Luận văn thạc sĩ bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt lvts vnu

ĐAI H̟0C QU0C GIA H̟À N̟®I TRƯèN̟G ĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟ - N̟GUYEN̟ TH̟± H̟0N̟G DUYÊN̟ BAT ĐAN̟G TH̟ÚC TR0N̟G LéP H̟ÀM ̟ SIÊU VIfiT Ch̟uyên̟ n̟gàn̟h̟: PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP T0ÁN̟ SƠ CAP M 60.46.01.13 ̟ ã s0: LU¾N̟ VĂN̟ TH̟AC SY K̟H̟0A H̟0C N̟GƯèI H̟ƯéN̟G DAN̟ K̟H̟0A H0C: GS TSKH NGUYEN VN M ắU H Nđi - N̟ăm̟ 2015 M ̟ n̟c ln̟c M ̟ a đau M ̟ ®t s0 tín̟h̟ ch̟at cua h̟àm̟ m̟ũ l0garit 1.1 H̟àm̟ đơn̟ đi¾u .4 1.2 H̟àm̟ l0i, lõm̟ 1.3 Tín̟h̟ đơn̟ đi¾u, tín̟h̟ l0i lõm̟ cn̟a h̟àm̟ s0 m̟ũ h̟àm̟ l0garit 1.3.1 Tín̟h̟ đơn̟ đi¾u cn̟a h̟àm̟ s0 m̟ũ h̟àm̟ l0garit 1.3.2 Tín̟h̟ l0i, lõm̟ cn̟a h̟àm̟ s0 m̟ũ h̟àm̟ l0garit .6 1.4 M̟®t s0 bat đan̟g th̟úc cő đien̟ 1.5 Vai trò cn̟a h̟àm̟ s0 m̟ũ, h̟àm̟ l0garit tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ bat đan̟g th̟úc cő đien̟ Các bat đan̟g th̟Éc tr0n̟g láp h̟àm̟ m̟ũ, h̟àm̟ l0garit 13 2.1 Bat đan̟g th̟úc h̟àm̟ s0 m̟ũ 13 2.2 Bat đan̟g th̟úc h̟àm̟ l0garit 26 M 34 ̟ ®t s0 t0án̟ áp dn̟n̟g 3.1 Các t0án̟ cn̟c tr% liên̟ quan̟ đen̟ h̟àm̟ m̟ũ h̟àm̟ l0garit 34 3.2 Bat đan̟g th̟úc siêu vi¾t tr0n̟g dãy s0 giói h̟an̟ 42 3.3 Bat đan̟g th̟úc siêu vi¾t tr0n̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟50 K̟ET LU¾N̟ 58 Tài li¾u th̟am̟ k̟h̟a0 59 M ̟ a đau Bat đan̟g th̟úc m̟®t lĩn̟h̟ vn̟c k̟h̟ó tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ t0án̟ H̟Qc ph̟ő th̟ơn̟g, s0n̟g n̟ó lai ln̟ có súc h̟ap dan̟, th̟u h̟út sn̟ tìm̟ tịi, óc sán̟g ta0 cn̟a HQ ̟ c sin̟h̟ Dan̟g t0án̟ ve bat đan̟g th̟úc th̟ưịn̟g có m̟¾t tr0n̟g k̟ỳ th̟i tuyen̟ sin̟h̟ ca0 đan̟g đai H̟Qc, th̟i HQ ̟ c sin̟h̟ gi0i h̟ay k̟ỳ th̟i 0lym̟pic Lý th̟uyet bat đan̟g th̟úc đ¾c bi¾t, t¾p ve bat đan̟g th̟úc rat ph̟0n̟g ph̟ú cn̟c k̟ỳ đa dan̟g Đ¾c bi¾t bat đan̟g th̟úc tr0n̟g lóp h̟àm̟ siêu vi¾t m̟®t ph̟an̟ ch̟un̟ đe rat h̟ay, đón̟g vai trị quan̟ TRQNG̟ tr0n̟g b0i dưõn̟g HQ ̟ c sin̟h̟ gi0i Đe góp ph̟an̟ đáp ún̟g n̟h̟u cau b0i dưõn̟g giá0 viên̟ b0i dưõn̟g HQ ̟ c sin̟h̟ gi0i ve bat đan̟g th̟úc, lu¾n̟ văn̟ "Bat đan̟g th̟úc tr0n̟g lóp hm siờu viắt" a mđt s0 bi t0ỏn bat đan̟g th̟úc tr0n̟g lóp h̟àm̟ m̟ũ l0garit, m̟®t s0 t0án̟ áp dun̟g cúa bat đan̟g th̟úc siêu vi¾t và0 vi¾c tìm̟ giá tr% lón̟ n̟h̟at, giá tr% n̟h̟0 n̟h̟at cn̟a h̟àm̟ s0, t0án̟ dãy s0 giói h̟an̟ k̟h̟a0 sát m̟®t s0 ph̟ươn̟g trìn̟h̟ h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ Lu¾n̟ văn̟ "Bat đan̟g th̟úc tr0n̟g lóp h̟àm̟ siêu vi¾t" ch̟n̟ yeu sưu tam̟, n̟gh̟iên̟ cúu tài li¾u sách̟ th̟am̟ k̟h̟a0 liên̟ quan̟ đen̟ bat đan̟g th̟úc tr0n̟g lóp h̟àm̟ m̟ũ, l0garit bi t0ỏn ỳng dung liờn quan Luắn l mđt ch̟uyên̟ đe n̟h̟am̟ góp ph̟an̟ h̟ưón̟g tói b0i dưõn̟g HQ ̟ c sin̟h̟ gi0i b¾c trun̟g HQ ̟ c ph̟ő th̟ơn̟g (xem̟ [1-9]) N̟g0ài ph̟an̟ M̟0 đau K̟et lu¾n̟, Lu¾n̟ văn̟ đư0c ch̟ia làm̟ ba ch̟ươn̟g n̟h̟ư sau: Ch̟ươn̟g Các k̟ien̟ th̟úc bő tr0 Ch̟ươn̟g n̟ày trìn̟h̟ bày m̟®t s0 tín̟h̟ ch̟at cn̟a h̟àm̟ s0 m̟ũ h̟àm̟ l0garit (tín̟h̟ đơn̟ đi¾u, tín̟h̟ l0i lõm̟); ý n̟gh̟ĩa cn̟a h̟àm̟ s0 m̟ũ, h̟àm̟ l0garit tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ bat đan̟g th̟úc cő đien̟ m̟®t s0 bat đan̟g th̟úc cő đien̟ đư0c su dun̟g tr0n̟g lu¾n̟ văn̟ Ch̟ươn̟g Các bat đan̟g th̟úc tr0n̟g lóp h̟àm̟ m̟ũ, l0garit Ch̟ươn̟g n̟ày đưa t0án̟ ve bat đan̟g th̟úc m̟ũ, l0garit đư0c n̟gh̟iên̟ cúu tőn̟g h̟0p tr0n̟g ti liắu tham kha0 Chng Mđt s0 bi t0ỏn áp dun̟g Ch̟ươn̟g n̟ày đưa t0án̟ cn̟c tr% liên̟ quan̟ đen̟ h̟àm̟ m̟ũ, h̟àm̟ l0garit; t0án̟ áp dun̟g bat đan̟g th̟úc siêu vi¾t tr0n̟g dãy s0 giói h̟an̟, tr0n̟g k̟h̟a0 sát ph̟ươn̟g trìn̟h̟ h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ Tr0n̟g th̟ịi gian̟ th̟n̟c h̟i¾n̟ lu¾n̟ văn̟ n̟ày, tác gia n̟h̟¾n̟ đư0c sn̟ h̟ưón̟g dan̟, ch̟i ba0 t¾n̟ tìn̟h̟ cn̟a GS TSK̟H̟ N̟guyen̟ Văn̟ M̟¾u Th̟ơn̟g qua lu¾n̟ văn̟ n̟ày, tác gia xin̟ đư0c bày t0 lịn̟g biet ơn̟ sâu sac trân̟ TRQN̟G n̟h̟un̟g cơn̟g la0, sn quan tõm, đng viờn v sn tắn tỡnh ch̟i ba0, h̟ưón̟g dan̟ cn̟a th̟ay N̟guyen̟ Văn̟ M̟¾u Tác gia ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ th̟ay giá0, cô giá0 k̟h̟0a T0án̟ - Cơ - Tin̟ HQ ̟ c day ba0 t¾n̟ tìn̟h̟; ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ th̟ay tr0n̟g Ban̟ giám̟ h̟i¾u, Ph̟ịn̟g đà0 ta0 Sau đai HQ ̟ c, văn̟ ph̟òn̟g k̟h̟0a T0án̟ - Cơ - Tin̟ trưòn̟g Đai H̟Qc K̟h̟0a H̟Qc Tn̟ n̟h̟iên̟ - Đai HQ ̟ c Qu0c gia H̟à N̟®i ta0 MQ ̟ I đieu k̟ i¾n̟ th̟u¾n̟ l0i tr0n̟g su0t th̟ịi gian̟ tác gia HQ ̟ c t¾p làm̟ lu¾n̟ văn̟ H̟à N̟®i, n̟gày 30 th̟án̟g 11 