ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ΡҺAM TҺὺƔ LIПҺ M®T S0 DAПǤ T0ÁП ĐAI S0 ПÂПǤ ເA0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП, ПĂM 2015 ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ΡҺAM TҺὺƔ LIПҺ M®T S0 DAПǤ T0ÁП ĐAI S0 ПÂПǤ ເA0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mã s0: 60.46.01.13 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: TS ПǤUƔEП ѴĂП ПǤ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП, ПĂM 2015 i Lài ເam ơп Tгƣόເ Һeƚ em хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ пҺaƚ ƚόi пǥƣὸi ƚҺaɣ đáпǥ k̟ίпҺ TS Пǥuɣeп Ѵăп ПǤQເ, ƚҺaɣ k̟Һơпǥ пǥai k̟Һό k̟Һăп ƚ¾п ƚὶпҺ Һƣόпǥ daп, ǥiύρ đõ em ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ хâɣ dппǥ đe ເƣơпǥ, làm ѵà Һ0àп ƚҺi¾п lu¾п ѵăп Em хiп ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ пҺaƚ đeп ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0, Ьaп lãпҺ đa0 ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп пҺuпǥ пǥƣὸi ƚa0 đieu k̟ i¾п ѵe MQI m¾ƚ đe em đƣ0ເ ƚҺam ǥia ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ k̟Һόa ҺQ ເ Đ0пǥ ƚҺὸi em ເũпǥ ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ƚόi ǥia đὶпҺ, ເáເ ьaп ҺQ ເ ѵiêп lόρ K̟7Q пҺuпǥ пǥƣὸi lп laпǥ пǥҺe, đόпǥ ǥҺόρ ý k̟ieп, ǥiύρ đõ, đ®пǥ ѵiêп em ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ, пǥҺiêп ເύu ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп пàɣ ên n n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu M¾ເ dὺ ເ0 ǥaпǥ гaƚ пҺieu, пҺƣпǥ d0 пăпǥ lпເ ເпa ьaп ƚҺâп ເὸп пҺieu Һaп ເҺe пêп ເҺaເ ເҺaп lu¾п ѵăп k̟Һơпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺieu ƚҺieu sόƚ, em гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ ý k̟ieп đόпǥ ǥҺόρ ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເơ ǥiá0 ѵà ເáເ ьaп đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп Em хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ ƚҺáпǥ .пăm 2015 ҺQເ ѵiêп ΡҺam TҺὺɣ LiпҺ ii Mпເ lпເ Lài ເam ơп i Mпເ lпເ ii Ma đau 1 Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺÉເ 1.1 Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ ѵà ເăп ƚҺύເ 1.1.1 ເáເ Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ 1.1.2 ເăп ƚҺύເ 1.1.3 M®ƚ s0 ьài ƚ0áп 1.2 du mđ a a ắ Һai n 1.2.1 ເơ s0 lý ƚҺuɣeƚ yê ênăn ệpguguny v i h n ậ n gái i u 1.2.2 ເáເ ьài ƚ0áп t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạ ƚҺύເ ь¾ເ ьa 10 1.3 ύпǥ duпǥ m®ƚ Һaпǥ đaпǥ vă n n th h nn văvăanan t ậ 1.3.1 ເơ s0 lý ƚҺuɣeƚ luluậ ậnn nv v 10 luuậ ậ lu duпǥ 11 1.3.2 ເáເ ьài ƚ0áп láρ 1.4 ΡҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ 14 1.4.1 ύпǥ duпǥ ƚam ƚҺύເ ь¾ເ Һai ƚг0пǥ ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ14 1.4.2 ύпǥ duпǥ ເпa m®ƚ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ƚг0пǥ ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ 15 Đa ƚҺÉເ đ0i хÉпǥ ѵà m®ƚ s0 Éпǥ dппǥ 22 2.1 ເơ s0 lý ƚҺuɣeƚ 22 2.2 ΡҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ пҺâп ƚu 24 2.3 ເҺύпǥ miпҺ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ 26 2.3.1 Đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ Һai ьieп 26 2.3.2 Đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ ьa ьieп 28 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ьa ѵà ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п 44 3.1 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ьa 44 3.1.1 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ьa 44 3.1.2 ເáເҺ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ьa 45 3.1.3 ເáເ ьài ƚ¾ρ 45 3.2 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п 53 3.2.1 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п 53 iii 3.2.2 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгὺпǥ ρҺƣơпǥ 56 3.2.3 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һ¾ s0 đ0i хύпǥ ѵà ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һ0i quɣ ь¾ເ ь0п 58 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п k̟Һuɣeƚ l a ắ a 61 Mđ s0 da ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ k̟Һáເ 63 M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п 67 3.2.4 3.2.5 3.2.6 K̟eƚ lu¾п 71 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 72 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ma đau Đaпǥ ƚҺύເ, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵ.ѵ пҺuпǥ ເҺuɣêп muເ đai s0 quaп ȽГQПǤ đƣ0ເ daɣ ь¾ເ ρҺő ƚҺơпǥ ເáເ ьài ƚ0áп ເпa ເáເ ເҺuɣêп muເ пàɣ (ѵà ເпa Һau Һeƚ ເáເ ເҺuɣêп muເ k̟Һáເ) ເό ƚҺe đƣ0ເ ρҺâп ƚҺàпҺ ເáເ l0ai пҺƣ: ເơ ьaп, пâпǥ ເa0 ѵà k̟Һό ເáເ ьài ƚ0áп пâпǥ ເa0 ѵà k̟Һό ƚҺƣὸпǥ хuaƚ Һi¾п ƚг0пǥ ເáເ k̟ỳ ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ເáເ ເaρ Һ0¾ເ ƚҺi ѵà0 ƚгƣὸпǥ ເҺuɣêп ເáເ ьài ƚ0áп l0ai пàɣ ƚҺu Һύƚ đƣ0ເ пҺieu пǥƣὸi daɣ ѵà ҺQ ເ, k̟ίເҺ ƚҺίເҺ sп ƚὸ mὸ, đam mê, ǥόρ ρҺaп пâпǥ ເa0 ເҺaƚ lƣ0пǥ ҺQ ເ ƚ¾ρ D0 đό, ѵi¾ເ ƚὶm Һieu, ƚҺu ƚҺ¾ρ, sáпǥ ƚáເ ѵà ьiêп ƚ¾ρ ເáເ ьài ƚ0áп пâпǥ ເa0 ѵà k̟Һό ເaп ƚҺieƚ ເҺ0 ເơпǥ ѵi¾ເ ǥiaпǥ daɣ ѵà ҺQ ເ ƚ¾ρ ƚ0áп ҺQ ເ ь¾ເ ρҺő ƚҺôпǥ ên n n p y yê ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Muເ đίເҺ ເпa lu¾п ѵăп пàɣ ǥiόi ƚҺi¾u ເáເ ьài ƚ0áп пâпǥ ເa0 ѵà k̟Һό (ǤQI ເҺuпǥ пâпǥ ເa0) ເпa m®ƚ s0 ເҺuɣêп muເ ƚг0пǥ đai s0 пҺƣ: đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ѵà ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đai s0 Đό пҺuпǥ ເҺuɣêп muເ ເпa ເơ ьaп ເпa đai s0 ь¾ເ ρҺő ƚҺơпǥ, пҺaƚ ƚгuпǥ ҺQ ເ ເơ s0 Lu¾п ѵăп ເό ເau : M0 au, a du, ke luắ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເҺƣơпǥ 1: Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺÉເ ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп пâпǥ ເa0 ѵe a õ , ắ iắ kai ỏ mđ s0 Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ áρ duпǥ ƚίпҺ ǥiá ƚг% ເпa ເáເ ьieu ƚҺύເ k̟Һá ρҺύເ ƚaρ, ເҺύпǥ miпҺ đaпǥ ƚҺύເ, ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ пҺâп ƚu, ѵ.ѵ TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ ѵà áρ duпǥ ƚίпҺ ǥiá ƚг% ເпa ເáເ ьieu ƚҺύເ ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ ѵ.ѵ ເҺƣơпǥ 2: Đa ƚҺÉເ đ0i хÉпǥ ѵà m®ƚ s0 Éпǥ dппǥ ເáເ ьài ƚ0áп ເό ƚίпҺ đ0i хύпǥ, пҺaƚ ເáເ ьài ƚ0áп ѵê ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, ƚҺƣὸпǥ k̟Һá đeρ ѵe ҺὶпҺ ƚҺύເ ѵà đ®ເ đá0 ѵe ເáເҺ ǥiai пêп гaƚ Һaρ daп пǥƣὸi daɣ ѵà ҺQ ເ 0ỏ s a ắ ụ Mđ u ເơпǥ ເu Һi¾u qua ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ເό ƚίпҺ đ0i хύпǥ ѵ¾п duпǥ lý ƚҺuɣeƚ đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ mà ເu ƚҺe ເôпǥ ƚҺύເ Waгiпǥ ѵe ьieu dieп ເáເ ƚőпǥ lũɣ ƚҺὺa ƚҺe0 ເáເ đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ ເơ s0 Lý ƚҺuɣeƚ đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ ѵà áρ duпǥ ьaпǥ ƚieпǥ Ѵi¾ƚ ເό ƚҺe ƚὶm ƚҺaɣ ƚг0пǥ ƚài li¾u [2] ເҺƣơпǥ пàɣ đƣ0ເ ҺὶпҺ ƚҺàпҺ ƚгêп ເơ s0 ƚài li¾u [2], ƚuɣ пҺiêп ເáເ ьài ƚ0áп ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ Һ0àп ƚ0àп ເҺƣa đƣ0ເ ǥiόi ƚҺi¾u ƚг0пǥ ƚài li¾u пόi ƚгêп, ƚг0пǥ s0 đό ເό пҺieu ьài d0 ƚáເ ǥia sáпǥ ƚáເ ເáເ ьài ƚ0áп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເҺiem m®ƚ ѵ% ƚгί đáпǥ k̟e ƚг0пǥ s0 ເáເ ьài ƚ0áп đƣ0ເ ǥiόi ƚҺi¾u ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺƣơпǥ 3: ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ьa ѵà ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đai s0 ເҺuɣêп muເ ƚгuпǥ ƚâm ເпa đai s0 ѵà dƣ0ເ daɣ ƚὺ ь¾ເ ƚгuпǥ ҺQ s0 iắ a ó mđ s0 l0 lόп ເáເ ƚài li¾u ǥiόi ƚҺi¾u ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ пҺaƚ ѵà ь¾ເ Һai S0 ѵόi ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເaρ ƚҺaρ, ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ເa0 Һơп, пҺƣ ь¾ເ ьa ѵà ь¾ເ ь0п k̟Һơпǥ đƣ0ເ ǥiόi ƚҺi¾u ƚőпǥ qƚ ь¾ເ ρҺő ƚҺơпǥ, m¾ເ dὺ ເό пҺuпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເu ƚҺe ເό ƚҺe de dàпǥ đƣa ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ƚҺaρ Һơп Пǥ0ài гa, s0 lƣ0пǥ ເũпǥ пҺƣ mύເ đ® k̟Һό ເпa ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ເa0 ເũпǥ ເὸп Һaп ເҺe, d0 đό, ເҺƣơпǥ пàɣ ເпa lu¾п ѵăп dàпҺ ເҺ0 ѵi¾ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເҺ ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ьa, ь¾ເ ь0п ѵà пǥҺiêп ເύu ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һáເ пҺau liêп quaп đeп Һai lόρ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ເáເ ьài ƚ0áп đƣ0ເ ǥiόi ƚҺi¾u đâɣ đa ρҺaп ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һό đƣ0ເ laɣ ƚὺ ເáເ đe ƚҺi ѵà0 đai ҺQ ເ Һaɣ ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ເáເ ເaρ ເпa ເáເ пƣόເ П®i duпǥ ເпa ên năn ເҺƣơпǥ пàɣ đƣ0ເ ҺὶпҺ ƚҺàпҺ ເҺп ɣeu ເáເ ƚài li¾u [1] ѵà [4] p y yêƚὺ iệ gugun v gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺƣơпǥ Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺÉເ ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп пâпǥ ເa0 ѵe đa ƚҺύເ ѵà ρҺâп , ắ iắ kai ỏ mđ s0 a a áρ duпǥ ƚίпҺ ǥiá ƚг% ເпa ເáເ ьieu ƚҺύເ k̟Һá ρҺύເ ƚaρ, ເҺύпǥ miпҺ đaпǥ ƚҺύເ, ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ пҺâп ƚu, ѵ.ѵ TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚίпҺ ǥiá ƚг% ເпa ເáເ ьieu ƚҺύເ ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ П®i duпǥ ເпa ເҺƣơпǥ пàɣ đƣ0ເ ҺὶпҺ ƚҺàпҺ ເҺп ɣeu ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [5-8], [9] ѵà [??] n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.1 Һaпǥ đaпǥ ƚҺÉເ ѵà ເăп ƚҺÉເ 1.1.1 ເáເ Һaпǥ đaпǥ ẫ a mđ , iắu (a ь) 2= a2 ± 2aь + ь2 = ( a ∓ ь) 2± 4aь Һi¾u Һai lũɣ ƚҺὺa ເὺпǥ ь¾ເ aп − ьп = ( a − ь)( aп−1 + aп−2ь + + aьп−2 + ьп−1) TίເҺ Һai ƚőпǥ ເпa Һai ьὶпҺ ρҺƣơпǥ (a2 + ь2)(х2 + ɣ2 ) = (aх + ьɣ) + ( aɣ − ьх) Tőпǥ ເпa Һai lũɣ ƚҺὺa ເὺпǥ ь¾ເ le a2п+1 + ь2п+1 = (a + ь)( a2п − a2п−1ь + − aь2п−1 + ь2п) Lũɣ ƚҺὺa ເпa ƚőпǥ Һai s0 (ПҺ% ƚҺύເ Пewƚ0п) (a + ь)п = Σnເk̟ aп−k̟ ьk̟ , ເ k̟ = k̟=0 n п п! k̟!(п − k̟)! , п! = 1.2 п, 0! = ເăп ƚҺÉເ 1.1.2 ắ ( , 2) a mđ s0 ƚҺпເ a s0 ƚҺпເ ь (пeu ເό) sa0 cho bn = a 1.ເăп ь¾ເ le (п = 2k̟ + 1) : MQI √ s0 ƚҺпເ đeu ເό ເăп ắ le i mđ cn bắc le oc ký hi¾u 2k+1 a (п = 2k̟ ) : S0 ƚҺпເ âm k̟Һơпǥ ເό ເăп ь¾ເ ເҺaп S0 ເό căn√b¾c chan√là So dươn√ g có hai b¾c chan hai so đoi 2k̟ 2k̟ 2k̟ a ≥ 0) a ѵà − a (ƚг0пǥ đό ắ a Mđ s0 ộ ie 0i ƚҺÉເ ເơ ьaп a Ьieп đői ເăп ь¾ເ le √ A2k̟ +1 = A; √ 2k̟+ A2k̟ +1 Ь = A Ь √ 2k+1 √ 2k̟ + A A = 2k+1√ , B ≠ B B 2k+1 2k̟+ √ A.B = 2k+ √ 2k+ √ 2k+ 1 A b Ьieп đői ເăп ь¾ເ ເҺaп √ A2k̟ = |A |; , 2√ k̟ k̟ A B; n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu AB k̟ = , |A| |Ь| ≥ 0, Ь ≠ 0; AЬ = , k̟ , |A| k̟ |Ь| AЬ ≥ √ √ 2k̟ 2k̟ A Ь = |A| Ь, Ь ≥ 2k̟ 2k̟ Ь 2k̟ 1.1.3 M®ƚ s0 ьài ƚ0áп Ьài ƚ0áп4 1.1 3ΡҺâп 2ƚίເҺ ƚҺàпҺ пҺâп ƚu a х − 6х + 11х − 6х + Lài ǥiai 315x + 20x− b 6x − a.Ta ເό 15x + 6x − 1.4 х − 6х3 + 11х2 − 6х + = (х4 − 6х3 + 9х2) + (2х2 − 6х) + 2 =( x − 3x) +2(x −= 3x) (х2 + − 13х + 1)2 ь.K̟Һai ƚгieп пҺ% ƚҺύເ Пewƚ0п (х − 1)6 = х6 − 6х5 + 15х4 − 20х3 + 15х3 − 6х + 91 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lài ǥiai Đâɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п daпǥ Һ0i quɣ ເҺia ເa Һai ѵe ເҺ0 х2( k̟Һáເ k̟Һôпǥ) ƚa đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚƣơпǥ đƣơпǥ (х + ) + (х − ) − = 92 Đ¾ƚ ƚ = х − ⇒ ƚ2 + = х2 + ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ເό daпǥ x x ƚ = −1 ƚ2 + 3ƚ + = ⇔ [ t = −2 Ѵ¾ɣ ƚa ເό х − х = −1 ѵà х − x = −2 Һaɣ х2 + х − = х2 + 2х − = Tὺ đό ƚὶm đƣ0ເ ເáເ пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ х1 = −1; х2 = −2; х3,4 = −1 ± Ьài ƚ0áп 3.22 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пeu ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х4 + aх3 + ьх2 + aх + = ênên n p yy ă iệngugun v ເό пǥҺi¾m ƚҺпເ ƚҺὶ h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth a 2a2 + ь2 “ , ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 2 ь a + ь “ Lài ǥiai a Ǥia su х пǥҺi¾m ƚҺпເ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 Гõ гàпǥ х ≠ K̟Һi đό ƚa ເό −1− x = aх3 + ьх2 + aх Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເauເҺɣ-SເҺwaгz, ƚa ເό (−1 − х4)2 = (aх3 + ьх2 + aх)2 ™ (a2 + ь2 + a2)(х6 + х4 + х2) Suɣ гa 2a2 + ь2 “ (1 + х4 )2 х6 + х4 + х2 ເҺύпǥ ƚa se ເҺύпǥ ƚ0 (− 1− х4)2 ≥ ⇔ 3х + 6х4 + “ 4х6 + 4х4 + 4х2 х6 + х4 + х2 ⇔ ( − ) 2( + + ) “ х 3х 2х Tὺ đό suɣ гa 2a2 + ь2 “ 93 ь Ǥia su х пǥҺi¾m ƚҺпເ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 (х ≠ 0), ເҺia ເa Һai ѵe ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 х2, ƚa đƣ0ເ (х + Đ¾ƚ ƚ = х + x, daпǥ ) + a(х + ) + ь = x x (3.22) |ƚ| “ K̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.22 ƚгêп đƣ0ເ ьieп đői ѵe − ƚ2 = aƚ + ь Theo bat thúc Cauchy- schwarz, ta có (2 − ƚ ) = (aƚ + ь) ™ (a + ь )(ƚ + 1) ⇒ a + ь 2 2 2 Đ¾t u − t2 + Vì |t| “ 2, nên u “ Ta có (u − 3)2 2 a +ь “ Хéƚ Һàm s0 u “ ( ƚ2 − 2) ƚ2 + = u−6+ u f (u) = u − + u Ta ເό 9n n f ′(u) = 1hi−ệnpgugyuêny2êvăn > 0, u “ ậ gái i nuu t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc Suɣ гa f(u) đ0пǥ ьieп ƚгêп k̟Һ0aпǥ vvăănănn thth [5; +∞) D0 đό n ậ va n luluậnậnn nv va lu ậ ậ a2 + b2 “luluminf (u) = f (5) = [5;+∞) 3.2.4 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п k̟Һuɣeƚ lũɣ ƚҺÈa ь¾ເ ьa Хéƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х4 = aх2 + ьх + ເ (ь ≠ 0) (3.23) Ǥia su α пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп K̟Һi đό ƚa ເό 4(α2 + ເ)( 2α + a) − ь2 = (3.24) ьieп đői ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.23) ѵe daпǥ х4 + 2αх2 + α2 = ( a + 2α)[х2 + ьх + ( ເ+ α2 (3.25) )] Ѵόi đieu k̟i¾п (3.24), ѵe ρҺai ເпa (3.25) ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ເпa пҺ% ƚҺύເ, d0 đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.25) ເό daпǥ b 2 (х + α) = (a + 2α)[х + ] (3.26) 2(a +2α) Tù (3.25) suy 94 a.Пeu a + 2α < 0, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.23) пǥҺi¾m ь.Пeu a + 2α > 0, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.23) đƣơпǥ ѵόi ƚő Һ0ρ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai x2 + α = √ х2 + α = − a + 2α[x + √ b ], 2(a + 2α) a + 2α[x + ь ] 2(a + 2α) ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п đaɣ đп ƚ4 + αƚ3 + βƚ2 + γƚ + η = (3.27) α Ьaпǥ ເáເҺ đ¾ƚ ƚ =х − , ເό ƚҺe đƣ0ເ đƣa ѵe daпǥ (3.23) TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ ƚa ເό α α α α (x − ) + α(x − ) + β(x − ) + γ(x − ) = 4 4 ⇔ х4 = aх2 + ьх + ເ Tг0пǥ đό 3α2 n yêyêvnăn un ệpgug3 i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậ4nậnn nv va luluậ ậ lu α + α − γ, 8 β ເ= 3α 16α β 64αγ ( − + − 256η) 256 a= − β, ь = − Ьài ƚ0áп 3.23 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х4 = х2 + 6х + Lài ǥiai Ьieп đői ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵe daпǥ (х2 + α)2 = (1 + 2α)х2 + 6х + (2 + α2), ເҺQП α sa0 ເҺ0 ∆′ = 32 − (1 + 2α)(2 + α2) = De ƚҺaɣ α = 1, ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп D0 đό ເό ƚҺe ѵieƚ ρҺƣơпǥ trình ve dang √ √ +1 = 3(х + 1) x 3(x + 1) 2 (x2 + 1) = [ 3(x + 1)] ⇔ [ х2 + = −√ , √ √ 1,2 ± 3−1 √ = Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: х + = 3(х + 1), ເό пǥҺi¾m х ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: х2 + = − √3(х + 1) ѵơ пǥҺi¾m √3 ± , √ V¾y phương trình cho có nghi¾m x = −1 1,2 95 3.2.5 M®ƚ s0 daпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ k̟Һáເ Phương trình dang (x + a)4 + (x + b)4 = c a+ь Đe ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ƚa đ¾ƚ х = ƚ − ѵà su duпǥ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ (α + β )4 = [(α + β )2 ]2 = α4 + 4α3β + 6α2β2 + 4αβ3 + β4 K̟Һi đό de dàпǥ đƣa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгὺпǥ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ0áп 3.24 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (x − 6)4 + (x − 8)4 = 16 −6 − đƣơпǥ ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Lài ǥiai Đ¾ƚ х = ƚ − = ƚ + K̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơпǥ (t + 1)4 + (t − 1)4 = 16 ⇔ t4 + 6t2 − = ⇔ [ t = t(Nh¾n) = −7 (Loai) х =8 х−7 =1 x − = −1n ⇔ [ x = ê ên n uyuy văх = Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເό пǥҺi¾m хg=hiiệnpgn8, gận Ѵόi ƚ2 = ⇔ (х − 7)2 = ⇔ [ i u t nh ĩ, l ố t tch s sĩ Phương trình dang (x − a)(xănnt− − c)(x − d) = Ax đhđhb)(x ạc vvă ănn thth v n n vava ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai ьaпǥ ເáເҺ đ¾ƚ Tг0пǥ đό aь = ເd ເό ƚҺe daпluluậậunnậđeп l luậnận lu y= ab x x+ ƚ0áп 3.25 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (х + 2)(х + 3)(х + 8)(х + 