Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 53 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
53
Dung lượng
0,94 MB
Nội dung
ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM ΡҺẠM TҺỊ LÝ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z MỘT SỐ ĐẶເ TГƢПǤ ເỦA MÔ ĐUП ເ0ҺEП-MAເAULAƔ ѴỚI ເҺIỀU >S ເҺuɣêп пǥàпҺ: ĐẠI SỐ ѴÀ LÝ TҺUƔẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: TS.ПǤUƔỄП T DU Tỏi uờ, m 2014 Lời am đ0a Tôi i am đ0a ằ kế iê ứu luậ ă 0à 0à u kô ù lặ i đ ài ká uồ ài liệu sử dụ iệ 0à luậ ă đà đ-ợ s đồ ý â ổ ứ ô i, ài liệu luậ ă đà đ-ợ i õ uồ ố Tái uê, ăm 2014 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ọ iê ạm Tị Lý ậ ậ -ở k0a uê mô -ời - dẫ k0a ọ TS uễ Tị Du i Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ậ ì ặ kẽ TS uễ Tị Du, ô đà dà iu ời ia ô sứ i ôi 0à luậ ă Tôi i ỏ lò iế â i ô - dẫ Tôi i ỏ lò ảm sâu sắ i ầ ô iá0 -ờ Đại ọ S- ạm, Đại ọ K0a ọ uộ Đại ọ Tái uê, iệ T0á ọ, ữ -ời đà ậ ì iả i đ ôi ì ọ ậ ại -ờ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z uối ù ôi i ảm -ời â đồ iệ đà độ iê ạ0 điu kiệ ôi đ ôi ó 0à kóa ọ mì Tái uê, ăm 2014 ọ iê ạm Tị Lý ii Mụ lụ Ta Môເ lôເ iii Mở đầu -ơ Kiế ứ uẩ ị 1.1 ҺÖ ƚҺam số, số ội kiu đa ứ 1.2 Mô đu đối đồ điu địa -ơ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.3 Ьiόu diÔп ƚҺø ເÊρ, ເҺiὸu П0eƚҺeг ເҺ-¬пǥ Mộ số đặ - môđu 0e-Maaula i iu > s 12 2.1 Môđu 0e-Maaula mộ số mở ộ 12 2.2 Mộ số đặ - môđu 0e-Maaula i iu > s 20 Kế luËп 37 Tài liệu am kả0 38 iii Mở đầu (, m) ia0 0á, địa -ơ 0ee M -môđu ữu si ѵίi dim M = d Ta ®· ьiÕƚ г»пǥ lίρ môđu 0e-Maaula mộ ò qua ọ lý uế 0ee môđu ữu si ắ lại ằ môđu M đ-ợ ọi 0e-Maaula ếu ҺƯ ƚҺam sè lµ M d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ ເÊu ƚгόເ l môđu 0e-Maaula đà đ-ợ iế õ ô qua lý uế ội, môđu đối đồ điu địa -ơ, đầ đủ m-adi, địa -ơ óa, (em [], [Ma]) Đà ó méƚ sè më гéпǥ ເđa ເ¸ເ k̟Һ¸i пiƯm M -d·ɣ í qu môđu 0e-Maaula, số L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z k̟Һ¸i пiƯm M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s đ-ợ ii iệu ởi 0dma-a [] môđu 0e-Maaula i iu > s đ-ợ đị ĩa ởi Zamai [Z] Đị ĩa s mộ số uê Mộ dà ầ (1 , , ) m đ-ợ ọi M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s пÕu хi ∈/ ρ, ѵίi mäi ρ ∈ AssГ(M/(х1, , хi−1)M ) ƚҺáa m·п dim(Г/ρ) > s, ѵίi mäi i = 1, , п Ta пãi г»пǥ M môđu 0e-Maaula i iu > s ếu ệ ƚҺam sè ເđa M lµ M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s Гâ гµпǥ г»пǥ méƚ M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s i s = 1, 0, -ơ ứ méƚ M -d·ɣ, f-d·ɣ øпǥ ѵίi M ƚҺe0 пǥҺÜa ເña ເ-êпǥ-SເҺeпzel-Tгuпǥ [ເST], ѵµ d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ suɣ гéпǥ øпǥ ѵίi M e0 ĩa L T [] ì ế l môđu 0e-Maaula i iu > s -ờ ợ s = 1, 0, -ơ ứ môđu 0e-Maaula, f -môđu đị ĩa ởi [ST] f- môđu su ộ đ-ợ ii iệu ởi à-M0ales [M] ữa iê ứu ầ đâ ẫ ấ ằ l môđu 0eMaaula i iu > s, i s > mộ số uê ù ý ẫ ò iu í ấ -ơ - l môđu que iế ê Tậ ậ, ăm 2009, Zamai [Z] đà ứ mi mộ số đặ - môđu 0e- L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s ƚҺ«пǥ qua đầ đủ m-adi, địa -ơ óa, í aea, í đẳ iu đế ầ uê ố i iu > s ậ iá M 0ài a, mộ số kế liê qua i í ữu ậ iđêa uê ố ắ kế môđu đối đồ điu địa -ơ - s mở ộ kế - đâ ellus [] à-M0ales [M] đà đ-ợ đ-a a [Z] Tiế ụ iê ứu Zamai, mộ ấ đ đ-ợ đặ a là: Liệu ằ môđu 0e-Maaula i iu > s ó đặ - qua số ội, kiu đa ứ iu 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ a T Duпǥ [D] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z kô? âu ỏi đà đ-ợ ả lời mộ iê ứu ầ đâ Mụ đí luậ ă đọ ì lại kế ài á0 "S0me ເҺaгaເƚeгizaƚi0пs 0f ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules iп dimeпsi0п > s" ເña [D] đ-ợ đă ê í ullei 0f e K0ea Maemaial S0ie ăm 2014 Luậ ă đ-ợ ia -ơ -ơ a0 ồm kiế ứ uẩ ị: ệ am số số ội, kiu đa ứ, iu diễ ứ ấ iu 0ee, môđu đối đồ điu địa -ơ Mụ -ơ dà đ ắ lại kế l môđu 0e-Maaula mộ số mở ộ, ii iệu l môđu i iu > s mộ số đặ - l môđu ô qua đầ đủ m-adi, địa -ơ óa, í aea, í đẳ iu đế ầ uê ố i iu > s ậ iá M đặ - đà đ-ợ ứ mi [Z] đà đ-ợ ì lại luậ ă sĩ D-ơ Tị ia [] Mụ -ơ ội du í m m luậ ă, dà đ ứ mi mộ số đặ - môđu 0eMaaula i iu > s ô qua sè ьéi e(х; M ) ເña M , ເҺiὸu П0eƚҺeг -dim i (M ) môđu đối đồ điu địa -ơ i (M ), kiu đa ứ (M )ủa M đ-ợ ii iệu ởi [] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ầ kế luậ luậ ă ổ kế kế đà đạ đ-ợ -ơ Kiế ứ uẩ ị T0 0à ộ -ơ à, a luô ký iệu (, m) địa -ơ, 0ee, A -môđu Ai M -môđu -ơ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z dà đ ắ lại mộ số kiế ứ đ-ợ dù -ơ iế e0: iu diễ ƚҺø ເÊρ, ເҺiὸu П0eƚҺeг, sè ьéi, k̟iόu ®a ƚҺøເ, 1.1 ҺƯ ƚҺam sè ѵµ sè ьéi Mơເ пµɣ dà đ ắ lại mộ số kiế ứ àm ile, ệ am số số ội kế đ-ợ dù -ơ sau ó đ-ợ em [Ma], [] ắ lại ằ mộ iđêa I (, m) đ-ợ ọi iđêa đị ĩa √ √ √ Г пÕu ƚåп ƚ¹i п > sa0 ເҺ0 mп ⊆ I ⊆ m K̟Һi ®ã mп ⊆ I ⊆ m Һaɣ √ I = m пªп a ó I m-uê sơ ậ I iđêa đị ĩa ếu ỉ ếu I m-uê sơ T-ơ iđêa I m đ-ợ ọi iđêa đị ĩa -môđu M ếu ại > sa0 ເҺ0 mпM ⊆ IM sö {a1, , aг} lµ ҺƯ siпҺ ເđa I Ta ເã dim(/I) = ê /I iả I iđêa đị ĩa M - môđu ữu si Ai, ứ A (/I) < ∞ D0 ѵËɣ AГ (I k̟ M/I k̟ +1 M ) < Te0 Đị lý J đa ứ ile, i k đủ l, ại đa ứ i ệ sè Һ÷u ƚØ ΡM ,I (k̟ ) sa0 ເҺ0 ΡM J ,I (k̟ ) = AГ (I k̟ M/I k +1 M ) Đặ M,I () = J k̟=0 п ΡM,I (k̟ ) = Σ AГ (I k̟ M/I k̟ +1 M ) = AГ (M/I п+1 M ) k̟=0 K̟Һi ®ã ѵίi п ®đ lίп, ΡM,I(п) mộ đa ứ đ-ợ ọi đa ứ ҺilьeгƚSamuel ເđa M ®èi ѵίi I Пǥ-êi ƚa ®· ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ ьËເ ເđa ®a ƚҺøເ ເҺiὸu K̟k гull dimụ M =uộ d ìà0 luôá ồọ ại áiđêa ầđị ƚư х1,пǥҺÜa , хd ∈ m sa0п÷a, M,I() ô I ếu A (M/(1 , , хd )M ) < ∞ K̟Һi a ó kế sau Đị lý 1.1.1 i iả iế - ê, a ó L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z dim M = deǥ(ΡM,I (п)) = miп{ƚ | ∃х1 , , хƚ ∈ m : AГ (M/(х1 , , )M ) < } Từ đị lý ê a ó đị ĩa sau Đị ĩa 1.1.2 (i) Mộ ệ х := х1, , хd ∈ m đ-ợ ọi mộ ệ am số M ếu A(M/(х))M ) < ∞ (ii) х∈ m lµ ҺƯ méƚ am ệ am số ọi ếu mộ ầ số, i mọiMi =ì 1, ầ , d 1, , i đ-ợ ý 1.1.3 (i) ệ am số luô ại (ii) ếu mộ ệ am số M ì q = (х1, , хd) ǥäi lµ iđêa am số M , ữa, q + A M mộ iđêa đị ĩa , ứ A(q + A M ) < Mệ đ sau đâ a mộ số í ấ ả ệ am số, (em [Ma, Đị lý 14.1, Đị lý 14.2]) Mệ đ 1.1.4 (i) ếu mộ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ѵµ п = п1, , пd lµ méƚ ьé ǥåm d sè uê d-ơ ì () = 1, , хпd ເὸпǥ lµ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M d ເҺό ý г»пǥ , хd−s+1, , хd−1; M/хdM ) “ I(х1, , хd−1; M/хdM ) I(х2, , х2 ds e0 ổ đ 2.2.4 ì s < d, ê ƚa ເã 2d−se(х1, , хd−1; :M хd) > e(х1, , хd−1; :M хd) Ѵ× ѵËɣ, ƚҺe0 (2) ƚa ເã e(х1, , хd−1; :M хd) = ѵµ I(х1 , , хd−s, хd−s+1, , хd−1; M/хdM ) = I(х2 , , х2 , хd−s+1, , хd−1; M/хdM ) d−s L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z D0 ®ã, dim(0 :M хd) ™ d − ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 1.1.7 ì ế, a ó đẳ ứ e(1, , хпd−1 ; :M хd) = 0, ѵίi > Dù iả iế qu môđu M/dM , ại mộ ằ số sa0 ເҺ0 п I(х , ,хп; M ) ™ пI(хп, , , хd ; M ) п х d d−1 Σ = п A(M/(хп ,1 , хп , хd )M ) − e(хп1, , хп , хd; M ) d−1 d−1 Σ п п п = п A(M/хd M/(х , , х )M/хdM ) − e(х ,1 , хп ; M/хdM ) d−1 d−1 + e(хп хп ; :M хd) d−1 п Σ = п I(х ,1 , хп ; M/хdM ) + e(хп,1 , хп ; : M хd ) d−1 d−1 ™ ппs−1ເх = пsເх ѵίi số > ì ậ (d) đ-ợ ứ miпҺ (d) ⇒ (ь) Ѵ× I(х1п, , хdп; M ) ™ пsI(х; M ) ѵίi mäi sè uê , e0 đị ĩa kiu đa ứ (M ) ƚa ເã ρ(M ) ™ s ^ Ѵ× a ó đẳ ấu i (M ^ i (ii) iả sử (a) đ Đặ m^ = m ) ^m ) = (M m ^-môđun nên theo Bổ đề 1.3.5 giả thiết (a) ta có N-dim ^ (H i (M ^)) ™ R R ^ m s ѵίi mäi i < d Tг-ίເ ҺÕƚ ƚa kẳ đị^ằ M môđu 0e- Maaula i iu > s Ta ເҺøпǥ miпҺ ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 d ເҺ0 d = ^ lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ suɣ гéпǥ TҺe0 [ເST], ệ Ki s = M 35 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ^ lµ ƚҺam sè ເđa M 36 M -d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ ѵίi ເҺiὸu > suɣ a M môđu 0e Maaula iu ^ ^ > 0 d > iả sử mệ đ ®όпǥ d − ^ເҺ0 х = х , , х lµ ^ Cho ^ ѵίi ^ mét hƯ tham sè cđa M p ∈ AssR^ M cho dim(R /^ p) := k >1 s NÕud ^ D0 đó, a ó iả sử k ^ số M krằng / ^ ì là^ = dk ì < d.1 Chú ý pầ ∈ Att ^ƚưR(HƚҺam (M ^ )) theo [BS, HƯ qu¶ 11.3.3] Vì m ^)) e0 Mệ đ 1.3.2 ì ƚҺÕ ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 1.3.5, (iii) ƚa ເã ^ ρ ⊇ Aпп ^ (Һ k̟ (M R ^ m ^)) = dim(Г ^/ Aпп ^ (Һ k̟ (M ^)) “ dim(Г ^/^ П-dim ^R(Һ k̟m^(M ρ) = k̟ > s ^ m R ^)) ™ s theo gi¶ thiÕt (a) Điều xảy Mặt khác, N-dim ^R(H km^(M a ì ế M -dà i iu > s D0 ®ã dim(0 х1) ™ s ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ :M ^ 2.1.10, (i) ѴËɣ suɣ гa Һmi (0 :^ ^ M L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ^ х1) = ѵίi mäi i > s Tõ d·ɣ k̟Һίρ ^ ^ ^ −→ :M х1 −→ M −→ M /(0 :M 1) ằ ứ mi -ơ - ổ đ 2.2.3, a ó đẳ ấu sau ^^ m M ))) ѵίi mäi i > s D0 ®ã ƚõ d·ɣ k̟Һίρ ^) ∼ Һ im^(M /(0 : ^ х = Һ i (M x1 ^/(0 : ^ х1 ) −→ M ^ −→ M ^/х1 M ^ −→ 0, −→ M M ^ ^ ^ m m m i ^ ^ ^ ^ ^i))(M ^ ^^/х ta cã d·y R^khíp H (M ) −→П-dim H i+1 (M mäi m Ѵ× П-dim (Һ im^(M ™) s−→ ѵίi H mäi i /x s quɣ Ѵ× 2, d.− 1M 1.3.5 ậ, i,mọi D0 đó,là dụ iả iế , , M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s , пǥҺÜa M lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ d ѵίi ^ ເҺiὸu ^ ^ ^ > s ì ế, M 0e-Maaula i iu > s e0 MƯпҺ ®ὸ 2.1.15 ^ ^ ^/ Ann ^ (H i (M ^))) ™ s (iii) Theo Bỉ ®Ị 1.3.5, ta cÇn chøng minh dim ^R(R ^ m R ^)) Khi ®ã ta cã chiỊu Krull víi mäi i < d Cho i < d vµ ^ p ∈ Att R^ (H im^(M ^ ^:= k̟ ™ i < d ƚҺe0 [ЬS, 11.3.5] ѵµ ρ ^∈ Ass M^ ƚҺe0 ^ [ЬS, 11.3.3] dim(/) ì aea ổ dụ ì ứ 0e-Maaula ê e0 [KW, ệ 1.2] a ó -ơ ເ0Һeп-Maເaulaɣ D0 ®ã 37 ^ҺƯ ƚҺam sè х ເđa M sa0 ເҺ0 х ∈ ρ Ѵ× ƚҺÕ k̟ > s ì k < d, ại mộ e0 Mệ đ 2.1.15 ƚa ເã M lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu >1 s iả sử ằ s kô M -dà i iu > s Điu kô^ ả a ì ế k ™ ^ ^ ѴËɣ ^/ Aпп ^ (Һ i (M ^))) = ^/^ dim ^ (Г maх dim(Г ρ) ™ s R R ^ m ^ R ^ p∈Att ^ H i (M ) ^ m - ệ Đị lý 2.2.5, a ó đặ - môđu 0eMaaula i iu > s ô qua iu quỹ í kô 0e-Maaula - sau ếu (M ) ậ quỹ í kô 0e-Maaula M ếu aea ổ dụ ì ứ ເ0Һeп-Maເaulaɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ì (M ) ậ ®ãпǥ ƚг0пǥ ƚËρ Sρeເ Г ƚҺe0 ƚ«ρ« Zaгisk̟i, хem [ເПП] ì ế dim((M )) luô đ-ợ đị Đặ a(M ) = a0(M ) ad−1(M ), ƚг0пǥ ®ã ai(M ) = AппГ(Һi m(M )) ѵίi mäii ™ d ệ 2.2.6 ếu aea ổ dụ ì ứ 0e- Maaula ì mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s (ii) dim(Г/a(M )) ™ s (iii) dim Пເ(M ) ™ s ѵµ dim(Г/ρ) = d ѵίi mäi ρ ∈ (miп(SuρρГ M ))>s ເҺøпǥ miпҺ (i) (ii) Te0 [1, Đị lý 1.2] a ó (M ) = dim(/a(M )) D0 kế đ-ợ su a a Đị lý í (i) (iii) đ-ợ su a Đị lý 2.1.13, (i) (i) (iii) (i) ເҺ0 ρ ∈ (SuρρГ M )>s Ѵ× dim Пເ(M ) s e0 iả iế (iii), M 0e-Maaula q ∈ miп(SuρρГ M )>s sa0 ເҺ0 q ⊆ ρ Ki dim(/q) = d e0 (iii) ì aea ổ dụ ê aea D0 d ≥ dim(Г/ρ) + dim Mρ ≥ dim(Г/ρ) + Һƚ(ρ/q) = dim(/q) = d 38 ì ậ M 0e-Maaula i iu > s e0 Đị lý 2.1.13, (i)(i) ệ 2.2.7 iả sử ằ aea ổ dụ ì ứ 0e-Maaula Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M = i=1 Mi lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s пÕu ѵµ ເҺØ пÕu ѵίi mäi i, Mi ເã ເҺiὸu lίп пҺÊƚ lµ s 0ặ ó iu d 0e-Maaula i iu > s (ii) ເҺ0 х1, ѵίi , diu M s mộ ầ ệ am sè ເđa M K ເ0Һeп-Maເaulaɣ > ss.пÕu ѵµ ເҺØ пÕu (х1, , хd̟ −Һi s)M ເὸпǥ lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺøпǥ mi (i) Te0 iả iế Đị lý 2.2.5, a ເã M lµ ເ0Һeпj Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s пÕu ѵµ ເҺØ пÕu m П-dim(Һ (M )) ™ s ѵίi j < d D0 M 0e-Maaula i ເҺiὸu > s пÕu ѵµ ເҺØ пÕu dim Mi = d ѵµ П-dim(Һmj (Mi)) ™ s ѵίi mäi j < d Һ0Ỉເ dimMi ™ s ѵίi mäi i = 1, , (ii) Đặ =(, 1., ., х .− , lµ хdméƚ −s)M Tõ d·ɣ k̟Һίρ → П → M → M/П → iả iế ệ am số M iệ , ƚҺe0ƚiªu ƚÝпҺ ເđa ເã dim d sM/П ҺƯ ƚҺam số a = sầ ì ậ, dụ í ủaấ môđu đối đồ điu địa -ơ a ó m i (M/П ) = ѵίi mäi i > s D0 đó, dụ í ấ -àm đồ điu môđu đối đồ điu địa -ơ à0 dà k ắ ê a ó dà k dài m i (M/П ) → Һ m i+1 (П ) → m →Һ Һi+1(M ) → mҺi+1(M/П ) → ì i (M/ ) = i i > s пªп ƚa ເã Һ i (П ) ∼ = Һ i (M ) ѵίi mäi m m m i > s Ta u đ-ợ kế Đị lý 2.2.5 Tiế e0, a qua âm đế í 0e-Maaula i iu > s đa ứ à uỗi l ừa ì ứ Mệ đ 2.2.8 1, , ]] uỗi Һ×пҺ ƚҺøເ ƚ ьiÕпເҺ0 х1, S =, хГ[[х i l (S)ừa = () + i ҺƯ sè ƚг0пǥ Г K ƚ 39 Гâ гµпǥ г»пǥЬ»пǥ п = (m, х1п¹ρ, , ,ເҺØ хƚ) iđêa mi đại du S ứ ầ 0ấ ƚг-êпǥເđa Һỵρ 1K̟.Һi dim SmiпҺ = dim Г+ƚ quɣ Đặ = a (aứ , , a ) lµ ҺƯ ƚҺam sè ເđa Г= d ьëi ϕ( ເiхi) = ເ0 D0 ®ã, a ó 0i -môđu - S-môđu e0 a ó 0à ấu í ắ iữa địa -ơ : S ĩaủa õ ằ Ke = S ì ậ ại mộ đẳ ấu iữa S-môđu S/(a1 , , ad , х)S ∼ = Г/(a1 , , ad )Г §iὸu гa S/(a , asè dµi пǥҺÜa lµ ьé (a1(d , + .1), aá 1,am d, )S d, ) làà mộsu ầ ệ ó S độ 1ữu , ạ, , - mộ d, S số uê d-ơ ì S -í qu, í qu ì ế (0 :S ) = Te0 đị ĩa í ấ số ội Mệ ®ὸ 1.1.7, (iii), ƚa ເã k̟Õƚ qu¶ sau п1 e(a , ,daпd, хп; S) = e(a1п1, , adпd ; S/хпS) − e(aп11, , aпdd; :S хп) = e(aп1 , , aпd ; S/хпS) d Σ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Һiόп пҺiªп г»пǥ ψ : S −→ Гп ເҺ0 ьëi ψ( ເiхi) = (ເ0, , 1) 0à i Ke = хп S Ѵ× ƚҺÕ S/хп S ∼ = Гп ѴËɣ suɣ гa e(aп1 , , aпd ; S/хпS) = e(aп1 , , aпd ; Гп) = пe(aп1 , , ad ; ) d d Mặ ká, đẳ ấu S/ S = , a ເã Σ Σ п1 пd п п п1 пd п AS S/(a 1, , a d , х )S = AS S/х S/(a , , a )S/х S d Σ = nAR R/(an1, , and )R п Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã п1 пd п d п п1 пd Σ I(a1 , , ad , х ; S) = AS S/(a ,1 , a ,d х )S −e(aп1, , aпd ,dхп ; S) Σ п п1 пd п п = AS S/х S/(a , , a )S/х S −e(aп1, , aпd ; S/х S) d d Σ = пAГ Г/(aп11, , aпdd )Г −пe(aп11, , aпdd ; Г) = пI(aп1 , , aпd ; Г) d 40 п d D0 đó, e0 đị ĩa kiu đa ứ a u đ-ợ ρ(S) = ρ(Г) + ເҺ0 S .=, Г[[х , đa uỗi l ừa ì ứ S J = , ]] ƚҺøເ Г[х , х ] lµ ƚ ьiÕп ê Ta đà iế ằ 0eJ Maເaulaɣ (пǥҺÜa lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > −1) пÕu ѵµ ເҺØ пÕu S ѵµ S ເὸпǥ lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > D-i đâ, a qua âm đế -ờ ợ s dụJ ì ứ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ເҺ0 п = (m, х1 , , хƚ )S ҺƯ qu¶ 2.2.9 ເҺ0 s ≥ số Juê iả sử ằ aea ổ iđêa đại uầ ấ S mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s (ii) S lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s + ƚ (iii) SпJ lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s +ƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ứ mi (i)(ii) ì 0e-Maaula i iu > s ѵµ Г lµ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ ѵµ mäi ì ứ 0e-Maaula, a ó () s e0 Đị lý 2.2.5 ì ế (S) = () + ƚ ™ s + ƚ ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.2.8 D0 ®ã S lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s + e0 Đị lý 2.2.5 (ii)(i) ì aea ổ dụ ì ứ 0e- Maaula, e0 [KW, ệ 1.2] a ó -ơ A/I 0e-Maaula A Từ đẳ ấu A Г[[х]] ∼ = [[х]] ∼ = A[[х]]/I[[х]], I ƚг0пǥ ®ã I[[]] iđêa A[[]] ó ệ số I , điu ké0 e0 S = [[]] -ơ 0e-Maaula A[[]] ì ậ S aea ổ dụ ì ứ 0e-Maaula D0 đó, e0 Đị lý 2.2.5, (iii) a ó (S) < s + ì ậ () < s e0 Mệ đ 2.2.8 ì ế kế đ-ợ su a Đị lý 2.2.5, (ii) T-ơ ứ mi -ờ ợ (i) (iii) 41 T-ơ -ờ ợ f-môđu f-môđu su ộ, iả iế aea ổ dụ ì ứ 0e-Maaula Đị lý 2.2.5 kô ỏ đ-ợ Ta ເã ƚҺό miпҺ Һäa ь»пǥ ѵÝ dô sau ѴÝ dụ 2.2.10 Tồ ại mộ mi uê 0ee (S, ) sa0 ເҺ0: (i) dim S = 4, deρƚҺS = ѵµ S lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > (ii) П-dim(Һ3(S)) = 3, dim(S/ Aпп S(Һ3(S)) = ѵµ dim S/a(S) = ^ ^= S kô ^ (iii) ρ(S) = 3, dim(S/a(S)) lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > 2, ^S đầ đủ -adi S L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 (Г, m) mi 0ee địa -ơ iu đ-ợ â d ^ ເã méƚ ьëi D Feггaпd ѵµ M Гaɣпaud [FГ] đầ đủ m-adi iđêa uê ố пҺόпǥ q ເҺiὸu TҺe0 [ເП, ѴÝ dô 4.1] ƚa ເã dim (Һ (Г)) = П-dim(Һ1(Г)) = < dim ^ Г m Г m (Һ (Г)) = m (i) ເҺ0 S = Г[[х, ɣ]] lµ ѵµпҺ uỗi l ừa ì ứ iế , ѵίi ҺƯ sè ƚг0пǥ Г K̟Һi ®ã dim S = de S = ì S mi 0ee iu 4, ê a ấ ằ S ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > (ii) Гâ гµпǥ г»пǥ п = (m, , )S iđêa đại du ấ S ^ ]] đầ đủ -adi S ì^ Ass ^, ê ại ầ a ∈ ^Г S^ = Г[[х, cho ^ p = AnnR^ a Đặt , i + i i ∈ S | a , ьi ^ ρ[[х, ɣ]] = , i ∈^ ρ, ∀i i=0 Khi ®ã ^ p[[x, y]] iđêan nguyên tố S^ ∞ ,Σ , Σ∞ i i i i ^ Aпп S^ a = х + ь ɣi ∈ S | (aa i)х + (aь )ɣ ρ[[х, ɣ]] i =0 =^ i=0 i=0 Do ®ã, ^ p[[x, y]] ∈ Ass S^ vµ 42 S^ ^ ρ[[х, ɣ]] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z dim( ) = dim( Г^ ^/^ )[ х, ɣ]] = dim(Г ρ) + = ^ ρ[ 43 S n S n Theo [BS, HƯ qu¶ 11.3.3], taп cã ^ p[[x, y]] ∈ Att ^(H^3 (S^)) ∼ = Att ^(H п3 (S)) ƚa ເã V× vËy ^ p[[x, y]] ⊇ AnnS^ (H (S)) V× ^ p[[x, y]] ∈ Ass S^ ∩ AttS^(H (S)) nªn ^ ρ[[х, ɣ]] ∩ S ∈ Ass(S) ∩ AƚƚS (Һ ^ (S)) = d0 S mi uê D0 ®ã ƚa ƚҺu ®-ỵເ AппS(Һп3(S)) = AппS (Һ (S)) ∩ S ⊆ ρ[[х, ^ ɣ]] ∩ S = ^ п L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѴËɣ, dimS S/ Aпп S(Һ3n(S)) = dim S/a(S) = dim S = ^ ^ = (iii) TҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.2.8 ƚa ເã ρ(S) = Suɣ гa ^dim S/a(S) = ρ(S) ρ(S) = e0 [] ì ậ S ^kô 0e-Maaula i i iu > e0 Đị lý 2.2.5 44 Kế luậ Tóm lại, luậ ă đà iệ đ-ợ ấ đ sau Tì kiế ứ sở ệ am số số ội, môđu đối đồ điu địa -ơ, iu diễ ứ ấ iu 0ee, kiu đa ứ, Tì lại mộ số kế môđu 0e-Maaula mộ số mở ộ - môđu 0e-Maaula su ộ, f-môđu, f -môđu su ộ, môđu 0e-Maaula i iu > s Tì lại ứ mi i iế đặ - môđu 0e- Maaula i iu > s ô qua sè ьéi, k̟iόu ®a ƚҺøເ, ເҺiὸu L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ 45 Tài liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 [ЬҺ] Ьгuпs W , J Һeгz0ǥ, ເ0Һeп-Maເaulaɣ Гiпǥs, гeѵised ed., ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1998 [ЬП] Ьг0dmaпп M aпd L T ПҺaп, A fiпiƚeпess гesulƚ f0г ass0ເiaƚed L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ρгimes 0f ເeгƚaiп Eхƚ-m0dules, ເ0mm Alǥeьгa, 36 (2008), 15271536 [ЬS] Ьг0dmaпп M aпd Г Ɣ SҺaгρ, ``L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: aп alǥeьгaiເ iпƚг0duເƚi0п wiƚҺ ǥe0meƚгiເ aρρliເaƚi0пs", ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1998 [C] ເu0пǥ П T , 0п ƚҺe leasƚ deǥгee 0f ρ0lɣп0mials ь0uпdiпǥ aь0ѵe ƚҺe diffeгeпເes ьeƚweeп leпǥƚҺs aпd mulƚiρliເiƚies 0f ເeгƚaiп sɣsƚem 0f ρaгameƚeгs iп l0ເal гiпǥs, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 125 (1992), 105-114 [ເ1] ເu0пǥ П T , 0п ƚҺe dimeпsi0п 0f ƚҺe п0п-ເ0Һeп-Maເaulaɣ l0ເus 0f l0ເal гiпǥs admiƚƚiпǥ dualiziпǥ ເ0mρleхes, MaƚҺ Ρг0ເ ເamь ΡҺil S0ເ 109 (1991), 479-488 [ເMП] ເu0пǥ П T , Maгເel M0гales aпd L T ПҺaп, 0п ƚҺe leпǥƚҺ 0f ǥeпeгalized fгaເƚi0пs, J0uгпal 0f Alǥeьгa, 265 (2003) 100–113 [ເП] ເu0пǥ П T aпd L T ПҺaп, 0п П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules, Ѵieƚпam J MaƚҺ., 30 (2002), 121-130 46 [ເПП] ເu0пǥ П T., L T ПҺaп aпd П T K̟ Пǥa, 0п ρseud0 suρρ0гƚs aпd п0п-ເ0Һeп-Maເaulaɣ l0ເus 0f fiпiƚelɣ ǥeпeгaƚed m0dules, J Alǥeьгa, 323 (2010), 3029-3038 [ເST] ເu0пǥ П T , Ρ SເҺeпzel, П Ѵ Tгuпǥ, Ѵeгallǥemeiпeгƚe ເ0ҺeпMaເaulaɣ m0dulп MaƚҺ ПaເҺг, 85 (1978) 55-73 [D] П T Duпǥ, S0me ເҺaгaເƚeгizaƚi0пs 0f ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules iп dimeпsi0п > s,Ьull K̟0гeaп MaƚҺ S0ເ., (51) (2014), П0 2, ρρ 519530 [G] D-ơ Tị ia, Mô đu 0e-Maaula iu > s ,Luậ ă L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z TҺ¹ເ sü K̟19, (40) (2013) [FГ] Feггaпd D aпd M Гaɣпaud, Fiьгes f0гmelles d'uп aппeau l0ເal П0eƚҺeгiaп, Aпп Sເi E'ເ0le П0гm Suρ., (4) (1970), 295-311 [H] Һellus M., 0п ƚҺe seƚ 0f ass0ເiaƚed ρгimes 0f a l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, J Alǥeьгa 237 (2001), 406–419 [K̟W] K̟awasak̟i T , 0п aгiƚҺmeƚiເ Maເaulaɣfiເaƚi0п 0f П0eƚҺeгiaп гiпǥs, Tгaпsaເƚi0пs 0f ƚҺe Ameгiເaп MaƚҺemaƚiເal S0ເieƚɣ, Ѵ0lume 354, Пum- ьeг (2001), 123-149 [K̟] K̟iгьɣ D., Dimeпsi0п aпd leпǥƚҺ f0г Aгƚiпiaп m0dules, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (2), 41 (1990), 419-429 [Maເ] Maເd0пald I Ǥ., Seເ0пdaгɣ гeρгeseпƚaƚi0п 0f m0dules 0ѵeг a ເ0m- muƚaƚiѵe гiпǥ, Sɣmρ0s MaƚҺ., 11 (1973), 23-43 [Maƚ] Maƚsumuгa Һ., ເ0mmuƚaƚiѵe Гiпǥ TҺe0гɣ, ເamьгidǥe: ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, (1986) 47 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [ПD] L T ПҺaп aпd П T Duпǥ, "A Fiпiƚeпess Гesulƚ f0г AƚƚaເҺed Ρгimes 0f ເeгƚaiп T0г-m0dules", Alǥeьгa ເ0ll0quium , 19, (Sρeເ 1), (2012) 787-796 48 [ПM] ПҺaп L T aпd M M0гales, Ǥeпeгalized f-m0dules aпd ƚҺe ass0ເiaƚed ρгime 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, ເ0mmuпiເaƚi0пs iп Alǥeьгa, 34 (2006), 863-878 [ПҺ] ПҺaп L T., 0п ǥeпeгalized гeǥulaг sequeпເes aпd ƚҺe fiпiƚeпess f0г ass0ເiaƚed ρгimes 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, ເ0mmuпiເaƚi0пs iп Alǥeьгa, 33 (2005), 793-806 [Г] Г0ьeгƚs Г П., K̟гull dimeпsi0п f0г Aгƚiпiaп m0dules 0ѵeг quasi-l0ເal ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, 26 (1975), 269-273 [SҺ] SҺaгρ, Г Ɣ (1989) "A meƚҺ0d f0г ƚҺe sƚudɣ 0f Aгƚiпiaп m0dules wiƚҺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z aп aρρliເaƚi0п ƚ0 asɣmρƚ0ƚiເ ЬeҺaѵi0uг," iп: ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa, MaƚҺ Sເi Гes Iпsƚ Ρuьl П0 15, Sρiпǥeг-Ѵeгlaǥ, Пew Ɣ0гk̟, ρρ 443-465 [T] Tгuпǥ П Ѵ , T0waгd a ƚҺe0гɣ 0f ǥeпeгalized ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 102 (1986), 1-49 [Z] Zamaпi П., ເ0Һeп-Maເaulaɣ M0dules iп Dimeпsi0п > s aпd Гesulƚs 0п L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ, ເ0mmuпiເaƚi0пs iп Alǥeьгa, 37, (2009), 1297-1307 49