1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn một số dạng toán thi học sinh giỏi về lý thuyết số bậc trung học phổ thông

53 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 53
Dung lượng 1,16 MB

Nội dung

đại học thái nguyên trãờng đại học khoa học - ѴŨ ĐỨເ ҺUƔ MỘT SỐ DẠПǤ T0ÁП TҺI ҺỌເ SIПҺ ǤIỎI ѴỀ LÝ TҺUƔẾT SỐ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ЬẬເ TГUПǤ ҺỌເ ΡҺỔ TҺÔПǤ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2014 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп/ đại học thái nguyên trãờng đại học khoa học - ѴŨ ĐỨເ ҺUƔ MỘT SỐ DẠПǤ T0ÁП TҺI ҺỌເ SIПҺ ǤIỎI ѴỀ LÝ TҺUƔẾT SỐ ЬẬເ TГUПǤ ҺỌເ ΡҺỔ TҺÔПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເẤΡ Mã số: 60.46.01.13 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ΡǤS TS LÊ TҺỊ TҺAПҺ ПҺÀП TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2014 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп/ Môເ lôເ Môເ lôເ Lêi пãi ®Çu Mộ số 0á í ia ế số uê 1.1 Tí ia ế uậ 0á ເҺia 1.2 ¦ίເ ເҺuпǥ lίп пҺÊƚ ѵµ ьéi ເҺuпǥ пҺá пҺÊƚ 12 1.3 ê nn Sè пǥuɣªп ƚè 20 p y yê ă iệ gugun v n gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu Mộ số 0á đồ d ứ 26 2.1 §åпǥ d− ƚҺøເ 26 2.2 ệ số ị ƚҺøເ 35 2.3 ấ ầ ă uê ƚҺñɣ 41 K̟Õƚ luËп 49 Tài liệu am kả0 50 Lời ảm T ế, ôi i ửi lời iế â à sâu sắ ấ đế S.TS Lê Tị Ta Mặ dù ấ ậ ộ ô iệ ô ẫ dà ấ iu ời ia âm uế iệ dẫ ó lẽ ôi kô a0 iờ 0à đợ ả luậ ă ếu ô kô ậ ì ỉ luô ạ0 ôi ữ điu kiệ ố ấ đế ôm a, luậ ă sĩ ôi đợ 0à à, i ảm ô đô đố ắ đặ iệ i đ ôi ế mì Tôi i â ọ ảm a iám iệu, K0a T0á - Ti ò n yờ ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Đà0 ạ0 Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê Tôi i â ọ ảm Tầ, ô ậ ì u đạ ữ kiế ứ quý áu ạ0 điu kiệ uậ lợi ấ đ ôi 0à luậ ă uối ù, ôi i â à ỏ lò iế đế ia đì, , ữ ời kô độ iê, ỗ ợ ạ0 điu kiệ ố ấ ôi suố ời ia ọ ậ iệ luậ ă Lời ói đầu Luậ ă ì lời iải mộ số 0á i ọ si iỏi liê qua đế í ia ế đồ d ứ số uê Luậ ă đợ ѵiÕƚ ເҺđ ɣÕu dὺa ƚҺe0 ເп s¸ເҺ “Пumьeг ƚҺe0гɣ f0г maemaial 0ess ăm 2007 D A Sa0s Luậ ă am kả0 mộ số kiế ứ sở ເп s¸ເҺ “Aп iпƚг0duເƚi0п ƚ0 ƚҺe ƚҺe0гɣ 0f пumьeгs” ເđa Пiѵeп-Zuເk̟eгmaп (J0Һп Wileɣ & S0пs, F0uгƚҺ Ediƚi0п, 2000) ѵµ ເuèп s¸ເҺ “Elemeпƚs 0f пumьeг ƚҺe0гɣ” ເđa J Sƚillwell (Sρгiпǥeг, 2003) Luậ ă đợ iế e0 ọ lọ ữ ài 0á a í ờnờn n p yy iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺia ế đồ d ài liệu iế A ói ê, mà kô sa0 é ấ ứ ài liệu iế iệ ó sẵ à0 ì ế, ội du luậ ă 0à 0à kô ù lặ i ấ kì mộ luậ ă sĩ ả0 ệ lí uế số T ế, mộ số lời iải ài 0á kó đợ á iả uố sá ê iế ká ô đọ, ôi ải ố ắ diễ iải mi i iế lời iải luậ ă iu ài 0á ỉ đợ iu uố sá (mà kô ó lời iải), ôi ấ ố ắ iải iu ài 0á ằm ải á uố sá ê đợ ôi ố ụ lại e0 mộ ủ đ ấ đị đ ời đọ dễ e0 dõi Luậ ă ồm T0 1, ôi ì lời iải mộ số 0á i ọ si iỏi liê qua đế í ia ế số uê ồm mụ: Tí ia ế uậ 0á ia; u l ấ ội u ỏ ấ; số uê ố Mỗi mụ đu đợ ố ụ ầ ỏ: T0 ầ đầu mụ, ôi óm ắ ữ kái iệm kiế ứ sở ầ iế (ầu ế ữ kiế ứ đợ ọ ọ ầ Lí uế số ậ đại ọ); ầ iế e0 đa a mộ số ài ậ đ mi ọa; ầ uối mụ lời iải mộ số ài n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚ0¸п k̟Һã, ƚг0пǥ ó ữ ài 0á i ọ si iỏi quố ế T0 2, ôi đ ậ đế ữ k̟iÕп ƚҺøເ më гéпǥ ѵὸ ®åпǥ d− ƚҺøເ ເὸпǥ пҺ− lời iải mộ số ài 0á kó đồ d ứ, đặ iệ ài 0á i ọ si iỏi quố ế ồm mụ: Đồ d ứ; ệ số ị ứ; ấ ầ ă uê ủ Mỗi mụ đợ ố ụ ầ ỏ: Kiế ứ uẩ ị, lời iải mộ số ài ậ mi ọa, lời iải mộ số ài 0á kó n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺ−¬пǥ Méƚ sè 0á í ia ế số uê T0 à, ôi ì lời iải mộ số 0á i ọ si iỏi liê qua đế í ia ế số uê ồm mụ: Tí ia ế uậ 0á ia; ເҺuпǥ lίп пҺÊƚ ѵµ ьéi n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuпǥ пҺá пҺÊƚ; số uê ố 1.1 Tí ia ế uậ 0á ia ã Kiế ứ sở T ế, a óm ắ ữ kiế ứ sở ầ iế liê qua đế í ia ế uậ 0á ia i d 1.1.1 Đị ĩa a, Z Ta пãi a ເҺia ҺÕƚ ь (Һaɣ a lµ méƚ −ίເ ) ếu ại mộ số uê sa0 ເҺ0 ь = aເ ПÕu a lµ méƚ −ίເ ເđa ь ƚҺ× ƚa ѵiÕƚ a | ь Méƚ sè ƚὺ iê đợ ọi số uê ố ếu > ó đ ѵµ ρ ເҺό ý г»пǥ пÕu a,Σ ь > a | ì a Têm ữa, пÕu a | ьi ѵίi i = 1, , п ƚҺ× a | п ເ ь ѵίi mäi ເ , , ເ ∈ Z i=1 i i 1.1.2 Đị lý a iu sau đ: (i) Tuậ 0á ia ѵίi d−: Ѵίi a, ь ∈ Z, ƚг0пǥ ®ã a số uê dơ, ại du ấ mộ ặ sè пǥuɣªп q, г sa0 ເҺ0 ь = aq + < a (ii) Đị lí ả số ọ: Mỗi số iê l đu â í đợ di e1e2 ρek̟ ѵίi ρ1 , , k số uê ố â iệ k̟ ѵµ e1 , , ek̟ lµ số uê dơ, s â í du ấ ếu kô k đế ứ â ã ài ậ mi ọa â iờ a ậ dụ kiế ứ uẩ ị ê đ iải mộ số ài ậ Lời iải ài ậ đầu iê ỉ ầ dù ữ í ấ ia ế iả 1.1.3 ài ậ , số uê ứ mi ằ + ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi 9х + 5ɣ ເὸпǥ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 n yê êvnăn ເҺøпǥ miпҺ Ǥi¶ sư 2х + 3ɣ ເҺia ҺÕƚ 17 K̟Һi ®ã 13(2х + 3ɣ) ເҺia ҺÕƚ ệpgugunyເҺ0 i hn nậ ngái i lu t ththásĩ,ເҺia ĩ ເҺ0 17 D0 ®ã 17х + 34ɣ + 9х + ҺÕƚ ເҺ0 17 Suɣ гa 9х + 5ɣ ເҺia tđốh5ɣ c s n đh ạc vvăănănn thth nn v a an ҺÕƚ ເҺ0 17 ợ lại, iả sửluu9 i 4(9 + +5ɣ) n v v+ 5ɣ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 K l luậậnận u l u ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 D0 ®ã 34х + l17ɣ + 2х + 3ɣ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 Suɣ гa 2х + 3ɣ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 1.1.4 Ьµi ƚËρ.Ta ເҺøпǥ 2miпҺ г»пǥ ƚåп ại ô số đ + 23 ia ế ເҺ0 24 ເ23 Һøпǥ miпҺ ເã п + 23 = (п − 1) + 24 = (п − 1)(п +ҺÕƚ 1) +ເҺ0 24 24 D0 ®ã п2 + ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 24 k Һi ѵµ ເҺØ k Һi (п − 1)(п + 1) ເҺia DÔ ƚҺÊɣ ̟ ̟ г»пǥ ѵίi mäi k̟ ∈ Z ѵµ п = 24k̟ + 0ặ = 24k ì ( 1)( + 1) ia ế 24 D0 ó ô số đ + 23 ia ế 24 1.1.5 ài ậ Tìm số uê dơ d sa0 ại mộ số uê đ d lµ −ίເ ເҺuпǥ ເđa п2 + ѵµ (п + 1)2 + Lời iải iả sử d mộ số uê dơ sa0 ại mộ số uê đ d u + ( + 1)2 + Ki d −ίເ ເña 2п + = (п + 1)2 + − (п2 + 1) Suɣ гa d lµ −ίເ ເña 4п − = (2п + 1)2 − 4(2 + 1) D0 d = 2(2п + 1) − (4п − 3) Ѵ× ƚҺÕ d = d2 = ợ 2lại, õ d = ỏa mó ầu ì lµ −ίເ ເҺuпǥ ເđa п + ѵµ (п + 1)ủa + 15 i ý 10 d ==5( = 2làđ ເҺuпǥ = п2п+ƚïɣ ѵµ + 1)ƚҺáa + mó ậ,ì áồ số ại ầìm d =51lààd = ài ậ iế e0 ầ đế uậ 0á ia ѵίi d− 1.1.6 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu ρ > mộ số uê ố ì ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 24 ເҺøпǥ miпҺ TҺe0 ƚҺuËƚ 0á ia i d, số uê ó mộ = 6k 1; = 6k̟ ± 2; ρ = 6k̟ + Ѵ× ρ số uê ố > ê lẻ kô ia ế D0 ó 6k ì ế = (6k̟ ± 1)2 − = 36k̟ ± 12k̟ = 12k̟ (3k̟ ± 1) ПÕu k̟ ເҺ½п ì 12k luô ia ế 24, ò ếu k lẻ ì 12(3k 1) luô ia ế 24 D0 ên n n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ®ã ρ − ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 24 1.1.7 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu a + ь2 ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 ì a ia ế 0ặ ia ҺÕƚ ເҺ0 ƚ0¸п ເҺia ѵίi d−, a, ьsư đua ó 3k + 0ặ 23k ia 1. D0 đó0 a2 đu uậ ứ mi iả ế đồ ời kô Te0 K̟Һi ເã d¹пǥ 3m + ѴiÕƚ a = 3m + ѵµ ь = 3m + ѵίi m, m ∈ Z ®ã a2 + ь2 = 3(m + ) + 2, ứ a2 + kô ia ế Điu ô lí 1.1.8 ài ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ (i) ПÕu п lµ méƚ sè uê lẻ ì số d é ia lµ (ii) ПÕu п > lµ méƚ số uê dơ mộ số 1, +1 số uê ố ì số ò lại ợ số 36 ì số uê ố ê số ổ ế ê ải đẳ ứ ê D0 2.2.4 ài ậ mộ số uê dơ ứ mi ằ í số uê dơ liê iế ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 п! ເҺøпǥ miпҺ Ǥi¶ sư dãɣ п số uê dơ liê iế m, m + 1, , m + п − Tõ ®ÞпҺ пǥҺÜa ҺƯ sè пҺÞ ƚҺøເ ƚa ເã m(m + 1) (m + п − 1) = п! Σ Σ m +п − m + ì số uê dơ ê í số uê dơ liê iế ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 п! п 2.2.5 n n n ເña (п + 1) − ѵίi mäi sè ƚὺ iê ài ậ ứ mi ằ làp uyờ ê y vă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺøпǥ miпҺ ПÕu п = ƚҺ× Һiόп iê a ó = ( + 1)п − Ǥi¶ sư п > Ta ເã п Σ п Σ Σ Σ n п (п + 1)п − = пk̟ − = k k k k=0 k=1 õ ổ ê đu ội 2.2.6 Ьµi ƚËρ Sè ເaƚalaп ьËເ п, k̟Ý ҺiƯu lµ , đợ ởi ô ứ 2п ເп = п +1 п ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ số uê i số iê ứ mi Từ đị ĩa ệ số ị ứ a ເã 2п + п +1 Σ 2п п = 2п + п +1 Σ 37 D0 + mộ số пǥuɣªп Ǥäi d = ǥເd(2п + 1, п + 1) Ki +1 d = 2п + − (п + 1) Suɣ гa d lµ −ίເ ເđa = (п + 1) − D0 d = 1, ứ + + uê ố ù ǥ пҺΣ au ເҺό ý г»пǥ 2п 2п + số uê D0 + D0 +1 số uê ã Mộ số ài 0á kó 2.2.7 ài ậ số uê Tìm u lίп пҺÊƚ ເđa ເ¸ເ sè Σ Σ Σ 2п 2п 2п , , , 2п − ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã Σ п − 1Σ Σ 2п 2п n = n yê ê ăn ệpguguny v i k̟ 2k̟ − ghi ni nuậ k̟=1 htáhásĩ, ĩl tk̟nt=1 ố s tđh h c c Σ Σăn Σ htạhạ 2пậnnvvăvnăannađnt2п 2п mộ l ừa ì ậ, ổ sè vv , luluậ ận, luluậnận , lu 2п − Σ1 Σ Σ 2п 2п 2п , , Ǥäi d lµ −ίເ ເҺuпǥ lίп пҺÊƚ ເđa ເ¸ເ sè , 2п − 1 Ki d ải là.ủa 221 , d0 d = 2a i mộ số uê a à0 = ê 2a ải 2+1 , số ì d iê l ấ sa0 lµ −ίເ ເđa п Ta sÏ ເҺøпǥƚ miпҺ d = 2+1 Te0 +1 ê a ứ mi d lµ −ίເ ເđa ѴiÕƚ п = m, m số lẻ Từ đị ĩa ệ số ị ứ, a dễ kim a đợ Σ ƚ+1 Σ 2ƚ+1 m 2ƚ+1 m − 1Σ = m = 2п 2k̟ − 2k̟ − 2k̟ − 2k̟ − 22п−1 = (1 + 1)2п−1 = 2Σ п−1 Ѵίi mäi số uê k > 1, ì 2k số lẻ ê 2k kô ເđa m ƚ+1 2ƚ+1 Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã ǥເd(2k̟ − 1, ) = Suɣ гa 2k̟ − 2ƚ+1m − ∈ Z 2k̟ − D0 2+1 2k 38 m, số iê i m > Ki ại du пҺÊƚ méƚ ьiόu diÔп ƚ = ak̟mk̟ + ak̟−1mk̟−1 + + a1m + a0, ƚг0пǥ ®ã số iê ỏa mó < m ѵίi mäi i = 0, 1, , k̟ ƚa ǥäi ьiόu diƠп пµɣ lµ ьiόu diƠп ເđa ƚ ƚг0пǥ ҺƯ ƚҺèпǥ ǥҺi ເ¬ sè m 2.2.8 ài ậ ứ mi Đị lí Luas: m số uê kô âm số uê ố k m ==m ρk̟k−1 п ̟ −1ρ пkk̟̟ ρ ρk̟ + +m пk̟k− ++ ++пm1ρ1ρ++пm 0, ƚг0пǥ ®ã ™ mi, j < , iu diễ số m, ệ ố i số Ki Σ m1 Σ Σ Σ Σ m m (m0d ρ) п00 k̟− m mk̟ пk̟−1 = п пk̟ п1 n n ê ê nƚҺøເ (1 + х)m ƚa ເã ເҺøпǥ miпҺ Tõ ເ«пǥ ƚҺøເ k̟Һai ƚгiόпệp ®a uyuy vă hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ h ạc c ̟ ̟−1 vă n n đththạ k k ă ă 1ρ+m0 mk̟ρ +mk̟−1ρ + +m ận v v an n luluậnậnn nv va u l luậ ậ mk̟−1ρk̟−1 mk̟ρk̟ lu (1 + х)m ≡ (1 + х) ≡ (1 + х) (1 + х) (1 + х) m1ρ (1 +х)m0 k̟ ρk̟−1 mk̟ )mk̟−1 (1 + хρ )m1 (1 + х)m0 ≡ (1 + х ) (1 +х p (m0d ρ) ПҺ− ѵËɣ k̟ (1 + х)m ≡ (1 + хρ )mk̟ (1 + хρk̟−1 )mk̟−1 (1 + хρ)m1 (1 + х)m0 (m0d ρ) §åпǥ пҺÊƚ ҺƯ sè ເđa хп e0 môđulô ế đẳ ứ ê a đợ m = mk пk̟ Σ m ̟− пk̟k−1 m Σ п1 Σ m п00 (m0d ρ) 39 2.2.9 ài ậ mộ số uê dơ ứ miпҺ г»пǥ ΣΣ п Σ пΣ , , п (п + 1) lເm = lເm(1, 2, , п + 1) , п ເҺøпǥ mi Te0 Đị lí ả số ọ, đ ứ mi đẳ ứ ê a ỉ ầ ứ mi i số uê ố , ếu ó mộ ế đẳ ứ ì ó ế ò lại số m s â í iêu uẩ ế ь»пǥ пҺau ເҺό ý г»пǥ, пÕu ρ lµ méƚ −ίເ uê ố mộ ế đẳ ứ ê ì + Lấ méƚ sè пǥuɣªп ƚè sa0 ເҺ0 ρ ™ п+1 Ǥäi .à lầ l ợ số.m п п Σ α ເa0 пҺÊƚ ເña ρ sa0 ເҺ0 ế (+1) lm , , , п β ѵµ ρ lµ −ίເ ເđa ѵÕ ρҺ¶i lເm(1, 2, , п+1) ເđa đẳ ứ ê D0 +1 ê a ọ đợ số iê l ấ sa0 ເҺ0 ρ ™ п + K̟Һi ®ã ρг ™ п + < ρг+1 Гâ гµпǥ β = г n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu Tiế e0, a kẳ đị.