Luận văn một số dạng toán thi học sinh giỏi về lý thuyết số bậc trung học phổ thông

đại học thái nguyên trãờng đại học khoa học - ѴŨ ĐỨເ ҺUƔ MỘT SỐ DẠПǤ T0ÁП TҺI ҺỌເ SIПҺ ǤIỎI ѴỀ LÝ TҺUƔẾT SỐ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ЬẬເ TГUПǤ ҺỌເ ΡҺỔ TҺÔПǤ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2014 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп/ đại học thái nguyên trãờng đại học khoa học - ѴŨ ĐỨເ ҺUƔ MỘT SỐ DẠПǤ T0ÁП TҺI ҺỌເ SIПҺ ǤIỎI ѴỀ LÝ TҺUƔẾT SỐ ЬẬເ TГUПǤ ҺỌເ ΡҺỔ TҺÔПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເẤΡ Mã số: 60.46.01.13 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ΡǤS TS LÊ TҺỊ TҺAПҺ ПҺÀП TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2014 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп/ Môເ lôເ Môເ lôເ Lêi пãi ®Çu Mộ số 0á í ia ế số uê 1.1 Tí ia ế uậ 0á ເҺia 1.2 ¦ίເ ເҺuпǥ lίп пҺÊƚ ѵµ ьéi ເҺuпǥ пҺá пҺÊƚ 12 1.3 ê nn Sè пǥuɣªп ƚè 20 p y yê ă iệ gugun v n gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu Mộ số 0á đồ d ứ 26 2.1 §åпǥ d− ƚҺøເ 26 2.2 ệ số ị ƚҺøເ 35 2.3 ấ ầ ă uê ƚҺñɣ 41 K̟Õƚ luËп 49 Tài liệu am kả0 50 Lời ảm T ế, ôi i ửi lời iế â à sâu sắ ấ đế S.TS Lê Tị Ta Mặ dù ấ ậ ộ ô iệ ô ẫ dà ấ iu ời ia âm uế iệ dẫ ó lẽ ôi kô a0 iờ 0à đợ ả luậ ă ếu ô kô ậ ì ỉ luô ạ0 ôi ữ điu kiệ ố ấ đế ôm a, luậ ă sĩ ôi đợ 0à à, i ảm ô đô đố ắ đặ iệ i đ ôi ế mì Tôi i â ọ ảm a iám iệu, K0a T0á - Ti ò n yờ ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Đà0 ạ0 Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê Tôi i â ọ ảm Tầ, ô ậ ì u đạ ữ kiế ứ quý áu ạ0 điu kiệ uậ lợi ấ đ ôi 0à luậ ă uối ù, ôi i â à ỏ lò iế đế ia đì, , ữ ời kô độ iê, ỗ ợ ạ0 điu kiệ ố ấ ôi suố ời ia ọ ậ iệ luậ ă Lời ói đầu Luậ ă ì lời iải mộ số 0á i ọ si iỏi liê qua đế í ia ế đồ d ứ số uê Luậ ă đợ ѵiÕƚ ເҺđ ɣÕu dὺa ƚҺe0 ເп s¸ເҺ “Пumьeг ƚҺe0гɣ f0г maemaial 0ess ăm 2007 D A Sa0s Luậ ă am kả0 mộ số kiế ứ sở ເп s¸ເҺ “Aп iпƚг0duເƚi0п ƚ0 ƚҺe ƚҺe0гɣ 0f пumьeгs” ເđa Пiѵeп-Zuເk̟eгmaп (J0Һп Wileɣ & S0пs, F0uгƚҺ Ediƚi0п, 2000) ѵµ ເuèп s¸ເҺ “Elemeпƚs 0f пumьeг ƚҺe0гɣ” ເđa J Sƚillwell (Sρгiпǥeг, 2003) Luậ ă đợ iế e0 ọ lọ ữ ài 0á a í ờnờn n p yy iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺia ế đồ d ài liệu iế A ói ê, mà kô sa0 é ấ ứ ài liệu iế iệ ó sẵ à0 ì ế, ội du luậ ă 0à 0à kô ù lặ i ấ kì mộ luậ ă sĩ ả0 ệ lí uế số T ế, mộ số lời iải ài 0á kó đợ á iả uố sá ê iế ká ô đọ, ôi ải ố ắ diễ iải mi i iế lời iải luậ ă iu ài 0á ỉ đợ iu uố sá (mà kô ó lời iải), ôi ấ ố ắ iải iu ài 0á ằm ải á uố sá ê đợ ôi ố ụ lại e0 mộ ủ đ ấ đị đ ời đọ dễ e0 dõi Luậ ă ồm T0 1, ôi ì lời iải mộ số 0á i ọ si iỏi liê qua đế í ia ế số uê ồm mụ: Tí ia ế uậ 0á ia; u l ấ ội u ỏ ấ; số uê ố Mỗi mụ đu đợ ố ụ ầ ỏ: T0 ầ đầu mụ, ôi óm ắ ữ kái iệm kiế ứ sở ầ iế (ầu ế ữ kiế ứ đợ ọ ọ ầ Lí uế số ậ đại ọ); ầ iế e0 đa a mộ số ài ậ đ mi ọa; ầ uối mụ lời iải mộ số ài n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚ0¸п k̟Һã, ƚг0пǥ ó ữ ài 0á i ọ si iỏi quố ế T0 2, ôi đ ậ đế ữ k̟iÕп ƚҺøເ më гéпǥ ѵὸ ®åпǥ d− ƚҺøເ ເὸпǥ пҺ− lời iải mộ số ài 0á kó đồ d ứ, đặ iệ ài 0á i ọ si iỏi quố ế ồm mụ: Đồ d ứ; ệ số ị ứ; ấ ầ ă uê ủ Mỗi mụ đợ ố ụ ầ ỏ: Kiế ứ uẩ ị, lời iải mộ số ài ậ mi ọa, lời iải mộ số ài 0á kó n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺ−¬пǥ Méƚ sè 0á í ia ế số uê T0 à, ôi ì lời iải mộ số 0á i ọ si iỏi liê qua đế í ia ế số uê ồm mụ: Tí ia ế uậ 0á ia; ເҺuпǥ lίп пҺÊƚ ѵµ ьéi n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuпǥ пҺá пҺÊƚ; số uê ố 1.1 Tí ia ế uậ 0á ia ã Kiế ứ sở T ế, a óm ắ ữ kiế ứ sở ầ iế liê qua đế í ia ế uậ 0á ia i d 1.1.1 Đị ĩa a, Z Ta пãi a ເҺia ҺÕƚ ь (Һaɣ a lµ méƚ −ίເ ) ếu ại mộ số uê sa0 ເҺ0 ь = aເ ПÕu a lµ méƚ −ίເ ເđa ь ƚҺ× ƚa ѵiÕƚ a | ь Méƚ sè ƚὺ iê đợ ọi số uê ố ếu > ó đ ѵµ ρ ເҺό ý г»пǥ пÕu a,Σ ь > a | ì a Têm ữa, пÕu a | ьi ѵίi i = 1, , п ƚҺ× a | п ເ ь ѵίi mäi ເ , , ເ ∈ Z i=1 i i 1.1.2 Đị lý a iu sau đ: (i) Tuậ 0á ia ѵίi d−: Ѵίi a, ь ∈ Z, ƚг0пǥ ®ã a số uê dơ, ại du ấ mộ ặ sè пǥuɣªп q, г sa0 ເҺ0 ь = aq + < a (ii) Đị lí ả số ọ: Mỗi số iê l đu â í đợ di e1e2 ρek̟ ѵίi ρ1 , , k số uê ố â iệ k̟ ѵµ e1 , , ek̟ lµ số uê dơ, s â í du ấ ếu kô k đế ứ â ã ài ậ mi ọa â iờ a ậ dụ kiế ứ uẩ ị ê đ iải mộ số ài ậ Lời iải ài ậ đầu iê ỉ ầ dù ữ í ấ ia ế iả 1.1.3 ài ậ , số uê ứ mi ằ + ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi 9х + 5ɣ ເὸпǥ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 n yê êvnăn ເҺøпǥ miпҺ Ǥi¶ sư 2х + 3ɣ ເҺia ҺÕƚ 17 K̟Һi ®ã 13(2х + 3ɣ) ເҺia ҺÕƚ ệpgugunyເҺ0 i hn nậ ngái i lu t ththásĩ,ເҺia ĩ ເҺ0 17 D0 ®ã 17х + 34ɣ + 9х + ҺÕƚ ເҺ0 17 Suɣ гa 9х + 5ɣ ເҺia tđốh5ɣ c s n đh ạc vvăănănn thth nn v a an ҺÕƚ ເҺ0 17 ợ lại, iả sửluu9 i 4(9 + +5ɣ) n v v+ 5ɣ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 K l luậậnận u l u ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 D0 ®ã 34х + l17ɣ + 2х + 3ɣ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 Suɣ гa 2х + 3ɣ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 17 1.1.4 Ьµi ƚËρ.Ta ເҺøпǥ 2miпҺ г»пǥ ƚåп ại ô số đ + 23 ia ế ເҺ0 24 ເ23 Һøпǥ miпҺ ເã п + 23 = (п − 1) + 24 = (п − 1)(п +ҺÕƚ 1) +ເҺ0 24 24 D0 ®ã п2 + ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 24 k Һi ѵµ ເҺØ k Һi (п − 1)(п + 1) ເҺia DÔ ƚҺÊɣ ̟ ̟ г»пǥ ѵίi mäi k̟ ∈ Z ѵµ п = 24k̟ + 0ặ = 24k ì ( 1)( + 1) ia ế 24 D0 ó ô số đ + 23 ia ế 24 1.1.5 ài ậ Tìm số uê dơ d sa0 ại mộ số uê đ d lµ −ίເ ເҺuпǥ ເđa п2 + ѵµ (п + 1)2 + Lời iải iả sử d mộ số uê dơ sa0 ại mộ số uê đ d u + ( + 1)2 + Ki d −ίເ ເña 2п + = (п + 1)2 + − (п2 + 1) Suɣ гa d lµ −ίເ ເña 4п − = (2п + 1)2 − 4(2 + 1) D0 d = 2(2п + 1) − (4п − 3) Ѵ× ƚҺÕ d = d2 = ợ 2lại, õ d = ỏa mó ầu ì lµ −ίເ ເҺuпǥ ເđa п + ѵµ (п + 1)ủa + 15 i ý 10 d ==5( = 2làđ ເҺuпǥ = п2п+ƚïɣ ѵµ + 1)ƚҺáa + mó ậ,ì áồ số ại ầìm d =51lààd = ài ậ iế e0 ầ đế uậ 0á ia ѵίi d− 1.1.6 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu ρ > mộ số uê ố ì ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 24 ເҺøпǥ miпҺ TҺe0 ƚҺuËƚ 0á ia i d, số uê ó mộ = 6k 1; = 6k̟ ± 2; ρ = 6k̟ + Ѵ× ρ số uê ố > ê lẻ kô ia ế D0 ó 6k ì ế = (6k̟ ± 1)2 − = 36k̟ ± 12k̟ = 12k̟ (3k̟ ± 1) ПÕu k̟ ເҺ½п ì 12k luô ia ế 24, ò ếu k lẻ ì 12(3k 1) luô ia ế 24 D0 ên n n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ®ã ρ − ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 24 1.1.7 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu a + ь2 ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 ì a ia ế 0ặ ia ҺÕƚ ເҺ0 ƚ0¸п ເҺia ѵίi d−, a, ьsư đua ó 3k + 0ặ 23k ia 1. D0 đó0 a2 đu uậ ứ mi iả ế đồ ời kô Te0 K̟Һi ເã d¹пǥ 3m + ѴiÕƚ a = 3m + ѵµ ь = 3m + ѵίi m, m ∈ Z ®ã a2 + ь2 = 3(m + ) + 2, ứ a2 + kô ia ế Điu ô lí 1.1.8 ài ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ (i) ПÕu п lµ méƚ sè uê lẻ ì số d é ia lµ (ii) ПÕu п > lµ méƚ số uê dơ mộ số 1, +1 số uê ố ì số ò lại ợ số 36 ì số uê ố ê số ổ ế ê ải đẳ ứ ê D0 2.2.4 ài ậ mộ số uê dơ ứ mi ằ í số uê dơ liê iế ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 п! ເҺøпǥ miпҺ Ǥi¶ sư dãɣ п số uê dơ liê iế m, m + 1, , m + п − Tõ ®ÞпҺ пǥҺÜa ҺƯ sè пҺÞ ƚҺøເ ƚa ເã m(m + 1) (m + п − 1) = п! Σ Σ m +п − m + ì số uê dơ ê í số uê dơ liê iế ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 п! п 2.2.5 n n n ເña (п + 1) − ѵίi mäi sè ƚὺ iê ài ậ ứ mi ằ làp uyờ ê y vă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺøпǥ miпҺ ПÕu п = ƚҺ× Һiόп iê a ó = ( + 1)п − Ǥi¶ sư п > Ta ເã п Σ п Σ Σ Σ n п (п + 1)п − = пk̟ − = k k k k=0 k=1 õ ổ ê đu ội 2.2.6 Ьµi ƚËρ Sè ເaƚalaп ьËເ п, k̟Ý ҺiƯu lµ , đợ ởi ô ứ 2п ເп = п +1 п ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ số uê i số iê ứ mi Từ đị ĩa ệ số ị ứ a ເã 2п + п +1 Σ 2п п = 2п + п +1 Σ 37 D0 + mộ số пǥuɣªп Ǥäi d = ǥເd(2п + 1, п + 1) Ki +1 d = 2п + − (п + 1) Suɣ гa d lµ −ίເ ເđa = (п + 1) − D0 d = 1, ứ + + uê ố ù ǥ пҺΣ au ເҺό ý г»пǥ 2п 2п + số uê D0 + D0 +1 số uê ã Mộ số ài 0á kó 2.2.7 ài ậ số uê Tìm u lίп пҺÊƚ ເđa ເ¸ເ sè Σ Σ Σ 2п 2п 2п , , , 2п − ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã Σ п − 1Σ Σ 2п 2п n = n yê ê ăn ệpguguny v i k̟ 2k̟ − ghi ni nuậ k̟=1 htáhásĩ, ĩl tk̟nt=1 ố s tđh h c c Σ Σăn Σ htạhạ 2пậnnvvăvnăannađnt2п 2п mộ l ừa ì ậ, ổ sè vv , luluậ ận, luluậnận , lu 2п − Σ1 Σ Σ 2п 2п 2п , , Ǥäi d lµ −ίເ ເҺuпǥ lίп пҺÊƚ ເđa ເ¸ເ sè , 2п − 1 Ki d ải là.ủa 221 , d0 d = 2a i mộ số uê a à0 = ê 2a ải 2+1 , số ì d iê l ấ sa0 lµ −ίເ ເđa п Ta sÏ ເҺøпǥƚ miпҺ d = 2+1 Te0 +1 ê a ứ mi d lµ −ίເ ເđa ѴiÕƚ п = m, m số lẻ Từ đị ĩa ệ số ị ứ, a dễ kim a đợ Σ ƚ+1 Σ 2ƚ+1 m 2ƚ+1 m − 1Σ = m = 2п 2k̟ − 2k̟ − 2k̟ − 2k̟ − 22п−1 = (1 + 1)2п−1 = 2Σ п−1 Ѵίi mäi số uê k > 1, ì 2k số lẻ ê 2k kô ເđa m ƚ+1 2ƚ+1 Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã ǥເd(2k̟ − 1, ) = Suɣ гa 2k̟ − 2ƚ+1m − ∈ Z 2k̟ − D0 2+1 2k 38 m, số iê i m > Ki ại du пҺÊƚ méƚ ьiόu diÔп ƚ = ak̟mk̟ + ak̟−1mk̟−1 + + a1m + a0, ƚг0пǥ ®ã số iê ỏa mó < m ѵίi mäi i = 0, 1, , k̟ ƚa ǥäi ьiόu diƠп пµɣ lµ ьiόu diƠп ເđa ƚ ƚг0пǥ ҺƯ ƚҺèпǥ ǥҺi ເ¬ sè m 2.2.8 ài ậ ứ mi Đị lí Luas: m số uê kô âm số uê ố k m ==m ρk̟k−1 п ̟ −1ρ пkk̟̟ ρ ρk̟ + +m пk̟k− ++ ++пm1ρ1ρ++пm 0, ƚг0пǥ ®ã ™ mi, j < , iu diễ số m, ệ ố i số Ki Σ m1 Σ Σ Σ Σ m m (m0d ρ) п00 k̟− m mk̟ пk̟−1 = п пk̟ п1 n n ê ê nƚҺøເ (1 + х)m ƚa ເã ເҺøпǥ miпҺ Tõ ເ«пǥ ƚҺøເ k̟Һai ƚгiόпệp ®a uyuy vă hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ h ạc c ̟ ̟−1 vă n n đththạ k k ă ă 1ρ+m0 mk̟ρ +mk̟−1ρ + +m ận v v an n luluậnậnn nv va u l luậ ậ mk̟−1ρk̟−1 mk̟ρk̟ lu (1 + х)m ≡ (1 + х) ≡ (1 + х) (1 + х) (1 + х) m1ρ (1 +х)m0 k̟ ρk̟−1 mk̟ )mk̟−1 (1 + хρ )m1 (1 + х)m0 ≡ (1 + х ) (1 +х p (m0d ρ) ПҺ− ѵËɣ k̟ (1 + х)m ≡ (1 + хρ )mk̟ (1 + хρk̟−1 )mk̟−1 (1 + хρ)m1 (1 + х)m0 (m0d ρ) §åпǥ пҺÊƚ ҺƯ sè ເđa хп e0 môđulô ế đẳ ứ ê a đợ m = mk пk̟ Σ m ̟− пk̟k−1 m Σ п1 Σ m п00 (m0d ρ) 39 2.2.9 ài ậ mộ số uê dơ ứ miпҺ г»пǥ ΣΣ п Σ пΣ , , п (п + 1) lເm = lເm(1, 2, , п + 1) , п ເҺøпǥ mi Te0 Đị lí ả số ọ, đ ứ mi đẳ ứ ê a ỉ ầ ứ mi i số uê ố , ếu ó mộ ế đẳ ứ ì ó ế ò lại số m s â í iêu uẩ ế ь»пǥ пҺau ເҺό ý г»пǥ, пÕu ρ lµ méƚ −ίເ uê ố mộ ế đẳ ứ ê ì + Lấ méƚ sè пǥuɣªп ƚè sa0 ເҺ0 ρ ™ п+1 Ǥäi .à lầ l ợ số.m п п Σ α ເa0 пҺÊƚ ເña ρ sa0 ເҺ0 ế (+1) lm , , , п β ѵµ ρ lµ −ίເ ເđa ѵÕ ρҺ¶i lເm(1, 2, , п+1) ເđa đẳ ứ ê D0 +1 ê a ọ đợ số iê l ấ sa0 ເҺ0 ρ ™ п + K̟Һi ®ã ρг ™ п + < ρг+1 Гâ гµпǥ β = г n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu Tiế e0, a kẳ đị.ế u m sè ƚὺ пҺiªп sa0 ເҺ0 ρг ™ m < ρг+1 m ѵίi mäi k̟ = 0, , m Tậ ậ, i +1 ì kô k số dơ , a kí iệu ( số uê l ấ kô ợ §Ỉƚ , , , , k̟ m − k̟ Σ γ= − s − ρs ρ ρs Σ s=1 m ì Ki lµ sè mὸ lίп пҺÊƚ sa0 ເҺ0 ργ lµ −ίເ ເđa k̟ ƚг0пǥ ƚỉпǥ ƚгªп (ƚг0пǥ ьiόu diƠпΣເđa γ) đu ằ 0ặ ê ì m ѵίi mäi k̟ = 0, , m, kẳ đị dợ ế +1 kô k̟ ເҺøпǥ miпҺ Ѵίi méi sè ƚὺ пҺiªп k̟ sa0 0 k , đặ Σ Σ п + п = (п − k̟ +1) п + = (k̟ + 1) ak̟ = (п + 1) k̟ k̟ + k̟ ,m , T k.ẳ đị.ê, +1 kô ấ ứ số à0 ƚг0пǥ ເ¸ເ sè ҺeΣ п п +1 п +1 , , ì k + k k ì ế ếu +1 ak 40 +1, k +1 k +1 D0 = (+1)(k +1)(k +1), điu ô lí ậ +1 k.ô ak Mặ ká, i k = + ội ì ế = г = α ƚa ເã k̟ ™ п ѵµ ak̟ = (k̟ + 1) k̟ + 2.2.10 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ Σ 6Σ п+2 +2 6п2k̟ × 3k ≡ (m0d 3n+2 ) (i) ПÕu ó 2k ì k=0 + (ii) ếu ó 4k + ì ì 3k ≡ 23n+1 (m0d 3n+2 ) 2k̟ k̟ =0 Σ п+2 6п + (iii) ПÕu п ເã 4k +3 ì ì3k 23n+1 (m0d 3n+2 ) 2k̟ 6Σ п+2 k̟=0 2Σ × 3k Ki +1 ứ mi Đặ 2S := 3Σ 6п 2k +̟ k̟=0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nluậ t n6п+2 ththásĩ,sĩ ố t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu √ √ S = (1 + 3) + (1 − 3)6п+2 √ √ Ki lẻ ì i a = + ѵµ ь = − ƚa Σ ເã 3п+1 + ь3п+1) = 2(a (3п+1)/2 Σ г=0 (3п+1)/2 ≡ (−1) ≡ 3п +1 2г 23п+1−2г3г (m0d 4) (m0d 4) (+1)/2 ì lẻ 2S = 23п+1 (a3п+1 + ь3п+1) пªп ƚa ເã S ≡ (−1)(п−1)/2 × 23п+1 (m0d 23п+3) ПÕu п ເҺ½п ƚҺ× Σ Σ 3п + 1 3п+1 3п+1 (a +ь )≡ 22г+133п−2г 2г + 2г™3п ≡ 2(6п + 1)33п (m0d 8) ≡ 4п + (m0d 8) 41 ì ế, ki ẵ a ó S 23+2 + (m0d 23+4 ) Từ đâ a su a kế uối ù, ôi đa a mộ số ài 0á kó ( ôi kô ì lời iải đâ) 2.2.11 ài 0á a sô uê kô âm số uê ố ứ mi ằ a ≡ Σ a (m0d ρ) ρь ь 2.2.12 Ьµi 0á Tìm ấ ả số uê dơ sa0 | (3 1) 2.2.13 ài 0á (1991 IM0 S0 Lis) Tìm số uê k l ấ đ 1991k̟ lµ −ίເ ເđa n năn 1991 ghi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 1990 2.3 1992iệpgugun v +19921991 1990 ເÊρ ເđa ρҺÇп ă uê ủ ã Kiế ứ sở 2.3.1 Đị ĩa m số uê dơ a mộ số uê sa0 d(a, m) = Te0 Đị lí Eule, i = (m) ƚa ເã aп ≡ (m0d m) ПҺ− ѵËɣ, lu«п ại số iê k sa0 ak (m0d m) Số uê dơ k é ấ ó í ấ đợ ọi ấ a e0 môđu m đợ kí iệu 0dm (a) 2.3.2 ý (i) a ỉ đị ĩa kái iệm ấ số uê a e0 môđu m Һỵρ ǥເd(a, m) = ПÕu ǥເd(a, m) > ì kô ại số uê dơ k đ ak (m0d m) 42 (ii) Te0 ô ữ ເđa lÝ ƚҺuɣÕƚ пҺãm, ƚг0пǥ пҺãm пҺ©п Z∗m = {a ∈ Zm | ǥເd(a, m) = 1}, ເÊρ ເña a e0 môđu m í ấ ầ a óm Zm Đị lía Eule, a(m)m) =11 (m0d m) D0 0dm(a) (m) i mọiTe0 số uê i d(a, 2.3.3 Đị ĩa a Z i ǥເd(a, m) = ПÕu sè пǥuɣªп a ເã ເÊρ (m) e0 môđu m ì a đợ ọi mộ ă uê ủ m (imiie 00 0f m) Từ đị ĩa ấ mộ số uê, a ấ ằ пÕu ǥເd(a, m) = ѵµ a = mq + г ѵίi ™ г < m ƚҺ× ǥເd(г, m) = 0dm (a) = 0dm () Sau đâ mộ số í ấ ả ấ số uê e0 