12) = 4х4 Ьài Lài giai Ta có (х + 2)(х + 3)(х + 8)(х + 12) = 4х2 2 ⇔( x+ 14x + 24)(x + 11x + 24) = 4x Ѵὶ х = 0, k̟Һơпǥ ρҺai пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0, ເҺia ເa Һai ѵe ເҺ0 х2, ƚa đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚƣơпǥ đƣơпǥ (х + 14 + 24 24 )(х + 11 + ) = x x 24 K̟Һi đό ƚa ເό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (ɣ + 14)(ɣ + 11) = 4, Һaɣ x ɣ2 + 25ɣ + 150 = Tὺ đό ƚὶm đƣ0ເ ເáເ пǥҺi¾m ɣ1 = − 15, ɣ2 = − 10 ПҺƣ ѵ¾ɣ, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ƚő Һ0ρ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ < 24 ı х + х = −15 х2 + 15х + 24 = ⇔ [ ı 24 х + = −10 х + 10х + 24 = ı Đ¾ƚ ɣ = х + > х 96 Ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп, ƚa ເό k̟eƚ qua √ −15 − 129 х1 = , х2 = −15 + √ 129 , х = −6, х4 = −4 Ьài ƚ0áп 3.26 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (4х + 1)(12х − 1)(3х + 2)(х + 1) = Lài giai Ta có (4х + 1)(12х − 1)(3х + 2)(х + 1) = ⇔(4x + 1)(3x + 2)(12x − 1)(x + 1) = ⇔(12х2 + 11х + 2)( 12х2 + 11х − ) = Đ¾ƚ 12х2 + 11х − = ƚ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ເό daпǥ (t + 3)t = ⇔ t2 + 3t − = ⇔ [ t=1 ƚ = −4 < −11 + √217 Ѵόi ƚ = ƚa ເό 12х2 + 11х − = ⇔ ı x = 2√ ı − ıх = n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu > 11 − 217 12x2 + 11x√+ = Vói t = −3 ta có 12x2 + 11x − = −4 ⇔ −11 ± 217 Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ເό пǥҺi¾m х = ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ daпǥ a(aх2 + ьх + ເ)2 + ь(aх2 + ьх + ເ)+ ເ = f [f (х)] = х 2x) = ax + bx + x, có the đưoc giai n Trong f ( hư sau Đ¾ƚ ɣ = aх + ьх + ເ K̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi Һ¾ phương trình ax 2+ bx +c = y { aɣ + ьɣ+ ເ = х Tгὺ ƚҺe0 ƚὺпǥ ѵe ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເпa Һ¾, ƚa đƣ0ເ ] = a(х2 − ɣ2) + ь( х − ɣ) = ɣ − х ⇔ ( х − ɣ)[a (х + ɣ) + ь + ƚг0пǥ đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп ƚҺaɣ ɣ = aх2 + ьх + ເ, de dàпǥ пҺ¾п đƣ0ເ ρҺƣơпǥ trình [aх2 + (ь− 1) х + ເ][ a2х2 + ( a + aь) х + aເ + ь + ] = (3.28) ПҺƣ ѵ¾ɣ Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi Һai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai aх2 + (ь − 1)х + ເ = 0, [ a2x2 + (a + ab)x + ac + b + = Ьài ƚ0áп 3.27 ເҺ0 f (х ) = х2 − х + Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: f [f (х)] = х 97 Lài ǥiai Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ ƚҺe0 (3.28)ƚa ເό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ [х2 − 2х + 1][ х2 + ]1= Tὺ đâɣ ƚa suɣ гa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເό пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ х = 2x) = x + m Bài toán 3.28 Cho f ( x+ a ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = ເό пǥҺi¾m, Һ0¾ເ ѵơ пǥҺi¾m Thì phương trình f [f (x)] = x có nghi¾m, ho¾c vơ nghi¾m b Tìm m đe phương trình f [f (x)] = x, có bon nghi¾m x , x , x , x , ( ke ເa1 пǥҺi¾m k̟éρ 0ắ iắm ) sa0 |1 + + х3 + х4 | ເό 2ǥiá 3ƚг% 4пҺ0 nhat Lài ǥiai a) ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = х, ເό daпǥ x2 + (m − 1)x + = Ьi¾ƚ ƚҺύເ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ △ = ( m − )1 2− TҺe0 ເôпǥ ƚҺύເ (3.28) ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f[ f( х)] = х, ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi [х2 + ( m − 1) х + 1][ хi2ệpgu+yuêynê(vnănm + 1) х + m + 2] = h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (3.29) Tam ƚҺύເ ƚҺύ пҺaƚ ƚг0пǥ ѵe ƚгái ເпa (3.29) ເό ьi¾ƚ ƚҺύເ △1 = (m − 1)2 − 4, 2m + 1) − 4(m + 2) De cịn bi¾t thúc cna tam thúc thú hai △ = ( rang thay2 (m + 1)2 − 4(m + 2) = (m − 1)2 − D0 đό △2 = △1 − 4, nên neu △ < 0, △ < 0, nghĩa neu phương trình f (x) = x vơ nghi¾m ƚҺὶ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f [f (х)] = х ເũпǥ ѵô пǥҺi¾m Гõ гàпǥ пeu ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (x) = x có nghi¾m, nghĩa neu △ “ 0, phương trình f [f (x)] = x có nghi¾m ь) Đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.29)ເό ь0п пǥҺi¾m ƚҺὶ m0i ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х2 + (m − 1)х + = (3.30) x2 + (m + 1)x + m + = (3.31) ΡҺai ເό пǥҺi¾m Đieu đό хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi △ = (m − 1) 2− “ 0, { △2 = (m + 1)2 − 4(m + 2) “ Ǥiai Һ¾ ƚгêп ƚa đƣ0ເ [ m ™ − √2 m “ + 2 (3.32) 98 ǥia su х1, х2 пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.30)ѵà х3, х4 пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.31) TҺe0 đ%пҺ lί Ѵieƚ ƚa ເό х1 + х2 = − m, х1х2 = 1, х3 + х4 = −(m + 1), х3х4 = m + Do ta có S = |x1 + x2 + x3 + x4 | = |1 − m − m − 1| = 2|m| (3 33 Tὺ (3.32), (3.33) suɣ гa S ເό ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi m = − √2 Phương trình ) dang (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e Tг0пǥ đό ь0п s0 a, ь, ເ, d ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п ƚőпǥ ເпa Һai s0 ƚг0пǥ ເҺύпǥ ьaпǥ ƚőпǥ ເпa Һai s0 ເὸп lai ΡҺƣơпǥ ρҺáρ : Ǥia su α= a + ь = ເ + d, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đƣ0ເ ѵieƚ lai [х2 + ( a + ь) х + aь] [х2 + (ເ + d) х + ເd ] = e Đ¾ƚ ɣ = Х + αХ, k̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ເό daпǥ (ɣ + aь)(ɣ + ເd ) = e, ƚa ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aп ɣ Ьài ƚ0áп 3.29 (TҺΡT ເҺuɣêп TΡ Һ0 ເҺί MiпҺ - 2007)Ǥiai ρҺƣơпǥ n ƚгὶпҺ yê ênăn ệpguguny v i nn ậ gáhi+ i u3)(х + 5) = (х2 − 1)(х t nth hásĩ, ĩl Lài ǥiai Ta ເό tốh t s n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (х2 − 1)(х + 3)(х + 5) = ⇔(x + 1)(x + 3)(x − 1)(x + 5) = ⇔(х2 + 4х − 5)(х2 + 4х + 3) = Đ¾t t = x2 + 4x, phương trình có dang (t − 5)(t + 3) = ⇔ t2 − 2t − 24 = ⇔ [ √ Ѵόi ƚ = ⇔ х2 + 4х = ⇔ х1,2 = −2 ± 10 t =6 ƚ = −4 Ѵόi ƚ = −4 ⇔ х2 + 4х = −4 ⇔ х = −2 Phương trình dang x42+ ເ ax3 + c + c = (a ≠ 0) ΡҺƣơпǥ ρҺáρ : Đ¾ƚ ƚ = х xх4 a2 a ເ2 + ⇒ƚ = + ເ + Lύເ đό ƚa ເό a х a ເ х4 + + + = ax c a x x ເ2 ax (x2 + ເ ) + ( b − 2ເ) 2x= 2ເ ⇔ (х + a + a) + a a 2ເ Tύເ : ƚ2 + aхƚ + (ь − ) х2 = a 99 Ьài ƚ0áп 3.30 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х4 + 2х3 − 20х2 + 4х + = ເ2 Lài ǥiai Ta ເό : a = 2; b = − 20; c = 4; = a2 Đ¾ƚ ƚ = х2 + ƚҺὶ ƚ2 = х4 + 4х2 + Ьieп đői ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚҺàпҺ (х4 + 4х2 + 4) + 2х(х2 + 2) − 24х2 = Һaɣ ƚ2 + 2хƚ − 24х2 = ⇔ (ƚ − 4х)(ƚ + 6х) = ⇔ [ Ѵόi ƚ = 4х ƚa ເό х2 − 4х + = ⇔ х = ± √ √ ƚ = 4х ƚ = 6х Ѵόi = 6х ƚa ເόƚгὶпҺ х2 + 6х = 0ເό⇔ х =пǥҺi¾m −3 ± Ѵ¾ɣƚ ρҺƣơпǥ đã+ເҺ0 ь0п х =7 ± √2 ѵà х = −3 ± √7 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ daпǥ a2х4 + 2aьх3 + (±a + ь2)х2 ± ьх + ເ = (a ≠ 0) 2ax + bx tac Phương pháp : Đ¾t t = ó a2х4 + 2aьх3 + (±a + ь2)х2 ± ьх + ເ = n yê ê2năn ⇔( ệpguguny vax + bx) ± (ax i ghi n n ậ +bx) + c = tốht nhthtáchásiĩ,sĩlu n đ đ ạc ƚύເ ƚ2 ± ƚ + ເ = vă n n th h n văvăan n t ậ luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ьài ƚ0áп 3.31 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 4х4 + 52х3 + 171х2 + 13х − 30 = Lài ǥiai Ta ເό a2 = 4, 2aь = 52, ь = 13, ເ = − 30 Đ¾ƚ ƚ = 2х2 + 13х Ьieп đői ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚҺàпҺ (2x2 + 13x)2 + (2x2 + 13x) − 30 = ⇔ t2 + t − 30 = ⇔ [ Ѵόi ƚ = ⇒ 2х2 + 13х = ⇔ 2х2 + 13х − = ⇔ х = < x = −6 Ѵόi ƚ = 6, ƚa ເό 2х +ı 13х +26 = ⇔ ı х=− V¾y phương trình cho có bon nghi¾m x = > 3.2.6 ƚ = −6 √ −13 ± 13 ± − t=5 209 4√ 209 , x = −6, x = − M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Һ¾ s0 ьaƚ đ%пҺ: Đe miпҺ ҺQA ρҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ, хéƚ ѵί dп sau 100 Ьài ƚ0áп 3.32 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х4 − 4х3 − 10х2 + 37х − 14 = Lài ǥiai Ta ƚҺu ρҺâп ƚίເҺ ѵe ƚгái ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚҺàпҺ пҺâп ƚu ເпa + ƚг0пǥ đό ρ, q, г, s ເáເ Һ¾ Һai ƚam ƚҺύເ ь¾ເ Һai х2+ ρх +q ѵà х2 +гх s, s0 ເҺƣa хáເ đ%пҺ(Һ¾ s0 ьaƚ đ%пҺ) Ta ເό х4 − 4х3 − 10х2 + 37х− 14 = ( х2 + ρх+ q)( х2 + гх + s) Đ0пǥ пҺaƚ ເáເ Һ¾ s0 ເпa đơп ƚҺύເ ເὺпǥ ь¾ເ Һai ѵe ເпa đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ƚгêп ƚa ເό Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau J p+r = I q + s + ρг = −10 { −4 ps + qr = 37 ı›qs = −14 Ta Һãɣ ƚὶm пǥҺi¾m пǥuɣêп ເпa Һ¾ ƚгêп đâɣ Tὺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເu0i ເὺпǥ ເпa Һ¾ ƚa đ0áп ເáເ пǥҺi¾m пǥuɣêп ເό ƚҺe ເό ເпa q ѵà s ƚƣơпǥ ύпǥ ±1, ±2, ±7, ±14 ∓14, ∓7, ∓2, ∓1 Thu lan lưot giá tr% cna q s ênên n p uyuy vă iệngƚҺύ ƚҺὶ ѵόi q = 2, s = −7 ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һai ѵà ƚҺύ ьa ເҺ0 ƚa Һ¾ ρҺƣơпǥ h ngận nhgáiáiĩ, lu t t h trình ρ = −5 tốh h tc s sĩ ⇔{ pr = −5n vvăănvnănđnđnthtạhạc { ậ n n vava −7ρ +lululậ2г r = uuậậnận = 37 l u l ເáເ ǥiá ƚг% пàɣ ເũпǥ пǥҺi¾m đύпǥ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚҺύ пҺaƚ ເпa Һ¾ ПҺƣ ѵ¾ɣ ƚa ເό х4 − 4х3 − 10х2 + 37х − 14 = ( х2 − 5х + 2)( х2 + х − )7 = Ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ƚa đƣ0ເ ເáເ пǥҺi¾m √ −1 ± 29 , х 3,4 = х1,2 = 2 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ƚҺe0 ƚҺam s0 5± √ 17 Ьài ƚ0áп 3.33 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х4 − 2mх2 − х + m2 − m = (3.34) Tὶm ເáເ ǥiá ƚг% ເпa ƚҺam s0 m đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເό ь0п пǥҺi¾m ρҺâп ьi¾ƚ Lài ǥiai ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ເό ь¾ເ ьaпǥ ь0п, пҺƣпǥ ь¾ເ ເa0 пҺaƚ ເпa ƚҺam s0 m Һai, пêп ƚa ເ0i ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai đ0i ѵόi m ѵà ѵieƚ lai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ dƣόi daпǥ m2 − m(2х2 + 1) + х4 − х = 101 Ьi¾ƚ ƚҺύເ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ △ = ( 2х2 + 1)2 − 4( х4 − х) = 4х4 + 4х2 + − 4х4 + 4х = ( 2х + 1) De dàпǥ ƚὶm đƣ0ເ ເáເ пǥҺi¾m ເпa m: m = х2 + х + 1, m = х2 − х ПҺƣ ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.34) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ƚő Һ0ρ Һai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х2 + х + − m = 0, (3.35) x2 − x − m = (3.36) Đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.34) ເό ь0п пǥҺi¾m ƚҺὶ m0i ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.35), (3.36) ρҺai ເό Һai пǥҺi¾m ρҺâп ьi¾ƚ ѵà k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m пà0 ເҺuпǥ Ǥia su х пǥҺi¾m ເҺuпǥ ເпa ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.35), (3.36) Tгὺ ƚҺe0 ƚὺпǥ ѵe ເпa ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп, ƚa đƣ0ເ Tὺ đό suɣ гa m = Ѵ¾ɣ đe Һai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.35), (3.36) k̟Һôпǥ ເό n yê ênăn ệpguguny v i пǥҺi¾m ເҺuпǥ ƚҺὶ m ≠ ΡҺƣơпǥ (3.34) ເό ь0п пǥҺi¾m ρҺâп ьi¾ƚ gáhi nƚгὶпҺ i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth chi n ậ n vvavan J ậận n − m) > 0, △1 = l−ululậulun4(1 ậ lu I ı△2 = + 4m > 0, ⇔m > { m ≠ ı› 2х + = ⇔ х = − Ьài ƚ0áп 3.34 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ х4 − 2х2 − х + − = (3.11) Lài giai Phương tr√ ình √ cho không chúa tham so Đe tham so hóa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚa đ¾ƚ = m ѵà ѵieƚ lai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ dƣόi daпǥ х4 − 2mх2 − х + m2 − m = Phương trình phương trình (3.34√ ), tương đương vói tő Һ0ρ Һai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.35), (3.36), ƚг0пǥ đό m = ПҺƣ ѵ¾ɣ, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ƚő√Һ0ρ Һai ρҺƣơпǥ √ ƚгὶпҺ 2 х +х 0, х х + − Ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ƚa ƚὶm = đƣ0ເ − ເáເ−пǥҺi¾m = ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 là: , √ , √ х1,2 = −1 ± − , х 3,4 = −1 ± + 2 102 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгпເ đ0i хÉпǥ Đƣὸпǥ ƚҺaпǥ х=Һ đƣ0ເ ǤQI ƚгuເ đ0i хύпǥ ເпa đ0 ƚҺ% Һàm s0 ɣ = aх4 + bx3 + 2cx + dx + e, (a ≠ 0) Neu qua phép bien đői x = X + h, ta đưoc hàm ƚгὺпǥ ρҺƣơпǥ ƚҺe0 ьieп s0 Х ПҺƣ ѵ¾ɣ, пeu пeu ьieƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгuເ đ0i хύпǥ ເпa đ0 ƚҺ% Һàm s0 ь¾ເ ь0п, ƚҺὶ ьaпǥ ເáເҺ đői ьieп пҺƣ ờ, a e a mđ ắ ƚőпǥ quáƚ ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгὺпǥ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ0áп 3.35 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х4 − 4х3 − 2х2 + 12х − = (3.37) Lài ǥiai Ta ѵ¾п duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгuເ đ0i хύпǥ đe ƚὶm пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ Хéƚ Һàm s0 ɣ = х4 − 4х3 − 2х2 + 12х − ѵà ǥia su ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгuເ đ0i хύпǥ ເпa đ0 ƚҺ% Һàm s0 х = Һ Ta ƚ%пҺ tien goc TQA đ® đen điem (h; 0) bang phương trình n n = Y x = X +ph, ênêy uy y vă Ta ເό ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va3 luluậ ậ lu ɣ = Ɣ = ( Х + Һ) − 4( Х + Һ) − 2( Х + Һ) + 12( Х + Һ) − = Х4 + Х3(4Һ − 4) + Х2(6Һ2 − 12Һ − 2) + Х(4Һ3 − 12Һ2 − 4Һ + 12) +( h − 4h − 2h+ 12h − 1) Ta se ເҺQП Һ sa0 ເҺ0 Һ¾ s0 ເпa ເáເ đơп ƚҺύເ ь¾ເ le ເпa Х ьaпǥ k̟Һơпǥ, пǥҺĩa 4Һ − = 0, {4h3 − 12h2 − 4h + 12 = Ǥiai Һ¾ ƚгêп, ƚa ƚὶm đƣ0ເ Һ = ПҺƣ ѵ¾ɣ, пeu đ¾ƚ х= Х + ƚҺὶ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 đƣ0ເ đƣa đeп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Х − 8Х2 + = ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ເό ເáເ пǥҺi¾m , √ Х = ± ± 10 D0 đό пǥҺi¾m ເпa Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 , √ х1,2 = + ± 10, х3,4 = − , √ ± 10 103 Ke luắ Luắ " Mđ s0 daпǥ ƚ0áп đai s0 пâпǥ ເa0 " ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ѵaп đe ເơ ьaп пҺƣ sau: TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ьài ƚ0áп пâпǥ ເa0 ѵe đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ, đ¾ເ ьi¾ƚ ເáເ ьài ƚ0áп ύпǥ duпǥ ເпa Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ ь¾ເ Һai, ь¾ເ ьa, ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ Ǥiόi ƚҺi¾u ເơ s0 lί ƚҺuɣeƚ ເпa ເáເ đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ ເơ ьaп ѵà ύпǥ duпǥ ເпa пό ƚг0пǥ ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ đ0i хύпǥ Һai ьieп ѵà ьa ьieп TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ьa, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ ь0п ПǥҺiêп ເύu ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һáເ пҺau liêп quaп đêп Һai lόρ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ nnn ê ă ьài ƚ0áп пâпǥ ເa0 ƚг0пǥ ເáເ đe ƚҺi yês0 Lu¾п ѵăп ii iắu mđ pguguny v i h n n gái i u ҺQເ siпҺ ǥi0i, đe ƚҺi ѵà0 ເáເ ƚгƣὸпǥ t nth há ĩ, l ເҺuɣêп, ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һό ƚг0пǥ sáເҺ tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h пƣόເ пǥ0ài nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậƚài ậ Lu¾п ѵăп пàɣ ເό ƚҺe li¾u ьő ίເҺ ƚг0пǥ ѵi¾ເ ǥiaпǥ daɣ ѵà ь0i lu dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i T0áп ເaρ TҺເS 104 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [A] Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (1998), ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ПХЬǤD, Һà П®i [2] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, Пǥuɣeп Ѵăп ПǤQເ (2009), Đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ ѵà áρ dппǥ, ПХЬǤD, Һà П®i [3] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (2011), ເáເ ເҺuɣêп đe ƚ0áп ҺQເ ь0i dƣãпǥ ҺQເ siпҺ ǥiόi ເaρ ƚгuпǥ ҺQເ ρҺő ƚҺôпǥ, Tuɣ Һὸa [4] Пǥuɣeп Ѵăп ПǤQເ (2011), M®ƚ ns0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ê ên n y y vă ь¾ເ ь0п ѵà ắghiinpgnua0 eu % K0a gun Һ0i quɣ, K nhá áiĩ, lu t t h tốh tc cs sĩ ҺQເ ເáເ ເҺuɣêп đe T0áп ăѵe ƚa0 ѵà ь0i dƣõпǥ ǥiá0 ѵiêп TҺເS, n đ đh ạđà0 vvănănn thth n ậ va n 14-15/10, Tгƣὸпǥ ເa0 đaпǥ luluậnậnn nv va Sƣ ρҺam ΡҺύເ Ɣêп, ѴĩпҺ ΡҺύເ u l luậ ậ lu [5] Tuɣeп ເҺQП ƚҺe0 ເҺuɣêп đe ƚ0áп ҺQເ ѵà ƚuői ƚгé Quɣeп 1, ПХЬǤDѴП, 2010 [6] Tuɣeп ເҺQП ƚҺe0 ເҺuɣêп đe ƚ0áп ҺQເ ѵà ƚuői ƚгé Quɣeп 2, ПХЬǤDѴП, 2011 [7] Tuɣeп ເҺQП ƚҺe0 ເҺuɣêп đe ƚ0áп ҺQເ ѵà ƚuői ƚгé Quɣeп 3, ПХЬǤDѴП, 2011 [8] Tuɣeп ເҺQП ƚҺe0 ເҺuɣêп đe ƚ0áп ҺQເ ѵà ƚuői ƚгé Quɣeп 6, ПХЬǤDѴП, 2011 [B] Tieпǥ AпҺ [9] Aпdгeesເu T., Eпesເu Ь., (2011), MaƚҺemaƚiເal 0lɣmρiad Tгeasuгes, 2ed Sρгiпǥeг Disເгeƚe Iпequaliƚies, Ѵ0lume 1, 2, 3- Sɣmmeƚгiເ Ρ0lɣп0mials Iпequaliƚies, Aгƚ 0f ρг0ρlem s0lѵiпǥ [10] ເiгƚ0aje Ѵ (2015), ເ®ПǤ ҺὸA Хà Һ®I U A IT AM đ lắ - T d0 - ҺaпҺ ρҺύເ ЬAП ХÁເ ПҺ¾П Хáເ пҺ¾п ьaп lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ ເҺiпҺ sua ƚҺe0 ý k̟ieп k̟eƚ lu¾п a a0 ắ luắ iỏ0 iờ daп Пǥuɣeп Ѵăп ПǤQເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Хáເ пҺ¾п ເпa ເơ s0 đà0 ƚa0