UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHỊNG GD&ĐT KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2014-2015 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,5 điểm) a) Tính giá trị A 1000 ( 5) ( 2) 11. 5.2 8(112 121) b) Tìm x biết 2 19 x2 : 1 3 10 10 c) Tìm x thỏa mãn x 10 10 x 11 11 1 Bài (3 điểm) a) Tìm hai số dương khác x, y biết rằng: Tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 12 b) Cho a, b, c số thực khác Tìm số thực x, y, z khác thoả mãn: xy yz x2 y2 z2 zx ay bx bz cy cx az a b c Bài (2,5 điểm) a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – = x2 + 2y b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) ab, ad hai số nguyên tố; ii) db + c = b2+ d Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC có ˆ < 900 Bˆ 2Cˆ Trên tia đối tia BA lấy điểm E B cho BE = BH (với H chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC D a) Chứng minh rằng: DA = DC b) Chứng minh rằng: AE = HC ……….HẾT……… Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT HDC THI GIAO LƯU HSG Năm học 2014-2015 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC (HDC gồm 03 trang) Bài (2,5 điểm) Câu a) (1đ) Nội dung trình bày Ta có A = 1000 - (-125).(-8) – 11.49 – 40 + (121 – 121) = 1000 - 1000 – 11 (9 + 8.0) = 1000 – (1000 – 11 9) = 99 Ta có 2 19 x 2 : 1 3 10 10 30 19 10 x 2 : 1 10 10 10 10 10 b) (0,75đ) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 21 x2 : 10 10 21 x2 10 10 10 21 x2 2 10 10 x 2; x 4; 0,25 Vậy x = 0; -4 0,25 c) (0,75đ) - Nếu x > 11 x < 10 x -10 > x – 11 < -1 Suy x 10 1; x 11 (loại) - Nếu 10 < x < 11 < x – 10 < 1, < 11 – x 0, y > x y) Theo đề ta có: 35.(x + y) = 210.(x - y) = 12x.y Chia tích cho BCNN 35, 210, 12 420 ta được: 35.( x y ) 210( x y ) 12 xy 420 420 420 x y x y xy hay 12 35 (1) a) (1,5đ) Từ (1) (2) ta có: 0,25 0,25 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: x y x y x y x y x y x y 12 12 xy x y x y 2 12 Điểm 12 0,25 xy x y xy xy 35 7 y x 0,25 Vì x > 0; y > nên 7y = 35 y = 5; 5x = 35 x = Vậy hai số phải tìm 0,25 0,25 Do x, y, z khác nên xy yz zx zxy xyz yzx ay bx bz cy cx az ayz bxz bzx cyx cxy azy Suy ayz bxz bzx cyx cxy azy az cx, bx ay b) (1,5đ) x z x y x y z , t x at , y bt , z ct , a c a b a b c 2 xy x y z2 at.bt a 2t b 2t c 2t Ta có ay bx a b c abt bat a2 b2 c2 t Suy t t (do t ≠ 0) a b c Vậy x , y , z Do 0,25 0,25 t≠0 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (2,5 điểm) Câu a) (1đ) Nội dung trình bày Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 + y(3x – 2) = x2 + (1) Do x, y nguyên nên suy x2 + chia hết cho 3x – 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 9.x2 - 6x + 6x – + 49 chia hết cho 3x – Điểm 0,25 0,25 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 49 chia hết cho 3x – 3x – 49; 7; 1; 1; 7; 49 3x 47; 5; 1; 3; 9; 51 x 1; 3; 17 Thay x vào (1) ta y 6; 2; 6 Vậy cặp số (x, y) (1;6), (3;2), (17;6) Do ab; ad số nguyên tố nên b d lẻ khác (1) Mặt khác từ điều kiện ii) ta có 9d + c = b(b-1) (2) Có 9d + c nên từ (2) suy b >3 mà b lẻ b = 7; + b = 9d + c = 42 < d trái với (1) b) + b = 9d + c = 72 < d mà d lẻ d = (1,5đ) Thay vào điều kiện (2) c = Do a9; a số nguyên tố nên a nhận giá trị tương ứng 1; 2; 5; 7; 1; 3; 4; 6; Suy a = abcd 1997 , thử lại thấy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (2 điểm) Câu a) (1đ) Nội dung trình bày Điểm a) Ta có BEH cân B BEH = BHE Ta có ABC = BHE = DHC mà ABC = ACB DHC = DCH (1) Suy DCH cân D nên DH = DC Xét ACH: CAH + DCH = 900, CHD + DHA = 900 (2) Từ (1), (2) suy DAH = DHA, DAH cân D, suy DA = DC 0,25 0.25 0,25 0,25 b) (1đ) b) Lấy B’ đối xứng với B qua H, suy ABB’ cân A (AH trung trực BB’) AB = AB’, B’H = BH, AB’H = ABC Ta có AB’H = ABC = C = C + CAB’ C = CAB’, B’AC cân B’ nên B’A = B’C Vì AB < AC nên AB’ = AB < AC nghĩa B’ H C nên HC = HB’+B’C = HB + AB’ = BE + AB = AE 0,25 0,25 0,25 0,25