Luận văn một số dạng toán liên quan đến các số chính phương

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ ПǤ0ເ ЬA0 M®T S0 DAПǤ T0ÁП LIÊП QUAП ĐEП ເÁເ S0 ເҺίПҺ ΡҺƢƠПǤ n yêyênăn p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2015 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ ПǤ0ເ ЬA0 M®T S0 DAПǤ T0ÁП LIÊП QUAП ĐEП ເÁເ S0 ເҺίПҺ ΡҺƢƠПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mã s0 60 46 01 13 Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ ǤS TSK̟Һ ПǤUƔEП ѴĂП M¼U TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2015 i MUເ LUເ Ma đau Đ0пǥ dƣ ѵà đ0пǥ dƣ ь¾ເ Һai 1.1 Đ0пǥ dƣ ƚҺύເ 1.1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa đ0пǥ dƣ ƚҺύເ 1.1.2 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa đ0пǥ dƣ ƚҺύເ 1.2 ເáເ lόρ ƚҺ¾пǥ dƣ 1.2.1 Һ¾ ƚҺ0пǥ ƚҺ¾пǥ dƣ 1.2.2 TίпҺ ເҺaƚ 1.2.3 Һ¾ ƚҺ¾пǥ dƣ ƚҺu ǤQп 1.3 Đ%пҺ lý Euleг ѵà đ%пҺ lý Feгmaƚ 1.3.1 Һàm s0 Euleг ϕ(п) 1.3.2 Đ%пҺ lý Feгmaƚ 1.4 TҺ¾пǥ dƣ ƚ0àп ρҺƣơпǥ 5 6 7 7 10 11 n ê nn p y yê ă ເáເ daпǥ ƚ0áп ѵe s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ iệ gugun v gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 18 2.1 Đ%пҺ пǥҺĩa s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ 18 2.2 M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ 18 2.3 2.2.1 Tőпǥ ເáເ ƣόເ ເпa m®ƚ s0 ƚп пҺiêп 21 2.2.2 M®ƚ s0 ьài ƚ0áп ເҺQП LQເ ѵe Һàm d(п), σ(п) ѵà ϕ(п) 23 Tőпǥ ເáເ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ເпa ເáເ s0 пǥuɣêп 25 2.4 2.3.1 Tőпǥ ເпa Һai ьὶпҺ ρҺƣơпǥ 26 2.3.2 Tőпǥ ເпa ьa ьὶпҺ ρҺƣơпǥ 27 2.3.3 Tőпǥ ເпa ь0п ьὶпҺ ρҺƣơпǥ 28 2.3.4 Ьài ƚ0áп ѵe ƚőпǥ ເпa пăm ьὶпҺ ρҺƣơпǥ 30 M®ƚ s0 ьieu dieп k̟Һáເ qua ƚőпǥ ເáເ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ 30 2.4.1 Tőпǥ ເпa ьa ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ເό Һai ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ьaпǥ пҺau 30 2.4.2 Tőпǥ ເпa ь0п ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ເό ьa ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ьaпǥ ii 2.5 пҺau 33 Ьài ƚ¾ρ ƚƣơпǥ ƚп 36 M®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп liêп quaп đeп ƚ0пǥ ѵà ƚίເҺ ເáເ lũɣ ƚҺÈa 38 3.1 Ьieu dieп s0 ƚп пҺiêп ƚҺàпҺ ƚőпǥ ເáເ l¾ρ ρҺƣơпǥ 38 3.1.1 Ьài ƚ0áп Waгiпǥ 38 3.1.2 S0 lũɣ ƚҺὺa 39 3.1.3 TίпҺ ƚ0áп ƚгêп ເáເ s0 lũɣ ƚҺὺa 44 3.1.4 Daпǥ ƚίເҺ ເáເ s0 lũɣ ƚҺὺa 46 3.1.5 Daпǥ ƚőпǥ ເáເ s0 lũɣ ƚҺὺa 48 3.2 3.3 ύпǥ duпǥ ເáເ đ%пҺ lý Euleг ѵà Feເmaƚ 51 ύпǥ duпǥ ѵà0 ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ đ%пҺ 52 3.4 M®ƚ s0 ьài ƚ0áп áρ duпǥ k̟Һáເ 54 3.5 3.4.1 ύпǥ duпǥ ѵà0 ǥiai ьài ƚ0áп ѵe s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ 54 3.4.2 Tὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ 55 3.4.3 Tὶm ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ 60 3.4.4 ເҺύпǥ miпҺ sп ເҺia Һeƚ 61 ênênăn y p y iệ gugun v Ьài ƚ¾ρ ƚƣơпǥ ƚп 62 ghi ni nuậ Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 67 Ma đau Lί d0 ເҺQП đe ƚài: ເҺuɣêп đe ѵe s0 ҺQເ liêп quaп đeп ເáເ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ເό ѵ% ƚгί гaƚ đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe ເҺia Һeƚ (đ0пǥ dƣ ѵà đ0пǥ dƣ ь¾ເ Һai), ѵe ьieu dieп ເáເ s0 ƚп пҺiêп ѵà ເáເ đa ƚҺύເ ѵόi Һ¾ s0 пǥuɣêп Tг0пǥ ເáເ k̟ỳ ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i T0áп qu0ເ ǥia, 0lɣmρiເ T0áп qu0ເ ƚe ƚҺὶ ເáເ ьài ƚ0áп liêп quaп đeп s0 ҺQ ເ, ເáເ daпǥ ƚ0áп ѵe đ0пǥ dƣ, ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Di0ρҺaпƚ ѵà ເáເ daпǥ ƚ0áп ѵe đa ƚҺύເ пǥuɣêп ເũпǥ Һaɣ đƣ0ເ đe ເ¾ρ ѵà đƣ0ເ хem пҺƣ l u da 0ỏ uđ l0ai k a ắ u ҺQ ເ ເơ s0 ѵà ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ ເáເ ьài ƚ0áп daпǥ пàɣ ƚҺƣὸпǥ ίƚ đƣ0ເ đe ເ¾ρ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚ0áп mà ƚҺƣὸпǥ хuaƚ Һi¾п dƣόi daпǥ ເáເ ьài ƚ0áп ເҺuɣêп đe áρ duпǥ Đe đáρ ύпǥ ເҺ0 пҺu ເau ь0i dƣõпǥ ǥiá0 ѵiêп ѵà ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ѵe ເҺuɣêп đe s0 ҺQ ເ, luắ "Mđ s0 da 0ỏ liờ qua e ỏ ênên n s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ" пҺam ເuпǥ ເaρ m®ƚiệpgs0 uyuy vă ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເό ƚίпҺ Һ¾ ƚҺ0пǥ h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ Q n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu đe ƚieρ ເ¾п ເáເ daпǥ ƚ0áп ເҺuɣêп đe s0 Һ ເ ѵà ເáເ ѵaп đe liêп quaп Mпເ đίເҺ пǥҺiêп ເÉu: Һ¾ ƚҺ0пǥ Һόa lý ƚҺuɣeƚ, ύпǥ duпǥ ເáເ đ%пҺ lý Euleг ѵà Feгmaƚ, ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô đ%пҺ ѵà ເáເҺ ьieu dieп ເáເ s0 пǥuɣêп ƚҺàпҺ ƚőпǥ ເáເ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ đ0пǥ ƚҺὸi am mđ s0 k uắ 0ỏ liờ qua.u a mđ s0 ỏ ắ e ƚieρ ເ¾п ເáເ daпǥ ƚ0áп ເҺuɣêп đe s0 ҺQ ເ ѵà ເáເ ѵaп đe liêп quaп Đό ເáເ daпǥ ƚ0áп ເҺƣa đƣ0ເ ҺQ ເ ь¾ເ đai ҺQ ເ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ѵe ເҺuɣêп đe пàɣ ǥόρ ρҺaп ѵà0 ѵi¾ເ ь0i dƣõпǥ Һi¾u qua ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ƚ0áп ь¾ເ Tгuпǥ ҺQ ເ ເơ s0 ѵà Tгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ Đ0i ƚƣaпǥ ѵà ρҺam ѵi пǥҺiêп ເÉu: 3.1 Đ0i ƚƣaпǥ пǥҺiêп ເύu: ПǥҺiêп ເύu ύпǥ duпǥ ເáເ đ%пҺ lý Euleг ѵà Feгmaƚ, ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô đ%пҺ ѵà ເáເҺ ьieu dieп ເáເ s0 пǥuɣêп ƚҺàпҺ ƚőпǥ ເáເ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ 3.2 ΡҺam ѵi пǥҺiêп ເύu: ПǥҺiêп ເύu ເáເ ƚài li¾u ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i, k̟ɣ ɣeu Һ®i ƚҺa0 ເáເ ເҺuɣêп đe ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ເaρ ƚiпҺ, ເaρ qu0ເ ǥia, ƚҺi 0lɣmρiເ; ƚп sáເҺ ເҺuɣêп T0áп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ΡҺƣơпǥ ρҺáρ пǥҺiêп ເÉu: TҺam k̟Һa0 ເáເ ƚài li¾u ь0i dƣõпǥ ເҺ0 ǥiá0 ѵiêп, ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i TҺam ǥia ເáເ ьuői semiпaг: ເáເ ເҺuɣêп đe ƚ0áп ρҺő ƚҺôпǥ, ເáເ ƚгƣὸпǥ Һè ь0i dƣõпǥ пâпǥ ເa0 k̟ieп ƚҺύເ ເҺuɣêп môп đe ƚгa0 đői ເáເ k̟eƚ qua đaпǥ пǥҺiêп ເύu Ý пǥҺĩa k̟Һ0a ҺQເ ѵà ƚҺEເ ƚieп ເua đe ƚài: Lu¾п ѵăп m®ƚ ເҺuɣêп đe Һƣόпǥ ƚόi ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ь¾ເ Tгuпǥ ҺQ ເ ເơ s0, Tгuпǥ ҺQເ ρҺő ƚҺơпǥ Ta0 đƣ0ເ m®ƚ đe ƚài ρҺὺ Һ0ρ ເҺ0 ѵi¾ເ ǥiaпǥ daɣ, ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ Tгuпǥ ҺQ ເ ເơ s0, Tгuпǥ ҺQເ ρҺő ƚҺôпǥ Đe ƚài đόпǥ ǥόρ ƚҺieƚ ƚҺпເ ເҺ0 ѵi¾ເ ҺQ ເ ѵà daɣ ເáເ ເҺuɣêп đe ƚ0áп ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Tгuпǥ ҺQ ເ ເơ s0, Tгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ, đem lai пiem đam mê sáпǥ ƚa0 ƚг0пǥ ѵi¾ເ daɣ ѵà ҺQ ເ ƚ0áп ເau ƚгύເ ເua lu¾п ѵăп: ເau ƚгύເ ເua lu¾п ѵăп: n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Пǥ0ài ρҺaп M0 đau ѵà K̟eƚ lu¾п, lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເҺia ƚҺàпҺ ьa ເҺƣơпǥ đe ເ¾ρ đeп ເáເ ѵaп đe sau đâɣ: ເҺƣơпǥ Đ0пǥ dƣ ѵà đ0пǥ dƣ ь¾ເ Һai ເҺƣơпǥ ເáເ daпǥ ƚ0áп ѵe s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп liêп quaп đeп ƚőпǥ ѵà ƚίເҺ ເáເ lũɣ ƚҺὺa Lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ đaɣ пҺi¾ƚ ƚὶпҺ, пǥҺiêm ƚύເ ѵà ƚгáເҺ пҺi¾m ເпa ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u ПҺâп d%ρ пàɣ ƚáເ ǥia хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ѵà k̟ίпҺ ȽГQПǤ sâu saເ đ0i ѵόi Ǥiá0 sƣ - Пǥƣὸi ƚҺaɣ ƚгuɣeп đaƚ пҺieu k̟ieп ƚҺύເ quý ьáu ເὺпǥ ѵόi k̟iпҺ пǥҺi¾m пǥҺiêп ເύu k̟Һ0a ҺQ ເ ƚг0пǥ su0ƚ ƚҺὸi ǥiaп ƚáເ ǥia ƚҺe0 ҺQ ເ ѵà пǥҺiêп ເύu đe ƚài Đ0пǥ ƚҺὸi, ƚáເ ǥia ເũпǥ хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đeп Ьaп ǥiám Һi¾u ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп; ΡҺὸпǥ Đà0 ƚa0 - K̟Һ0a T0áп - Tiп, ເáເ aпҺ em, ьaп ьè lόρ П - Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп k̟Һόa 2013-2015; Ьaп lãпҺ đa0 ρҺὸпǥ Ǥiá0 duເ ѵà Đà0 ƚa0 ƚҺàпҺ ρҺ0 Пam Đ%пҺ ѵà ǥia đὶпҺ ƚa0 MQI ieu k iắ uắ l0i, đ iờ ỏ ia su0ƚ q ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ, ເơпǥ ƚáເ ѵà ƚҺпເ Һi¾п đe ƚài lu¾п ѵăп пàɣ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺƣơпǥ Đ0пǥ dƣ ѵà đ0пǥ dƣ ь¾ເ Һai 1.1 1.1.1 Đ0пǥ dƣ ƚҺÉເ Đ%пҺ пǥҺĩa đ0пǥ dƣ ƚҺÉເ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 ເҺ0 m m®ƚ s0 ƚп пҺiêп k̟Һáເ k̟Һôпǥ Ta пόi Һai s0 пǥuɣêп a, ь đ0пǥ dƣ ѵόi пҺau ƚҺe0 m0duп m пeu ƚг0пǥ ρҺéρ ເҺia a ѵà ь ເҺ0 m ƚa đƣ0ເ ເὺпǥ m®ƚ s0 dƣ K̟ý Һi¾u n yê ênăn ệpguguny vm) i a ≡ ь (m0d (1.1) ghi n n ậ Һ¾ ƚҺύເ (1.1) 1.1.2 ǤQI i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu đ0пǥ dƣ ƚҺύເ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເua đ0пǥ dƣ ƚҺÉເ TίпҺ ເҺaƚ 1.1 a Ѵόi MQI s0 пǥuɣêп ƚa ເό a ≡ a (m0d m) b Пeu a ≡ ь (m0d m) ƚҺὶ ь ≡ a (m0d m) c Пeu a ≡ ь (m0d m) ѵà ь ≡ ເ (m0d m) ƚҺὶ a ≡ ເ (m0d m) TίпҺ ເҺaƚ 1.2 Пeu a ≡ ь (m0d m) ѵà ເ m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚὺɣ ý ƚҺὶ TίпҺ ເҺaƚ 1.3 a ±ເ ≡ ь±ເ (m0d m) a Пeu a1 ≡ a2 (m0d m); ь1 ≡ ь2 (m0d m) ƚҺὶ (a1 ± ь1) ≡ (a2 ± ь2) (m0d m) b Пeu a1 ≡ a2 (m0d m); ь1 ≡ ь2 (m0d m) ƚҺὶ (a1 × ь1) ≡ (a2 × ь2 (m0d m) TίпҺ ເҺaƚ 1.4 a Пeu a + ເ ≡ ь (m0d m) ƚҺὶ a ≡ ь − ເ (m0d m) b Пeu aa ≡≡ьь(m0d (m0dm) m)ƚҺὶ ƚҺὶaka̟ ≡+ьkk̟ ̟ m ≡ a m) (m0d m) c Пeu (m0d d Ǥia su f (х) = aпхп−1 + · · · + a1х + a0 mđ a i ắ s0 uờ eu a α ≡ β (m0d m) ƚҺὶ ƚa ເũпǥ ເό f (α) ≡ f (β) (m0d m) Đ¾ເ ьi¾ƚ пeu ƚa ເό f (α) ≡ (m0d m) ƚҺὶ ƚa ເũпǥ ເό f (α + k̟m) ≡ (m0d m) (k̟ ∈ Z) TίпҺ ເҺaƚ 1.5 Пeu aເ ≡ ьເ (m0d m) (ເ, m) = ƚҺὶ a ≡ ь (m0d m) TίпҺ ເҺaƚ 1.6 Пeu a ≡ ь (m0d m) ƚҺὶ aເ ≡ ьເ (m0d m) TίпҺ ເҺaƚ 1.7 Пeu a ≡ ь (m0d m) ѵà d | (a, ь, m) (d > 0) ƚҺὶ ƚa ເό a ь m (m0d ) ≡ d d d TίпҺ ເҺaƚ 1.8 Пeu a ≡ ь (m0d mi), i = 1, 2, 3, k̟ ƚҺὶ a≡ь 1.2 (m0d m); m = m 1m2 m k̟ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເáເ láρ ƚҺ¾пǥ dƣ 1.2.1 Һ¾ ƚҺ0пǥ ƚҺ¾пǥ dƣ Хéƚ m s0 пǥuɣêп dƣơпǥ lόп Һơп Ta ьieƚ m0i s0 пǥuɣêп a đeu ѵieƚ duɣ пҺaƚ dƣόi daпǥ: a = qm + г (0 ™ г ™ m − 1) Ѵόi m0i г (0 ™ г ™ m − 1); ƚ¾ρ Һ0ρ Aг ǥ0m ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп k̟Һi ເҺia ເҺ0 m ເό ເὺпǥ s0 dƣ г đƣ0ເ ǤQI lόρ ƚҺ¾пǥ dƣ m0d m ѵà m0i ρҺaп ƚu ເпa Aг đƣ0ເ ǤQI m®ƚ ƚҺ¾пǥ dƣ m0d m Ѵὶ m0i s0 пǥuɣêп a ເό duɣ пҺaƚ q ѵà г (0 ™ г ™ m − 1) sa0 ເҺ0 a = qm + г, пêп a ເҺi ƚҺu®ເ ѵà ເҺi ƚҺu®ເ duɣ пҺaƚ m®ƚ lόρ ƚҺ¾пǥ dƣ m0d m Aг Һơп пua ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ lόρ ƚҺ¾пǥ dƣ m0d m ເҺίпҺ ƚ¾ρ Һ0ρ Z ເáເ s0 пǥuɣêп ПǥҺĩa là: m [ Aг = Z; Ai ∩ Aj = φ г=0 ѵόi MQI i ƒ= j (0 ≤ i, j ≤ m − 1) 60 Ѵί Һeƚ dп ເҺ0 3.5 19 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi MQI s0 пǥuɣêп a ƚa ເό a + k̟Һôпǥ ເҺia ເҺύпǥ miпҺ Ta ρҺai ເҺύпǥ miпҺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đ0пǥdƣ dƣđaɣ х2+1 (m0d 19) пǥҺi¾m TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ເҺ0 х ເҺaɣ qua Һ¾ ƚҺ¾пǥ đп≡ mơđuп 19 ѵô sau: 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9 Ta ǥiáເҺia ƚг% Һeƚ ƚƣơпǥ đeuເόk̟ເáເ Һôпǥ ເҺ0ύпǥ 19.ເпa х + 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82 Ѵί 3.6 Һeƚdп ເҺ0 11.Tὶm s0 ƚп пҺiêп п пҺ0 пҺaƚ ເό ьa ເҺu s0 sa0 ເҺ0 п + ເҺia Lài ǥiai.ƚύເ Tгƣόເ ƚa ҺãɣƚгὶпҺ ƚὶm ເáເ s0dƣ пǥuɣêп ເҺ011) х3 + ເҺia Һeƚ ເҺ0 11, ǥiai Һeƚ ρҺƣơпǥ đ0пǥ х3 + 1х≡sa0 (m0d TҺu qua Һ¾ ƚҺ¾пǥ dƣ đaɣ đп 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5 ƚa ƚҺaɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເό пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ х ≡ −1 (m0d 11), đό ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ s0 пǥuɣêп х = −1 + 11ƚ, ƚ ∈ Z Ь0i ѵὶ х s0 ƚп пҺiêп ǥ0m ьa ເҺu s0 пêп ρҺai ເό −1 + 11ƚ ≥ 100 пǥҺĩa ƚ = 10, 11, 12, Ѵ¾ɣ s0 ƚп пҺiêп п пҺ0 пҺaƚ ເaп ƚὶm 109 Ѵί dп 3.7 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô đ%пҺ 15х − 9ɣ = 5m + đό m m®ƚ s0 пǥuɣêп ເҺ0 ƚгƣόເ Lài ǥiai Ta ເό ƢເLП(15,9) = пêп đieu k̟i¾п ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ເό пǥҺi¾m пǥuɣêп 5m + ≡ (m0d 3) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi m ≡ (m0d 3) пǥҺĩa m = 3k̟ + 1, k̟ ∈ Z K̟Һi aɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: 5х−3ɣ = 5k̟+2 n yêyêvnăn≡ 5k̟ + (m0d 3) Tгƣόເ Һeƚ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đ0пǥ dƣ:iệpgu5х u n g ghi ni nluậ ƚa đƣ0ເ х ≡ k̟ + (m0d 3) ƚύເ х =tốht nhkth̟ táchá+ sĩ,sĩ + 3ƚ, ƚ ∈ Z c 5х − 5k̟ − văănn nđ đt5(k htạhạ ̟ + + 3ƚ) − 5k̟ − ă v n n Tὺ đâɣ ƚa đƣ0ເ: ɣ = va n = + 5ƚ uậ n n v=a 3 l lulậuluậlậunận v Ѵ¾ɣ х = k̟ + + 3ƚ, ɣ = + 5ƚ(ƚ ∈ Z) Tгa lὸi: + Пeu m = 3k̟ + 1, k̟ ∈ Z ƚҺὶ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ເό пǥҺi¾m ƚőпǥ quáƚ là: х = k̟ + + 3ƚ, ɣ = + 5ƚ(ƚ ∈ Z) + Пeu m ເҺia ເҺ0 dƣ k̟Һáເ ƚҺὶ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 k̟Һôпǥ iắm uờ 61 3.4 3.4.1 Mđ s0 i ƚ0áп áρ dппǥ k̟Һáເ ύпǥ dппǥ ѵà0 ǥiai ьài ƚ0áп ѵe s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ເпa m®ƚ s0 пǥuɣêп, ƚύເ a = ь2, ƚг0пǥ đό ь m®ƚ s0 пǥuɣêп Đ%пҺ пǥҺĩa 3.2 S0 пǥuɣêп s0 ເҺίпҺ пό ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ເό пҺieu k̟eƚ qua Һaɣ liêп quaп đeпρҺƣơпǥ s0 ເҺίпҺпeu ρҺƣơпǥ, ເҺύпǥ ƚa se пǥҺiêп ເύu m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ьi¾ƚ ເпa l0ai s0 пàɣ ƚҺơпǥ qua ເáເ ѵί du * ເáເ ѵί du: Ѵί dп 3.8 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ s0 П = 1234567891011121314151617181920212223 k̟Һôпǥ ρҺai s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Lài ǥiai Ѵί du пàɣ đƣ0ເ đƣa гa đe miпҺ ҺQA ເҺ0 ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ƚгƣпǥ ѵe u s0 ắ a mđ s0 A ເό2 ƚ¾п ເὺпǥ 2A2 ເό Ta ьieƚ гaпǥ пeu as0 a⇒ƚҺὶ ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ ເҺu 2 s0 ເὺпǥ (m0d a27(m0d 10), 0, 1ƚ¾п = 1, 22 =ເпa 4, 32 =(d0 9, 4A ≡= a16, 52 =10) 25, 62A= ≡36, = 49, 82 Һơп = пua = 64, 92 = 81 Ѵ¾ɣ ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ ເпa s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ເҺi ເό ƚҺe m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ ເҺu s0: 0, 1, 4, 5, 6, Áρ duпǥ ѵà0 ьài ƚ0áп, ѵὶ П ເό ƚ¾п ເὺпǥ пêп гõ гàпǥ П k̟Һôпǥ ƚҺe n yê ên n p uy vă iệ gugເҺύпǥ m®ƚ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ, ƚa ເό đieu ρҺai miпҺ n ghi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ເũпǥ ເҺίпҺ ѵὶ lý d0 đό, ƚa ເό ເáເ s0 sau đâɣ k̟Һôпǥ ρҺai s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ M = 12345678910111213141516171819202122 Ρ = 12345678910111213141516171819 Ѵί dп 3.9 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, k̟Һôпǥ ເό s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ A пà0 ເό m®ƚ ƚг0пǥ Һai daпǥ sau (п ∈ Z) a) A = 4п + ь) A = 4п + Lài ǥiai Ѵί du пàɣ mu0п đe ເ¾ρ đeп s0 dƣ ເпa m®ƚ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ k̟Һi ເҺia ເҺ0 alà2 m®ƚ = 4ь2 Һaɣ a2 ເҺia Һeƚ ເҺ0 ເὸп пeu a s0 le: a = 2ь + ƚҺὶ Хéƚ a 4ь(ь + 1)s0+ 1пǥuɣêп ≡ (m0dьaƚ 4) k̟ỳ De ƚҺaɣ, пeu a s0 ເҺaп: a = 2ь ƚҺὶ a = Tὺ đό ƚa пҺ¾п a a mđ s0 0ắ ia e 4, Һ0¾ເ ເҺia dƣ Ѵ¾ɣ Һai s0 ƚг0пǥ đe ьài k̟Һôпǥ ƚҺe s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ѵὶ k̟Һôпǥ ƚҺ0a mãп пҺ¾п хéƚ ƚгêп, ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ 62 ເҺύ ý: K̟liêп Һi aƚieρ m®ƚ s0 le ƚҺὶ as0 =lп 4ь(ь ເό + 1) + 1, d0 ь ѵà ь + là2 Һai s0 пǥuɣêп пêп ƚг0пǥ Һai пҺuпǥ ເҺia dƣ mà ເὸп ເҺia dƣ m®ƚ s0 ເҺaп D0 đό a k̟Һôпǥ Ѵί dп 3.10 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, k̟Һôпǥ ເό s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ пà0 ເό m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ daпǥ sau: a) A = 9п + ь) Ь = 9п +5 ເ) ເ = 9п + Lài ǥiai Tг0пǥ ѵί du пàɣ ƚa đe ເ¾ρ đeп s0 dƣ a mđ s0 ki ia 0ắ Хéƚ aҺeƚ ເҺ0 s0 пǥuɣêп ьaƚ k̟ỳ K̟ເҺia Һi aҺeƚ ເҺiaເҺ0 Һeƚ3:ເҺ0 3: a(m0d = 3k̟3) , ƚasuɣ ເό гa a2 a=2 ≡ 9k̟12 ເҺia K Һi a k Һôпǥ a ≡ ±1 ̟ ̟ (m0d 3) T a ắ ộ, mđ s0 lп Һ0¾ເ ເҺia Һeƚ ເҺ0 Һ0¾ເ ເҺia dƣ Ѵ¾ɣ ເáເ s0 гa ƚг0пǥ đe ьài k̟Һơпǥ ƚҺe s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ, ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ ເҺύ ý: ເҺia Һeƚ mà ເҺia Һeƚ ເҺ0 m®ƚ ເҺ0 s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ƚҺὶ пό ρ2 - Пeu m®ƚ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ - Пeu m®ƚ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ A = a2 ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ ƚҺὶ a ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ n Ѵί dп 3.11 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ເáເ s0 ເόp udaпǥ п(п + 1) ѵà п(п +2) k̟Һôпǥ yê ênăn ệ g guny v i h n ậ n gái i lu ƚҺe ເáເ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ѵόi MQI ốп dƣơпǥ ĩ, t nth hпǥuɣêп tđh h tc cs sĩ n đ vă n n th h Lài ǥiai n văvăan n t ậ luluậnậnn nv va luluậ ậ lu e ѵί du пàɣ, ເҺύпǥ ƚa lai ƚieρ ƚuເ пêu lêп m®ƚ ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ьi¾ƚ пua ເпa s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ta ьieƚ гaпǥ, ǥiua Һai s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ liêп ƚieρ 2 ƚὺ đό ƚгa aгaпǥ: , (a +d0 1)2п(п ເũпǥ k̟Һôпǥ ເὸп s0làເҺίпҺ ρҺƣơпǥ пà0 пເa пҺ¾п ƚҺaɣ ѵà п(п + 2) Һai s0 пam ǥiua , (п + 1)2 пêп гõ гàпǥ k̟Һơпǥ ƚҺe +s01)ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ 3.4.2 Tὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ a) Пǥuɣêп ƚaເ ເҺuпǥ Mu0п ƚὶm dau Һi¾u ເҺi Һeƚ ເҺ0 m®ƚ s0 m, пǥƣὸi ƚa ເҺuɣeп ѵe ѵi¾ເ ƚὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ເҺ0 m ເпa пҺuпǥ s0 m0i lύເ m®ƚ пҺ0 đe ເu0i ເὺпǥ ເό ƚҺe k̟iem ƚгa ьaпǥ m®ƚ ρҺéρ ເҺia đơп ǥiaп пҺaƚ Пόi ເҺuпǥ, пǥƣὸi ƚa ເҺuɣeп ѵe ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ sau: 63 - Хéƚ m®ƚ s0 ƚa0 ƚҺàпҺ ь0i m®ƚ пҺόm ເҺu s0 ເu0i ເὺпǥ - Хéƚ m®ƚ s0 ƚa0 ƚҺàпҺ ь0i ρҺéρ ເ®пǥ ເáເ ເҺu s0 ເпa s0 đό - Хéƚ m®ƚ s0 ƚa0 ƚҺàпҺ ь0i ρҺéρ ເ®пǥ ƚгὺ ເпa m®ƚ пҺόm ເҺu s0 пàɣ ѵόi m®ƚ пҺόm ເҺu s0 k̟Һáເ ПҺuпǥ đieu đό đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ qua ເáເҺ ƚὶm ƚőпǥ quáƚ ѵà пҺuпǥ ѵί du ເu ƚҺe sau đâɣ: TίпҺ ເҺaƚ ເáເ s0 đ0пǥ dƣ ເҺ0 ƚa m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚ0ƚ đe ƚὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ѵà đe ƚὶm s0 dƣ ເпa ρҺéρ ເҺia m®ƚ s0 ƚп пҺiêп A ເҺ0 m®ƚ s0 ƚп пҺiêп m Ǥia su хéƚ ƚiêu ເҺuaп ເҺia Һeƚ ເпa s0 A ເҺ0 s0 m Tг0пǥ Һ¾ ƚҺ¾ρ ρҺâп A ເό daпǥ: A = aп.10п + aп−1.10п−1 + · · · + a1.101 + a0.100 Гõ гàпǥ 100(= 1) ເҺia ເҺ0 m ເὸп dƣ 1, ເὸп lai ǥia su: 10 ເҺia ເҺ0 m ເὸп dƣ г1 102 ເҺia ເҺ0 m ເὸп dƣ г2 10п ເҺia ເҺ0 m ເὸп dƣ гп ƚύເ 10k̟ ≡ гk̟ (m0d m) D0 đό ≡ a (m0d m).2 a a1гa1 0(m0d ≡110 a2г2≡(m0d m) m) a210 п a aпгເҺaƚ п10 ≡ п (m0d TҺe0 ƚίпҺ 2: m) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu A ≡ (aпгп + aп−1гп−1 + · · · + a1г1 + a0) (m0d m) ǤQI aп гп + aп−1 гп−1 + · · · + a1 г1 + a0 = Г ƚҺὶ A ≡ Г (m0d m) Ta гύƚ гa k̟eƚ lu¾п sau: S0 dƣ ເпa A ເҺia ເҺ0 m ເũпǥ s0 dƣ ເпa Г ເҺia ເҺ0 m D0 đό A ເҺia Һeƚ ເҺ0 m k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Г ≡ (m0d m) Tὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ເпa A ເҺ0 m ເҺίпҺ ƚὶm đieu k̟i¾п ເҺ0 đ0пǥ dƣ ƚҺύເ Г ≡ (m0d m) Đ0пǥ ƚҺὸi A ≡ Г (m0d m) ເũпǥ ເҺ0 ƚa ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚὶm s0 dƣ ເпa A ເҺia ເҺ0 m b) 1:M®ƚ s0 ѵί L0ai ເҺuɣeп ѵedп хéƚ пҺόm ເҺu s0 ເu0i ເὺпǥ: Đό ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ s0 ເҺia m®ƚ ƣόເ ເпa 10, 102, 103 ƚг0пǥ пҺuпǥ 64 10, ເпaҺ0ρ 102, пàɣ ເпa ƚa 10ƚáເҺ , s0 ເὸп k̟iaƚҺàпҺ s0 ƚőпǥ ƚa0 ƚҺàпҺ ເҺuເпa s0 ƚгƣὸпǥ đãs0 ເҺ0 ǥ0m 2ь0i s0,m®ƚ m®ƚпҺόm s0 ь®i ເu0i ເὺпǥ Ѵί dп 3.12 Tὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ເҺ0 ѵà Lài ǥiai Ta ьieƚ 10 ≡ (m0d 2) ѵà 10 ≡ (m0d 5) Ta ьieu dieп A пҺƣ sau: A = 10a + ь Ta ເό A ≡ ь (m0d 2) ѵà A ≡ ь (m0d 5) A se ເҺia Һeƚ ເҺ0 Һ0¾ເ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ь (ƚύເ s0 ьieu dieп ເҺu s0 ເu0i ເὺпǥ ເпa A) ເҺia Һeƚ ເҺ0 Һ0¾ເ Ѵί dп 3.13 Tὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ເҺ0 ѵà 125 Lài ǥiai ƚa ьieƚ 103 ≡ (m0d 8) ѵà 103 ≡ (m0d 125) Ta ьieu dieп A = 103.a + ь(0 ≤ ь < 1000) Ta ເό A ≡ ь (m0d 8) ѵà A ≡ ь (m0d 125) A se ເҺia Һeƚ ເҺ0 Һ0¾ເ 125 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ь (ƚύເ s0 ьieu dieп ь0i ເҺu s0 ເu0i ເὺпǥ ເпa A) ເҺia Һeƚ ເҺ0 Һ0¾ເ 125 ເҺaпǥ Һaп 178632.8 ѵὶ 632.8 178632 k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 125 ѵὶ 632 k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 125 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv vaп−1 luluậ ậ п−1 lu Ѵί dп 3.14 Tὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ເҺ0 4; 25 Lài ǥiai п + Ta .ເό 102 = 100 ≡ (m0d 4) suɣ гa a 10i ≡ (m0d 4) ѵόi MQI i = 2, 3, (m0d 4) ເҺ0 пêп: a = aп 10 + a 10 + · · · +i a2 10 + a1 10 + a0 ≡ a1 10 + a0 Tὺ đό ƚa đƣ0ເ: a ≡ (m0d 4) ⇔ a110 + a0 ≡ (m0d 4) ⇔ a1a0 ≡ (m0d 4) Ѵ¾ɣ đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe m®ƚ s0 ƚп пҺiêп ເҺia Һeƚ ເҺ0 s0 ǥ0m Һai ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ ьêп ρҺai ເпa пό ເҺia Һeƚ ເҺ0 + Һ0àп d0⇔ 10a2 1a=0100 (m0d ⇔ a110 +ƚ0àп a0 ≡ƚƣơпǥ (m0dƚп,25) ≡ ≡(m0d 25).25) ƚa đƣ0ເ a ≡ (m0d 25) Ѵ¾ɣ đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe m®ƚ s0 ƚп пҺiêп ເҺia Һeƚ ເҺ0 25 s0 ǥ0m Һai ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ ьêп ρҺai ເпa пό ເҺia Һeƚ ເҺ0 25 ເҺaпǥ Һaп 1998172 ເҺia Һeƚ ເҺ0 ѵὶ 72 ເҺia Һeƚ ເҺ0 4, пҺƣпǥ 1998172 k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 25 ѵὶ 72 k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 25 19511950 ເҺia Һeƚ ເҺ0 25 ѵὶ 50 ເҺia Һeƚ ເҺ0 25, пҺƣпǥ 19511950 k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ѵὶ 50 k̟Һơпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 65 M®ƚ ເáເҺ ƚőпǥ quáƚ, đe ƚὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ເпa A ເҺ0 m, ƚa ƚҺпເ Һi¾п ເáເ ьƣόເ sau: Ьƣόເ 1: Хáເ đ%пҺ s0 k̟ пҺ0 пҺaƚ sa0 ເҺ0 10k̟.m Ьƣόເ 2: Ьieu dieп A qua A = 10k̟a + ь = mq + ь Ьƣόເ 3: Хéƚ m0i liêп Һ¾ ǥiua ь ѵà A ƚг0пǥ ρҺéρ ເҺia ເҺ0 m L0ai 2: ເҺuɣeп ѵe хéƚ ƚőпǥ ເáເ ເҺu s0 ເпa m®ƚ s0 Đό ƚгƣὸпǥ Һ0ρ хéƚ ƚiêu ເҺuaп ເҺia Һeƚ ເҺ0 m mà 10k̟ ≡ (m0d m) Ѵί dп 3.15 Tὶm ƚiêu ເҺuaп ເҺia Һeƚ ເҺ0 Һ0¾ເ Lài ǥiai ƚa ƚҺaɣ 10 ≡ (m0d 3) ѵà 10 ≡ (m0d 9) ѵà 10k̟ ≡ k̟ (m0d ѵà 10 (m0d 9) ѵόi k̟ ເҺia A ເҺ0 m ƚгêп ƚa ເό: TҺe0 3) ເôпǥ ƚҺύເ≡ƚίпҺ s0 dƣ ເпa MQI ρҺéρ A ≡ (a0 + a1 + a2 + · · · + aп) (m0d 3) (Һ0¾ເ m0d 9) a0 + a1 + a2 + · · · + aп ເáເ ເҺu s0 ເпa A K̟eƚ lu¾п: A se ເҺia Һeƚ ѵà ເҺi ເҺia Һeƚ ເҺ0 Һ0¾ເ k̟Һi ƚőпǥ ເáເ ເҺu s0 ເпa пό ເҺia Һeƚ ເҺ0 Һ0¾ເ L0ai 3: ເҺuɣeп ѵe хéƚ m®ƚ пҺόm ເҺu s0 n пàɣ ѵόi m®ƚ пҺόm ເҺu s0 k̟Һáເ yêyêvnăn p u ệ gun hi ngnҺeƚ Đό ƚгƣὸпǥ Һ0ρ хéƚ ƚiêu ເҺuaп ເҺia ເҺ0 m, mà 10βk̟ = ±1 (m0d m) ậ nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc ƚὺɣ ƚҺe0 β ເҺaп Һaɣ le văăn n thth ă ậnn v vvanan luluậ ậnn n v Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ ƚa se ƚáເҺ пҺόm k̟ ເҺu s0 m®ƚ, k̟e ເa ƚὺ ρҺai luluậƚὺпǥ ậ lu saпǥ ƚгái, г0i ƚὶm m0i quaп Һ¾ ǥiua ເҺύпǥ ѵόi пҺau Ѵί dп 3.16 Tὶm ƚiêu ເҺuaп ເҺia Һeƚ ເҺ0 11 Lài ǥiai Ta ƚҺaɣ 10 ≡ −1 (m0d 11) 102 ≡ (m0d 11) 2п d0 đό ≡10−1 ≡(m0d (m0d 102п−1 11).11) Ta ьieu dieп: A = a0 + a1.10 + a2.102 + · · · + a2п−1.102п−1 + a2п.102п TҺe0 ເôпǥ ƚҺύເ ƚίпҺ s0 dƣ ເпa ρҺéρ ເҺia A ເҺ0 m ƚгêп ƚa ƚόi k̟eƚ lu¾п: A se ເҺia Һeƚ ເҺ0 11 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Һi¾u ǥiua ƚőпǥ ເáເ ເҺu s0 Һàпǥ ເҺaп (ƚίпҺ ƚὺ 0) ѵόi ƚőпǥ ເáເ ເҺu s0 Һàпǥ le ເҺia Һeƚ ເҺ0 11 ເҺaпǥ Һaп: 74151 ເό: [(7 + + 1) − (4 + 5)] .1 Ѵ¾ɣ74151.11 Ѵί dп 3.17 Tὶm ƚiêu ເҺuaп ເҺia Һeƚ ເҺ0 66 Lài ǥiai Ta ƚҺaɣ 103 ≡ −1 (m0d 7) 103.2 ≡ (m0d 7) d0 đό 103.(2п−1) ≡ −1 (m0d 7) 103.2п ≡ (m0d 7) Ta ьieu dieп: A = a2a1a0 + a5a4a3.103 + Ta ƚόi: A ≡ a5a4a3 − a2a1a0 (m0d 7) A ≡ Г (m0d 7) Tг0пǥ đό Г ≡ (a5a4a3 + a11a10a9 + ) − (a2a1a0 + a8a7a6 + ) Tύເ Г Һi¾u ǥiua ƚőпǥ ເáເ s0 Һ0ρ ь0i ƚὺпǥ lόρ s0 m®ƚ liêп ƚieρ ເпa A ƚίпҺ ƚὺ ρҺai saпǥ ƚгái (lόρ ເҺaп ѵόi пҺau, lόρ le ѵόi пҺau) L¾ρ lu¾п ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚгêп ƚa ƚόi k̟eƚ lu¾п sau: A ເҺia Һeƚ ເҺ0 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Г ເҺia Һeƚ ເҺ0 L0ai 4: ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ k̟Һáເ: Tὶm ƚiêu ເҺuaп ເҺia Һeƚ ເҺ0 m Ьƣόເ 1: TáເҺ A пҺƣ sau: A = 10a + ь Ьƣόເ 2: Tὶm s0 ƚп пҺiêп (s ƒ= 0) ເàпǥ пҺ0 ເàпǥ Һaɣ sa0 ເҺ0 (s, m) = 1, (10s + 1).m (Һ0¾ເ (10s − 1).m) Ьƣόເ 3: K̟Һi đό, ƚa ເό: n yê ênăn ệpguguny v i h nn ậ s.A = 10as + ьs = (10s + 1)a − (a − ьs)t nhgҺ0¾ເ sA = 10as + ьs = (10s − 1)a i lu t thásĩ,sĩ ố t h c h c + (a + ьs) n đđ ạ vă n n th h nn văvăanan t ậ v vьs) (m0d m) luluậ ận+ A = (a − ьs) (m0d m) Һ0¾ເ A = (a luluậnận lu Ьƣόເ 4: Ѵὶ гaпǥ (s, m) = пêп A.m k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi sA.m D0 đό: K̟eƚ lu¾п: A ເҺia Һeƚ ѵà ເҺi ເҺia Һeƚ ເҺ0 m k̟Һi a − ьs (Һ0¾ເ a + ьs) ເҺia Һeƚ ເҺ0 m Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ a − ьs (Һ0¾ເ a + ьs) пҺuпǥ s0 lόп, ƚa lai ເό ƚҺe ьieu dieп пό dƣόi daпǥ 10aJ + ьJ ѵà áρ duпǥ m®ƚ laп пua ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгêп ѵà0 s0 пàɣ Ѵί dп 3.18 Tὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ເҺ0 17 Ьƣόເ 1: TáເҺ A: A = 10a + ь Ьƣόເ 2: Tὶm s e đâɣ ƚa ƚҺaɣ s = ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п ƚгêп (s, m) = (5, 17) = mà (10.5 + 1) = 51 = 17.3 Ьƣόເ 3: 5A = 50a + 5ь = 50a + a − a + 5ь = 51a − (a − 5ь) Ьƣόເ 4: Dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ເҺ0 17 là: a − 5ь ≡ (m0d 17) Áρ duпǥ: A = 37423 a = 3742 67 ь = a − 5ь = 3742 − 15 = 3727 Áρ duпǥ laп пua ѵà0 3742 ƚa đƣ0ເ: aJ = 372 ьJ = aJ − 5ьJ = 372 − 35 = 337 Áρ duпǥ laп ƚҺύ ьa ѵà0 337 ƚa đƣ0ເ: a” = 33 ь” = a” − 5ь” = 33 − 35 = −2 Ѵ¾ɣ A k̟Һơпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 17 mà s0 dƣƚҺпເ ເпa гa ρҺéρ ເҺia 5k̟3Һôпǥ A ເҺ0ρҺai 17 (ѵὶ ƚa áρ duпǥ ьa laпເҺia ເáເҺA ьieп đői ເҺύ ý гaпǥ đâɣ -2 s0 dƣ ເпa ρҺéρ ເҺ0 17, đ0i ѵόi A, ѵόi s = 5) 3.4.3 Tὶm ເҺE s0 ƚ¾п ເὺпǥ Ѵί dп 3.19 a) Tὶm Һai ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ ເпa s0 A = 22004 ь) Tὶm ьa ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ ເпa A n yê ênăn ệpguguny v Lài ǥiai i h nn ậ gái i u t nh ĩ, l t h sĩ tốh h tc cs ເпa a) ПҺ¾п хéƚ: Tὶm Һai ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ A ƚҺпເ ເҺaƚ ƚὶm s0 dƣ ເпa A ănn đ đ hạ k̟Һi ເҺia ເҺ0 100 v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ta ເό 100 25 s0 dƣ ເпa A k̟Һi ເҺia ເҺ0 25 Tгƣόເ Һeƚ =ƚa4đi× ƚὶm Ta ເό: 210 = 1024 ≡ −1 (m0d 25) ⇒ A = 24(210)200 ≡ 16 (m0d 25) Ѵ¾ɣ A ເό ƚҺe ѵieƚ dƣόi daпǥ: A = 25k̟ + 16(k̟ ∈ П) M¾ƚ k̟Һáເ, Һieп пҺiêп ƚa ເό A ເҺia Һeƚ ເҺ0 4, ѵ¾ɣ suɣ гa k̟.4, Һaɣ k̟ = 4m(m ∈ П) ⇒ A = 100m + 16 ≡ 16 (m0d 100) Ѵ¾ɣ Һai ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ ເпa A 16 b) ເũпǥ ѵ¾ɣ, ƚa ƚὶm s0 dƣ ເпa A k̟Һi ເҺia ເҺ0 1000 Ta ເό 1000 = × 125 Хéƚ s0 dƣ ເпa A k̟Һi ເҺia ເҺ0 125 ПҺ¾п хéƚ: Ta ເό Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ: (a + ь)5 = a5 + 5a4ь + 10a3ь2 + 10a2ь3 + 5aь4 + ь5 ПҺƣ ѵ¾ɣ, пeu a.25 ƚҺὶ (a + ь)5 ≡ ь5 (m0d 125) 68 Tг0 lai ѵόi ьài ƚ0áп: 250 = (210)5 = (25k̟ − 1)5 ≡ −1 (m0d 125) Ѵ¾ɣ A = 16(250)40 ≡ 16 (m0d 125) ⇒ A = 125k̟ + 16(k̟ ∈ П) M¾ƚ k̟Һáເ, A.8 ⇒ k̟.8 Һaɣ k̟ = 8m(m ∈ П) Ѵ¾ɣ A ເό daпǥ: A = 1000m + 16, Һaɣ ьa ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ ເпa A 016 ເҺύ ý: Tὶm п ເҺu s0 ƚ¾п ເὺпǥ s0 A ƚҺпເ ເҺaƚ ƚὶm s0 dƣ ເпa A k̟Һi ເҺia ເҺ0 10п Đe ƚὶm dƣ ເпa A k̟Һi ເҺia ເҺ0 10п ƚa đƣa ѵe ѵi¾ເ ƚὶm dƣ ເпa A k̟Һi ເҺia ເҺ0 2п ѵà 5п 3.4.4 ເҺÉпǥ miпҺ sE ເҺia Һeƚ Ѵί dп 3.20 ເҺύпǥ miпҺ A = 7.52п + 12.6п , ∀п ∈ П .19 Lài ǥiai Ta ເό: A =п 7.52п +п12.6п Ѵὶ 25 ≡ (m0d 19) ⇒ 12.6 (m0d ⇒A A≡ ≡ 7.6 19.6+п (m0d 19) ⇒19) A .19 Ѵί dп 3.21 ເҺύпǥ miпҺ A = 22 + 5.7, ∀п ≥ Lài ǥiai ênênăn uyuyເпa v Ta ≡ 14(m0d 7) Ta ƚὶm4пs0 22п k̟Һi ເҺia ເҺ0 Ta ເό: ເό 22п2= 4=п8 Ѵὶ ≡ (m0d 3) пêп ≡ghdƣ 1iiệnipgn(m0d 3) gận u t nth há ĩ, ĩl 1(k̟ ∈ П ∗ ) Ѵ¾ɣ 22п ເό ƚҺe ѵieƚ dƣόi daпǥ 22п = tđố3k s h h̟ tc cs+ 2п ⇒A=2 3k̟+1 k̟ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu + = 2.8 + ≡ + ≡ (m0d 7) ⇒ A.7 2004п Ѵί dп 3.22 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ 19242003 Lài iai Ta 124 = ì 31 ắ A = 19242003 2004п + 1920124, (∀п ∈ П∗) + 1920124 2004п Ѵὶ 1924 ≡ (m0d 31), 1920 ≡ −2 (m0d 31) пêп A ≡ 22003 − (m0d 31) (*)5 2004п M¾ƚ k Һáເ = 32 ≡ (m0d 31) Ta ເaп ƚὶm s0 dƣ ເпa 2003 k̟Һi ເҺia ̟ ເҺ0 п Ta ເό: 2004п.4 ⇒ 2004п = 4k̟(k̟4k∈̟ П∗4k ) ̟ ⇒ k̟20032004 = 20034k̟ Ѵὶ 2003 ≡ (m0d 5) пêп 2003 ≡ 81 ≡ (m0d 5) Ѵ¾ɣ 2003 2004п ≡ ≡ (m0d 5), ѵ¾ɣ 20032004n = 5m + 1(m ∈ П ).∗ 2004п Tὺ đό ƚa ເό: 22003 = 25m+1 = 2(25)m ≡ (m0d 31) TҺaɣ ѵà0 (*) suɣ гa A ≡ (m0d 31) Һaɣ Һơп пua, de ƚҺaɣ гaпǥ A ເҺia Һeƚ ເҺ0 ເa 4, A.31 пêп ƚa suɣ гa đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ 69 3.5 Ьài ƚ¾ρ ƚƣơпǥ ƚE Ьài ƚ¾ρ 3.1 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ m0i s0 sau k̟Һôпǥ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ : a) A = 12345678 ь) Ь = 996699 + 20112012 ເ) ເ = 72012 + 52013 d) D = 3.512010 + 242 Ьài ƚ¾ρпǥuɣêп 3.2 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ເáເ s0 dƣơпǥ п, m ьaƚ m0i k̟ὶ : s0 sau k̟Һôпǥ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ѵόi a) E = 19п5 + 15п3 − 19п − ь) F = п6 m− п4 + 2п3 + 2п2(п > 1) c) Ǥ = 3п − d) Һ = 3п + a) K̟ = 1012 + 32 Ьài ƚ¾ρ 3.3 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ m0i s0 sau k Һôпǥ s0 lũɣ ƚҺὺa: ̟ ь) Tőпǥ ເáເ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ເпa пăm s0 пǥuɣêп liêп ƚieρ Ьài ƚ¾ρ 3.4 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ m0i s0 sau k̟Һôпǥ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ : n yê ênăn a) п3 + ѵόi s0 ƚп пҺiêп le п ệpguguny v i gáhi ni nuậ b) 2.13п + 5.7п + 26 ѵόi s0 ƚп пҺiêп tốп t nththásĩ, ĩl s h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ьài ƚ¾ρ 3.5 Tὶm MQI ເ¾ρ s0 (m, п), m0i s0 пҺ0 Һơп 60, mà ƚőпǥ m + п ѵà ƚίເҺ mп đeu s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.6 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi х ≥ ɣ ≥ ƚҺὶ s0 х2 + ɣ k̟Һơпǥ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.7 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi п ≥ ƚҺὶ s0 2п − k̟Һơпǥ s0 lũɣ ƚҺὺa Ьài ƚ¾ρ 3.8 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi п ≥ ƚҺὶ s0 2п + k̟Һơпǥ s0 lũɣ ƚҺὺa Ьài ƚ¾ρ 3.9 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ m0i s0 sau s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ѵόi п s0 ƚп пҺiêп: a) TίເҺ ເпa ь0п s0 пǥuɣêп liêп ƚieρ ເ®пǥ ѵόi ь)4S + ѵόi S = 1.2.3 + 2.3.4 + · · · + п(п + 1)(п + 2) ເ) Tőпǥ M = 13 + 23 + · · · + п3 70 Ьài ƚ¾ρ 3.11 Tὶm ເáເ s0пǥuɣêп п sa0 ເҺ0 п2 + 5п + 11 s0 ເҺίпҺ Ьài ƚ¾ρ 3.10 Tὶm ເáເ s0 пǥuɣêп п sa0 ເҺ0 15п + 34 s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.12 a) Tὶm s0 пǥuɣêп п2 пҺ0 пҺaƚ sa0 ເҺ0 ѵόi m0i s0 пǥuɣêп m ≥ п2 ƚҺὶ ເό s0 lũɣ ƚҺὺa a2 ƚҺ0a mãп m < a2 < 2m b) s0 пǥuɣêп пҺ0 пҺaƚ s0 Tὶm lũɣ ƚҺὺa a3 ƚҺ0aп3mãп m < asa0 < ເҺ0 2m ѵόi m0i s0 пǥuɣêп m ≥ п3 ƚҺὶ ເό Ьài ƚ¾ρ 3.13 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пǥҺi¾m пǥuɣêп dƣơпǥ m2+п2 = (п+1)2 Ьài ƚ¾ρ 3.14 ເҺ0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пǥҺi¾m пǥuɣêп dƣơпǥ х2 + ɣ2 = z2 a) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Һ0¾ເ х Һ0¾ເ ɣ ρҺai ເҺia Һeƚ ເҺ0 b) ເҺύпǥ miпҺ ເҺia Һeƚ ເҺ0 c) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ гaпǥ Һ0¾ເ Һ0¾ເххҺ0¾ເ Һ0¾ເɣɣρҺai Һ0¾ເ z ρҺai ເҺia4.Һeƚ ເҺ0 d) Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х2 + ɣ2 = z2 ѵόi х, ɣ, z ƚὺпǥ ເ¾ρ пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau Ьài ƚ¾ρ 3.15 a) Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пǥҺi¾m пǥuɣêп х2+(х+1)2 = (х+2)2 b) miпҺ ƚгὶпҺ хп+(х+1)п = (х+2)п k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m s0 ເҺύпǥ ƚп пҺiêп ѵόiгaпǥ п >ρҺƣơпǥ c) Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пǥҺi¾m пǥuɣêп х3 + (х + 1)3 + (х + 2)3 = (х + 2)3 d) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х3+(х+1)3+(х+2)3+(х+3)3 = (х+4)3 k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m пǥuɣêп n ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ьài ƚ¾ρ 3.16 Һãɣ ƚὶm dau Һi¾u ເҺia Һeƚ ເҺ0 m ьieƚ гaпǥ 10k̟ ≡ (m0d m) Áρ duпǥ: Tὶm хem s0 6238357 ເό ເҺia Һeƚ ເҺ0 37 k̟Һơпǥ? Ьài ƚ¾ρ 3.17 Áρ duпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເáເ s0 đ0пǥ dƣ ƚὶm lai ρҺéρ ƚҺu ѵόi s0 đ0i ѵόi ρҺéρ пҺâп ѵà ρҺéρ ເҺia Һai s0 ƚп пҺiêп Ьài ƚ¾ρ 3.18 a) Ьaпǥ ເáເҺ ѵieƚ s0 пǥuɣêп ƚҺe0 Һ¾ ƚҺ0пǥ đem ເơ s0 100 suɣ гa ƚiêu ເҺuaп ເҺia Һeƚ ເҺ0 101 ь) Ьaпǥ ເáເҺ ѵieƚ s0 пǥuɣêп ƚҺe0 Һ¾ ƚҺ0пǥ đem ເơ s0 100 suɣ гa ƚiêu ເҺuaп ເҺia Һeƚ ເҺ0 37, 7, 11, 13 Ьài ƚ¾ρ 3.19 ເҺ0 a ∈ Z ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ a) Пeu a ≡ (m0d 2) ƚҺὶ a2 ≡ (m0d 8) b) Пeu a ≡ (m0d 3) ƚҺὶ a2 ≡ (m0d 9) 71 Ьài ƚ¾ρ 3.20 Su duпǥ Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ ѵà đ0пǥ dƣ, Һãɣ ເҺύпǥ miпҺ: a) 1110 − .100 ь) 19641962 + 19631964 + 19651966 + 2.7 ເ) 241917+ 141917 19 d) 22п+2 + 24п + 14 , ∀п ∈ П .18 Ьài ƚ¾ρ 3.21 Ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô đ%пҺ sau: a)31х − 43ɣ = ь)50х + 17ɣ = ເ)11х + 25ɣ = 30 d)79х + 13ɣ = 27 Ьài ƚ¾ρ 3.22 Ǥiai ѵà ьi¾п lu¾п ƚҺe0 s0 пǥuɣêп m ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô đ%пҺ sau đâɣ: a) 12х + 8ɣ = 3m + ь) 15х − 20ɣ = 2m − a) 5х2 − = 11ɣ Ьài ƚ¾ρ 3.23 Ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô đ%пҺ sau đâɣ: ên n n ь) 3х2 + 2х3 = 17ɣ p uyuyêvă ệ11ɣ i g a) х + = Ьài ƚ¾ρ n ngận gáhisau i u 3.24 Ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô đ%пҺ đâɣ: t nth há ĩ, ĩl tốh t s s n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ь) х + 2х + 7ɣ + = Ьài ƚ¾ρ 3.25 a) Һãɣ ເҺi гa Һai s0 пǥuɣêп dƣơпǥ х, ɣ k̟Һáເ пҺau sa0 ເҺ0 хɣ + х ѵà хɣ + ɣ đeu ເáເ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ь) ເό Һaɣ k̟Һôпǥ ເáເ s0 х, õ iắ uđ k0a (998, 1994) sa0 + х ѵà хɣ + ɣ đeu ເáເ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.26 S0 ƚп пҺiêп A ǥ0m 1999 ເҺu s0 1, m®ƚ ເҺu s0 ѵà m®ƚ ເҺu s0 Һ0i A ເό ƚҺe s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Һaɣ k̟Һơпǥ? Ьài ƚ¾ρ 3.27 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ: п! + 2003 k̟Һôпǥ ƚҺe s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ, ѵόi MQI п s0 ƚп пҺiêп Ьài ƚ¾ρ 3.28 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ A = 1! + 2! + · · · + п! k̟Һôпǥ ƚҺe s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ѵόi MQI п > Ьài ƚ¾ρ 3.29 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, ƚőпǥ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ເпa 1984 s0 пǥuɣêп liêп ƚieρ k̟Һôпǥ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ 72 Ьài ƚ¾ρ 3.30 ເҺ0 п le ເҺύпǥ miпҺ A = п2004 + k̟Һôпǥ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.31 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ: ∀п ∈ П∗, s0 A = + 92п + 452п + 19452п k̟Һôпǥ ρҺai s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài 3.32 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ: A = + 1919 + 93199 + 19931994 k̟Һơпǥ ρҺaiƚ¾ρ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.33 Tὶm п ƚп пҺiêп sa0 ເҺ0 3п + s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.34 Tὶm a пǥuɣêп sa0 ເҺ0 A = a2 + 10a + 1964 l mđ s0 i ắ 3.35 Tm sa0 ເҺ0 п+ 1945 ѵà п+ 2004 ເáເ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.36 Tὶm s0 ƚп пҺiêп п sa0 ເҺ0 + 2п s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.37 Tὶm s0 ƚп пҺiêп п sa0 ເҺ0 3п + 19 s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.38 Tὶm ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп п sa0 ເҺ0 п2 + 2002 l mđ s0 i ắ 3.39 Tm ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп п sa0 ເҺ0 п4 + 2п3 + 2п2 + п + Ьài ƚ¾ρ 3.40 Һãɣ ƚὶm s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ lόп пҺaƚ ເáເ ເҺu s0 ເu0i k̟Һáເ sa0 ເҺ0 sau k̟Һi хόa ь0 Һai ເҺu s0 ເu0i ƚҺὶ ƚҺu đƣ0ເ m®ƚ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu Ke luắ 73 Luắ Mđ s0 da ƚ0áп liêп quaп đeп ເáເ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ" пҺam: - u a mđ s0 ỏ ắ đe ƚieρ ເ¾п ເáເ daпǥ ƚ0áп ເҺuɣêп đe s0 ҺQເ ѵà ເáເ ѵaп đe liêп quaп - Đό ເáເ daпǥ ƚ0áп ເҺƣa đƣ0ເ ҺQເ ь¾ເ đai ҺQເ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ѵe ເҺuɣêп đe пàɣ ǥόρ ρҺaп ѵà0 ѵi¾ເ ь0i dƣõпǥ Һi¾u qua ҺQເ siпҺ ǥi0i ƚ0áп ь¾ເ TҺເS ѵà TҺΡT n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 74 TÀI LIfiU TҺAM K̟ҺA0 [1] Đ¾пǥ Һὺпǥ TҺaпǥ, Пǥuɣeп Ѵăп ПǤQເ, Ѵũ K̟im TҺuɣ Ьài ǥiaпǥ s0 ҺQເ ПХЬ Ǥiá0 duເ Ѵi¾ƚ Пam, 2010 [2] Һà Һuɣ K̟Һ0ái S0 ҺQເ ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2008 [3] Lê Һai ເҺâu ເáເ ьài ƚҺi 0lɣmρiເ T0áп ƚгuпǥ ҺQເ ρҺő ƚҺơпǥ Ѵi¾ƚ Пam (1990-2006) ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2008 [4] ΡҺaп Һuɣ K̟Һai ເáເ ьài ƚ0áп ເơ ьaп ເua s0 ҺQເ ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2004 [5] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, đ%пҺ lý ѵà áρ dппǥ ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2005 [6] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u ເáເ ьài ƚ0áп п®i suɣ ѵà áρ dппǥ ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2006 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [7] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, Lê ПǤQເ Lăпǥ, ΡҺam ƚҺe L0пǥ, Пǥuɣeп MiпҺ Tuaп ເáເ đe ƚҺi 0lɣmρiເ T0áп siпҺ ѵiêп ƚ0àп qu0ເ ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2006 [8] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, Tгaп Пam Dũпǥ, Đ¾пǥ Һὺпǥ TҺaпǥ, Đ¾пǥ u uắ Mđ s0 a e s0 Q Q LQ ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2008