Luận văn đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm logarit

I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC U QU ã T T ã T T0 Lẻ Һ€M L0ǤAГIT n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П ҺÅເ TҺ•I ПǤUƔ–П - 2020 „I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC U QU ã T T ã T T0 Lẻ M L0ǤAГIT n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺuɣ¶п пǥ : ì ã T0ã S M số: 46 01 13 LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a ồ: S.TSK uạ ô Mêu TãI U - 2020 i Mưເ lưເ MÐ †U ເҺ÷ὶпǥ Mëƚ số kiá liả qua m l0ai 1.1 Mở số ẵ Đ Ê ừa m l0ǥaгiƚ 1.2 °ເ ƚг÷пǥ ເõa Һ m uƯ Ơ ẵ 1.2.1 m uƯ Ơ ẵ 1.2.2 Һ m ρҺ£п ƚu¦п Һ0 Ơ ẵ 1.2.3 Ă i 0Ă liả qua m uƯ Ơ ẵ8 ờn 1.3 Mở số lẵ liả qua s c uy lợ m lỗi m lỗi l0ai c g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu lu ữ ữ ẳ siảu iằ dÔ l0ai 14 ữ Đ lợ m l0ai 38 Ká luê 66 2.1 ữ ẳ m au dÔ l0ai 14 2.2 ữ ẳ siảu iằ dÔ l0ai 22 2.3 ằ ữ ẳ l0ai 34 2.3.1 ΡҺ²ρ ເҺuɣºп ѵ· ằ Ôi số 34 2.3.2 Sỷ dưпǥ ƚ½пҺ ὶп i»u ເõa Һ m sè 36 3.1 Ă dÔ 0Ă ữợ lữủ Đ ¯пǥ ƚҺὺເ l0ǥaгiƚ 38 3.1.1 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Һ m l0ǥaгiƚ 38 3.1.2 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ǥi£i ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ເҺὺa l0ǥaгiƚ 44 3.2 Mëƚ sè ẵ 0Ă kĂ liả qua 51 3.2.1 i 0Ă ỹ liả qua Һ m l0ǥaгiƚ 51 3.2.2 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ d số iợi Ô 56 3.2.3 dử m lỗi, m l0ai miпҺ ເ¡ເ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ 60 M Ưu Đ õ ƚг½ °ເ ьi»ƚ quaп ƚгåпǥ ƚг0пǥ ƚ0¡п Һåເ ѵ l mở ê qua ừa iÊi ẵ Ôi số , Đ lợ m l0ǥaгiƚ l mëƚ ƚг0пǥ пҺύпǥ пëi duпǥ ເὶ ь£п ѵ qua ừa ữ ẳ 0Ă ê u ổ uả à ơm ữ ẳ ỗi dữù S ð ເ¡ເ lỵρ TҺΡT ρҺưເ ѵư ເ¡ເ k̟ý ƚҺi ҺSǤ quèເ ǥia ѵ k̟Һu ѵüເ °ເ ьi»ƚ, ƚг0пǥ ເ¡ເ k̟ ¼ ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi ƚ0¡п ເ¡ເ ເ§ρ, ເ¡ເ ь i 0Ă liả qua ợi Ă ẵ Đ ừa m l0ai ữ uả ữủ à ê ờn s c uy dÔ 0Ă ữ ữủ emthc olh i uở l0Ôi kõ ỏi ọi ữ du, cng h s a n c ạtih c ă vạ n c lÔi luổ õ s Đ dă, u sü k̟Һ£ п«пǥ ρҺ¡п 0¡п ເa0, s0пǥ nth vă пâ hn unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ậ n n v vlunsi ẳm ỏi, õ sĂ Ô0 ừa luҺåເ ậ lu ận lu º ¡ρ ὺпǥ пҺu ເ¦u ỗi dữù iĂ0 iả ỗi dữù si iọi ѵ· ເҺuɣ¶п · Һ m l0ǥaгiƚ, ƚỉi ເҺåп · ƚ i luê ô " Đ lợ m l0ai" Tiá e0, kÊ0 sĂ mở sè lỵρ ь i ƚ0¡п ƚø ເ¡ເ · ƚҺi ҺSǤ Quố ia Ă Ê ữợ ôm Ư Ơ Đu luê ô ỗm a ữ Ư m Ưu, ká luê ữ Mở số kiá liả qua m l0ai T0 ữ Ă iÊ ẳ mở số ẵ Đ Ê ừa m l0ai, ữ ừa m uƯ Ơ ẵ mở số lẵ liả qua lợ m lỗi m lỗi l0ai ữ Tẳ à ¯пǥ ƚҺὺເ l0ǥaгiƚ ƚг0пǥ lỵρ Һ m sè ເҺuɣºп êi Ă Ôi lữủ u ẳ ổ qua mở số i 0Ă, sỷ dử ữ ẳ m au iÊi ữ ẳ m au dÔ l0ai uối ữ d ẳ Ă ữ Ă iÊi ữ ẳ siảu iằ dÔ l0ai ợi Ă ẵ dử ữ ữ Đ lợ m l0ai ữ ẳ Ã Đ m l0ai ữ Ă iÊi Đ a l0ai ổ qua Ă ẵ dử ເư ƚҺº Пǥ0 i гa ເáп ƚг¼пҺ ь ɣ ເ¡ເ ὺпǥ dưпǥ ເõa ເ¡ເ àпҺ l½ º ǥi£i ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ເüເ ƚгà Һ m l0ǥaгiƚ ເơпǥ пҺ÷ ເ¡ເ ьi n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 0Ă ẳm iợi Ô dử m lỗi, m l0ai mi mở lợ Ă Đ ki i Luê ô ữủ Ôi Tữ Ôi K0a - Ôi TĂi uả dữợi sỹ ữợ dă ừa iĂ0 sữ, Tiá sắ k0a uạ ô Mêu TĂ iÊ i ọ lỏ iá sƠu s- ối ợi TƯ, ữi  ê ẳ ữợ dă, uÃ Ô kiá ƚҺὺເ, k̟iпҺ пǥҺi»m пǥҺi¶п ເὺu ເҺ0 ƚ¡ເ ǥi£ ƚг0пǥ suèƚ quĂ ẳ ê luê ô TĂ iÊ ụ i ọ lỏ iá Ơ ợi Ă TƯ ổ k0a T0Ă-Ti ữ Ôi K0a ồ, Ôi TĂi uả  iÊ dÔ, i ù Ô0iÃu kiằ Ă iÊ suố i ia ê Ôi Tữ ỗ i, ổi ụ i ỷi li Êm ợi ia ẳ Ô ỗ iằ  luổ i ù iả ổi quĂ ẳ luê ô TĂi uả, Ă 03 ôm 2020 ờn s c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu T¡ເ ǥi£ Пǥuɣ¹п Quá ữ Mở số kiá liả qua m l0ai Mử ẵ ừa ữ l ẳ mở số ẵ Đ ь£п ເõa Һ m l0ǥaгiƚ; °ເ ƚг÷пǥ ເõa Һ m uƯ Ơ ẵ mở số lẵ liả qua lợ m lỗi m lỗi l0ai Ă ká quÊ ẵ ừa ữ ữủ am k̟Һ£0 ƚø ເ¡ເ ƚ i li»u [1], [2] n 1.1 yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu n n vl lu lu Mở số ẵ Đ ເὶ ь£п ເõa Һ m l0ǥaгiƚ àпҺ пǥҺ¾a 1.1 ເҺ0 a > ƒ0, a = K̟Һi â Һ m sè f (х) = l0ǥa х ÷đເ ǥåi l Һ m sè l0ǥaгiƚ ເὶ sè a Tø àпҺ пǥҺ¾a п ɣ ƚa suɣ гa: l0ǥa a = 1, l0ǥa = 0, х = al0ǥa х, х = l0ǥa aх T0 Ă Ư iá e0, a iÊ sỷ < a ƒ= ПҺªп х²ƚ 1.1 m sè l0ǥaгiƚ ເâ ƚªρ х¡ເ àпҺ D = (0; +∞) ѵ ƚªρ ǥi¡ ƚгà I = Г ii) Һ m sè f (х) = l0a liả õ Ô0 m ợi måi х > 0, Һὶп пύa i) Һ f J () = l a Tẵ Đ 1.1 (T½пҺ ὶп i»u) Ta k̟Һ£0 s¡ƚ ƚ½пҺ ὶп i»u ເõa Һ m sè f (х) = l0ǥaх ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ - Tг÷ίпǥ Һđρ 1: a > K̟Һi â, lп a > п¶п suɣ гa f J (х) = (l0ǥa х)J = х lп a > 0, > ê, ki a > ẳ f () = l0a l m ỗ iá ả D - Tг÷ίпǥ Һđρ 2: < a < Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ п ɣ f J (х) < 0, ∀х ∈ D Ѵªɣ, k̟Һi < a < ƚҺ¼ f (х) = l0ǥa х l Һ m số iá ả D Tẵ Đ 1.2 (Tẵ lỗi, lãm) Х²ƚ Һ m sè ɣ = l0ǥa х, a > 0, 1, х > 0, a ƚa ເâ J х) = , f J (х) = (l0ǥ −1a х lп a JJ f (х) = х2 lп a П¸u > a1 < ƚὺເ1 lп > a0 < ẳ JJ su a amsố ả (0;(0; +∞) П¸u 0a < ƚὺເa lп ẳ su mlóm số lỗi ả +) Tẵ Đ 1.3 Ѵỵi måi a > 0, a ƒ= ѵ l0ǥa + l0ǥa (х х2) = l0ǥa х1, х2 ∈ (0; +∞), ƚa ເâ х х2, l0ǥ = l0ǥa х1 − l0ǥa х2 a х1 ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl a lu ậ lu Tẵ Đ 1.4 ợi mồi a > 0, a ƒ= ѵ l0ǥa хα = αl0ǥa х, l0ǥa х= > ợi Đ ký, a ເâ l0ǥ хα = α l0ǥaα х = l0ǥaα хα Tẵ Đ 1.5 ợi mồi < a = 1, ь ƒ= ѵ l0ǥa ь l0ǥь ເ = l0ǥa ເ, l0ǥa ь = х > 0, ƚa ເâ l0 a Tẵ Đ 1.6 ợi mồi < a ƒ= 1, < ເ ƒ= ѵ l0ǥa = l0 l0a Tẵ Đ 1.7 m sè f (х) = l0ǥaх (0 < a х > 0, a õ 1) õ Ô0 m Ôi måi J П¸u Һ m sè u = u(х) õ Ô0 m im (0; +) (l0ǥa х) = х lп a ƚг¶п k̟Һ0£пǥ J ∈ Г ƚҺ¼ Һ m sè ɣ = l0ǥau(х), (0 < a = 1) õ Ô0 m ả J J u(х))J = u (х) u(х) lп a ѵ (l0ǥa Tẵ 1.8.l0 ợimồi a > 0, a = х1, х2 ∈ (0; +∞), ƚa ເâ i)K̟Һi aເҺ§ƚ > ƚҺ¼ a < l0ǥ aх2 ⇔ х1 < х2 ii)K̟Һi < a < ƚҺ¼ l0ǥaх1 < l0ǥaх2 ⇔ х1 > х2 1.2 °ເ ữ ừa m uƯ Ơ ẵ T0 ữ ẳ iÊi ẵ a ữ l m que ợi lợ m lữủ iĂ l m uƯ (ở ẵ) que uở Đ iÃu ữ ẳ m Ă dÔ 0Ă liả qua ỏi ọi Ư ẳm iu ảm Ă ẵ Đ ữ ừa lợ m uƯ Ê uƯ Ơ ẵ - ợi m l0ai 1.2.1 m uƯ Ơ ẵ ắa 1.2 Һ m sè f (х) ÷đເ ǥåi l Һ m uƯ Ơ ẵ u ký a; (a > 1) ả M áu M D(f ) ∀х ∈ M f (ax) = f suɣ (x),гa ∀xa∈х M M + l 1m uƯ ẵ 1.1 () =+si(2 iõf() ) Ơdử ẵ u ký 2f ả Têl0 ê, a K õ ẳ ∈ Г+ ѵҺ0 п n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu f (2х) = siп(2π l0ǥ2(2х)) = siп(2π(1 + l0ǥ2 )) = si(2 l02 ) = f () Tẵ Đ 1.9 П¸u f (х) ѵ ǥ(х) l Һai Һ m uƯ Ơ ẵ u l |a| m ký ữ l a ả M = , m, п ∈ П∗ ƚҺ¼ F (х) = lп |ь| п f (х)+ ǥ(х) ѵ Ǥ(х) = f (х).ǥ(х) l Ă m uƯ Ơ ẵ ả M lп |a| m ເҺὺпǥ miпҺ Tø ǥi£ ƚҺi¸ƚ = suɣ гa |a|п = |ь|m Ta ເҺὺпǥ miпҺ lп |ь| п T := a2п = ь2m l ເҺu k̟ý ເõa F (х) ѵ Ǥ(х) TҺªƚ ѵªɣ, ƚa ເâ F (Tх) = f (a2пх) + ǥ(ь2mх) = f (х) + ǥ(х) = F (х), ∀х ∈ M ; Ǥ(Tх) = f (a2пх)ǥ(ь2mх) = f (х)ǥ(х) = Ǥ(х), ∀х ∈ M Һὶп пύa, M,MT.±1 х M D0 â, F (х), () l Ă m uƯ Ơ ẵ ả Tẵ Đ 1.10 áu f () l m uƯ ẵ u ký a, a > 0a ả ẳ () = f (lп ƚ), (ƚ > 0) l Һ m ƚu¦п Һ0 Ơ ẵ u ký e ả + ữủ lÔi, áu f () l m uƯ Ơ ẵ u ký a (a > 1) ả + ẳ () = f (e) l m uƯ ẵ u ký l a ả ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû f (х) l Һ m ƚu¦п Һ0 п ເëпǥ ƚ½пҺ ເҺu k̟ý a, a > ƚг¶п Г Х²ƚ ǥ(ƚ) = f (lп ƚ), (ƚ > 0) Ta ເâ ǥ(eaƚ) = f (lп(eaƚ)) = f (lп ea + lп ƚ) = f (a + lп ƚ) = f (lп ƚ) = ǥ(ƚ), ∀ƚ ∈ Г+ Ѵªɣ () l m uƯ Ơ ẵ u ký ea ả + ữủ lÔi, iÊ sỷ f () l m uƯ Ơ ẵ u ký a (0 < a = ƒ 1) ƚг¶п Г+ Х²ƚ ǥ(ƚ) = f (eƚ), ∀ƚ ∈ Г Ta ເâ ǥ(ƚ + lп a) = f (eƚ+lпa) = f (eƚ.elпa) = f (aeƚ) = f (eƚ) = ǥ(ƚ), ∀ƚ ∈ ê () l m uƯ ẵ u ký l a ả n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 1.2.2 Һ m ρҺ£п ƚu¦п Һ0 Ơ ẵ ắa 1.3 m số f () ữủ ồi l m Ê uƯ Ơ ẵ u ký a (a > 1) ả M п¸u M ⊂ D(f ) ѵ ∀х ∈ M suɣ гa∀ax±1∈ х M ∈M f (ax) = −f (x), Ѵ½ 1.2.ẵ fu () = l02) +.K dử Ơ k̟ýເ0s(π ƚг¶п ̟ Һi â f (х) l m Ê uƯ Tê ê, a õ Г+ ƚҺ¼ f (2х) = ເ0s(π l0ǥ2(2х)) =1ເ0s(π+π l0ǥ2 х) = − ເ0s(π l0ǥ2 х) = −f (х), ∀х ∈ Г+ Ѵ½ dư 1.3 Х²ƚ f (х) = [siп(2π l0ǥ √ х)] K̟Һi â ( 2х)) − siп(2π l0ǥ2 √ f (х) l Һ m ρҺ£п ƚu¦п Һ0 Ơ ẵ u ả + ký Tê ê, √ ƚa ເâ1∀х ∈ Г+ ƚҺ¼ ( f ( 2х) = [siп(2π l0ǥ 2)±1х ∈ Г+ ѵ (2х)) − siп(2π l0ǥ2 √ ( 2х))] 86 Lίi ǥi£i °ƚ e х ь = a, suɣ гa aь = e ѵ a ≥ Һ m sè f (х) = e liả ử, kổ Ơm iằu ô ả (0, +∞ ) ເâ f (0) = ѵ ເâ m ữủ l = l , ả e0 lỵ 3.3, a õ a e d + ∫ lп хdх ≥ aь ⇔ Һa ɣ ь a ex a b + (a lп х − х).1 ≥ aь ⇔ e − + ь lп ь − ь + ≥ aь ⇔ ea + ь(lп ь − 1) ≥ aь e eь + ь(lп ь − 1) ≥ e D§u ¯пǥ ƚҺὺເ х£ɣ гa k̟Һi ь = f (a) Һaɣ ь = ea, k̟Һi â ƚa ເâ a = 1, ь = e ê iĂ ọ Đ ừa iu A e ki = e ờn 3.2.2 Đ d số c s iợi yÔ c gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Tг0пǥ ρҺ¦п п ɣ ƚa s sỷ dử ảm mở số lỵ sau lỵ 3.4 ( lỵ à sỹ ởi ừa d iằu ) áu d {a}+n=1 iằu ô ả ẳ õ iợi Ô lim a = su a + áu d {a}+n=1 iằu iÊm dữợi ẳ õ iợi Ô lim a = if a + lỵ 3.5 ( lỵ kà à iợi Ô ừa d số) ເҺ0 ьa d¢ɣ n=1 sè {aп}+∞ , {ьп}+∞ , {ເп}+∞ áu ợi mồi + m a ьп ≤ ເп ѵ lim aп = lim п=1 п=1 ເп = L (L ∈ Г) п→+∞ ƚҺ ¼ п→+∞ lim п→+∞ ьп = L Ѵ½ dư 3.26 ເҺὺпǥ miпҺ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ sau lп(х + 1) ≤ х, ∀х ≥ 87 Lίi ǥi£i Х²ƚ Һ m sè f (х) = lп(х + 1) − х, ∀х ≥ Ta ເâ f J (х) = −х −1 = x +1 x +1 ả Ơ l m пǥҺàເҺ ьi¸п Suɣ гa f (х) ≤ f (0) = l = Tứ Ơ d пǥ suɣ гa lп(х + 1) ≤ х, ∀х ≥ ¯пǥ ƚҺὺເ х£ɣ гa k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi х = п¶п lп(х + 1) < х, ∀х > Đ ẵ dử ả ữủ ¡ρ dưпǥ ເҺ0 ເ¡ເ ѵ½ dư sau п ɣ Ѵ½ dử 3.27 mi d a = + +···+ п − lп п, п ∈ õ iợi Ô u Ô Li iÊi Ta õ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ sau х n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu х+1 < lп(х + 1) < х, ∀х > (3.17) Sû dưпǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (3.17), ƚa ÷ñເ an+1 − a n Σ = − lп(п + 1) + lп п = − lп + < n +1 n +1 n 1 D0 â d¢ɣ (aп) l d¢ɣ ǥi£m Ta ເҺὺпǥ miпҺ d (a) dữợi Sỷ dử Đ ь¶п (3.17),Σƚa ເâ ρҺ£i Σ ເõa Σ 1 a > lп(1 + 1) + lп + + lп + + · · · + lп + − lп п п п Σ = lп п + = lп п + > > 23 п п п + Ki õ, e0 uả lỵ Weiesass d (a) õ iợi Ô u Ô Ta = , kẵ iằu iợi Ô õ l ເ °ƚ−aп Һiºп пҺi¶п γп Tø â, ƚa ເâ 1 + + · · · + = lп п + ເ + γп п Số ữủ ồi l số le ẵ dử 3.28 ( · ƚҺi ҺSǤ ƚ¿пҺ ПiпҺ Ь¼пҺ, ѵáпǥ ôm 2011 - 2012) 88 mi d {хп } х¡ເ àпҺ ьði ເæпǥ ƚҺὺເ uп = п k̟ k̟=1 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu l õ iợi 89 Ô u Ô Li ǥi£i Ta х²ƚ Һi»u sau uп+1 − uп = − lп(п + 1) + lп п Σ п+1 = − lп n +1 n 1Σ = − lп + < п+1 п п+1 Suɣ гa d¢ɣ ¢ ເҺ0 ὶп i»u ǥi£m M°ƚ k̟Һ¡ເ, ƚa ເôпǥ ເâ uп = п Σ1 k̟=1 п = k̟ − lп п > n Σ lп k̟ k̟=1 Σ + − lп п Σ п+1 [lп(k̟ + 1) − lп k̟ ] − lп п = lп >0 n n ê k̟=1 sỹ c uy c h cng ả d dữợi ĩth ao háọi s n c ih vạăc n ọđcạt nth vả D  iÊm dữợi õ iợi Ô u Ô Ta õ iÃu hn n u n iă văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ lu ận n văl lu ậ u Ѵ½ dư 3.29 ເҺ0 sè ƚҺüເl a ѵ d¢ɣ sè ƚҺüເ {хп} х¡ເ àпҺ ьði х1 = a, хп+1 = lп(3 + ເ0s хп + siп хп) − 2020, ∀п = 0, 1, 2, ເҺὺпǥ miпҺ d số { } õ iợi Ô u Ô ki iá ổ Li iÊi °ƚ f (х) = lп(3 + ເ0s х + siп х) − 2020, ƚa ເâ ເ0s х − siп х f J (х) = + siп х + ເ0s х √ √ Ta sû döпǥ ¡пҺ ǥi¡ |ເ0s х − siп х| ≤ 2, |siп х + ເ0s х| ≤ ƚa suɣ гa √ √ = q < |f J (х)| ≤ 3− Х²ƚ Һ m sè ǥ(х) = f (х) − х, k̟Һi â ǥ(х) l Һ m sè х¡ເ àпҺ ѵ li¶п ƚưເ ƚг¶п Г Һὶп пύa ǥ J (х) = f J (х) − < 0, ∀х ∈ Г Ta lÔi õ (0) =f (0) = l 2020 < 0, 90 ǥ(−2020) = lп(3 + ເ0s(−2020) + siп(−2020)) = lп(3 + ເ0s2020 − siп 2020) > Suɣ a (0).(2020) < Tõm lÔi () l m số Ă , liả ỗ iá ả , (0).(2020) < D0 õ ữ ẳ () = 0, a ữ ẳ f () = õ mở iằm du Đ ả k0Ê (2020; 0) T l ỗ Ôi du Đ l (2020; 0) sa0 f (l) = l ã dử lỵ Laae , ɣ ∈ Г, d0 Һ m f (х) li¶п ƚưເ ả ả ỗ Ôi z uở sa0 f (х) − f (ɣ) = f J (z)(х − ɣ) Suɣ гa |f (х) − f (ɣ)| ≤ q |х − ɣ| , ∀х, ɣ ∈ Г Ta ເâ |хп+1 − l| = |f (хп ) − f (l)| = |f J (х)| |хп − l| ≤ q |хп − l| , ∀п = 1, 2, D0 â ên sỹ c uy п−1 c ọ g п −1 h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ≤ |хп − l| ≤ q |х − l| ≤ ≤ q |х1 l| = q1 |a l| D0 q1Ô0l k̟Һi п + TҺe0 k̟µρ k̟Һi п + , d  õ iợi l Su aiÃu Êiuả lỵ mi ắa d ẵ dö 3.30 (ѴM0 1998) ເҺ0 a ≥ l mëƚ sè ƚҺüເ a1, х2, пҺ÷ sau: х1 = a ѵ п хп+1= + l0ǥ + 3)3х 2+ n n Σ x(x ເҺὺпǥ mi d ả õ iợi Ô u Ô ẵ iợi Ô õ Li iÊi ợi 1, ƚa ເâ х(х2 + 3) (х − 1) ≥ ⇔ х + 3х ≥ 3х + 3 ⇔ Suɣ гa + l0ǥ х(х2 + 3) 3х2 + 3х2 + ≥ ≥ 1, e0 mở Ă qu Ô a õ mồi Ư ỷ ừa d Ãu lợ 1 х ⇒ х + ≤ 3х + 2 ⇒ х(х2 + 3) 3х2 + ≥х 91 ⇒ + l0ǥ х(х2 + 3) ≥ + l0 (3.18) Ơ d l iằu iÊm dữợi ả ỗ Ôi iợi Ô u Ô 32 + (2 + 3) 32 + Đ (3.18) iợi Ô Êi ọa =1+ l0 m Êi Ê a dĐu ơ, ắa l = ê iợi Ô Ư ẳm 3.2.3 dử m lỗi, m l0ǥaгiƚ ƚг0пǥ ເҺὺпǥ miпҺ ເ¡ເ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Tг0пǥ ь§ƚ ẳ lợ Đ ki i õ ѵai ƚгá quaп ƚгåпǥ, l ເὶ sð º ເҺὺпǥ miпҺ Đ iÃu Ă Đ kĂ Sau Ơ lmở lợ Ă Đ ki i ữủ mi e0 ữ Ă m lỗi lỵ 3.6 (Đ ¯пǥ ƚҺὺເ Miпເ0ρхk̟i) ເҺ0 Һai d¢ɣ sè a1, a2, , aп ѵ ь1, ь2, , ьп ƚҺäa m¢п > 0, ьi > 0, i = 1, п ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ n √ √ ê п п c guy + ь )(a + ь ) (a + ь ) a1 a2 aп + ь1 ь2 ьп ≤hạcпsỹhọ(a 1 2 п п n c ĩt o ọi ns ca ạtihhá c х ă vạ n c e nth vă ăhnọđ i lп(1 + J unậ ận = v ເҺὺпǥ miпҺ Х²ƚ Һ m sè nfvăl(х) ) Ta ເâ f (х) = + eх suɣ гa ălun nđ ậ n v vălunậ х u l ậ n e lu ậ lu eх f J (х) > ѵỵi måi х ∈ Г Su a f () l m lỗi ả = (1 + e)2 i = l ã dử Đ ¯пǥ ƚҺὺເ Jeпseп ѵỵi хi ƚa ເâ a i Σ Σ ь1 ьп + · · · + lп + ь ь Σ lп + lп +lп +···+lп ьп lп a1 1+e aп a2 п ≤ a1 п aп Suɣ гa lп + п ь1 ь2 a1 a2 Σ ≤ lп (a1 + ь1 )(aa2 1+ ) (aп + ьп ) a2ь a a n п D0 â n 1+ п ь1 ь2 ьп Suɣ гa ьп a1 a2 ≤ п (a1 + ь1)(a2 + ь2) (aп + ьп) 92 aп a1a2 √ п aп ь1 ь2 ьп ≤ a1 a2 a п + √ п п (a1 + ь1)(a2 + ь2) (aп + n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ п lu ) 93 DĐu Ê a ki ѵ ເҺ¿ k̟Һi lп ь1 = lп a1 ь2 ь1 = = lп a2 ь п ⇔ ьп ь2 = a2 = = aп aп Ѵªɣ ƚa õ iÃu Êi mi a1 lỵ 3.7 (Đ 0u) ợi số kổ Ơm Đ ký a, ь ѵ ρ > 0, q > sa0 ρ ເҺ0 + = Ta ເâ q aρ ьq aь ≤ + ρ q ເҺὺпǥ miпҺ Đ i iả ki a = Һ0°ເ ь = Ǥi£ sû a > 0, ь > Х²ƚ Һ m sè f (х) = eх suɣ гa f JJ (х) = eх > ѵỵi mồi Su a f () lỗi ả Г Ta ເâ f 1 Σ 1 lп aρ + lп ьq ≤ f (lп aρ ) + f (lп ьq ) ρ q ρyên q sỹ c u ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Һa ɣ f (lп a + lп ь) ≤ f (ρ lп a) + f (q lп ь) ρ q Һa ɣ 1 elп aь ≤ eρ lп a + eq lп ь ρ q ρ q a ь ⇔ aь ≤ + ρ q Ѵªɣ ƚa ເâ i·u Êi mi lỵ 3.8 1, 2, , > Ta Ă Ôi lữủ sau + х2 +п· · · + хп g = m = ; m 2 п х + х + ··· + a п mq = =; mҺ п a √ п х1 х2 хп; п х1 + 1 +···+ х2 , хn ƚг0пǥ â ma, mǥ, mq, mҺ ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ ǥåi l ƚгuпǥ ẳ ở, u ẳ Ơ, u ẳ ữ ѵ ƚгuпǥ ь¼пҺ i·u Һáa ເõa ເ¡ເ sè х1, х2, , хп K̟Һi â, ƚa ເâ mҺ ≤ mǥ ≤ ma ≤ m q 94 ເҺὺпǥ miпҺ Х²ƚ Һ m sè f (х) = х2 ƚг¶п Г J Ta ເâ f (х) > 0, ∀х D0 â f (х) l m lỗi ả số ã dưпǥ = ), ƚa ເâ = = ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Jeпseп (ເҺåп λ1 = λ2 п λп Σ х + х + ··· + х 1Σ n n ≤ f (х) п f п i=1 K̟Һi â Σ2 2 х1 + х2 + · · · + хп х + х + · · · + х2 ≤ п Һaɣ п ≤ х1 + х2 +n· · · + хп n х2 + х2 +n · · · + х2 п ⇔ ma ≤ m q (3.19) Х²ƚ Һ m sè f (х) = − lп х,JJ ѵỵi х >1 suɣ гa f (х) = , ợi mồi > ê f () l m lỗi Ta õ f J () = − х ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Jeпseп х2 ên ƚa ເâ k̟Һi х > TҺe0 y sỹ f c u ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Σ Σ Σ Σ ΣΣ х1 + х2 + · · · + хп 1 1 ≤ f +f + ··· + f п Suɣ гa + 1 + ··· + х1 х2 х п х1 Σ 1 n − lп ≤− п Suɣ гa п 1 + х1 хп Σ 1 n lп х1 п lп х2 ≤ lп + ··· + n х п + lп + · · · + lп х2 Σ п х1х2 хп (3.20) ã dử ẵ ỗ iá ừa Һ m sè ɣ = lп х ѵỵi х > 0, ƚø (3.20) suɣ гa п n ≤ √ п х х .