Chuyên đề hệ phương trình

* Trang http://toanltdh.com cung cấp tài liệu luyện cung cấp tài liệuTốn theo đại học mơnchủ đề theo chun đề, chủ đề * Trang http://toanltdh.bl.ee thi đại học môn luyện thi chun đề, Tốn có lời giải rõ ràng để học sinh bạn tiện theo dõicác bạn tiện theo dõi có lời giải rõ ràng để học sinh * Giáo viên soạn: Võ Hoàng Phước * Giáo viên soạn: Võ Hồng Phước * Cơng tác trường TH – THCS tạiTHPT Lê Q Đơn ––Biên Hịa –Q Đơn – Biên Hịa – Đồng Nai * Cơng tác – trường TH – THCS THPT Lê Đồng Nai * Điện thoại: 0937.320.061 thoại: 0937.320.061 * Điện * Email: vohoangphuoc@gmail.com * Email: vohoangphuoc@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ Biên Hịa, tháng 11 năm 2013  x2   y( x  y)  y  Bài 1: Giải hệ phương trình  ( x  1)( y  x  2)  y   x2 1  x y    y Chia phương trình cho y ta hệ   x    y  x     y    Đặt u  x2  , v  x y y  x  u  v  u   Ta hệ phương trình      x  2  u (v  2)  v    y  3 x Vậy: Hệ có nghiệm (1; 2) (2;5)  x  y  x  y  12 Bài 2: Giải hệ phương trình   x( x  1) y ( y  1)  36 2  x  y  x  y  12  Biến đổi hệ thành  2 ( x  x)( y  y )  36  Đặt ẩn phụ u  x  x, v  y  y   x  2  x  x  u  v  12 u    x  Hệ trở thành      y  y    y  2 uv  36 v    y   Vậy: Hệ phương trình có nghiệm (2; 2), (2;3), (3; 2), (3;3) y   x  y2 1  x   Bài 3: Giải hệ phương trình   x  y  x  22  y  x Hệ phương trình trở thành y 2u  2u  3 v  u    1 v     u 3 u v u 9 u   4v  22 u  16u  63    u     Đặt u  x  y  1; v  u   x  y   x  3y  x   x  3 Với      v   x  y  y  1  y   y  1  392   x2   y2 u  x  x   53     Với   7 32   v   y    y  32 y    53    53   Vậy: Hệ phương trình có nghiệm 392 53 32 53  1 1  x  x  1    y y  Bài 4: Giải hệ phương trình   x  x    x3  y y y3  1   x  y2  x  y  x  y2  x  y    Biến đổi hệ pt thành    x3   x   x    x   x          y y y y  y2      x  y2  u  v  u  1  Đặt u  x  ; v  x  Hệ phương trình trở thành    y y uv  v  x    y    1 x   x    x   x  x   y y  y     1  x   x    y 1 y 1    y y   Vậy: Hệ cho có nghiệm (1; 1) 8 x3 y  27  18 y  Bài 5: Giải hệ phương trình  2 4 x y  x  y   3  27 (2 x)     18 8 x  y  18   y Biến đổi hệ pt thành   3 4 x  x     y 2 x y  x  y   y      3  3 3 u  u  u  v  18    Đặt u  x; v  Hệ trở thành   y 3  3 uv(u  v)   v v      3 u   Với  v      3 u   Với  v      3 x    y   3   3 x    y   3  5 5  x4  4x2  y2  y    Bài 6: Giải hệ phương trình  2  x y  x  y  22   Hệ cho tương đương với 2 2   ( x  2)  ( y  3)  ( x  2)  ( y  3)    2 ( x  2) y  x  22  ( x   4)( y   3)  x   20    Đặt u  x  2; v  y  hệ trở thành u  v  u  u   x   x  2  x   x            v  v  y  y  y  y    (u  4)(v  3)  u  20     2 x  x  y  Bài 7: Giải hệ phương trình   y  y x  y  2   2 x  x  y    Hệ tương đương với     x2   y y Đặt u  x; v  Hệ phương trình trở thành y  2u  u  v   u  v  u   v     2v  v  u    2v  v  u    Với u  v (*) trở thành u    u  1 u   x  *  nghiệm hệ v   y  u  1  x  1 *  nghiệm hệ  v  1  y  1 (*)   1  1   1  v  v  u   v v    2 Với      2v  v  u   u   v u   u        2    y  1   v  1       x   x        x   y 1   Bài 8: Giải hệ phương trình   x6 y4 6   x   x   y   y   10  Hệ tương đương với   x   x 1  y   y 1   Đặt u  x   x  6; v  y   y  Hệ trở thành u  v  10 u   x     5 v  y  u  v   1  x  y  x  y   Bài 9: Giải hệ phương trình   x2  y     x2 y2  u  v  u  v  u     2 uv  v  u   v    x  x  x     y 1 y   y   Vậy: Nghiệm hệ phương trình (1; 1) 1 Đặt u  x  ; v  y  Hệ trở thành x y  x y 4  Bài 10: Giải hệ phương trình   x5  y5   Điều kiện: x  0, y   x  y  xy  16  Bình phương vế hai phương trình ta hệ   x  y  xy  5( x  y )  25  26  Đặt u  x  y, v  xy u  2v  16 u  16  2v   Ta có hệ phương trình   2 u  v  5u  25  26  v  10v  105   v   u   x  y  x     v   xy  16 y  Vậy: Hệ phương trình có nghiệm (4; 4)  x  y  xy   Bài 11: Giải hệ phương trình  2  x  y  xy  133  Điều kiện: xy  u  v  u  v  u  13 Đặt u  x  y, v  xy Hệ trở thành  2   v  u  v  133 u  v  19 x  x    y  y  Vậy: Hệ có nghiệm (9; 4), (4;9)  x3  y x  y  Bài 12: Giải hệ phương trình  2 x  3y   Nhận xét: y = không nghiệm pt  x      y y  Với y  Chia pt (1) cho y3, chia pt (2) cho y2 ta hệ pt   x  x  y   y  y   x x x x      3 3   1 x  y y y  y  y x   y  Thay x = y vào (1) ta x3  x    x    1  1  Vậy: Hệ phương trình có nghiệm  ;  ,   ;    2  2  x3 (2  y )   Bài 13: Giải hệ phương trình   x( y  2)   Nhận xét x = không nghiệm hệ phương trình  2  y  x3  Với x  Hệ tương đương với   y3    x  (l ) (1) (2) Đặt u  ; v  y ta hệ phương trình x u   3v   v   3u   u  v    u  uv  v    u   3v (vn ) (*) u  1 Với u  v (*)  u  3u     u  u  1  x  1 Nếu    v  1  y  1  u   x  Nếu   v   y   1  Vậy: Hệ có nghiệm  1; 1 ,  ;  2   xy  x  y  16 Bài 14: Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y  33  xy  3( x  1)  2( y  2)  23 Hệ phương trình tương đương với  2 ( x  1)  ( y  2)  38 Đặt u  x  1; v  y  Hệ phương trình trở thành (u  1)(v  2)  3u  2v  23 u  v  uv  21 u  v  uv  21    2 2 u  v  38 (u  v)  2uv  38 (uv  21)  2uv  38 uv  31 uv  13 (vô nghiệm)   u  v  10 u  v  8 u  4  u  4  uv  13   Với    u  v  8 v  4   v  4     x  3   x  3       y  2   y  2     x  y  3x  y   Bài 15: Giải hệ phương trình  2 3 x  y  x  y   Đặt u  x  x; v  y  y u  v  u  Hệ tương đương với   3u  2v  v    13    13  Hệ có nghiệm   ;0  ;  ; 4          x  y  10  Bài 16: Giải hệ phương trình   x   y   14  Điều kiện: x, y   x  x   y  y   24  Hệ tương đương với   x6 x  y6  y   Đặt u  x   x; v  u  v  24  y   y Hệ trở thành  5 u  v   ĐS: Hệ vô nghiệm  y  xy  x  Bài 17: Giải hệ phương trình  2 1  x y  x  y1   y y2  x  x  y   6  x2 x     Hệ tương đương với     y2    y   y    x2  x  x   y Đặt u   y; v  Khi hệ trở thành x x 1   y 3 uv  u   x    v  u  2v  y 2 x   x    x    y  2 x 1  2  Vậy: Hệ có nghiệm 1;  ,  ;1    x  y  x y  xy  xy    Bài 18: Giải hệ phương trình   x  y  xy (1  x)     5   2  x  y  xy( x  y  1)    x  y  xy ( x  y  1)     Hệ tương đương với    x  y  x y  xy   ( x  y )2  xy        u  v (u  1)  u  v u  v(u  1)     Đặt u  x  y; v  xy Khi hệ trở thành   5 u  v   u  v       u    u  v 1   u  v      u  x    + Trường hợp 1:  5 v 25   y  3  16   u  v   u    x    + Trường hợp 2:    u  v   v   y       3  Vậy : Hệ có nghiệm 1;   , 2   25   ;3   16     y x  y  12  Bài 19: Giải hệ phương trình   x  y  x  y  12  Đặt u  x  y ; v  x  y  u  v( x  y )  x  y   v u     u  12 Hệ trở thành  2v   v 8v  u  v  12   x2  y   Với v   u    x   y  x  y     x2  y   x  Với v   u     y  x  y   Hệ phương trình có nghiệm (5;3), (5; 4) u2 v u2 y  v 2v 1  x  y  x  y    Bài 20: Giải hệ phương trình   xy   x  y    xy y x  1  x  y  x  y    Hệ trở thành  x  y      y         y x y    1 Đặt u  x  ; v  y  x y   x  x  2 u  v   u  2  x  1  Hệ trở thành     uv    v  2  y  1  y   2 y   Vậy: Hệ có nghiệm (-1; -1)  x y  x y   Bài 21: Giải hệ phương trình  2  x  y  128  u  v  Đặt u  x  y , v  x  y Khi hệ trở thành  4 (hệ đối xứng loại 1) u  v  256 u  u    v  v  x   x  8    y  8 y  Vậy: Hệ có nghiệm (8;8), (8; 8)   x  x y 3  y  Bài 22: Giải hệ phương trình  2 x  y    y  Điều kiện: x   , x  y  y Đặt ẩn phụ u  x  , v  x  y  Khi hệ trở thành y u  v  u  u     2 v  u  v   v   x   10 u   x   10   Với    v   y   10   y   10   u   x  x  Với    v  y 1  y  1 Vậy: Hệ có nghiệm 1  x y  19 x3  Bài 23: Giải hệ phương trình  2  y  xy  6 x  Ta nhận xét x = không nghiệm hệ phương trình Với x  Chia vế pt (1) cho x3, pt (2) cho x2 ta hệ phương trình 1 1 3   y  19  x  y  19  x    y  y  6  y   y   6  x x x x     u  v3  19 Đặt u  ; v  y Hệ trở thành  (Hệ đẳng cấp) x uv(u  v)  6 u v    u Thế pt (2) vào (1) ta 6u  6v3  19u 2v  19uv      v  u   1 v   u 2 x   3 Với    u   v thay vào phương trình u  v  19 ta v   u  2   v 3 y    u 3 x  3 Với    u   v thay vào phương trình u  v  19 ta v  2  u    v 2  y  2  u  1  u  v thay vào phương trình u  v3  19 ta  19 (Vô lý) v Vậy: Hệ phương trình có nghiệm Với  x( x  2)(2 x  y )  Bài 24: Giải hệ phương trình   x  4x  y  ( x  x)(2 x  y )   Biến đổi hệ phương trình thành   x  2x  2x  y   uv  u   x  x  Đặt u  x  x, v  x  y hệ trở thành    u  v  v  2 x  y   x      x  3  2 x  y   Vậy: Hệ có nghiệm (1;1), (3;9) ( x  1)( y  1)( x  y  2)  Bài 25: Giải hệ phương trình  2  x  y  2x  y   ( x  1)( y  1)( x   y  1)   Biến đổi hệ thành  2  x  1   y  1   Đặt u  x  1, v  y  uv(u  v)  u  u  v  u  Hệ trở thành  2    uv  v  v  u  v  u  x  Với   v  y  u  x  Với   v  y  Vậy: Hệ có nghiệm (2; 3), (3; 2)  2x  y 1  x  y   Bài 26: Giải hệ phương trình  3 x  y    2x  y 1  x  y   Biến đổi hệ phương trình thành  (2 x  y  1)  ( x  y)   Đặt u  x  y  1, v  x  y u  v  u  u  1 Hệ trở thành  2    v  2 u  v  v  u  x  Với   v   y  1 u  1 Với  (loại u, v không âm)  v  2 Vậy: Hệ có nghiệm (2; -1)  x y  x  y  15   Bài 27: Giải hệ phương trình  2 x  y  2x  y     x  1  y    4( x  1)  4( y  2)   Biến đổi hệ phương trình thành  2  x  1  ( y  2)  10  uv  4(u  v)  u  1 u  Đặt u  x  1, v  y  Hệ trở thành  2   v   v  1 u  v  10 x   x  2   y  y 1 Vậy: Hệ có nghiệm (0;5), (2;1), (2;1) 16 x y  17 y  1 Bài 28: Giải hệ phương trình   xy  x  y  1 Nhận xét y = không nghiệm hệ phương trình Chia vế phương trình (1) cho y , phương trình (2) cho y ta   1 x  x     17 16 x  y  17   y y    4 x   x  4 x   x    y y  y y  u  8v  17 u  9 x u  , v  Hệ trở thành    y y v  v  u  2v  x  y  u  Với   x  y  v 1   u  9 Với  (vô nghiệm) v  Đặt u  x   x  y  xy  x  y  Bài 29: Giải hệ phương trình   x  x   x  y    3 y  x  Khi y = x  x    nên hệ có nghiệm (0; 0), (-2; 0)  x  2  x2  2x  y  x y 5  Khi y  hệ trở thành   x  x ( x  y  3)  3  y  u  v  v  6, u  1 x  2x Đặt u  , v  x  y Hệ trở thành   y u (v  3)  3 v  2, u  u  1 Với  (vô nghiệm) v  u   x  1; y  Với   v   x  6; y  Vậy: Hệ có nghiệm (0; 0), (-2; 0), (1; 1), (-6; 8)  x  x3 y  x y   Bài 30: Giải hệ phương trình   x y  x  xy  1  ( x  xy)   x y  Biến đổi hệ phương trình thành   x y   x  xy   1  u   v u  1; v  Đặt x  xy  u , x3 y  v Hệ trở thành   v  u  1 u  2; v  3 u   x  1; y  Với   v   x  1; y  u  2 Với  (vô nghiệm)  v  3  x2  2x   y   Bài 31: Giải hệ phương trình  2  x  xy  y   Bình phương vế phương trình (1) ta x  y  2( x  y)    ( x  y )( x  y )  2( x  y )   Đối với phương trình (2) ta dùng hệ số bất định sau: 3 Giả sử tồn a, b cho x  xy  y  ( x  y)  ( x  y ) ta tìm a  ; b  4 4 Ta biến đổi pt (2) thành ( x  y)( x  y )  2( x  y )    Vậy ta có hệ phương trình  2  ( x  y)  ( x  y)   uv  2v   u  1; v  5  Đặt u  x  y , v  x  y hệ trở thành   u  3; v  1 4 v  u   u  1  x  3 Với    v  5 y  u  x  Với    v  1  y   2 3( x  y )  ( x  y )  2(10  xy )  Bài 32: Giải hệ phương trình  2 x    x y  Dùng phương pháp hệ số bất định Giả sử tồn hai số a, b cho x  y  xy  a ( x  y )  b( x  y ) ta tìm a = 1, b =  2 3 x  y  xy  ( x  y )  20  Vậy: Ta biến đổi hệ thành  x  y  x  y    x y   2 ( x  y)  ( x  y )  ( x  y )  20   x  y  x  y    x y  Đặt u  x  y, v  x  y  Khi hệ trở thành: x y u  3; v   2u  v   20   u  ; v  14 uv 5  3  u   x  Với   v   y    10  x  u    Với   v  14  y  3 m 10      45  3 2  x  y    y  x y  xy    Bài 33: Giải hệ phương trình    x  y   xy  Xét y   x  nên (3; 0) nghiệm hệ phương trình Xét y  Chia vế pt(1) cho y3, pt(2) cho y ta hệ  x 3 45         x y  xy    y y     x    xy y y  x Đặt u    , v  xy Hệ phương trình trở thành y y  45   u  u  8u  60  u  u   v  v        u 3 v  u   2v v      x   3 m 105    y  3  105   12    x  xy  3x  y   Bài 34: Giải hệ phương trình  2  x  3x y  x  y   Xét x   y  nên (0; 0) nghiệm hệ Xét x  Chia phương trình (1) cho x, phương trình (2) cho x2 ta hệ y  y  x  x  y   x  y   x      2  x2  y   y   x  y   y      x x2   u  v  u  1; v  x  y Đặt u  x  ; v  y  Hệ trở thành    x u  2; v  2  y  u  v    y  x  xy  y    Bài 35: Giải hệ phương trình  2 y x 9y  x y  x   Nhận thấy y = khơng nghiệm hệ phương trình nên với y  ta chia pt(1) cho y, pt(2) cho y2 ta hệ phương trình  x  y xy   6  y  y   x  y xy    y y  u  v  u   x  x  y2 xy  ;v  Đặt u  hệ trở thành    y y uv  v   y   x  x  y  y  y    Bài 36: Giải hệ phương trình  2 3  xy  x y     x  y    x  x  y  y   y  Biến đổi hệ thành  2 3  xy  x y   x y  y  Nhận thấy y = không thỏa mãn hệ nên ta chia phương trình (1) cho y2, phương trình (2) cho y3 ta hệ 1 1   2 x  y  x  y2  x  y  x  y2       x  x   x3   x  x     x3   y y y y y  y3    u  u  2v  u  0, v  2 x  Đặt u  x  ; v  Hệ trở thành   y y uv  u  3uv  u  4, v    y  ,x   u  Với    v  2 y   , x   u4  Với  (Vô nghiệm) v  Vậy: Hệ phương trình có nghiệm 9 y  x  1  125  Bài 37: Giải hệ phương trình  2  45 x y  75 x  y  Nhận thấy y = không nghiệm hệ phương trình nên chia vế pt (1) cho y2, phương trình (2) cho y3 ta hệ  125 125  5  3 27 x    x       9  x  1   y y     y    5  45 x  75 x  15 x  x     5   y  y 3 x y  x  y   y y       3 u  v  u  1, v  Đặt u  3x, v  Hệ trở thành   y u  2, v  uv(u  v)   x  u   Với   v  y    2  u  x  Với   v  y    x3 (2  y )   Bài 38: Giải hệ phương trình   x  y  2   Xét x = không nghiệm hệ phương trình    y  x3  Xét x  Chia vế pt(1) cho x3, pt (2) cho x Khi ta hệ   y3    x     3v  u Đặt u  , v  y Hệ trở thành  (Hệ đối xứng loại 2) x 3u   v  Trừ theo vế phương trình hệ ta  u  v   u  uv  v  3   u  v u  Khi u = v ta tìm   u  1  u   x  Với   v   y   u  1  x  1 Với   v  1  y  1  y 1  x3 y   x  Bài 39: Giải hệ phương trình  6 1  x y  x  Nhận thấy x = không thỏa mãn hệ  y y2   3  x Với x  Chia vế phương trình hệ cho x ta hệ  x   y2   x6  y   x3  x  y         y   y    x3 x3   x  1 y  uv  u   y Đặt u  , v   y Hệ trở thành    1 x  y x x v  4u  v   2   x   y  xy  y  Bài 40: Giải hệ phương trình  y x  y   x 1  Nhận xét: y = không nghiệm hệ phương trình  x2 1  y x y 4  Với y  Chia vế pt(1) cho y ta hệ  x  y   y   x2  u  v  u   x  1, y  x2   Đặt u  , v  x  y Hệ trở thành   1 y v2 v   x  2, y   u   x3  20  21 y    Bài 41: Giải hệ phương trình   x  y  20   21  Nhận xét: x = không nghiệm hệ  6  21 y  x3  Với x  Chia vế pt(1) cho x3, pt(2) cho x ta hệ   y   21  x  Đặt u  , v  y Hệ trở thành x 20  21v  u  (Hệ đối xứng loại 2)   20  21u  v  Trừ vế theo vế hai phương trình ta  u  v   u  uv  v  21   u  v  u  5 Với u = v ta tìm u   u    u  5  x   *   v  5  y  5  u  x   *  v   y  1  u   x  *  v   y    y  x3   x   Bài 42: Giải hệ phương trình  2  x y  y  6x  Xét x   y  nghiệm hệ phương trình  y 3     x  x Xét x  Chia vế pt(1) cho x3, pt(2) cho x ta hệ   y2  xy  6   x  y 3    x   x    y x  y      x   u (u  v)  u  y Đặt u  x  , v  y ta có hệ phương trình   x v  uv  u   x  1; y  *  v   x  2; y  ... Vậy: Hệ phương trình có nghiệm  ;  ,   ;    2  2  x3 (2  y )   Bài 13: Giải hệ phương trình   x( y  2)   Nhận xét x = khơng nghiệm hệ phương trình  2  y  x3  Với x  Hệ. .. v    y   Vậy: Hệ phương trình có nghiệm (2; 2), (2;3), (3; 2), (3;3) y   x  y2 1  x   Bài 3: Giải hệ phương trình   x  y  x  22  y  x Hệ phương trình trở thành y 2u... y  19 x3  Bài 23: Giải hệ phương trình  2  y  xy  6 x  Ta nhận xét x = khơng nghiệm hệ phương trình Với x  Chia vế pt (1) cho x3, pt (2) cho x2 ta hệ phương trình 1 1 3   y  19