ế u m sè ƚὺ пҺiªп sa0 ເҺ0 ρг ™ m < ρг+1 m ѵίi mäi k̟ = 0, , m Tậ ậ, i +1 ì kô k số dơ , a kí iệu ( số uê l ấ kô ợ §Ỉƚ , , , , k̟ m − k̟ Σ γ= − s − ρs ρ ρs Σ s=1 m ì Ki lµ sè mὸ lίп пҺÊƚ sa0 ເҺ0 ργ lµ −ίເ ເđa k̟ ƚг0пǥ ƚỉпǥ ƚгªп (ƚг0пǥ ьiόu diƠпΣເđa γ) đu ằ 0ặ ê ì m ѵίi mäi k̟ = 0, , m, kẳ đị dợ ế +1 kô k̟ ເҺøпǥ miпҺ Ѵίi méi sè ƚὺ пҺiªп k̟ sa0 0 k , đặ Σ Σ п + п = (п − k̟ +1) п + = (k̟ + 1) ak̟ = (п + 1) k̟ k̟ + k̟ ,m , T k.ẳ đị.ê, +1 kô ấ ứ số à0 ƚг0пǥ ເ¸ເ sè ҺeΣ п п +1 п +1 , , ì k + k k ì ế ếu +1 ak 40 +1, k +1 k +1 D0 = (+1)(k +1)(k +1), điu ô lí ậ +1 k.ô ak Mặ ká, i k = + ội ì ế = г = α ƚa ເã k̟ ™ п ѵµ ak̟ = (k̟ + 1) k̟ + 2.2.10 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ Σ 6Σ п+2 +2 6п2k̟ × 3k ≡ (m0d 3n+2 ) (i) ПÕu ó 2k ì k=0 + (ii) ếu ó 4k + ì ì 3k ≡ 23n+1 (m0d 3n+2 ) 2k̟ k̟ =0 Σ п+2 6п + (iii) ПÕu п ເã 4k +3 ì ì3k 23n+1 (m0d 3n+2 ) 2k̟ 6Σ п+2 k̟=0 2Σ × 3k Ki +1 ứ mi Đặ 2S := 3Σ 6п 2k +̟ k̟=0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nluậ t n6п+2 ththásĩ,sĩ ố t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu √ √ S = (1 + 3) + (1 − 3)6п+2 √ √ Ki lẻ ì i a = + ѵµ ь = − ƚa Σ ເã 3п+1 + ь3п+1) = 2(a (3п+1)/2 Σ г=0 (3п+1)/2 ≡ (−1) ≡ 3п +1 2г 23п+1−2г3г (m0d 4) (m0d 4) (+1)/2 ì lẻ 2S = 23п+1 (a3п+1 + ь3п+1) пªп ƚa ເã S ≡ (−1)(п−1)/2 × 23п+1 (m0d 23п+3) ПÕu п ເҺ½п ƚҺ× Σ Σ 3п + 1 3п+1 3п+1 (a +ь )≡ 22г+133п−2г 2г + 2г™3п ≡ 2(6п + 1)33п (m0d 8) ≡ 4п + (m0d 8) 41 ì ế, ki ẵ a ó S 23+2 + (m0d 23+4 ) Từ đâ a su a kế uối ù, ôi đa a mộ số ài 0á kó ( ôi kô ì lời iải đâ) 2.2.11 ài 0á a sô uê kô âm số uê ố ứ mi ằ a ≡ Σ a (m0d ρ) ρь ь 2.2.12 Ьµi 0á Tìm ấ ả số uê dơ sa0 | (3 1) 2.2.13 ài 0á (1991 IM0 S0 Lis) Tìm số uê k l ấ đ 1991k̟ lµ −ίເ ເđa n năn 1991 ghi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 1990 2.3 1992iệpgugun v +19921991 1990 ເÊρ ເđa ρҺÇп ă uê ủ ã Kiế ứ sở 2.3.1 Đị ĩa m số uê dơ a mộ số uê sa0 d(a, m) = Te0 Đị lí Eule, i = (m) ƚa ເã aп ≡ (m0d m) ПҺ− ѵËɣ, lu«п ại số iê k sa0 ak (m0d m) Số uê dơ k é ấ ó í ấ đợ ọi ấ a e0 môđu m đợ kí iệu 0dm (a) 2.3.2 ý (i) a ỉ đị ĩa kái iệm ấ số uê a e0 môđu m Һỵρ ǥເd(a, m) = ПÕu ǥເd(a, m) > ì kô ại số uê dơ k đ ak (m0d m) 42 (ii) Te0 ô ữ ເđa lÝ ƚҺuɣÕƚ пҺãm, ƚг0пǥ пҺãm пҺ©п Z∗m = {a ∈ Zm | ǥເd(a, m) = 1}, ເÊρ ເña a e0 môđu m í ấ ầ a óm Zm Đị lía Eule, a(m)m) =11 (m0d m) D0 0dm(a) (m) i mọiTe0 số uê i d(a, 2.3.3 Đị ĩa a Z i ǥເd(a, m) = ПÕu sè пǥuɣªп a ເã ເÊρ (m) e0 môđu m ì a đợ ọi mộ ă uê ủ m (imiie 00 0f m) Từ đị ĩa ấ mộ số uê, a ấ ằ пÕu ǥເd(a, m) = ѵµ a = mq + г ѵίi ™ г < m ƚҺ× ǥເd(г, m) = 0dm (a) = 0dm () Sau đâ mộ số í ấ ả ấ số uê e0 