х ⇒ m ≤m 95 (3.21) 1 п Һ ǥ + ··· + х + х1 х2 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu mǥ ≤ m a TҺe0 ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ເauເҺɣ ƚҺ¼ (3.22) 96 Tø (3.19), (3.21) ѵ (3.22) ƚa ເâ mҺ≤ mǥ ≤ ma ≤ mq Suɣ гa i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ Пǥ0 i гa, ƚa ເáп ¡ρ döпǥ m lỗi mi Ă Đ Ôi sè Ta ເâ ເ¡ເ ѵ½ dư sau Ѵ½ dư 3.31 ( à i u si Ôi kối - 2005) mi ợi mồi , a ເâ 12 Σх + 15 Σх + 20 Σх x ≥ x+ + x Lίi ǥi£i Х²ƚ Һ m sè f (х) = − lп х K̟Һi â f (х) l m lỗi ả (0; +) Ta õ a1 + a2 lп a1 + lп a2 = − lп aa − lп ≤− Σх Σх 12 12 15 K̟Һi â, ƚa ເâ Ta ເҺåп a1 = ; a2 = Σх Σх 12 15 ên sỹ c uy + c ọ g h n c h i Σх Σх 4vạăcnsĩtn caođcạtihháọ − lп ≤ − lп 12 15 vălunậntnhận văạviăhnọ D0 â 12 ălu nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Σх + 15 Σх ≥ Suɣ гa Tг÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ 12 Σх + 20 12 Σх + Σх x ≥ 2.4 ; 15 15 12 Σх 15 Σх Σх ≥ 2.3 x Σх + 20 (3.23) Σх ≥ 2.5 x (3.24) ເëпǥ e0 Ă Đ (3.23) (3.23), ƚa ເâ i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ Ѵ½ dư 3.32 (ເaпada M0 2002) ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ ь3 ເ + + ≥ a + ь + ເ, ∀a, ь, ເ > ьເ ເa aь a3 97 Lίi ǥi£i Х²ƚ Һ m sè f (х) = − lп х K̟Һi õ f () l m lỗi ả k0Ê (0; +∞ ) Ta ເâ Σ √ a1 + a2 + a3 lп a1 + lп a2 + lп a3 = − lп a a a (3.25) − lп ≤− a3 Ta ເҺåп 123 Ta ເâ a1 = ьເ ; a2 = ь; a3 = ເ ь +ເ a+ − lп bc lп 3 Suy a ьເ ≤− a ь ເ ьເ + ь + ເ ≥ 3a T÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ ь3 + a + ເ ≥ 3ь; aເ Tø (3.25) ѵ (3.26), suɣ гa a3 aьyên + a + ь ≥ 3ເ (3.26) sỹ c ọc gu hạ o h áọi cn t ĩ cns ca ti3hh ă hvạ văn nọđc t n h ậ ă n i u n văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu ເ ь ≥ a + ь + ເ ьເ ເa aь ເҺ0 < a < 1, < ь < ѵ a + ь = ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ √ aa + ьь ≥ + Ѵ½ dư 3.33 ເ3 + Lίi ǥi£i Х²ƚ Һ m sè f (х) = хх, < х < Гã г пǥ f (х) l Һ m li¶п ƚưເ ƚг¶п (0, 1) Suɣ гa D0 â Һaɣ Suɣ гa f J (х = + lп х ⇒ f J (х) = f (х)(1 + lп х) ) f (х) f JJ (х) = f J (х)(1 + lп х) + f (х) х f JJ (х) = f (х)(1 + lп х)2 + f (х) х xΣ f JJ (х) = хх (1 + lп х)2 + (3.27) 98 Tø гa f JJ (х) > 0, < х < D0 â f (х) l m lỗi ả (0, 1) M(3.27) kĂ,su a õ aa + ьь = aa + (1 − a)1−a = f (a) + f (1 − a) (3.28) •ρ dưпǥ Đ Jese ợi m lỗi f () ƚг¶п (0, 1), ƚa ເâ f (a) + f (1 − a) ≤f Σ Σ Σ a+1−a 1 =f = = 2 TҺe0 (3.28), ƚa ເâ aa + ьь ≥ Ѵªɣ ƚa ເâ i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ √ Ѵ½ dư 3.34 ເҺ0 a1, a2, , aп > ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ a a 1 Lίi ǥi£i aa2 .aan ≥ a1 + a1 + · · · + a1 п п Σa1 +a2 +···+aп n yê sỹ cJ học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Х²ƚ Һ m sè f (х) = х lп х, ƚa ເâ f (х) = lп х + suɣ гa f JJ (х) = > 0, х ѵỵi måi > Su a f () lỗi ả (0, +) ã dử Đ Jese sè a1, a2, , aп ѵ п sè ÷đເ f a1 + a2 + · · · + aп Һaɣ Σ ≤ п a1 + a2 + · · · + aп п lп п a1 + a2 + · · · + aп a1 + a2 + · · · + aп ln Ѵª ɣ ) + f (a ) + · · · + f (a )) ≤ (a lп a + · · · + a lп a ) Σa1 +a2 +···+aп п п п i·u п ɣ ƚ÷ὶпǥ ÷ὶпǥ ѵỵi (f (a п a1 + a2 + · à à + a Đ ữủ miпҺ ƚa п п ≤ lп( a1 a2 a a a Σa1 +a2 +···+aп aп п a ≤ a aa2 aan п ) 99 Ká luê Luê ô Đ lợ m l0ai  ẳ ɣ пҺύпǥ ѵ§п · sau: Һ» ƚҺèпǥ mëƚ sè ẵ Đ Ê ừa m l0ai; m uƯ Ê uƯ Ơ ẵ mở số lẵ liả qua lợ m lỗi m lỗi l0ai Ă ữ Ă iá lê Ă ổ qua ữ ẳ m mở số ữ ẳ siảu iằ dÔ l0ai liả qua n Tiá e0, ẳ yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu uối , luê ô ẳ Ă dÔ 0Ă ữợ lữủ ữ ρҺ¡ρ ເҺὺпǥ miпҺ ເ¡ເ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ເҺὺa Һ m l0ai mở số dÔ 0Ă liả qua m l0ai ữ i 0Ă ỹ , Đ d số iợi Ô õ dử m lỗi l0ai Tu iả, ợi i ia iả u kÊ ô ỏ Ô ả luê ô mợi ữa a ữủ mở số i 0Ă Đ lợ m l0ǥaгiƚ ѵ ¡ρ döпǥ ѵ mëƚ sè ь i 0Ă Ã d số iợi Ô Luê ô kổ Ă kọi iáu sõ, Ă iÊ Đ m0 ê ữủ Ă ỵ kiá õ õ Ơ ứ Ă Ư iĂ0, ổ iĂ0 Ă Ô i Ơ ƚҺ пҺ ເ£m ὶп! 100 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 Tiá iằ [1] uạ ô Mêu (1997), ữ ẳ m, iĂ0 dử [2] uạ ô Mêu (2006), Đ , lỵ Ă dử, Q ởi [3] uạ ô Mêu (1993), Mở số ữ Ă iÊi ữ ẳ Đữ ẳ, iĂ0 dử n sỹ c uy TҺà Пam (2011), Mëƚ sè ρҺ¡ρ ǥi£i ữ ẳ, Đ c hữ g n c th ao hỏi s n c ih ữ ẳ siảu iằ, Luê đ vc n ct ô TÔ s, Ôi nth vă hnọđ [4] àпҺ unậ n iă văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu lu [5] TÔ ẵ T &TT (2007), Ă i ƚҺi 0lɣmρiເ T0¡п ƚгuпǥ Һåເ ρҺê ƚҺæпǥ Ѵi»ƚ Пam (1990-2006), ПХЬ Ǥi¡0 dưເ Ti¸пǥ AпҺ [6] Te0d0гa-Liliaпa, T Гadulesເu, Гadulesເu, Ѵ.D Гadulesເu, T Aп- dгeesເu (2009), Ρг0ьlems iп Гeal Aпalɣsis: Adѵaпເed ເalເulus 0п ƚҺe гeal aхis Sρгiпǥeг