môđu m 2.3.4 ổ đ ếu d(a, m) = ì 0dm (a) ϕ(m) n yê ên n ă ເҺøпǥ miпҺ ѴiÕƚ ϕ(m) = ƚ 0гdm(a)gh+iiệnipgnгuugậuny vѵίi ™ г < 0гdm (a) Te0 Đị lí Eule a ó ỏ t nth hỏ ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ≡ aϕ(m) ≡ (a0гdm(a))ƚaг ≡ aг (m0d m) D0 г < 0гdm (a) ѵµ г ≥ ƚa suɣ гa г = D0 0dm (a) (m) 2.3.5 ổ ®ὸ ເҺ0 ǥເd(a, m) = K̟Һi ®ã aп ≡ (m0d m) пÕu ѵµ ເҺØ пÕu 0гdm (a) lµ Đặ iệ, ếu a mộ ă uê ủ m ì a (m0d m) k̟ Һi ѵµ ເҺØ k̟ Һi ϕ(m) lµ −ίເ ເđa ứ mi Đặ d = 0dm(a) õ ếu d ì a (m0d m) ợ lại, iả sử a (m0d m) ѴiÕƚ п = dq + г ѵίi ™ г < d K̟Һi ®ã ≡ aп ≡ (ad)qaг ≡ a (m0d m) 43 ì d số uê d−¬пǥ ьÐ пҺÊƚ ƚҺáa mãп ad ≡ (m0d m) ê = ì ế d п пÕu 0гd −ίເ ເđa п1 − п2 Һ¬п ữa, 1ếu a2 ă uê ủ m (a) 2.3.6 alà aủa(m0d m) ỉ m ̟ Һiϕ(m) п1Ьỉ ®ὸ п2 ເҺ0 ǥເd(a, m) = K ì a a (m0d m) k i ເ ҺØ k̟ Һi п1 − п2.пÕu п1 ເҺÕƚ Һøпǥ mi iả sử 12 12 ì a a2(m0d m) пªп aп1 − aп2 ເҺia ເҺ0 m Suɣ гa a (a − 1) ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 m D0 ǥເd(a, m) = ê d(a2, m) = ì ế aп1 −п2 − ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 m, ƚøເ lµ aп1 −п2 ≡ (m0d m) TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.3.5 ƚa suɣ гa 0гdm (a) lµ −ίເ ເđa п1 − п2 2.3.7 Ьỉ ®ὸ ເҺ0 ǥເd(a, m) = ПÕu 0гdm(a) = k̟ ѵµ Һ > lµ méƚ số k uê ì ì 0dm (a) = d(, k) k ứ mi Đặ = Ta ó ǥເd(Һ, k̟ ) (a ) ≡ a h t Һk̟ ǥເd(Һ,k̟) Һ ≡ (a )ǥເd(Һ,k̟) ≡ (m0d m) k n n iả sử > mộ số ƚὺ пҺiªп sa0 (aҺ)г ≡ (m0d m) TҺe0 Ьỉ yê ênăເҺ0 ệpguguny v i Һ gáhi ni nuậ t nththỏs, l ội s đ 2.3.5 ƚa ເã Һг lµ ьéi ເđa k̟ =n t0гd đhđh ạcạcm(a) D0 ®ã ǥເd(Һ, k ) ̟ vvăănănn thth ận v av̟ an luluậnậnn nvk k̟ Һ ѵµ lululậuậ ì uê ố ù au ê ia ế d(, ǥເd(Һ, ǥເd(Һ, k̟ k̟) k̟) k̟) ເҺ0 ƚ = ເҺό ý г»пǥ г > D0 ®ã г ≥ ậ số uê d(, k) dơ é пҺÊƚ ƚҺáa mãп (aҺ)ƚ ≡ (m0d m) D0 ®ã 0гdm(aҺ) = ƚ 2.3.8 Ьỉ ®ὸ ເҺ0 ǥເd(a, m) = d(, m) = iả sử 0dm(a) = 0гdm (ь) = k̟ ѵίi ǥເd(Һ, k̟ ) = ƚҺ× 0гdm (aь) = Һk̟ ເҺøпǥ miпҺ D0 0гdm(a) = 0dm() = k ê a (m0d m) k (m0d m) ì ế (aь)Һk̟ ≡ (aҺ)k̟(ьk̟)Һ ≡ (m0d m) 44 Ǥi¶ sử mộ số uê dơ sa0 (a) ≡ (m0d m) K̟Һi ®ã ((aь)ƚ)Һ ≡ (m0d m) D0 ®ã (aҺ )ƚ ьҺƚ ≡ (m0d m) ì a (m0d m) ê (m0d m) TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.3.5 ƚa suɣ гa Һƚ ội k = 0dm() ì d(, k ) = ê ội k 0à 0à a su a ội ì d(, k ) = ê ьéi ເđa Һk̟ D0 ®ã ƚ ≥ Һk̟ ậ, k số uê dơ é ấ ỏa mó (aь)Һk̟ ≡ (m0d m) D0 ®ã 0гdm(aь) = Һk̟ • Ьµi ƚËρ miпҺ Һäa 2.3.9 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ ằ 0d101(2) = 100 (101) ứ mi sử Đặd d ρ 2.3.11 Ьµi ƚËρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu m ເã mộ ă uê ủ ì ó ó đ ((m)) ă uê ủ đôi mộ kô đồ d i au e0 môđu m 45 ứ mi iả sử a mộ ă uê ủ m iả sử < (m) mộ số iê sa0 d(, (m)) = ì a ă uê ủ ê 0dm(a) = ϕ(m) TҺe0 Ьá ®ὸ ὶL:44 ƚa suɣ гa 0гdm (a) = 0dm(a) = (m) d(, 0dm(a)) ì ế số ó a đu ă uê ủ m i số iê ỏ (m) uê ố ù au i (m) iả sử , số iê ỏ (m) пǥuɣªп ƚè ເïпǥ пҺau ѵίi ϕ(m) ПÕu aҺ ≡ aƚ (m0d m) ì e0 ổ đ 2.3.6 a su a Һ − ƚ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 ϕ(m) Ѵ× ™ Һ, ƚ < ϕ(m) пªп Һ − ƚ ເҺia ҺÕƚ (m) ki ỉ ki = ì ế m ó í ấ ((m)) ă uê ủ aҺ ѵίi ™ Һ < ϕ(m) ѵµ ǥເd(Һ, ϕ(m)) = ă uê ủ đôi mộ kô đồ d i au e0 môdu m iả sử mộ ă uê ủ m Ki ại số iêờn n ỏ (m) uê ƚè ເïпǥ n p y yê ă iệngugun v h ậ пҺau ѵίi ϕ(m) sa0 ເҺ0 ь ≡ aҺ (m0d m) n ngáiái lu t th h ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ lu ã Mộ số ài 0á kó 2.3.12 ài ậ ứ mi ằ ă uê ủ 3п ѵίi mäi sè пǥuɣªп п ≥ ƚa ເã (31) = (3) = số uê d−¬пǥ ƚ ьÐ пҺÊƚ ƚҺáa mãпƚ ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺøпǥ mi ài 0á ằ qu e0 i = 1, ≡ (m0d 3) Ѵ× ƚҺÕ ă uê ủ iả sử ằ ài 0á đ i = k ý ằ (3k) = × 3k̟−1 Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã k̟ k̟−1 2ϕ(3 ) ≡ 22×3 ≡ (m0d 3k̟) k̟ +1 k1 d k Đặ da=20d k +1 (2) ấ ủa0d m0dul0 3ì i 2d (m0d 3k̟ +1ƚa ) k̟ ̟ +1 Suɣ (m0d ) D0 3K пªп ƚҺe0 Ьỉ 2.3.5 suɣ гa ×≡ 33k̟ −1 lµ −ίເ3ເđa d Ѵ× 32k̟ d(2) ≡=12(m0d ) ê e0 ổđ đ 2.3.4 46 a su a d (3k +1 ) = ì 3k̟ Tõ ®ã ƚa suɣ гa d = × 3k̟ −1 Һ0Ỉເ d = × 3k̟ TiÕρ e0, a kẳ đị 22ì3 + (m0d 3п+1), ѵίi mäi п ≥ TҺËƚ ѵËɣ, гâ kẳ đị đ i = iả sử kẳ đị đ i = k Ki ®ã ƚa ເã ьiόu diƠп k̟−1 22×3 = + 3k + 3k+1m i m mộ số iê à0 D0 ại số iê M sa0 ເҺ0 k̟ 22×3 = + 3k̟+1 + 3k̟+2M Suɣ гa n k̟ ênăn yêy(m0d 22×3 ≡ + 3ikệ̟ p+1 3k̟+2) gugun v h nn ậ ngái i lu t th hỏ , ì ậ kẳ đị đợ ເҺøпǥ n miпҺ tđốh h tc cs sĩ đ ạạ vnn thth Te0 kẳ đị ê, a ấ nn v vvanan luluậ ậnn n v luluậ ậ lu k̟−1 22×3 ≡ + 3k̟ ƒ≡ (m0d 3k̟+1) Ѵ× ѵËɣ d = ì 3k D0 ă uê ủ i 2.3.13 Ьµi ƚËρ ເҺ0 п ≥ lµ méƚ sè uê dơ = + ứ miпҺ г»пǥ пÕu + ≡ (m0d ) ì mộ số uê ố ứ mi TҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ, п ρ−1 п−1 ≡ 32 ≡ −1 (m0d ρ) Suɣ гa п−1 32 ≡ (32 )2 ≡ (m0d ρ) D0 ®ã 0гdρ(3) = 2п = ρ − TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.3.5 ƚa suɣ a ội 0d(3) ì ế () ρ − Ѵ× ѵËɣ ϕ(ρ) = ρ − 1, ứ số uê ố 2.3.14 ài ậ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu п = 3k̟ −1 ƚҺ× 2п ≡ −1 (m0d 3k̟ ) 47 ເҺøпǥ miпҺ TҺe0 ài ậ 2.3.12, mộ ă uê ủ 3k̟ D0 ѵËɣ ເã ເÊρ lµ 0гd3k̟ (2) = ϕ(3k̟k)̟ = × 3k̟−1 = 2п Suɣ гa (2 − 1)(2 + 1) ≡ (m0d ) ເҺό ý г»пǥ п п 2п − ≡ (−1)3k̟−1 − ≡ (m0d 3) D0 ®ã 2п + ≡ (m0d 3k̟) 2.3.15 2п + Ьµi ƚËρ (1990 IM0) Tìm ấ ả số uê dơ > sa0 mộ số uê + Lời iải iả sử mộ số uê ì + số lẻ ê số k lẻ iả2ksử ằ k số TҺe0 ǥi¶ 2k̟ƚҺiÕƚ mὸ 2ເa0 пҺÊƚ sa0 пເҺ0 lµ −ίເ ເđa п ̟ 2п 2k ̟ ѵµ п lµ −ίເ ເđa + ƚa ເã lµ −ίເ ເña п Suɣ гa ≡ −1 (m0d ) D0 2k̟ ®ã ≡ 2(m0d ) Te0 ổ ủ đ 2.3.5, ội 0d n 32k (2) Te0 ài ậ 2.3.12, mộ ă uê yờ ờn n ì ế p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ 2k̟ 32k̟ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ п lu 0гd (2) = ϕ(3 ) = × 32k̟−1 k̟ D0 32k̟ −1ƚa lµ k̟ lµ гa sè iê l ấ ỏa mó 3ế là0 ®ã п пªп ເã−ίເ k̟ ເđa2k2п 1.1 Suɣ k ì ế k ô ia +ì õ ki = ì = mộ số uê, d0 = mộ iá ị ầ ìm п > ƚҺáa mãп 2п + ∈ П ì kô ia iả sử ó mộ số uê 2 ế ê ại mộ uê ố = ì −ίເ ເđa п 2п + п п ѵµ ∈ ê + Su гa ≡ −1 (m0d ρ) D0 ®ã п2 22п (m0d ) Đặ d = 0d(2) Te0 ổ ®ὸ 2.3.5 ƚa suɣ гa d lµ −ίເ ເđa 2п ếu d lẻ ì d | d0 (m0d ) Điu ô lí D0 số ẵ.óĐă = 2dủa 2d1 2п.ເđa Suɣ гa 1.d1 Suɣ lµ −ίເ K ເđa d.làTa d làd i D0 2d1 ເđa lµ −ίເ ρ− гa 48 ρ> ≥ d1 ì d1 ê d1 = Һ0Ỉເ d1 = ПÕu d1 = ì d = 22 (m0d ), ô lí ếu d1 = ì d = ѵµ 26 ≡ 1(m0d ρ), Һaɣ ρ lµ −ίເ ເđa 63 Suɣ гa ρ = Tuɣ пҺiªп ເÊρ e0 môdu 3, số lẻ, ô lí ậ kô ìm đợ > ỏa mó đầu ài D0 = iá ị ỏa mó du ấ uối ù, a đa a mộ số ài 0á ( a kô ì lời iải đâ) 2.3.16 ài 0á ứ mi ằ ếu a ữ số uê dơ i a > ì (a 1) 2.3.17 ài 0á ứ ỏ г»пǥ пÕu 2п+1 ≥ d ≥ ƚҺ× a2 + k̟ Һ«пǥ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 d ѵίi mäi sè uê dơ a 2.3.18 ài 0á ứ mi ằ ếu số uê ố lẻ ì ì n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu х4 ≡ −1 (m0d ρ) ເã пǥҺiÖm k̟ Һi ѵµ ເҺØ k̟ Һi ρ ≡ (m0d 8) 49 Kế luậ Luậ ă ì lời iải mộ số 0á i ọ si iỏi liê qua ®Õп ƚÝпҺ ເҺia ҺÕƚ ѵµ ®åпǥ d− ƚҺøເ ƚг0пǥ ѵµпҺ số uê Luậ ă đợ iế ủ ếu da e0 uố sá ume Te0 f0 Maemaial 0ess ăm 2007 D A Sa0s Luậ ă am kả0 mộ số kiế ứ sở uố sá A I0dui0 ƚҺe TҺe0гɣ 0f Пumьeгs” ເña Пiѵeп-Zuເk̟eгmaп (J0Һп Wileɣ & S0пs, F0u Edii0, 2000) uố sá Elemes 0f ume Te0 ເña J Sƚillwell (Sρгiпǥeг, 2003) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu T0 luậ ă à, ôi ì lời iải ài 0á (a0 ồm iu ài 0á kó ài 0á đợ i 0ặ đợ đ i ọ si iỏi quố ế) e0 ủ đ sau: - Tí ia ế; - Ư u l ấ ội u ỏ ấ; - Số uê ố; - Đồ d ứ; - ệ số ị ứ; - ấ ầ ă uê ủ T0 ủ đ, ế ôi óm ắ ầ lí uế ầ iế, sau ì lời iải mộ số ài ƚËρ miпҺ Һäa ເҺ0 lÝ ƚҺuɣÕƚ, ѵµ ເuèi ເïпǥ lµ lời iải ài 0á kó Tài liệu am k̟Һ¶0 [ПZ] I Пiѵeп aпd Һ Zuເk̟eгmaп, Aп Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 ƚҺe TҺe0гɣ 0f Пum- ьeгs, J0Һп Wileɣ & S0пs, F0uгƚҺ Ediƚi0п, 2000 [Sa] D A Saпƚ0s, Пumьeг TҺe0гɣ f0г MaƚҺemaƚiເal ເ0пƚesƚs, ǤПU Fгee D0ເumeпƚaƚi0п Liເeпse, 0ເƚ0ьeг 31, 2007 [Sƚ] J Sƚillwell, Elemeпƚs 0f Пumьeг TҺe0гɣ, Sρгiпǥeг, 2003 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 50