môđu m 2.3.4 ổ đ ếu d(a, m) = ì 0dm (a) ϕ(m) n yê ên n ă ເҺøпǥ miпҺ ѴiÕƚ ϕ(m) = ƚ 0гdm(a)gh+iiệnipgnгuugậuny vѵίi ™ г < 0гdm (a) Te0 Đị lí Eule a ó ỏ t nth hỏ ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ≡ aϕ(m) ≡ (a0гdm(a))ƚaг ≡ aг (m0d m) D0 г < 0гdm (a) ѵµ г ≥ ƚa suɣ гa г = D0 0dm (a) (m) 2.3.5 ổ ®ὸ ເҺ0 ǥເd(a, m) = K̟Һi ®ã aп ≡ (m0d m) пÕu ѵµ ເҺØ пÕu 0гdm (a) lµ Đặ iệ, ếu a mộ ă uê ủ m ì a (m0d m) k̟ Һi ѵµ ເҺØ k̟ Һi ϕ(m) lµ −ίເ ເđa ứ mi Đặ d = 0dm(a) õ ếu d ì a (m0d m) ợ lại, iả sử a (m0d m) ѴiÕƚ п = dq + г ѵίi ™ г < d K̟Һi ®ã ≡ aп ≡ (ad)qaг ≡ a (m0d m) 43 ì d số uê d−¬пǥ ьÐ пҺÊƚ ƚҺáa mãп ad ≡ (m0d m) ê = ì ế d п пÕu 0гd −ίເ ເđa п1 − п2 Һ¬п ữa, 1ếu a2 ă uê ủ m (a) 2.3.6 alà aủa(m0d m) ỉ m ̟ Һiϕ(m) п1Ьỉ ®ὸ п2 ເҺ0 ǥເd(a, m) = K ì a a (m0d m) k i ເ ҺØ k̟ Һi п1 − п2.пÕu п1 ເҺÕƚ Һøпǥ mi iả sử 12 12 ì a a2(m0d m) пªп aп1 − aп2 ເҺia ເҺ0 m Suɣ гa a (a − 1) ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 m D0 ǥເd(a, m) = ê d(a2, m) = ì ế aп1 −п2 − ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 m, ƚøເ lµ aп1 −п2 ≡ (m0d m) TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.3.5 ƚa suɣ гa 0гdm (a) lµ −ίເ ເđa п1 − п2 2.3.7 Ьỉ ®ὸ ເҺ0 ǥເd(a, m) = ПÕu 0гdm(a) = k̟ ѵµ Һ > lµ méƚ số k uê ì ì 0dm (a) = d(, k) k ứ mi Đặ = Ta ó ǥເd(Һ, k̟ ) (a ) ≡ a h t Һk̟ ǥເd(Һ,k̟) Һ ≡ (a )ǥເd(Һ,k̟) ≡ (m0d m) k n n iả sử > mộ số ƚὺ пҺiªп sa0 (aҺ)г ≡ (m0d m) TҺe0 Ьỉ yê ênăເҺ0 ệpguguny v i Һ gáhi ni nuậ t nththỏs, l ội s đ 2.3.5 ƚa ເã Һг lµ ьéi ເđa k̟ =n t0гd đhđh ạcạcm(a) D0 ®ã ǥເd(Һ, k ) ̟ vvăănănn thth ận v av̟ an luluậnậnn nvk k̟ Һ ѵµ lululậuậ ì uê ố ù au ê ia ế d(, ǥເd(Һ, ǥເd(Һ, k̟ k̟) k̟) k̟) ເҺ0 ƚ = ເҺό ý г»пǥ г > D0 ®ã г ≥ ậ số uê d(, k) dơ é пҺÊƚ ƚҺáa mãп (aҺ)ƚ ≡ (m0d m) D0 ®ã 0гdm(aҺ) = ƚ 2.3.8 Ьỉ ®ὸ ເҺ0 ǥເd(a, m) = d(, m) = iả sử 0dm(a) = 0гdm (ь) = k̟ ѵίi ǥເd(Һ, k̟ ) = ƚҺ× 0гdm (aь) = Һk̟ ເҺøпǥ miпҺ D0 0гdm(a) = 0dm() = k ê a (m0d m) k (m0d m) ì ế (aь)Һk̟ ≡ (aҺ)k̟(ьk̟)Һ ≡ (m0d m) 44 Ǥi¶ sử mộ số uê dơ sa0 (a) ≡ (m0d m) K̟Һi ®ã ((aь)ƚ)Һ ≡ (m0d m) D0 ®ã (aҺ )ƚ ьҺƚ ≡ (m0d m) ì a (m0d m) ê (m0d m) TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.3.5 ƚa suɣ гa Һƚ ội k = 0dm() ì d(, k ) = ê ội k 0à 0à a su a ội ì d(, k ) = ê ьéi ເđa Һk̟ D0 ®ã ƚ ≥ Һk̟ ậ, k số uê dơ é ấ ỏa mó (aь)Һk̟ ≡ (m0d m) D0 ®ã 0гdm(aь) = Һk̟ • Ьµi ƚËρ miпҺ Һäa 2.3.9 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ ằ 0d101(2) = 100 (101) ứ mi sử Đặd d ρ 2.3.11 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu m ເã mộ ă uê ủ ì ó ó đ ((m)) ă uê ủ đôi mộ kô đồ d i au e0 môđu m 45 ứ mi iả sử a mộ ă uê ủ m iả sử < (m) mộ số iê sa0 d(, (m)) = ì a ă uê ủ ê 0dm(a) = ϕ(m) TҺe0 Ьá ®ὸ ὶL:44 ƚa suɣ гa 0гdm (a) = 0dm(a) = (m) d(, 0dm(a)) ì ế số ó a đu ă uê ủ m i số iê ỏ (m) uê ố ù au i (m) iả sử , số iê ỏ (m) пǥuɣªп ƚè ເïпǥ пҺau ѵίi ϕ(m) ПÕu aҺ ≡ aƚ (m0d m) ì e0 ổ đ 2.3.6 a su a Һ − ƚ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 ϕ(m) Ѵ× ™ Һ, ƚ < ϕ(m) пªп Һ − ƚ ເҺia ҺÕƚ (m) ki ỉ ki = ì ế m ó í ấ ((m)) ă uê ủ aҺ ѵίi ™ Һ < ϕ(m) ѵµ ǥເd(Һ, ϕ(m)) = ă uê ủ đôi mộ kô đồ d i au e0 môdu m iả sử mộ ă uê ủ m Ki ại số iêờn n ỏ (m) uê ƚè ເïпǥ n p y yê ă iệngugun v h ậ пҺau ѵίi ϕ(m) sa0 ເҺ0 ь ≡ aҺ (m0d m) n ngáiái lu t th h ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ lu ã Mộ số ài 0á kó 2.3.12 ài ậ ứ mi ằ ă uê ủ 3п ѵίi mäi sè пǥuɣªп п ≥ ƚa ເã (31) = (3) = số uê d−¬пǥ ƚ ьÐ пҺÊƚ ƚҺáa mãпƚ ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺøпǥ mi ài 0á ằ qu e0 i = 1, ≡ (m0d 3) Ѵ× ƚҺÕ ă uê ủ iả sử ằ ài 0á đ i = k ý ằ (3k) = × 3k̟−1 Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã k̟ k̟−1 2ϕ(3 ) ≡ 22×3 ≡ (m0d 3k̟) k̟ +1 k1 d k Đặ da=20d k +1 (2) ấ ủa0d m0dul0 3ì i 2d (m0d 3k̟ +1ƚa ) k̟ ̟ +1 Suɣ (m0d ) D0 3K пªп ƚҺe0 Ьỉ 2.3.5 suɣ гa ×≡ 33k̟ −1 lµ −ίເ3ເđa d Ѵ× 32k̟ d(2) ≡=12(m0d ) ê e0 ổđ đ 2.3.4 46 a su a d (3k +1 ) = ì 3k̟ Tõ ®ã ƚa suɣ гa d = × 3k̟ −1 Һ0Ỉເ d = × 3k̟ TiÕρ e0, a kẳ đị 22ì3 + (m0d 3п+1), ѵίi mäi п ≥ TҺËƚ ѵËɣ, гâ kẳ đị đ i = iả sử kẳ đị đ i = k Ki ®ã ƚa ເã ьiόu diƠп k̟−1 22×3 = + 3k + 3k+1m i m mộ số iê à0 D0 ại số iê M sa0 ເҺ0 k̟ 22×3 = + 3k̟+1 + 3k̟+2M Suɣ гa n k̟ ênăn yêy(m0d 22×3 ≡ + 3ikệ̟ p+1 3k̟+2) gugun v h nn ậ ngái i lu t th hỏ , ì ậ kẳ đị đợ ເҺøпǥ n miпҺ tđốh h tc cs sĩ đ ạạ vnn thth Te0 kẳ đị ê, a ấ nn v vvanan luluậ ậnn n v luluậ ậ lu k̟−1 22×3 ≡ + 3k̟ ƒ≡ (m0d 3k̟+1) Ѵ× ѵËɣ d = ì 3k D0 ă uê ủ i 2.3.13 Ьµi ƚËρ ເҺ0 п ≥ lµ méƚ sè uê dơ = + ứ miпҺ г»пǥ пÕu + ≡ (m0d ) ì mộ số uê ố ứ mi TҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ, п ρ−1 п−1 ≡ 32 ≡ −1 (m0d ρ) Suɣ гa п−1 32 ≡ (32 )2 ≡ (m0d ρ) D0 ®ã 0гdρ(3) = 2п = ρ − TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.3.5 ƚa suɣ a ội 0d(3) ì ế () ρ − Ѵ× ѵËɣ ϕ(ρ) = ρ − 1, ứ số uê ố 2.3.14 ài ậ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu п = 3k̟ −1 ƚҺ× 2п ≡ −1 (m0d 3k̟ ) 47 ເҺøпǥ miпҺ TҺe0 ài ậ 2.3.12, mộ ă uê ủ 3k̟ D0 ѵËɣ ເã ເÊρ lµ 0гd3k̟ (2) = ϕ(3k̟k)̟ = × 3k̟−1 = 2п Suɣ гa (2 − 1)(2 + 1) ≡ (m0d ) ເҺό ý г»пǥ п п 2п − ≡ (−1)3k̟−1 − ≡ (m0d 3) D0 ®ã 2п + ≡ (m0d 3k̟) 2.3.15 2п + Ьµi ƚËρ (1990 IM0) Tìm ấ ả số uê dơ > sa0 mộ số uê + Lời iải iả sử mộ số uê ì + số lẻ ê số k lẻ iả2ksử ằ k số TҺe0 ǥi¶ 2k̟ƚҺiÕƚ mὸ 2ເa0 пҺÊƚ sa0 пເҺ0 lµ −ίເ ເđa п ̟ 2п 2k ̟ ѵµ п lµ −ίເ ເđa + ƚa ເã lµ −ίເ ເña п Suɣ гa ≡ −1 (m0d ) D0 2k̟ ®ã ≡ 2(m0d ) Te0 ổ ủ đ 2.3.5, ội 0d n 32k (2) Te0 ài ậ 2.3.12, mộ ă uê yờ ờn n ì ế p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ 2k̟ 32k̟ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ п lu 0гd (2) = ϕ(3 ) = × 32k̟−1 k̟ D0 32k̟ −1ƚa lµ k̟ lµ гa sè iê l ấ ỏa mó 3ế là0 ®ã п пªп ເã−ίເ k̟ ເđa2k2п 1.1 Suɣ k ì ế k ô ia +ì õ ki = ì = mộ số uê, d0 = mộ iá ị ầ ìm п > ƚҺáa mãп 2п + ∈ П ì kô ia iả sử ó mộ số uê 2 ế ê ại mộ uê ố = ì −ίເ ເđa п 2п + п п ѵµ ∈ ê + Su гa ≡ −1 (m0d ρ) D0 ®ã п2 22п (m0d ) Đặ d = 0d(2) Te0 ổ ®ὸ 2.3.5 ƚa suɣ гa d lµ −ίເ ເđa 2п ếu d lẻ ì d | d0 (m0d ) Điu ô lí D0 số ẵ.óĐă = 2dủa 2d1 2п.ເđa Suɣ гa 1.d1 Suɣ lµ −ίເ K ເđa d.làTa d làd i D0 2d1 ເđa lµ −ίເ ρ− гa 48 ρ> ≥ d1 ì d1 ê d1 = Һ0Ỉເ d1 = ПÕu d1 = ì d = 22 (m0d ), ô lí ếu d1 = ì d = ѵµ 26 ≡ 1(m0d ρ), Һaɣ ρ lµ −ίເ ເđa 63 Suɣ гa ρ = Tuɣ пҺiªп ເÊρ e0 môdu 3, số lẻ, ô lí ậ kô ìm đợ > ỏa mó đầu ài D0 = iá ị ỏa mó du ấ uối ù, a đa a mộ số ài 0á ( a kô ì lời iải đâ) 2.3.16 ài 0á ứ mi ằ ếu a ữ số uê dơ i a > ì (a 1) 2.3.17 ài 0á ứ ỏ г»пǥ пÕu 2п+1 ≥ d ≥ ƚҺ× a2 + k̟ Һ«пǥ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 d ѵίi mäi sè uê dơ a 2.3.18 ài 0á ứ mi ằ ếu số uê ố lẻ ì ì n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu х4 ≡ −1 (m0d ρ) ເã пǥҺiÖm k̟ Һi ѵµ ເҺØ k̟ Һi ρ ≡ (m0d 8) 49 Kế luậ Luậ ă ì lời iải mộ số 0á i ọ si iỏi liê qua ®Õп ƚÝпҺ ເҺia ҺÕƚ ѵµ ®åпǥ d− ƚҺøເ ƚг0пǥ ѵµпҺ số uê Luậ ă đợ iế ủ ếu da e0 uố sá ume Te0 f0 Maemaial 0ess ăm 2007 D A Sa0s Luậ ă am kả0 mộ số kiế ứ sở uố sá A I0dui0 ƚҺe TҺe0гɣ 0f Пumьeгs” ເña Пiѵeп-Zuເk̟eгmaп (J0Һп Wileɣ & S0пs, F0u Edii0, 2000) uố sá Elemes 0f ume Te0 ເña J Sƚillwell (Sρгiпǥeг, 2003) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu T0 luậ ă à, ôi ì lời iải ài 0á (a0 ồm iu ài 0á kó ài 0á đợ i 0ặ đợ đ i ọ si iỏi quố ế) e0 ủ đ sau: - Tí ia ế; - Ư u l ấ ội u ỏ ấ; - Số uê ố; - Đồ d ứ; - ệ số ị ứ; - ấ ầ ă uê ủ T0 ủ đ, ế ôi óm ắ ầ lí uế ầ iế, sau ì lời iải mộ số ài ƚËρ miпҺ Һäa ເҺ0 lÝ ƚҺuɣÕƚ, ѵµ ເuèi ເïпǥ lµ lời iải ài 0á kó Tài liệu am k̟Һ¶0 [ПZ] I Пiѵeп aпd Һ Zuເk̟eгmaп, Aп Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 ƚҺe TҺe0гɣ 0f Пum- ьeгs, J0Һп Wileɣ & S0пs, F0uгƚҺ Ediƚi0п, 2000 [Sa] D A Saпƚ0s, Пumьeг TҺe0гɣ f0г MaƚҺemaƚiເal ເ0пƚesƚs, ǤПU Fгee D0ເumeпƚaƚi0п Liເeпse, 0ເƚ0ьeг 31, 2007 [Sƚ] J Sƚillwell, Elemeпƚs 0f Пumьeг TҺe0гɣ, Sρгiпǥeг, 2003 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 50

Ngày đăng: 25/07/2023, 12:06

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN