, Value Distribution of Meromorphic Functions, Translations of Mathematical Monographs American Mathematical Society, Providence (2008) 80 [20] W K Hayman, On the characteristic of functions meromorphic in the plane and of their integrals, Proceedings of the London Mathematical Society 3.1 (1965), 93 - 128 [21] W K Hayman, Picard values of meromorphic functions and their derivatives, Annals of Mathematics 70 (1959), - 42 [22] W K Hayman, Meromorphic Functions, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford, 1964 [23] K Ishizaki, Some remarks on results of Mues about deficiency sums of derivatives, Archiv der Mathematik (Basel) 55 (1990), 374 - 379 [24] Y Jiang and B Huang, A note on the value distribution of f (f (k) )n , Hiroshima Mathematical Journal 46.2 (2016), 135 - 147 [25] J K Langley, The second derivative of a meromorphic function of finite order, Bulletin of the London Mathematical Society 35 (2003), 97 - 108 [26] R J Li, L Qiu and Z X Xuan, Uniqueness of meromorphic functions sharing one small function, Journal of Computational and Applied Mathematics 263 (2014), 225 - 235 [27] W C Lin and H X Yi, Uniqueness theorems for meromorphic functions concerning fixed-points, Complex Variables, Theory and Application: An Interna- tional Journal 49 (11) (2004), 793 - 806 [28] N V Phuong, Normality and uniqueness property of meromorphic function in terms of some differential polynomials, Vietnam Journal of Mathematics 49 (2021), 1317 - 1332 [29] M Ru, Nevanlinna theory and its relation to Diophantine approximation, World Scientific, 2001 [30] Y F Wang, On Mues conjecture and Picard values, Science in China Series A 36, 28 - 35 (1993) [31] J F Xu, F L u and H X Yi, Fixed-points and uniqueness of meromorphic functions, Computers and Mathematics with Applications 59 (2010), -17 81 [32] K Yamanoi, The second main theorem for small functions and related problems, Acta mathematica 192 (2004), no 2, 225 - 294 [33] K Yamanoi, Zeros of higher derivatives of meromorphic functions in the complex plane, Proceedings of the London Mathematical Society (3) 106 (2013), 703 - 780 [34] C C Yang, On deficiencies of differential polynomials II, Mathematische Zeitschrift 149 (1972), 107 - 112 [35] C C Yang and X Hua, Uniqueness and value sharing of meromorphic functions, Ann Acad Sci Fenn Math 22 (1997), 395 - 406 [36] L Yang, Precise estimate of total deficiency of meromorphic derivatives, Journal d'Analyse Mathematique 55 (1990), 287 - 296 [37] L Yang and Y F Wang, Drasin's problems and Mues's conjecture, Sci China Ser A 35 (1992), 1180 - 1190 [38] J L Zhang, Uniqueness theorems for entire functions concerning fixed-points, Computers and Mathematics with Applications 56 (2008), 3079 - 3087 [39] J L Zhang and L Z Yang, Some results related to a conjecture of R Bru ăck, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics (1) (2007), Art 18 [40] X B Zhang and J F Xu, Uniqueness of meromorphic functions sharing a small function and its applications, Computers and Mathematics with Appli- cations 61 (2011), 722 - 730 Ti¸ng ùc [41] E Mues, Uber eine Defekt-und Verzweigungsrelation f ur die Ableitung meromorpher Funktionen (German), Manuscripta mathematica 5.3 (1971), 275 - 297 [42] E Mues, Uber ein Problem von Hayman (German), Mathematische Zeitschrift 164 (1979), no 3, 239 - 259 82 [43] G Pâlya, Uber die Nullstellen sukzessiver Derivierten, Mathematische Zeitschrift 12.1 (1922), 36 - 60 83
Ngày đăng: 27/12/2023, 05:32
Xem thêm:
