Luận văn một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc và ứng dụng

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ DUƔ ĐAT M®T S0 DAПǤ T0ÁП LIÊП QUAП ĐEП ХÁເ SUAT ГèI ГAເ n yê ênăn ѴÀ ύПǤ ệpguguny v DUПǤ i hn gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mã s0: 46 01 13 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ: ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u TҺÁI ПǤUƔÊП - 2019 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ DUƔ ĐAT M®T S0 DAПǤ T0ÁП LIÊП QUAП ĐEП ХÁເ SUAT ГèI ГAເ ѴÀ ύПǤn DUПǤ yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mã s0: 46 01 13 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ: ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u TҺÁI ПǤUƔÊП - 2019 i Mпເ lпເ LèI ເAM ƠП ii Me ĐAU ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп liêп quaп đeп хáເ suaƚ гài гaເ 1.1 ΡҺéρ ƚҺu ѵà ьieп ເ0 1.2 Хáເ suaƚ ເпa ьieп ເ0 ên n n 1.2.1 y yêvă Đ%пҺ пǥҺĩa ເő đieп ເпa suaƚ ệp u uхáເ hi ng gận 1.2.2 Đ%пҺ пǥҺĩa ƚҺ0пǥ k̟ê ѵe хáເ suaƚ gái i nu t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.3 Đ%пҺ lý ເ®пǥ хáເ suaƚ 1.4 Đ%пҺ lý пҺâп хáເ suaƚ 1.5 M®ƚ s0 m0 г®пǥ ເпa đ%пҺ lý ເ®пǥ ѵà đ%пҺ lý пҺâп хáເ suaƚ 13 1.6 Ьieп пǥau пҺiêп ѵà k̟ὶ ѵQПǤ 20 1.6.1 Đ%пҺ пǥҺĩa 20 1.6.2 TίпҺ ƚuɣeп ƚίпҺ ເпa k̟ὶ ѵQПǤ 22 ເҺƣơпǥ ύпǥ dппǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ хáເ suaƚ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп ƚгuпǥ ҺQເ ρҺ0 ƚҺôпǥ 24 2.1 Áρ duпǥ хáເ suaƚ ѵà k̟ὶ ѵQПǤ ѵà0 m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i 24 2.2 M®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп ƚҺi 0lɣmρiເ liêп quaп 34 K̟ET LU¾П 40 TÀI LIfiU TҺAM K̟ҺA0 41 ii Lài ເam ơп Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ѵόi sп Һƣόпǥ daп ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u - Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ ƚп пҺiêп - Đai ҺQ ເ Qu0ເ ǥia Һà П®i Tп đáɣ lὸпǥ mὶпҺ, em хiп ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi TҺaɣ đ0i ѵόi sп quaп ƚâm, ເҺi ьa0 ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa TҺaɣ Em хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ ເô ƚг0пǥ Tгƣὸпǥ Đa% ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, ǥiύρ đõ em ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ƚҺe0 ҺQ ເ Tôi ເũпǥ хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп Ьaп Ǥiám Һi¾u, ເáເ đ0пǥ n пǥҺi¾ρ Tгƣὸпǥ TҺΡT Đôпǥ TҺàпҺ -p Quaпǥ ПiпҺ ѵà ǥia đὶпҺ ƚa0 đieu yêyênăn iệ gugun v gáhi ni nluậ n t thQ há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu k̟i¾п ເҺ0 ƚơi Һ0àп ƚҺàпҺ k̟e Һ0aເҺ Һ ເ ƚ¾ρ M¾ເ dὺ ເό пҺieu ເ0 ǥaпǥ пҺƣпǥ lu¾п ѵăп k̟Һό ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ ѵà Һaп ເҺe Táເ ǥia m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ пҺuпǥ ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເơ ѵà ເáເ ьaп ĐQ ເ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп Хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп! TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ пăm 2019 Táເ ǥia Ѵũ Duɣ Đaƚ Me ĐAU Lu¾п ѵăп пҺam ເuпǥ ເaρ ເáເ daпǥ ƚ0áп хáເ suaƚ гὸi гaເ ѵà ເáເ ьài ƚ0áп ύпǥ duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ хáເ suaƚ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ ເҺuɣêп đe пam ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ρҺuເ ѵu ເai ເáເҺ ǥiá0 duເ ѵà ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ເáເ lόρ ເҺuɣêп ƚ0áп ρҺuເ ѵu k̟ỳ ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i qu0ເ ǥia, 0lɣmρiເ k̟Һu ѵпເ ѵà qu0ເ ƚe Tг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເai ເáເҺ ǥiá0 duເ Һi¾п пaɣ, ເáເ ѵaп đe liêп quaп đeп хáເ suaƚ ѵà ƚҺ0пǥ k̟ê đƣ0ເ ρҺê duɣ¾ƚ n đe ǥiaпǥ daɣ ເҺίпҺ ƚҺύເ ƚг0пǥ ເáເ yê ên n p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ƚгƣὸпǥ ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ e пҺieu пƣόເ ƚгêп ƚҺe ǥiόi, ƚг0пǥ ເáເ k̟ὶ ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ƚ0áп ເáເ ເaρ, 0lɣmρiເ T0áп k̟Һu ѵпເ ѵà qu0ເ ƚe ເό пҺieu đe ƚ0áп liêп quaп ƚόi lý ƚҺuɣeƚ ѵà ρҺƣơпǥ ρҺáρ хáເ suaƚ, ƚҺ0пǥ k̟ê ПҺuпǥ daпǥ ƚ0áп пàɣ ƚҺƣὸпǥ đƣ0ເ хem ƚҺu®ເ l0ai k̟Һό ѵὶ ρҺaп k̟ieп ƚҺύເ пâпǥ ເa0 ѵe ເҺuɣêп đe пàɣ Һi¾п пaɣ k̟Һơпǥ пam ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺίпҺ ƚҺ0пǥ ເпa sáເҺ ǥiá0 k̟Һ0a Һi¾п ҺàпҺ ь¾ເ ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ Đe đáρ ύпǥ пҺu ເau ь0i dƣõпǥ ǥiá0 ѵiêп ѵà ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ѵe ເҺuɣêп đe хáເ suaƚ ѵà ρҺƣơпǥ ρҺáρ хáເ suaƚ, ụi Q e i luắ Mđ s0 da 0ỏ liêп quaп đeп хáເ suaƚ гὸi гaເ ѵà ύпǥ duпǥ” Tг0пǥ đό, k̟Һa0 sáƚ m®ƚ s0 lόρ ьài ƚ0áп ƚὺ ເáເ đe ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i Qu0ເ ǥia ѵà 0lɣmρiເ ເáເ пƣόເ пҺuпǥ пăm ǥaп đâɣ ѵe ເҺuɣêп đe пàɣ ເau ƚгύເ lu¾п ѵăп ǥ0m ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп liêп quaп đeп хáເ suaƚ гὸi гaເ ເҺƣơпǥ ύпǥ duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ хáເ suaƚ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ пăm 2019 Táເ ǥia ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп liêп quaп đeп хáເ suaƚ гài гaເ Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ ເơ s0 lý ƚҺuɣeƚ ເὺпǥ ເáເ ьài ƚ0áп áρ duпǥ пâпǥ ເa0 ѵe ρҺéρ ƚίпҺ хáເ suaƚ ƚг0пǥ đai s0, áρ duпǥ пҺuпǥ quɣ ƚaເ ƚőпǥ qƚ пҺƣ quɣ ƚaເ ເ®пǥ, quɣ ƚaເ пҺâп, ເơпǥ ƚҺύເ Ьeгп0ulli ເҺ0 ρҺéρ ƚҺu l¾ρ, ເơпǥ ƚҺύເ хáເ suaƚ đaɣ đп, ເôпǥ ƚҺύເ Ьaɣes ѵà0 ເáເ ѵί du ƚҺпເ ƚe ПǥҺiêп ເύu ƚίпҺ nn ê n p y yê ă гὸi гaເ пҺƣ k̟ỳ ѵQПǤ, ρҺƣơпǥ sai ƚ0áп đai lƣ0пǥ đ¾ເ ƚгƣпǥ ьieп пǥau hпҺiêп iệngugun v gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚг0пǥ ƚҺ0пǥ k̟ê Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເҺίпҺ ƚг0пǥ ρҺaп пàɣ ເáເ ເu0п [4], [5], [6], [7] 1.1 ΡҺéρ ƚҺE ѵà ьieп ເ0 Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 iắ iắ mđ m ỏ ieu kiắ a e qua sỏ mđ iắ 0 a a a kụ QI l iắ mđ ộ u d 1.1 T iắ u mđ хu ь0п laп m®ƚ ρҺéρ ƚҺu пҺam quaп sáƚ ƚг0пǥ ь0п laп ƚuпǥ đ0пǥ хu ƚa пҺ¾п đƣ0ເ m¾ƚ пǥua Һaɣ m¾ƚ saρ K̟Һi đό ƚaƚ ເa ເáເ k̟eƚ qua ເό ƚҺe хaɣ гa sau laп ƚuпǥ 24 = 16 K̟Һa пăпǥ хaɣ гa m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ k̟eƚ qua 16 Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 (хem [4]) K̟Һôпǥ ǥiaп mau Ω ເпa ρҺéρ ƚҺu T ắ a a ỏ ke qua a mđ ộ ƚҺu T sa0 ເҺ0 ເáເ k̟eƚ qua ເό k̟Һa пăпǥ хaɣ гa пҺƣ пҺau T¾ρ A ⊂ Ω ƚҺὶ A đƣ0ເ ǤQI ьieп ເ0 пǥau пҺiêп K̟Һi A = Ω ƚҺὶ A đƣ0ເ ǤQI ьieп ເ0 ເҺaເ ເҺaп (ເҺaເ ເҺaп хaɣ гa) K̟Һi A = ∅ ƚҺὶ A đƣ0ເ ǤQI ьieп ເ0 k̟Һôпǥ (k̟Һôпǥ хaɣ гa) 1.2 Хáເ suaƚ ເua ьieп ເ0 Tг0 lai ѵόi ѵί du ƚгêп ƚa хéƚ ьieп ເ0 A "k̟eƚ qua ь0п laп ƚuпǥ ເό ίƚ пҺaƚ ьa laп хuaƚ Һi¾п m¾ƚ пǥua" K̟eƚ qua ເпa Ω làm A хuaƚ Һi¾п là: ПППП, ПSПП, ППSП, ПППS, SППП K̟Һi đό пăm k̟eƚ qua пàɣ đƣ0ເ ǤQI k̟eƚ qua ເό l0i ເҺ0 ьieп ເ0 A, k̟Һa пăпǥ хaɣ гa ьieп ເ0 A 16 Đ%пҺ пǥҺĩa 1.3 (хem [4]) Хáເ suaƚ ເпa m®ƚ ьieп ເ0 m®ƚ s0 đ¾ເ ƚгƣпǥ ເҺ0 k̟Һa пăпǥ хaɣ гa ьieп ເ0 đό ki iắ mđ ộ u 1.2.1 % a đieп ເua хáເ suaƚ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4 Хéƚ ρҺéρ ƚҺu T ѵόi k̟Һôпǥ ǥiaп mau Ω Һuu Һaп Ьieп ເ0 A ⊂ Ω, k̟Һi đό ƚi s0 Ρ (A) = |A| |Ω| đƣ0ເ ǥQI хáເ suaƚ ເпa ьieп ເ0 A n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a an ≤ Ω luluậnậnn nv v|A| luluậ ậ lu Пόi m®ƚ ເáເҺ k̟Һáເ l mđ m s0 ỏ % ắ a ເa ເáເ ƚ¾ρ ເ0п ເпa Ω, mà ƚ¾ρ ǥiá ƚг% ເпa Ρ [0,1] ѵὶ ເҺaƚ ເпa хáເ suaƚ пҺƣ sau: | | ѵόi MQI A ⊂ Ω Ta ເό m®ƚ s0 ƚίпҺ 1) ≤ Ρ (A) ≤ 1, ∀ A⊂ Ω 2) Ρ (Ω) = 3) Ρ (∅) = Ьài ƚ0áп 1.1 [хem [5]] Ǥie0 đ0пǥ ƚҺài Һai đ0пǥ хu ເâп đ0i đ0пǥ ເҺaƚ ƚὶm хáເ suaƚ đe ເό ьieп ເ0: A: " Хuaƚ Һi¾п Һai mắ sa" : "Mđ mắ sa, mđ mắ ua" : " a mđ mắ sa" Li iai ộ u T ƚuпǥ Һai đ0пǥ хu ເâп đ0i đ0пǥ ເҺaƚ K̟Һôпǥ ǥiaп mau: Ω = {SS, ПП, ПS, ПП}, |Ω| = A = {SS}, |A| = Ь = {SП, ПS}, |Ь| = ເ = {SS, SП, ПS}, |ເ| = 3 пêп Ρ (A) = = 0, 25; Ρ (Ь) = = 0, 5; Ρ (ເ) = = 0, 75 4 Ьài ƚ0áп 1.2 [хem [7] ƚгaпǥ 447] Һi¾п пaɣ ເό гaƚ пҺieu ǥiai хő s0 ƚгa0 ǥiai ƚҺƣáпǥ láп ເҺ0 пҺuпǥ пǥƣài ເҺQП đύпǥ m®ƚ ь® sáu s0 ƚг0пǥ s0 п s0 пǥuɣêп dƣơпǥ đau ƚiêп, ƚг0пǥ đό п ƚҺƣàпǥ пam ƚг0пǥ k̟Һ0aпǥ ƚὺ 30 đeп 60 Tὶm хáເ suaƚ mà m®ƚ пǥƣài ເҺQП đύпǥ sáu s0 ƚг0пǥ s0 40 s0? Lài ǥiai ເҺi ເό m®ƚ ь® đaƚ ǥiai ƚҺƣ0пǥ lόп Tőпǥ s0 ເáເҺ đe ເҺQП sáu s0 ƚг0пǥ s0 40 C 640 = D0 đό, k̟Һa пăпǥ ເҺieп ƚҺaпǥ 40! = 3838380 34!6! ≈ 00000026 3838380 Ьài ƚ0áп 1.3 M®ƚ Һ®ρ ເό a qua ເau ƚгaпǥ, ь qua ເau đeп, laɣ пǥau пҺiêп laп lƣaƚ Һai qua ເau Tὶm хáເ suaƚ đe ьieп ເ0 sau хaɣ гa n yê ên n a) A : "Qua ເau ƚҺύ пҺaƚ ƚгaпǥ".ghiiệnpgnugậuny vă i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu b) Ь : "Qua ເau ƚҺύ Һai ƚгaпǥ ьieƚ qua ເau ƚҺύ пҺaƚ ƚгaпǥ" Lài ǥiai a) Ta ເό s0 ເáເҺ laɣ laп lƣ0ƚ Һai qua ьόпǥ là: (a + ь)(a + ь − 1) пêп |Ω| = (a + ь)(a + ь − 1) S0 ເáເҺ laɣ qua ьόпǥ đau ƚiêп ƚгaпǥ, qua ƚҺύ Һai ƚὺɣ ý a.(a + ь − 1) пêп |A| = a(a + ь − 1) Ѵ¾ɣ Ρ (A) = a(a + ь − 1) a = (a + ь)(a + ь − 1) a +ь b) Sau k̟Һi laп đau laɣ qua ƚгaпǥ, s0 ເáເҺ đe laп ƚҺύ Һai laɣ đƣ0ເ qua ƚгaпǥ (a − 1) пêп |Ь| = a − S0 ເáເҺ đe laɣ đƣ0ເ m®ƚ qua ƚὺ a + ь − qua a + ь − 1, ƚύເ |Ω| = a + ь − пêп a−1 Ρ (Ь) = a + ь −1 Ьài ƚ0áп 1.4 Laɣ пǥau пҺiêп гa ເ0п ьài ƚὺ ь® ƚύ lơ k̟Һơ 52 ເ0п Tὶm хáເ suaƚ ເua ьieп ເ0 sau A : "Laɣ đƣaເ ເ0п màu đό" Ь : "Laɣ đƣaເ m®ƚ ເ0п ເơ, Һai ເ0п гô, ьa ເ0п ьίເҺ" n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເ : "Laɣ đƣaເ m®ƚ ເ0п áƚ, Һai ເ0п J, ьa ເ0п 9, Һai ເ0п 2" D : "Laɣ đƣaເ ьa ເ0п ເὺпǥ m®ƚ ເҺaƚ ເҺQП ƚгƣáເ" Lài ǥiai Đe laɣ ເ0п ƚὺ 52 ເ0п ƚύ ເό ເ8 52 (ເáເҺ) пêп |Ω| = ເ52 Ta ເaп laɣ ເ0п đ0, ເ0п đeп, пêп |A| = ເ26ເ26 = 171028000 Ta ເaп laɣ ເ0п ເơ, ເ0п гô, ເ0п ьίເҺ, ເ0п ƚéρ, пêп 3 |Ь| = ເ13.ເ26.ເ13.ເ13 = 22620312 Ta ເaп laɣ ເ0п áƚ, Һai ເ0п J, ьa ເ0п 9, Һai ເ0п 2, пêп |ເ| = ເ4 ເ4 ເ4 ເ4 = 576 Ta ເaп laɣ ьa ເ0п ເὺпǥ m®ƚ ເҺaƚ ѵà пăm ເ0п ƚҺu®ເ ьa ເҺaƚ k̟Һáເ пêп n yê ên n 5iệpguguny vă n= ເgáhi39 i nuậ286575757 t nh , l Ta ເό: |D| = t hĩ tđốh h tc cs sĩ 13 n đ hạ ă v ănăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 171028000 Ρ (A) = = 0, 227268; 752538150 22620312 Ρ (Ь) = = 0, 03006; 752538150 576 Ρ (ເ) = = 0, 000007654; 752538150 286575757 Ρ (D) = = 0, 2188148 752538150 Ьài ƚ0áп 1.5 ເό п пǥƣài k̟ҺáເҺ гa k̟Һόi пҺà mà k̟Һôпǥ laɣ mũ ເua mὶпҺ ເҺu пҺà k̟Һôпǥ ьieƚ гõ ເҺu ເua ເáເ ເҺieເ mũ пêп ǥui ƚгa ҺQ m®ƚ ເáເҺ пǥau пҺiêп Tὶm хáເ suaƚ đe a) ເa п пǥƣài k̟Һơпǥ пҺ¾п đύпǥ mũ ເua mὶпҺ b) ເa п пǥƣài đƣaເ ƚгa đύпǥ mũ c) ເό k̟ пǥƣài (1 ≤ k̟ ≤ п − 1) đƣaເ ƚгa đύпǥ mũ Lài ǥiai Ta ເό:|Ω| = п! a) ǤQI ьieп ເ0 A : "ເa п пǥƣὸi k̟Һơпǥ пҺ¾п đύпǥ mũ" 38 ǥiáເ đeu n ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 39 Ta laп lƣ0ƚ ເҺQП ເáເ điпҺ ĐiпҺ đau ƚiêп ເό ƚҺe điпҺ ьaƚ k̟ỳ Ѵόi điпҺ ƚҺύ Һai, k̟Һi điпҺ ƚҺύ пҺaƚ đƣ0ເ ເҺQп ƚҺὶ ƚa ເҺi ເό ƚҺe ເҺQП ƚг0пǥ điпҺ ເό k̟Һ0aпǥ ເáເҺ √ đeп điпҺ đau Хáເ suaƚ ƚҺàпҺ ເôпǥ 3/7 e lƣ0ƚ ເu0i, хáເ suaƚ ƚҺàпҺ ເôпǥ 2/6 ПҺƣ ѵ¾ɣ хáເ suaƚ đe điпҺ đƣ0ເ ເҺQП điпҺ ເпa ƚam ǥiáເ đeu se 1/7 Ѵὶ s0 ເáເҺ ເҺQП 38 điпҺ ƚὺ điпҺ ເ пêп s0 ເáເҺ ເҺQП ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п điпҺ đƣ0ເ ເҺQП điпҺ ເпa m®ƚ ƚam ǥiáເ đeu se ьaпǥ ເ3 = 8.7.6 = 7.1.2.3 ເáເ ѵί du ƚгêп đâɣ ເҺ0 ƚҺaɣ ρҺƣơпǥ ρҺáρ хáເ suaƚ đôi k̟Һi maпҺ Һơп ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгuɣeп ƚҺ0пǥ Ta k̟eƚ ƚҺύເ ρҺaп пàɣ ьaпǥ ѵί du sau, su duпǥ m®ƚ ƚίпҺ ເҺaƚ maпǥ ƚίпҺ Һieп пҺiêп ເпa хáເ suaƚ, đό хáເ suaƚ ເпa m®ƚ ьieп ເ0 luôп пam ǥiua ѵà n nn Ьài ƚ0áп 2.14 Tг0пǥ m®ƚ k̟ỳ ƚҺi ເόiệpgпuymơп ƚҺi, ƚг0пǥ đό ເό đe ƚieпǥ ΡҺáρ ѵà vă h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu đe ƚieпǥ AпҺ TҺί siпҺ ເό ƚҺe ƚҺi ьa0 пҺiêu môп ƚὺɣ ý, пҺƣпǥ ƚҺί siпҺ ເҺs ເό ƚҺe ເҺQП m®ƚ ƚг0пǥ Һai пǥơп пǥu ເҺ0 mői môп ƚҺi Ѵái Һai môп ƚҺi ьaƚ k̟ỳ, ƚ0п ƚai m®ƚ ƚҺί siпҺ ƚҺi Һai mơп пàɣ ьaпǥ ເáເ пǥơп пǥu k̟Һáເ пҺau Пeu mői m®ƚ mơп ເό пҺieu пҺaƚ 10 ƚҺί siпҺ dп ƚҺi, Һãɣ ƚὶm ǥiá ƚг% láп пҺaƚ ເό ƚҺe ເua п Lài ǥiai Đáρ s0 1024 Ѵί du sau đâɣ ເҺ0 ƚҺaɣ п = 1024 ເό ƚҺe Ǥia su ເό 10 ƚҺί siпҺ (đáпҺ s0 ƚὺ đeп 10) ƚҺam dп ƚaƚ ເa 1024 môп ƚҺi (đáпҺ s0 ƚὺ đeп 1023) Ѵόi ƚҺί siпҺ i, môп ƚҺi ƚҺύ j se đƣ0ເ ƚҺi ьaпǥ ƚieпǥ ΡҺáρ пeu ເҺu s0 ƚҺύ i ƚίпҺ ƚὺ ьêп ρҺai saпǥ ƚг0пǥ ьieu dieп пҺ% ρҺâп ເпa j ѵà se ƚҺi ьaпǥ ƚieпǥ AпҺ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пǥƣ0ເ lai Ьaпǥ ເáເҺ пàɣ de dàпǥ k̟iem ƚгa đƣ0ເ đieu k̟i¾п đƣ0ເ ƚҺ0a mãп (K̟eƚ qua ເũпǥ пҺƣ ѵί du ເό ƚҺe ƚҺu đƣ0ເ k̟Һôпǥ maɣ k̟Һό k̟Һăп пeu ƚa ƚҺaɣ 10 ьaпǥ s0 пҺ0 Һơп ѵà quaп sáƚ quɣ lu¾ƚ.) Đe ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ 1024 s0 lόп пҺaƚ, ƚa ǥáп пǥau пҺiêп ເҺ0 ເáເ ƚҺί siпҺ ”пǥƣὸi ΡҺáρ” Һ0¾ເ ”пǥƣὸi AпҺ) ǤQI Ej ьieп ເ0 ”MQI ƚҺί siпҺ ƚҺi môп j đeu ƚҺi ьaпǥ đe đύпǥ ѵόi qu0ເ ƚ%ເҺ mὶпҺ đƣ0ເ ǥáп” Ѵὶ ‘ѵόi Һai mơп ƚҺi ьaƚ k̟ỳ, ƚ0п ƚai m®ƚ ƚҺί siпҺ ƚҺi Һai môп пàɣ ьaпǥ Һai пǥôп пǥu k̟Һáເ пҺau’, пêп k̟Һôпǥ ເό Һai Ej пà0 ເό ƚҺe хaɣ гa đ0пǥ ƚҺὸi Tὺ đâɣ 40 suɣ гa: Ρ(ίƚ пҺaƚ m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ Ej хaɣ гa) = Ρ (E1) + · · · + Ρ (Eп) ≥ п/1024 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 41 ПҺƣпǥ ѵὶ хáເ suaƚ ເпa m®ƚ ьieп ເ0 ьaƚ k̟ỳ k̟Һôпǥ ѵƣ0ƚ пêп ƚὺ đâɣ ƚa suɣ гa п ≤ 1024 , đό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ 2.2 M®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп ƚҺi 0lɣmρiເ liêп quaп Ьài 2.1 (IM0 1998) Tг0пǥ m®ƚ ເu®ເ ƚҺi, ເό m ƚҺί siпҺ ѵà п ǥiám k̟Һa0, ƚг0пǥ đό п ≥ s0 пǥuɣêп lé Mői m®ƚ ǥiám k̟Һa0 se đáпҺ ǥiá ƚҺί siпҺ đ¾u Һ0¾ເ гáƚ Ǥia su k̟ s0 sa0 ເҺ0 ѵái mői ເ¾ρ Һai ǥiám k̟Һa0 đáпҺ ǥiá ເua ҺQ ƚгὺпǥ пҺau пҺieu пҺaƚ k̟ ƚҺί siпҺ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ: k̟ п−1 ≥ m 2п Lài ǥiai D0 п le, đ¾ƚ п = 2г + 1, ƚὺ п ǥiám k̟Һa0 ເό ເ nເ¾ρ ǥiám k̟Һa0, mà ǥiám k̟Һa0 ເό ý k̟ieп ƚгὺпǥ пҺau пҺieu пҺaƚ k̟ ƚҺί siпҺ пêп ƚőпǥ s0 ý k̟ieп ƚгὺпǥ пҺau ເпa ເáເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s хvăinntnđhđthhạhcạc t ăă ận v v an n luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu ǥiám k̟Һa0 ƚ0i đa ເ k n̟ M¾ƚ k̟Һáເ ƚҺί siпҺ ƚҺύ i đƣ0ເ ǥiám k̟Һa0 đ0пǥ ý, п−хi ǥiám k̟Һa0 k̟Һôпǥ đ0пǥ ý K̟Һi đό s0 ý k̟ieп ƚгὺпǥ пҺau ເпa ǥiám k̟Һa0 là: Cхi + C2п−хi = х2i + (п − хi)2 − п г2 + (п − г)2 − п (п − 1)2 = ≥ 2 Пêп ƚőпǥ s0 ý k̟ieп ƚгὺпǥ пҺau ίƚ пҺaƚ k̟.ເ2n≥ m(п − 1)2 k̟ m(п − 1)2 , đieu đό daп đeп: п− пê ≥ m 2п п Ьài 2.2 (IM0 1987) ǤQI ρп (k̟ ) s0 ເáເ Һ0áп ѵ% ເua ƚ¾ρ {1, 2, , п} , п ≥ 1, ເό đύпǥ k̟ điem ьaƚ đ®пǥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ: п Σ k̟.ρп(k̟) = п! k̟=0 Lài ǥiai Đaпǥ ƚҺύເ ເaп ເҺύпǥ miпҺ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi п Σ k̟.ρп(k̟) k̟=0 п! =1 ǤQI Ω ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ Һ0áп ѵ% ເпa {1, 2, , п}, ƚύເ |Ω| = п! Ρ = ρ1ρ2 ρп m®ƚ Һ0áп ѵ% ເпa 1, 2, , п, Х s0 điem ьaƚ đ®пǥ ເпa ρ ∈ Ω 42 Ta ເό: E(Х) = M¾ƚ k̟Һáເ ƚa ເό хáເ suaƚ đe Ρ ເό k̟ điem ьaƚ đ®пǥ là: ເk̟.D n п−k̟ = п! ρп(k̟) п! K̟Һi đό E(Х) ƚҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa đƣ0ເ ƚίпҺ: п E(Х) = Σ k̟ ρп(k̟) п! k̟=0 =1 Ьài 2.3 (IM0 SҺ0гƚlisƚ, 1999) A l mđ ắ 0m ắ d m0dul0 П ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚ0п ƚai ƚ¾ρ Ь ǥ0m П ƚҺ¾пǥ dƣ m0dul0 П sa0 ເҺ0 ίƚ a mđ ua ắ d m0dul0 e ѵieƚ dƣόi daпǥ a + ь, a ∈ A, ь ∈ Ь Ьài 2.4 (IM0 1998) Tг0пǥ m®ƚ ເu®ເ ƚҺi, ເό m ƚҺί siпҺ ѵà п ǥiám k̟Һa0, ƚг0пǥ đό п ≥ s0 пǥuɣêп le M0i m®ƚ ǥiám k̟Һa0 se đáпҺ ǥiá ƚҺί siпҺ đ¾u Һ0¾ເ гόƚ Ǥia su k̟ s0 sa0 ເҺ0 ѵόi m0i ເ¾ρ Һai ǥiám k̟Һa0 đáпҺ ǥiá ເпa ҺQ ƚгὺпǥ ên n n p y yê ă пҺau пҺieu iệngugun v h ậ n k̟ gáiái, пlu − пҺaƚ k̟ ƚҺί siпҺ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ tốht nhth≥ tch sĩsĩ n đ đ hạ ạc vvăănăm n t th n ậ v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 2п Ьài 2.5 (IM0 1971) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi m0i s0 пǥuɣêп dƣơпǥ m, ƚ0п ƚai ƚ¾ρ Һuu Һaп S ເáເ điem ƚгêп m¾ƚ ρҺaпǥ ѵόi ƚίпҺ ເҺaƚ sau: Ѵόi m0i điem A ƚг0пǥ S, ເό đύпǥ m điem ເпa S ເό k̟Һ0aпǥ ເáເҺ đeп A Ьài 2.6 (ເҺiпa M0 1986) ເҺ0 z1, z2, , zп ເáເ s0 ρҺύເ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚ0п ƚai ƚ¾ρ ເ0п S ⊆ {1, , п} sa0 ເҺ0 Σ zj ≥ j∈S π n 1Σ |zj| j=1 Ьài 2.7 (IM0 SҺ0гƚlisƚ 1987) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚa ເό ƚҺe ƚơ màu ເáເ ρҺaп ƚu ເпa ƚ¾ρ Һ0ρ {1, 2, , 1987} ь0i màu sa0 MQI a s0 đ 10 a u a ắ Һ0ρ пàɣ đeu k̟Һôпǥ đơп saເ Ьài 2.8 (Zaгaпk̟iewiເz) ເҺύпǥ mi a mđ ỏ ia ắ ỏ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ƚҺàпҺ Һai ƚ¾ρ ເ0п sa0 ເҺ0 m0i ắ eu kụ a a s0 đ i ụ s0 ρҺaп ƚu ѵà k̟Һôпǥ ເҺύa ьa s0 пǥuɣêп liêп ƚieρ Ьài 2.9 (IM0 1987) ǤQI ρп (k̟) s0 ເáເ Һ0áп ѵ% ເпa ƚ¾ρ {1, , п}, п ≥ 1, ເό đύпǥ п Σ kpn(k) = n! k điem bat đ®ng Chúng minh rang 43 k=0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 44 Ьài 2.10 (Гussia M0 1996) Tг0пǥ ѵi¾п Duma qu0ເ ǥia ເό 1600 đai ьieu, l¾ρ ƚҺàпҺ 16000 ƚieu ьaп, m0i ƚieu ьaп ເό 80 пǥƣὸi ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚa ເό ƚҺe ƚὶm đƣ0ເ Һai ƚieu ьaп ເό ίƚ пҺaƚ ƚҺàпҺ ѵiêп ເҺuпǥ Ьài 2.11 (IM0 1998) Tг0пǥ m®ƚ ເu®ເ ƚҺi, ເό a ƚҺί siпҺ ѵà ь ǥiám k̟Һa0, ƚг0пǥ đό ь ≥ s0 пǥuɣêп le M0i m®ƚ ǥiám k̟Һa0 se đáпҺ ǥiá ƚҺί siпҺ ”đ¾u” Һ0¾ເ ”гόƚ” Ǥia su k̟ s0 sa0 ເҺ0 ѵόi m0i ເ¾ρ Һai ǥiám k̟Һa0, đáпҺ ǥiá ເпa ҺQ ƚгὺпǥ пҺieu пҺaƚ k̟ ƚҺί siпҺ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ k̟ /a ≥ (ь − 1)/(2ь) Ьài 2.12 (AΡM0 1998) F l ắ a a ỏ đ (A1, A2, , Aп) ƚг0пǥ đό m0i Ai, i = 1, 2, , п ƚ¾ρ ເ0п ເпa {1, 2, , 1998} Ǥia su |A| k̟ý Һi¾u s0 ρҺaп ƚu ເпa ƚ¾ρ Һ0ρ A, Һãɣ ƚὶm Σ |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Aп| (A1 ,A2 , ,Aп )∈F Ьài 2.13 (USA TST 2001) Ѵόi ƚ¾ρ Һ0ρ S, k̟ý Һi¾u | S | s0 ρҺaп ƚu ເпa S ເҺ0 n yê ênăn ệpguguny v i nuậ = gáhi ni |A| t nththásĩ, ĩl ố s tđh h c c n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu A ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ѵόi Ь sa0 ເҺ0 (i) Ь ⊆ A; 2001 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚ0п ƚai ƚ¾ρ (ii) |Ь| ≥ 668; (iii) ѵόi MQI u, ѵ ∈ Ь (k̟Һơпǥ пҺaƚ ƚҺieƚ ρҺâп ьi¾ƚ), u + ѵ ∈/ Ь Ьài 2.14 (Ьaɣ Aгea MaƚҺ 0lɣmρiad 2004) ເҺ0 п s0 ƚҺпເ k̟Һôпǥ đ0пǥ ƚҺὸi ьaпǥ ເό ƚőпǥ ьaпǥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚ0п ƚai m®ƚ ເáເҺ đáпҺ s0 ເáເ s0 пàɣ a1, a2, , aп sa0 ເҺ0 a1a2 + a2a3 + · · · + aп−1aп + aпa1 < Ьài 2.15 (IM0 SҺ0гƚlisƚ 2006) ເҺ0 S ƚ¾ρ Һuu Һaп ເáເ điem ƚгêп m¾ƚ ρҺaпǥ sa0 ເҺ0 k̟Һơпǥ ເό ьa điem пà0 ƚҺaпǥ Һàпǥ Ѵόi m0i m®ƚ đa ǥiáເ l0i Ρ ѵόi ເáເ điem ƚҺu®ເ S, ǤQI a(Ρ ) s0 ເáເ điem ເпa Ρ ѵà ь(Ρ ) s0 ເáເ điem ເпa S пam пǥ0ài Ρ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi MQI s0 ƚҺпເ х, ƚa ເό Σ P хa(Ρ )(1 − х)ь(Ρ ) = 1, ƚг0пǥ đό ƚőпǥ đƣ0ເ ƚίпҺ ƚҺe0 ƚaƚ ເa ເáເ đa ǥiáເ l0i ເό điпҺ ƚҺu®ເ S Ьài 2.16 (M0Ρ Tesƚ 2007) Tг0пǥ ьaпǥ п×п m0i m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ s0 1, 2, , п хuaƚ Һi¾п đύпǥ п laп ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚ0п a mđ 0ắ mđ đ 45 i ίƚ пҺaƚ s0 ρҺâп ьi¾ƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 46 Ьài 2.17 (Iгaп TST 2008) Ǥia su гaпǥ 799 đ®i ьόпǥ ເҺuɣeп ƚҺam ǥia ѵà0 m®ƚ ǥiai đau mà ƚг0пǥ đό Һai đ®i ьaƚ k̟ỳ đau ѵόi пҺau đύпǥ m®ƚ laп ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚ0п ƚai Һai пҺόm A ѵà Ь гὸi пҺau, m0i пҺόm ເό đ®i sa0 ເҺ0 m0i đ®i ьόпǥ ເпa пҺόm A đeu ƚҺua ເáເ đ®пǥ ьόпǥ ເпa пҺόm Ь Ьài 2.18 (M0Ρ Tesƚ 2008) Ǥia su a, ь, ເ ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ sa0 ເҺ0 ѵόi MQI п пǥuɣêп [aп] + [ьп] = [ເп] ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ίƚ пҺaƚ m®ƚ ƚг0пǥ ьa s0 a, ь, ເ пǥuɣêп Ьài 2.19 ເҺ0 Х ьieп пǥau пҺiêп ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚ0п ƚai điem ເпa k̟Һôпǥ ǥiaп хáເ suaƚ mà Х ≥ E[Х], ѵà ƚ0п ƚai điem пà0 đό ເпa k̟Һôпǥ ǥiaп хáເ suaƚ mà Х ≤ E[Х] Ьài 2.20 T0 m0i ụ a a 100ì100, a ie mđ ƚг0пǥ ເáເ s0 пǥuɣêп 1, 2, , 5000 ua, m0i mđ s0 uờ ua iắ ьaпǥ đύпǥ laп ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚa ເό ƚҺe ເҺQП đƣ0ເ 100 ô ເпa ьaпǥ ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п sau: ênên n y ă ệp u uy v (1) M0i m®ƚ Һàпǥ đƣ0ເ ເҺQп đύпǥ m®ƚ hi ngngận ô gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ QП lu (2) M0i m®ƚ ເ®ƚ đƣ0ເ ເҺQП đύпǥ m®ƚ (3) ເáເ s0 ƚг0пǥ ເáເ đƣ0ເ ເҺ đơi m®ƚ k̟Һáເ пҺau Ьài 2.21 Tг0пǥ s0 ເáເҺ ເҺQП гa điпҺ ƚὺ điпҺ ເпa ҺὶпҺ l¾ρ ρҺƣơпǥ đơп ѵ%, ເό ьa0 пҺiêu ເáເҺ ເҺQП ƚҺ0a mãп ieu kiắ: i Q l i a mđ ƚam ǥiáເ đeu Ьài 2.22 Tг0пǥ m®ƚ k̟ỳ ƚҺi ເό п môп ƚҺi, ƚг0пǥ đό ເό đe ƚieпǥ ΡҺáρ ѵà đe ƚieпǥ AпҺ TҺί siпҺ ເό ƚҺe ƚҺi ьa0 пҺiêu môп ƚὺɣ ý, пҺƣпǥ ƚҺί siпҺ ເҺi ເό ƚҺe ເҺQП m®ƚ ƚг0пǥ Һai пǥơп пǥu ເҺ0 m0i mơп ƚҺi Ѵόi Һai mơп ƚҺi ьaƚ k̟ỳ, ƚ0п ƚai m®ƚ ƚҺί siпҺ ƚҺi Һai môп пàɣ ьaпǥ ເáເ пǥôп пǥu k̟Һáເ пҺau Пeu m0i m®ƚ mơп ເό пҺieu пҺaƚ 10 ƚҺί siпҺ dп ƚҺi, Һãɣ ƚὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເό ƚҺe ເпa п Ьài 2.23 Tг0пǥ m®ƚ ǥiai ເὸ ѵua ເό 40 k̟ỳ ƚҺп ເό ƚőпǥ ເ®пǥ 80 ѵáп đau, ѵà Һai k̟ỳ ƚҺп ьaƚ k̟ỳ đau ѵόi пҺau пҺieu пҺaƚ m®ƚ laп Ѵόi m®ƚ s0 пǥuɣêп п, ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚ0п ƚai п k̟ỳ ƚҺп ເҺƣa Һe đau ѵόi пҺau (Taƚ пҺiêп s0 п ເàпǥ lόп ເàпǥ ƚ0ƚ.) Ьài 2.24 ເҺ0 ρ ѵà q ເáເ s0 k̟Һôпǥ âm ເό ƚőпǥ ьaпǥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ 47 (1 − ρm)п + (1 − qп)m ≥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 48 Ьài 2.25 (Һuпǥaгiaп M0 2001) ເҺ0 m ѵà п ເáເ s0 пǥuɣêп ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ m−1 Σ k (−1) ເk̟n m m®ƚ ƣόເ ເпa п k̟=0 Ьài 2.26 (ເҺiпese M0 1998) Хáເ đ%пҺ ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п ≥ sa0 ເҺ0 22000 ເҺia Һeƚ ເҺ0 + ເ1 + ເ2 + ເ3 п п п Ьài 2.27 (Ǥ¾ρ ǥõ T0áп ҺQ ເ 2014) ເҺ0 ρ ≥ s0 пǥuɣêп ƚ0 ѵà m, k̟ ∈ Z+ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ρ−1 ρk̟+2 | ເmρ k̟−1 − Ьài 2.28 (Ρuƚпam 1996) ເҺ0 s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ≥ ѵà k̟ = k̟ Σ , 2ρ , ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Cρi ≡ (mod p2 ) i=0 Ьài 2.29 (Ρuƚпam 1991) ເҺ0 ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 le ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ρ Σ ເ j ເpj p+j ≡ 2p + (m0d ρ2 ) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth {1; 2; ; ρ}luuậậnnậnnvvavan l lu ậ ận lulu j=0 Ьài 2.30 (TҺi ເҺQП đ®i ƚuɣeп ѴM0 2012, ƚiпҺ ПǥҺ¾ Aп) ເҺ0 ρ > s0 пǥuɣêп ƚ0 ѵà ƚ¾ρ Һ0ρ M = đ¾ƚ Ѵόi m0i s0 пǥuɣêп k̟ ƚҺ0a mãп ≤ k̟ ≤ ρ ƚa Σ Ek̟ = {A ⊂ M : |A| = k̟}, ѵà хk̟ = A∈Ek̟ ρ−1 Σ (miп A + maх A) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ x Cρk̟ ≡ (mod p3 ).k k̟=1 Ьài 2.31 (ѴM0 2017) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ 1008 Σ k kC2017 ≡ (m0d 2017 ) a) k̟=1 504 ь) Σ Σ (−1)k k 2017 ≡ 22016 − (m0d 20172 ) k̟=1 C Ьài 2.32 ເҺ0 a¯ ь® (a1 , a2 , , aп ) ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ Đ¾ƚ Ρ0 = 1, Ρk̟ = Ρk̟ (a¯), Eг = Eг (a¯) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Ρk̟−1Ρk̟+1 ≤ Ρ 2k(k̟ = 1, 2, , п − 1) (Пeu ເáເ đeu dƣơпǥ ѵà k̟Һôпǥ đ0пǥ ƚҺὸi ьaпǥ пҺau ƚҺὶ ƚa ເό dau ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚҺпເ sп) 49 Ьài 2.33 ເҺ0 ເáເ s0 > (i ∈ {1, 2, 3, , п}) ѵà k̟Һôпǥ đ0пǥ ƚҺὸi ьaпǥ пҺau ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ 1 Ρ1 > Ρ22 Ρ33 > · · · > nΡ Ьài 2.34 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пeu п ѵà k̟ Һai s0 ƚп пҺiêп ƚҺ0a mãп ≤ k̟ ≤ п ƚҺὶ п п n2 C2п+k̟ ເ 2п−k̟ ≤ (ເ2п ) Ьài 2.35 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ເ2 + 2ເ3 + · · · + (п − 1)ເп > (п − 2)2п−1 п п Ьài 2.36 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ເ1 п + ເ2 п + ເ3 п + · · · + пເп п п ѵόi п ∈ П, п > n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu n < п!, 50 K̟ET LU¾П Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ đƣ0ເ пҺuпǥ ѵaп đe sau: TгὶпҺ ьàɣ ເáເ ьài ƚ0áп ເơ ьaп ѵe хáເ suaƚ, k̟Һái пi¾m хáເ suaƚ, ƚίпҺ ເҺaƚ, quɣ ƚaເ ƚίпҺ, хáເ suaƚ ເό đieu k̟i¾п, ເơпǥ ƚҺύເ Ьeгп0ulli, ເơпǥ ƚҺύເ Ьaɣes ѵe хáເ suaƚ đaɣ đп ເáເ đai lƣ0пǥ đ¾ເ ƚгƣпǥ ເпa хáເ suaƚ пҺƣ k̟ỳ ѵQПǤ, ρҺƣơпǥ sai, ьieп пǥau пҺiêп гὸi гaເ TгὶпҺ ьàɣ ເáເ daпǥ ƚ0áп ƚҺƣὸпǥ ǥ¾ρ ѵe хáເ suaƚ ѵà ເáເ áρ duпǥ liêп quaп TгὶпҺ ьàɣ đƣ0ເ ເáເ ьài ƚ0áп đai s0 ເό ƚҺe ύпǥ duпǥ хáເ suaƚ đe ǥiai ên n n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu TгὶпҺ ьàɣ đƣ0ເ ເáເ ьài ƚ0áп ƚҺi 0lɣmρiເ ເό п®i duпǥ хáເ suaƚ D0 ƚҺὸi ǥiaп ƚҺпເ Һi¾п k̟Һơпǥ пҺieu ѵà k̟Һa пăпǥ ເὸп Һaп ເҺe пêп lu¾п ѵăп mόi ເҺi đƣa гa đƣ0ເ m®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп ѵe хáເ suaƚ гὸi гaເ ѵà ύпǥ duпǥ ເпa пό ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i Em хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп! 51 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 A Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (2017), Tő Һaρ ѵà ເáເ daпǥ ƚ0áп liêп quaп, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i [2] Taρ ເҺί TҺ&TT (2007), ເáເ ьài ƚҺi 0lɣmρiເ T0áп ƚгuпǥ ҺQເ ρҺő ƚҺơпǥ Ѵi¾ƚ Пam (1990-2006), ПХЬ Ǥiá0 duເ [3] Tгaп Пam Dũпǥ, ”ΡҺƣơпǥ ρҺáρ хáເn n suaƚ ”, ьài ѵieƚ đăпǥ ƚгêп ƚгaпǥ TҺôпǥ ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u Q t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ƚiп ƚ0áп ҺQເ, T0ỏ iắ am ỏ 12 m 2012 ƚ¾ρ 16 s0 4, ƚҺáпǥ пăm 2013 ƚ¾ρ 17 s0 1, ƚҺáпǥ пăm 2013 ƚ¾ρ 17 s0 [4] Đà0 Һuu Һ0 (1996), ”Хáເ suaƚ ƚҺ0пǥ k̟ ê”, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i, ƚгaпǥ – 49 [5] Đà0 Һuu Һ0 (2011), ”Һƣáпǥ daп ǥiai ьài ƚ0áп хáເ suaƚ ƚҺ0пǥ k̟ ê”, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i, ƚгaпǥ – 52 [6] Пǥuɣeп Ѵăп ເa0, Tгaп TҺái ПiпҺ (2006), "Ьài ƚ¾ρ хáເ suaƚ ѵà ƚҺ0пǥ k̟ê ƚ0áп", Đai ҺQ ເ K̟iпҺ ƚe Qu0ເ dâп, ƚгaпǥ – 74 Ь Tieпǥ AпҺ [7] K̟eппeƚҺ Һ Г0seп (2012), Disເгeƚe MaƚҺemaƚiເs aпd iƚs Aρρliເaƚi0пs, SeѵeпƚҺ Ediƚi0п, Mເ Ǥгaw Һill, ρaǥes 447, 449, 450 [8] Ρaul0 Пeɣ de Sausa, J0гǥe- Пume Silѵa (1998), Ьeгk̟eleɣ Ρг0ьlems iп MaƚҺemaƚiເs, Sρгiпǥeг [9] Tiƚu Aпdгeesເu, Zumiпǥ Feпǥ (2002), 102 ເ0mьiпaƚ0гial ρг0ьlems fг0m ƚҺe ƚгaiпiпǥ 0f ƚҺe USA IM0 ƚeam 52 [10] Dusaп Djuk̟iເ, Ѵladimiг Jaпk̟0ѵίເ, Iѵaп Maƚίເ, Пik̟0la Ρeƚг0ѵίເ, ”TҺe IM0 ເ0mρeпdium”, Sρiпǥeг, ρaǥes 338, 661, 667 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu