PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút Câu 1.(1,5 điểm) 0, 1,4 1) M = 2 1 0, 25 11 : 2014 7 0,875 0,7 2015 11 2) Tìm x, biết: 2 |x +|x−1||=x +2 Câu (2,5 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a b c b c a c a b c a b c b a B a c b Hãy tính giá trị biểu thức 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu 3.(2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x x 2013 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình với x số nguyên x y z xyz Câu (3,0 điểm) Cho xAy =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh : a ) K trung điểm AC b ) KMC tam giác c) Cho BK = 2cm Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c 1 chứng minh rằng: a b c 2 bc ac ab Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung Điểm 2 1 0, 25 0, 11 : 2014 M 7 1, 0,875 0,7 2015 11 1) Ta có: 1 2 2 11 2014 : 7 7 7 2015 11 10 1 1 1 Câu 11 2014 : (1,5 điểm) 1 1 2015 7 11 2 2014 : 0 7 2015 x2 x x x x 2) nên (1) => +) Nếu x (*) = > x -1 = => x = +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 hay 0.25đ 0.25đ 0.25đ x 2 Câu 1) (2,5 điểm) +Nếu a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b c a b = a b c =1 a b c b c a c a b 1 1 1 c a b mà a b b c c a a b =2 => c 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ =2 b a c b a c a b c )( )( ) ( a c b a c b Vậy B = =8 +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b c a b = a b c =0 a b c b c a c a b 1 1 1 a b mà c a b b c c a a b =1 => c 0.25đ =1 b a c b a c a b c )( )( ) ( a c b =1 Vậy B = a c b 0.25đ 0.25đ 0.25đ 2)Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c a b c a b c x 5x 6x x 7x a ;b ; c 18 18 18 18 18 Ta có: (1) 0,25đ Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b, c , a , b, c , x 4x 5x x 6x a , ; b, ; c, 15 15 15 15 15 0,25đ 6x 7x x 4 4 x 360 90 Vây: c’ – c = hay 15 18 0,25đ (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều 0,25đ lúc đầu Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 0,25đ A x x 2013 x 2013 x 1) Ta có: x 2013 x 2015 Dấu “=” xảy (2 x 2)(2013 x ) 0 x 0,25đ 2013 Vậy MaxA= 2015 x=-1 Câu (2,0 điểm) 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử x y z 1 1 1 2 2 Theo = yz + yx + zx x + x + x = x => x => x = Thay vào đầu ta có y z yz => y – yz + + z = => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ V ẽ h ình , GT _ KL Câu (3,0 điểm) 0,25đ 0,5đ a, ABC cân B CAB ACB(MAC ) BK ðýờng cao BK ðýờng trung tuyến 0,25đ K trung ðiểm AC b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) BH = AK ( hai cạnh t ý ) mà AK = AC BH = AC Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK MKC tam giác cân ( ) Mặt khác : MCB = 900 ACB = 300 MCK = 600 (2) Từ (1) (2) MKC tam giác ðều c) Vì ABK vng K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì ABK vng K nên theo Pitago ta có: 2 AK = AB BK 16 12 Mà KC = AC => KC = AK = 12 KCM => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( HBCM hình chữ nhật) => AM = AH + HM = Câu (1 điểm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vì a b c 1 nên: 1 c c ab a b ab a b (1) a a b b Tương tự: bc b c (2) ; ac a c (3) a b c a b c Do đó: bc ac ab b c a c a b (4) a b c 2a 2b 2c 2(a b c ) 2 a b c Mà b c a c a b a b c a b c a b c (5) a b c 2 Từ (4) (5) suy ra: bc ac ab (đpcm) (a 1)(b 1) 0 ab a b Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác màđúng cho điểm tốiđa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổngđiểm cho điểm lẻđến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