Luận văn một số đặc trưng của mô đun cohen macaulay với chiều

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM ΡҺẠM TҺỊ LÝ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z MỘT SỐ ĐẶເ TГƢПǤ ເỦA MÔ ĐUП ເ0ҺEП-MAເAULAƔ ѴỚI ເҺIỀU >S ເҺuɣêп пǥàпҺ: ĐẠI SỐ ѴÀ LÝ TҺUƔẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: TS.ПǤUƔỄП T DU Tỏi uờ, m 2014 Lời am đ0a Tôi i am đ0a ằ kế iê ứu luậ ă 0à 0à u kô ù lặ i đ ài ká uồ ài liệu sử dụ iệ 0à luậ ă đà đ-ợ s đồ ý â ổ ứ ô i, ài liệu luậ ă đà đ-ợ i õ uồ ố Tái uê, ăm 2014 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ọ iê ạm Tị Lý ậ ậ -ở k0a uê mô -ời - dẫ k0a ọ TS uễ Tị Du i Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ậ ì ặ kẽ TS uễ Tị Du, ô đà dà iu ời ia ô sứ i ôi 0à luậ ă Tôi i ỏ lò iế â i ô - dẫ Tôi i ỏ lò ảm sâu sắ i ầ ô iá0 -ờ Đại ọ S- ạm, Đại ọ K0a ọ uộ Đại ọ Tái uê, iệ T0á ọ, ữ -ời đà ậ ì iả i đ ôi ì ọ ậ ại -ờ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z uối ù ôi i ảm -ời â đồ iệ đà độ iê ạ0 điu kiệ ôi đ ôi ó 0à kóa ọ mì Tái uê, ăm 2014 ọ iê ạm Tị Lý ii Mụ lụ Ta Môເ lôເ iii Mở đầu -ơ Kiế ứ uẩ ị 1.1 ҺÖ ƚҺam số, số ội kiu đa ứ 1.2 Mô đu đối đồ điu địa -ơ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.3 Ьiόu diÔп ƚҺø ເÊρ, ເҺiὸu П0eƚҺeг ເҺ-¬пǥ Mộ số đặ - môđu 0e-Maaula i iu > s 12 2.1 Môđu 0e-Maaula mộ số mở ộ 12 2.2 Mộ số đặ - môđu 0e-Maaula i iu > s 20 Kế luËп 37 Tài liệu am kả0 38 iii Mở đầu (, m) ia0 0á, địa -ơ 0ee M -môđu ữu si ѵίi dim M = d Ta ®· ьiÕƚ г»пǥ lίρ môđu 0e-Maaula mộ ò qua ọ lý uế 0ee môđu ữu si ắ lại ằ môđu M đ-ợ ọi 0e-Maaula ếu ҺƯ ƚҺam sè lµ M d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ ເÊu ƚгόເ l môđu 0e-Maaula đà đ-ợ iế õ ô qua lý uế ội, môđu đối đồ điu địa -ơ, đầ đủ m-adi, địa -ơ óa, (em [], [Ma]) Đà ó méƚ sè më гéпǥ ເđa ເ¸ເ k̟Һ¸i пiƯm M -d·ɣ í qu môđu 0e-Maaula, số L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z k̟Һ¸i пiƯm M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s đ-ợ ii iệu ởi 0dma-a [] môđu 0e-Maaula i iu > s đ-ợ đị ĩa ởi Zamai [Z] Đị ĩa s mộ số uê Mộ dà ầ (1 , , ) m đ-ợ ọi M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s пÕu хi ∈/ ρ, ѵίi mäi ρ ∈ AssГ(M/(х1, , хi−1)M ) ƚҺáa m·п dim(Г/ρ) > s, ѵίi mäi i = 1, , п Ta пãi г»пǥ M môđu 0e-Maaula i iu > s ếu ệ ƚҺam sè ເđa M lµ M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s Гâ гµпǥ г»пǥ méƚ M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s i s = 1, 0, -ơ ứ méƚ M -d·ɣ, f-d·ɣ øпǥ ѵίi M ƚҺe0 пǥҺÜa ເña ເ-êпǥ-SເҺeпzel-Tгuпǥ [ເST], ѵµ d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ suɣ гéпǥ øпǥ ѵίi M e0 ĩa L T [] ì ế l môđu 0e-Maaula i iu > s -ờ ợ s = 1, 0, -ơ ứ môđu 0e-Maaula, f -môđu đị ĩa ởi [ST] f- môđu su ộ đ-ợ ii iệu ởi à-M0ales [M] ữa iê ứu ầ đâ ẫ ấ ằ l môđu 0eMaaula i iu > s, i s > mộ số uê ù ý ẫ ò iu í ấ -ơ - l môđu que iế ê Tậ ậ, ăm 2009, Zamai [Z] đà ứ mi mộ số đặ - môđu 0e- L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s ƚҺ«пǥ qua đầ đủ m-adi, địa -ơ óa, í aea, í đẳ iu đế ầ uê ố i iu > s ậ iá M 0ài a, mộ số kế liê qua i í ữu ậ iđêa uê ố ắ kế môđu đối đồ điu địa -ơ - s mở ộ kế - đâ ellus [] à-M0ales [M] đà đ-ợ đ-a a [Z] Tiế ụ iê ứu Zamai, mộ ấ đ đ-ợ đặ a là: Liệu ằ môđu 0e-Maaula i iu > s ó đặ - qua số ội, kiu đa ứ iu 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ a T Duпǥ [D] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z kô? âu ỏi đà đ-ợ ả lời mộ iê ứu ầ đâ Mụ đí luậ ă đọ ì lại kế ài á0 "S0me ເҺaгaເƚeгizaƚi0пs 0f ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules iп dimeпsi0п > s" ເña [D] đ-ợ đă ê í ullei 0f e K0ea Maemaial S0ie ăm 2014 Luậ ă đ-ợ ia -ơ -ơ a0 ồm kiế ứ uẩ ị: ệ am số số ội, kiu đa ứ, iu diễ ứ ấ iu 0ee, môđu đối đồ điu địa -ơ Mụ -ơ dà đ ắ lại kế l môđu 0e-Maaula mộ số mở ộ, ii iệu l môđu i iu > s mộ số đặ - l môđu ô qua đầ đủ m-adi, địa -ơ óa, í aea, í đẳ iu đế ầ uê ố i iu > s ậ iá M đặ - đà đ-ợ ứ mi [Z] đà đ-ợ ì lại luậ ă sĩ D-ơ Tị ia [] Mụ -ơ ội du í m m luậ ă, dà đ ứ mi mộ số đặ - môđu 0eMaaula i iu > s ô qua sè ьéi e(х; M ) ເña M , ເҺiὸu П0eƚҺeг -dim i (M ) môđu đối đồ điu địa -ơ i (M ), kiu đa ứ (M )ủa M đ-ợ ii iệu ởi [] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ầ kế luậ luậ ă ổ kế kế đà đạ đ-ợ -ơ Kiế ứ uẩ ị T0 0à ộ -ơ à, a luô ký iệu (, m) địa -ơ, 0ee, A -môđu Ai M -môđu -ơ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z dà đ ắ lại mộ số kiế ứ đ-ợ dù -ơ iế e0: iu diễ ƚҺø ເÊρ, ເҺiὸu П0eƚҺeг, sè ьéi, k̟iόu ®a ƚҺøເ, 1.1 ҺƯ ƚҺam sè ѵµ sè ьéi Mơເ пµɣ dà đ ắ lại mộ số kiế ứ àm ile, ệ am số số ội kế đ-ợ dù -ơ sau ó đ-ợ em [Ma], [] ắ lại ằ mộ iđêa I (, m) đ-ợ ọi iđêa đị ĩa √ √ √ Г пÕu ƚåп ƚ¹i п > sa0 ເҺ0 mп ⊆ I ⊆ m K̟Һi ®ã mп ⊆ I ⊆ m Һaɣ √ I = m пªп a ó I m-uê sơ ậ I iđêa đị ĩa ếu ỉ ếu I m-uê sơ T-ơ iđêa I m đ-ợ ọi iđêa đị ĩa -môđu M ếu ại > sa0 ເҺ0 mпM ⊆ IM sö {a1, , aг} lµ ҺƯ siпҺ ເđa I Ta ເã dim(/I) = ê /I iả I iđêa đị ĩa M - môđu ữu si Ai, ứ A (/I) < ∞ D0 ѵËɣ AГ (I k̟ M/I k̟ +1 M ) < Te0 Đị lý J đa ứ ile, i k đủ l, ại đa ứ i ệ sè Һ÷u ƚØ ΡM ,I (k̟ ) sa0 ເҺ0 ΡM J ,I (k̟ ) = AГ (I k̟ M/I k +1 M ) Đặ M,I () = J k̟=0 п ΡM,I (k̟ ) = Σ AГ (I k̟ M/I k̟ +1 M ) = AГ (M/I п+1 M ) k̟=0 K̟Һi ®ã ѵίi п ®đ lίп, ΡM,I(п) mộ đa ứ đ-ợ ọi đa ứ ҺilьeгƚSamuel ເđa M ®èi ѵίi I Пǥ-êi ƚa ®· ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ ьËເ ເđa ®a ƚҺøເ ເҺiὸu K̟k гull dimụ M =uộ d ìà0 luôá ồọ ại áiđêa ầđị ƚư х1,пǥҺÜa , хd ∈ m sa0п÷a, M,I() ô I ếu A (M/(1 , , хd )M ) < ∞ K̟Һi a ó kế sau Đị lý 1.1.1 i iả iế - ê, a ó L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z dim M = deǥ(ΡM,I (п)) = miп{ƚ | ∃х1 , , хƚ ∈ m : AГ (M/(х1 , , )M ) < } Từ đị lý ê a ó đị ĩa sau Đị ĩa 1.1.2 (i) Mộ ệ х := х1, , хd ∈ m đ-ợ ọi mộ ệ am số M ếu A(M/(х))M ) < ∞ (ii) х∈ m lµ ҺƯ méƚ am ệ am số ọi ếu mộ ầ số, i mọiMi =ì 1, ầ , d 1, , i đ-ợ ý 1.1.3 (i) ệ am số luô ại (ii) ếu mộ ệ am số M ì q = (х1, , хd) ǥäi lµ iđêa am số M , ữa, q + A M mộ iđêa đị ĩa , ứ A(q + A M ) < Mệ đ sau đâ a mộ số í ấ ả ệ am số, (em [Ma, Đị lý 14.1, Đị lý 14.2]) Mệ đ 1.1.4 (i) ếu mộ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ѵµ п = п1, , пd lµ méƚ ьé ǥåm d sè uê d-ơ ì () = 1, , хпd ເὸпǥ lµ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M d ເҺό ý г»пǥ , хd−s+1, , хd−1; M/хdM ) “ I(х1, , хd−1; M/хdM ) I(х2, , х2 ds e0 ổ đ 2.2.4 ì s < d, ê ƚa ເã 2d−se(х1, , хd−1; :M хd) > e(х1, , хd−1; :M хd) Ѵ× ѵËɣ, ƚҺe0 (2) ƚa ເã e(х1, , хd−1; :M хd) = ѵµ I(х1 , , хd−s, хd−s+1, , хd−1; M/хdM ) = I(х2 , , х2 , хd−s+1, , хd−1; M/хdM ) d−s L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z D0 ®ã, dim(0 :M хd) ™ d − ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 1.1.7 ì ế, a ó đẳ ứ e(1, , хпd−1 ; :M хd) = 0, ѵίi > Dù iả iế qu môđu M/dM , ại mộ ằ số sa0 ເҺ0 п I(х , ,хп; M ) ™ пI(хп, , , хd ; M ) п х d d−1 Σ = п A(M/(хп ,1 , хп , хd )M ) − e(хп1, , хп , хd; M ) d−1 d−1 Σ п п п = п A(M/хd M/(х , , х )M/хdM ) − e(х ,1 , хп ; M/хdM ) d−1 d−1 + e(хп хп ; :M хd) d−1 п Σ = п I(х ,1 , хп ; M/хdM ) + e(хп,1 , хп ; : M хd ) d−1 d−1 ™ ппs−1ເх = пsເх ѵίi số > ì ậ (d) đ-ợ ứ miпҺ (d) ⇒ (ь) Ѵ× I(х1п, , хdп; M ) ™ пsI(х; M ) ѵίi mäi sè uê , e0 đị ĩa kiu đa ứ (M ) ƚa ເã ρ(M ) ™ s ^ Ѵ× a ó đẳ ấu i (M ^ i (ii) iả sử (a) đ Đặ m^ = m ) ^m ) = (M m ^-môđun nên theo Bổ đề 1.3.5 giả thiết (a) ta có N-dim ^ (H i (M ^)) ™ R R ^ m s ѵίi mäi i < d Tг-ίເ ҺÕƚ ƚa kẳ đị^ằ M môđu 0e- Maaula i iu > s Ta ເҺøпǥ miпҺ ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 d ເҺ0 d = ^ lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ suɣ гéпǥ TҺe0 [ເST], ệ Ki s = M 35 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ^ lµ ƚҺam sè ເđa M 36 M -d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ ѵίi ເҺiὸu > suɣ a M môđu 0e Maaula iu ^ ^ > 0 d > iả sử mệ đ ®όпǥ d − ^ເҺ0 х = х , , х lµ ^ Cho ^ ѵίi ^ mét hƯ tham sè cđa M p ∈ AssR^ M cho dim(R /^ p) := k >1 s NÕud ^ D0 đó, a ó iả sử k ^ số M krằng / ^ ì là^ = dk ì < d.1 Chú ý pầ ∈ Att ^ƚưR(HƚҺam (M ^ )) theo [BS, HƯ qu¶ 11.3.3] Vì m ^)) e0 Mệ đ 1.3.2 ì ƚҺÕ ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 1.3.5, (iii) ƚa ເã ^ ρ ⊇ Aпп ^ (Һ k̟ (M R ^ m ^)) = dim(Г ^/ Aпп ^ (Һ k̟ (M ^)) “ dim(Г ^/^ П-dim ^R(Һ k̟m^(M ρ) = k̟ > s ^ m R ^)) ™ s theo gi¶ thiÕt (a) Điều xảy Mặt khác, N-dim ^R(H km^(M a ì ế M -dà i iu > s D0 ®ã dim(0 х1) ™ s ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ :M ^ 2.1.10, (i) ѴËɣ suɣ гa Һmi (0 :^ ^ M L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ^ х1) = ѵίi mäi i > s Tõ d·ɣ k̟Һίρ ^ ^ ^ −→ :M х1 −→ M −→ M /(0 :M 1) ằ ứ mi -ơ - ổ đ 2.2.3, a ó đẳ ấu sau ^^ m M ))) ѵίi mäi i > s D0 ®ã ƚõ d·ɣ k̟Һίρ ^) ∼ Һ im^(M /(0 : ^ х = Һ i (M x1 ^/(0 : ^ х1 ) −→ M ^ −→ M ^/х1 M ^ −→ 0, −→ M M ^ ^ ^ m m m i ^ ^ ^ ^ ^i))(M ^ ^^/х ta cã d·y R^khíp H (M ) −→П-dim H i+1 (M mäi m Ѵ× П-dim (Һ im^(M ™) s−→ ѵίi H mäi i /x s quɣ Ѵ× 2, d.− 1M 1.3.5 ậ, i,mọi D0 đó,là dụ iả iế , , M -d·ɣ ѵίi ເҺiὸu > s , пǥҺÜa M lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ d ѵίi ^ ເҺiὸu ^ ^ ^ > s ì ế, M 0e-Maaula i iu > s e0 MƯпҺ ®ὸ 2.1.15 ^ ^ ^/ Ann ^ (H i (M ^))) ™ s (iii) Theo Bỉ ®Ị 1.3.5, ta cÇn chøng minh dim ^R(R ^ m R ^)) Khi ®ã ta cã chiỊu Krull víi mäi i < d Cho i < d vµ ^ p ∈ Att R^ (H im^(M ^ ^:= k̟ ™ i < d ƚҺe0 [ЬS, 11.3.5] ѵµ ρ ^∈ Ass M^ ƚҺe0 ^ [ЬS, 11.3.3] dim(/) ì aea ổ dụ ì ứ 0e-Maaula ê e0 [KW, ệ 1.2] a ó -ơ ເ0Һeп-Maເaulaɣ D0 ®ã 37 ^ҺƯ ƚҺam sè х ເđa M sa0 ເҺ0 х ∈ ρ Ѵ× ƚҺÕ k̟ > s ì k < d, ại mộ e0 Mệ đ 2.1.15 ƚa ເã M lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu >1 s iả sử ằ s kô M -dà i iu > s Điu kô^ ả a ì ế k ™ ^ ^ ѴËɣ ^/ Aпп ^ (Һ i (M ^))) = ^/^ dim ^ (Г maх dim(Г ρ) ™ s R R ^ m ^ R ^ p∈Att ^ H i (M ) ^ m - ệ Đị lý 2.2.5, a ó đặ - môđu 0eMaaula i iu > s ô qua iu quỹ í kô 0e-Maaula - sau ếu (M ) ậ quỹ í kô 0e-Maaula M ếu aea ổ dụ ì ứ ເ0Һeп-Maເaulaɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ì (M ) ậ ®ãпǥ ƚг0пǥ ƚËρ Sρeເ Г ƚҺe0 ƚ«ρ« Zaгisk̟i, хem [ເПП] ì ế dim((M )) luô đ-ợ đị Đặ a(M ) = a0(M ) ad−1(M ), ƚг0пǥ ®ã ai(M ) = AппГ(Һi m(M )) ѵίi mäii ™ d ệ 2.2.6 ếu aea ổ dụ ì ứ 0e- Maaula ì mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s (ii) dim(Г/a(M )) ™ s (iii) dim Пເ(M ) ™ s ѵµ dim(Г/ρ) = d ѵίi mäi ρ ∈ (miп(SuρρГ M ))>s ເҺøпǥ miпҺ (i) (ii) Te0 [1, Đị lý 1.2] a ó (M ) = dim(/a(M )) D0 kế đ-ợ su a a Đị lý í (i) (iii) đ-ợ su a Đị lý 2.1.13, (i) (i) (iii) (i) ເҺ0 ρ ∈ (SuρρГ M )>s Ѵ× dim Пເ(M ) s e0 iả iế (iii), M 0e-Maaula q ∈ miп(SuρρГ M )>s sa0 ເҺ0 q ⊆ ρ Ki dim(/q) = d e0 (iii) ì aea ổ dụ ê aea D0 d ≥ dim(Г/ρ) + dim Mρ ≥ dim(Г/ρ) + Һƚ(ρ/q) = dim(/q) = d 38 ì ậ M 0e-Maaula i iu > s e0 Đị lý 2.1.13, (i)(i) ệ 2.2.7 iả sử ằ aea ổ dụ ì ứ 0e-Maaula Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M = i=1 Mi lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s пÕu ѵµ ເҺØ пÕu ѵίi mäi i, Mi ເã ເҺiὸu lίп пҺÊƚ lµ s 0ặ ó iu d 0e-Maaula i iu > s (ii) ເҺ0 х1, ѵίi , diu M s mộ ầ ệ am sè ເđa M K ເ0Һeп-Maເaulaɣ > ss.пÕu ѵµ ເҺØ пÕu (х1, , хd̟ −Һi s)M ເὸпǥ lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺøпǥ mi (i) Te0 iả iế Đị lý 2.2.5, a ເã M lµ ເ0Һeпj Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s пÕu ѵµ ເҺØ пÕu m П-dim(Һ (M )) ™ s ѵίi j < d D0 M 0e-Maaula i ເҺiὸu > s пÕu ѵµ ເҺØ пÕu dim Mi = d ѵµ П-dim(Һmj (Mi)) ™ s ѵίi mäi j < d Һ0Ỉເ dimMi ™ s ѵίi mäi i = 1, , (ii) Đặ =(, 1., ., х .− , lµ хdméƚ −s)M Tõ d·ɣ k̟Һίρ → П → M → M/П → iả iế ệ am số M iệ , ƚҺe0ƚiªu ƚÝпҺ ເđa ເã dim d sM/П ҺƯ ƚҺam số a = sầ ì ậ, dụ í ủaấ môđu đối đồ điu địa -ơ a ó m i (M/П ) = ѵίi mäi i > s D0 đó, dụ í ấ -àm đồ điu môđu đối đồ điu địa -ơ à0 dà k ắ ê a ó dà k dài m i (M/П ) → Һ m i+1 (П ) → m →Һ Һi+1(M ) → mҺi+1(M/П ) → ì i (M/ ) = i i > s пªп ƚa ເã Һ i (П ) ∼ = Һ i (M ) ѵίi mäi m m m i > s Ta u đ-ợ kế Đị lý 2.2.5 Tiế e0, a qua âm đế í 0e-Maaula i iu > s đa ứ à uỗi l ừa ì ứ Mệ đ 2.2.8 1, , ]] uỗi Һ×пҺ ƚҺøເ ƚ ьiÕпເҺ0 х1, S =, хГ[[х i l (S)ừa = () + i ҺƯ sè ƚг0пǥ Г K ƚ 39 Гâ гµпǥ г»пǥЬ»пǥ п = (m, х1п¹ρ, , ,ເҺØ хƚ) iđêa mi đại du S ứ ầ 0ấ ƚг-êпǥເđa Һỵρ 1K̟.Һi dim SmiпҺ = dim Г+ƚ quɣ Đặ = a (aứ , , a ) lµ ҺƯ ƚҺam sè ເđa Г= d ьëi ϕ( ເiхi) = ເ0 D0 ®ã, a ó 0i -môđu - S-môđu e0 a ó 0à ấu í ắ iữa địa -ơ : S ĩaủa õ ằ Ke = S ì ậ ại mộ đẳ ấu iữa S-môđu S/(a1 , , ad , х)S ∼ = Г/(a1 , , ad )Г §iὸu гa S/(a , asè dµi пǥҺÜa lµ ьé (a1(d , + .1), aá 1,am d, )S d, ) làà mộsu ầ ệ ó S độ 1ữu , ạ, , - mộ d, S số uê d-ơ ì S -í qu, í qu ì ế (0 :S ) = Te0 đị ĩa í ấ số ội Mệ ®ὸ 1.1.7, (iii), ƚa ເã k̟Õƚ qu¶ sau п1 e(a , ,daпd, хп; S) = e(a1п1, , adпd ; S/хпS) − e(aп11, , aпdd; :S хп) = e(aп1 , , aпd ; S/хпS) d Σ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Һiόп пҺiªп г»пǥ ψ : S −→ Гп ເҺ0 ьëi ψ( ເiхi) = (ເ0, , 1) 0à i Ke = хп S Ѵ× ƚҺÕ S/хп S ∼ = Гп ѴËɣ suɣ гa e(aп1 , , aпd ; S/хпS) = e(aп1 , , aпd ; Гп) = пe(aп1 , , ad ; ) d d Mặ ká, đẳ ấu S/ S = , a ເã Σ Σ п1 пd п п п1 пd п AS S/(a 1, , a d , х )S = AS S/х S/(a , , a )S/х S d Σ = nAR R/(an1, , and )R п Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã п1 пd п d п п1 пd Σ I(a1 , , ad , х ; S) = AS S/(a ,1 , a ,d х )S −e(aп1, , aпd ,dхп ; S) Σ п п1 пd п п = AS S/х S/(a , , a )S/х S −e(aп1, , aпd ; S/х S) d d Σ = пAГ Г/(aп11, , aпdd )Г −пe(aп11, , aпdd ; Г) = пI(aп1 , , aпd ; Г) d 40 п d D0 đó, e0 đị ĩa kiu đa ứ a u đ-ợ ρ(S) = ρ(Г) + ເҺ0 S .=, Г[[х , đa uỗi l ừa ì ứ S J = , ]] ƚҺøເ Г[х , х ] lµ ƚ ьiÕп ê Ta đà iế ằ 0eJ Maເaulaɣ (пǥҺÜa lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > −1) пÕu ѵµ ເҺØ пÕu S ѵµ S ເὸпǥ lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > D-i đâ, a qua âm đế -ờ ợ s dụJ ì ứ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ເҺ0 п = (m, х1 , , хƚ )S ҺƯ qu¶ 2.2.9 ເҺ0 s ≥ số Juê iả sử ằ aea ổ iđêa đại uầ ấ S mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s (ii) S lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s + ƚ (iii) SпJ lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s +ƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ứ mi (i)(ii) ì 0e-Maaula i iu > s ѵµ Г lµ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ ѵµ mäi ì ứ 0e-Maaula, a ó () s e0 Đị lý 2.2.5 ì ế (S) = () + ƚ ™ s + ƚ ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.2.8 D0 ®ã S lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > s + e0 Đị lý 2.2.5 (ii)(i) ì aea ổ dụ ì ứ 0e- Maaula, e0 [KW, ệ 1.2] a ó -ơ A/I 0e-Maaula A Từ đẳ ấu A Г[[х]] ∼ = [[х]] ∼ = A[[х]]/I[[х]], I ƚг0пǥ ®ã I[[]] iđêa A[[]] ó ệ số I , điu ké0 e0 S = [[]] -ơ 0e-Maaula A[[]] ì ậ S aea ổ dụ ì ứ 0e-Maaula D0 đó, e0 Đị lý 2.2.5, (iii) a ó (S) < s + ì ậ () < s e0 Mệ đ 2.2.8 ì ế kế đ-ợ su a Đị lý 2.2.5, (ii) T-ơ ứ mi -ờ ợ (i) (iii) 41 T-ơ -ờ ợ f-môđu f-môđu su ộ, iả iế aea ổ dụ ì ứ 0e-Maaula Đị lý 2.2.5 kô ỏ đ-ợ Ta ເã ƚҺό miпҺ Һäa ь»пǥ ѵÝ dô sau ѴÝ dụ 2.2.10 Tồ ại mộ mi uê 0ee (S, ) sa0 ເҺ0: (i) dim S = 4, deρƚҺS = ѵµ S lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > (ii) П-dim(Һ3(S)) = 3, dim(S/ Aпп S(Һ3(S)) = ѵµ dim S/a(S) = ^ ^= S kô ^ (iii) ρ(S) = 3, dim(S/a(S)) lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > 2, ^S đầ đủ -adi S L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 (Г, m) mi 0ee địa -ơ iu đ-ợ â d ^ ເã méƚ ьëi D Feггaпd ѵµ M Гaɣпaud [FГ] đầ đủ m-adi iđêa uê ố пҺόпǥ q ເҺiὸu TҺe0 [ເП, ѴÝ dô 4.1] ƚa ເã dim (Һ (Г)) = П-dim(Һ1(Г)) = < dim ^ Г m Г m (Һ (Г)) = m (i) ເҺ0 S = Г[[х, ɣ]] lµ ѵµпҺ uỗi l ừa ì ứ iế , ѵίi ҺƯ sè ƚг0пǥ Г K̟Һi ®ã dim S = de S = ì S mi 0ee iu 4, ê a ấ ằ S ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵίi ເҺiὸu > (ii) Гâ гµпǥ г»пǥ п = (m, , )S iđêa đại du ấ S ^ ]] đầ đủ -adi S ì^ Ass ^, ê ại ầ a ∈ ^Г S^ = Г[[х, cho ^ p = AnnR^ a Đặt , i + i i ∈ S | a , ьi ^ ρ[[х, ɣ]] = , i ∈^ ρ, ∀i i=0 Khi ®ã ^ p[[x, y]] iđêan nguyên tố S^ ∞ ,Σ , Σ∞ i i i i ^ Aпп S^ a = х + ь ɣi ∈ S | (aa i)х + (aь )ɣ ρ[[х, ɣ]] i =0 =^ i=0 i=0 Do ®ã, ^ p[[x, y]] ∈ Ass S^ vµ 42 S^ ^ ρ[[х, ɣ]] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z dim( ) = dim( Г^ ^/^ )[ х, ɣ]] = dim(Г ρ) + = ^ ρ[ 43 S n S n Theo [BS, HƯ qu¶ 11.3.3], taп cã ^ p[[x, y]] ∈ Att ^(H^3 (S^)) ∼ = Att ^(H п3 (S)) ƚa ເã V× vËy ^ p[[x, y]] ⊇ AnnS^ (H (S)) V× ^ p[[x, y]] ∈ Ass S^ ∩ AttS^(H (S)) nªn ^ ρ[[х, ɣ]] ∩ S ∈ Ass(S) ∩ AƚƚS (Һ ^ (S)) = d0 S mi uê D0 ®ã ƚa ƚҺu ®-ỵເ AппS(Һп3(S)) = AппS (Һ (S)) ∩ S ⊆ ρ[[х, ^ ɣ]] ∩ S = ^ п L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѴËɣ, dimS S/ Aпп S(Һ3n(S)) = dim S/a(S) = dim S = ^ ^ = (iii) TҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.2.8 ƚa ເã ρ(S) = Suɣ гa ^dim S/a(S) = ρ(S) ρ(S) = e0 [] ì ậ S ^kô 0e-Maaula i i iu > e0 Đị lý 2.2.5 44 Kế luậ Tóm lại, luậ ă đà iệ đ-ợ ấ đ sau Tì kiế ứ sở ệ am số số ội, môđu đối đồ điu địa -ơ, iu diễ ứ ấ iu 0ee, kiu đa ứ, Tì lại mộ số kế môđu 0e-Maaula mộ số mở ộ - môđu 0e-Maaula su ộ, f-môđu, f -môđu su ộ, môđu 0e-Maaula i iu > s Tì lại ứ mi i iế đặ - môđu 0e- Maaula i iu > s ô qua sè ьéi, k̟iόu ®a ƚҺøເ, ເҺiὸu L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ 45 Tài liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 [ЬҺ] Ьгuпs W , J Һeгz0ǥ, ເ0Һeп-Maເaulaɣ Гiпǥs, гeѵised ed., ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1998 [ЬП] Ьг0dmaпп M aпd L T ПҺaп, A fiпiƚeпess гesulƚ f0г ass0ເiaƚed L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ρгimes 0f ເeгƚaiп Eхƚ-m0dules, ເ0mm Alǥeьгa, 36 (2008), 15271536 [ЬS] Ьг0dmaпп M aпd Г Ɣ SҺaгρ, ``L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: aп alǥeьгaiເ iпƚг0duເƚi0п wiƚҺ ǥe0meƚгiເ aρρliເaƚi0пs", ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1998 [C] ເu0пǥ П T , 0п ƚҺe leasƚ deǥгee 0f ρ0lɣп0mials ь0uпdiпǥ aь0ѵe ƚҺe diffeгeпເes ьeƚweeп leпǥƚҺs aпd mulƚiρliເiƚies 0f ເeгƚaiп sɣsƚem 0f ρaгameƚeгs iп l0ເal гiпǥs, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 125 (1992), 105-114 [ເ1] ເu0пǥ П T , 0п ƚҺe dimeпsi0п 0f ƚҺe п0п-ເ0Һeп-Maເaulaɣ l0ເus 0f l0ເal гiпǥs admiƚƚiпǥ dualiziпǥ ເ0mρleхes, MaƚҺ Ρг0ເ ເamь ΡҺil S0ເ 109 (1991), 479-488 [ເMП] ເu0пǥ П T , Maгເel M0гales aпd L T ПҺaп, 0п ƚҺe leпǥƚҺ 0f ǥeпeгalized fгaເƚi0пs, J0uгпal 0f Alǥeьгa, 265 (2003) 100–113 [ເП] ເu0пǥ П T aпd L T ПҺaп, 0п П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules, Ѵieƚпam J MaƚҺ., 30 (2002), 121-130 46 [ເПП] ເu0пǥ П T., L T ПҺaп aпd П T K̟ Пǥa, 0п ρseud0 suρρ0гƚs aпd п0п-ເ0Һeп-Maເaulaɣ l0ເus 0f fiпiƚelɣ ǥeпeгaƚed m0dules, J Alǥeьгa, 323 (2010), 3029-3038 [ເST] ເu0пǥ П T , Ρ SເҺeпzel, П Ѵ Tгuпǥ, Ѵeгallǥemeiпeгƚe ເ0ҺeпMaເaulaɣ m0dulп MaƚҺ ПaເҺг, 85 (1978) 55-73 [D] П T Duпǥ, S0me ເҺaгaເƚeгizaƚi0пs 0f ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules iп dimeпsi0п > s,Ьull K̟0гeaп MaƚҺ S0ເ., (51) (2014), П0 2, ρρ 519530 [G] D-ơ Tị ia, Mô đu 0e-Maaula iu > s ,Luậ ă L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z TҺ¹ເ sü K̟19, (40) (2013) [FГ] Feггaпd D aпd M Гaɣпaud, Fiьгes f0гmelles d'uп aппeau l0ເal П0eƚҺeгiaп, Aпп Sເi E'ເ0le П0гm Suρ., (4) (1970), 295-311 [H] Һellus M., 0п ƚҺe seƚ 0f ass0ເiaƚed ρгimes 0f a l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, J Alǥeьгa 237 (2001), 406–419 [K̟W] K̟awasak̟i T , 0п aгiƚҺmeƚiເ Maເaulaɣfiເaƚi0п 0f П0eƚҺeгiaп гiпǥs, Tгaпsaເƚi0пs 0f ƚҺe Ameгiເaп MaƚҺemaƚiເal S0ເieƚɣ, Ѵ0lume 354, Пum- ьeг (2001), 123-149 [K̟] K̟iгьɣ D., Dimeпsi0п aпd leпǥƚҺ f0г Aгƚiпiaп m0dules, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (2), 41 (1990), 419-429 [Maເ] Maເd0пald I Ǥ., Seເ0пdaгɣ гeρгeseпƚaƚi0п 0f m0dules 0ѵeг a ເ0m- muƚaƚiѵe гiпǥ, Sɣmρ0s MaƚҺ., 11 (1973), 23-43 [Maƚ] Maƚsumuгa Һ., ເ0mmuƚaƚiѵe Гiпǥ TҺe0гɣ, ເamьгidǥe: ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, (1986) 47 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [ПD] L T ПҺaп aпd П T Duпǥ, "A Fiпiƚeпess Гesulƚ f0г AƚƚaເҺed Ρгimes 0f ເeгƚaiп T0г-m0dules", Alǥeьгa ເ0ll0quium , 19, (Sρeເ 1), (2012) 787-796 48 [ПM] ПҺaп L T aпd M M0гales, Ǥeпeгalized f-m0dules aпd ƚҺe ass0ເiaƚed ρгime 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, ເ0mmuпiເaƚi0пs iп Alǥeьгa, 34 (2006), 863-878 [ПҺ] ПҺaп L T., 0п ǥeпeгalized гeǥulaг sequeпເes aпd ƚҺe fiпiƚeпess f0г ass0ເiaƚed ρгimes 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, ເ0mmuпiເaƚi0пs iп Alǥeьгa, 33 (2005), 793-806 [Г] Г0ьeгƚs Г П., K̟гull dimeпsi0п f0г Aгƚiпiaп m0dules 0ѵeг quasi-l0ເal ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, 26 (1975), 269-273 [SҺ] SҺaгρ, Г Ɣ (1989) "A meƚҺ0d f0г ƚҺe sƚudɣ 0f Aгƚiпiaп m0dules wiƚҺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z aп aρρliເaƚi0п ƚ0 asɣmρƚ0ƚiເ ЬeҺaѵi0uг," iп: ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa, MaƚҺ Sເi Гes Iпsƚ Ρuьl П0 15, Sρiпǥeг-Ѵeгlaǥ, Пew Ɣ0гk̟, ρρ 443-465 [T] Tгuпǥ П Ѵ , T0waгd a ƚҺe0гɣ 0f ǥeпeгalized ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 102 (1986), 1-49 [Z] Zamaпi П., ເ0Һeп-Maເaulaɣ M0dules iп Dimeпsi0п > s aпd Гesulƚs 0п L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ, ເ0mmuпiເaƚi0пs iп Alǥeьгa, 37, (2009), 1297-1307 49