n̟ăm̟ 2015 H̟Qc viên̟ N̟guyen̟ Th̟% H̟0n̟g Duyên̟ Ch̟ươn̟g M ̟ ®t s0 tín̟h̟ ch̟at cua h̟àm̟ m̟ũ l0garit 1.1 H̟àm̟ đơn̟ đi¾u Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1 (Xem̟ [1-3]) Ch̟0 h̟àm̟ s0 f : R → R xác đ%n̟h̟ trên̟ t¾p I(a; [a, b]b) ⊂ R, tr0n̟g I(a, b) k̟ý hiắu mđt tr0ng cỏc h0p (a, b), [a, b), (a, b], vói a < b K̟h̟i đó, n̟eu ún̟g vói M̟QI x1 , x2 ∈ I(a, b), ta đeu có vói x1 < x2 suy f (x1) ≤ f (x2) th̟ì ta n̟ói ran̟g f (x) h̟àm̟ đơn̟ đi¾u tăn̟g trên̟ I(a; b) Đ¾c bi¾t, k̟h̟i ún̟g vói M̟QI c¾p x1 , x2 ∈ I(a; b), ta đeu có f (x1) < f (x2) ⇔ x1 < x2 th̟ì ta n̟ói ran̟g f (x) m̟®t h̟àm̟ đơn̟ đi¾u tăn̟g th̟n̟c sn̟ trên̟ I(a; b), h̟ay cịn̟ GQI h̟àm̟ đ0n̟g bien̟ N̟gư0c lai, n̟eu ún̟g vói M̟QI x , x ∈ I(a, b), ta đeu có vói x < x suy f (x1 ) ≥ f (x2 ) th̟ì ta n̟ói ran̟g f1 (x)2 h̟àm̟ đơn̟ đi¾u giam̟ trên̟1 I(a; 2b) N̟eu f (x1) > f (x2) ⇔ x1 < x2; ∀x1, x2 ∈ I(a; b) th̟ì ta n̟ói ran̟g f (x) m̟®t h̟àm̟ đơn̟ đi¾u giam̟ th̟n̟c sn̟ trên̟ I(a; b), h̟ay còn̟ GQI h̟àm̟ n̟gh̟%ch̟ bien̟ Đ%n̟h̟ lý 1.1 Gia su h̟àm̟ s0 f (x) có đa0 h̟àm̟ trên̟ k̟h̟0an̟g (a; b) f J (x) > vói x ∈ (a; b) th̟ì h̟àm̟ s0 f (x) đ0n̟g bien̟ trên̟ k̟h̟0an̟g N̟gư0c lai, n̟eu f J (x) < vói MQ ̟ I x ∈ (a; b) th̟ì h̟àm̟ s0 f (x) n̟gh̟%ch̟ bien̟ trên̟ k̟h̟0an̟g M̟QI 1.2 H̟àm̟ l0i, lõm̟ dưói) trên̟ t¾p I(a; b) ⊂ R n̟eu vói M̟QI x1 , x2 ∈ I(a; b) vói MQ ̟ I c¾p s0 Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.2 (Xem̟ [1-3]) H̟àm̟ s0 f (x) đư0c GQI h̟àm̟ l0i (l0i xu0n̟g dươn̟g α, β có tőn̟g α + β = 1, ta đeu có f (αx1 + βx2) ≤ αf (x1) + βf (x2) N̟eu dau đan̟g th̟úc xay k̟h̟i ch̟i k̟h̟i x1 = x2 ta n̟ói h̟àm̟ s0 f (x) h̟àm̟ l0i th̟n̟c sn̟ (ch̟¾t) trên̟ I(a; b) x1 , x2 ∈ I(a; b) vói M̟QI c¾p s0 dươn̟g α, β có tőn̟g α + β = 1, ta đeu có H̟àm̟ s0 f (x) đư0c GQI h̟àm̟ lõm̟ (l0i trên̟) trên̟ t¾p I(a; b) ⊂ R n̟eu vói MQ ̟ I f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 ) N̟eu dau đan̟g th̟úc xay k̟h̟i ch̟i k̟h̟i x1 = x2 ta n̟ói h̟àm̟ s0 f (x) h̟àm̟ lõm̟ th̟n̟c sn̟ (ch̟¾t) trên̟ I(a; b) Đ%n̟h̟ lý 1.2 (Xem̟ [1-3]) N̟eu f (x) k̟h̟a vi b¾c h̟ai trên̟ I(a; b) th̟ì f (x) l0i (lõm̟) trên̟ I(a; b) k̟h̟i ch̟i k̟h̟i f JJ (x) ≥ (f JJ (x) ≤ 0) trên̟ I(a; b) 1.3 1.3.1 Tín̟h̟ đơn̟ đi¾u, tín̟h̟ l0i lõm̟ cua h̟àm̟ s0 m ̟ ũ h̟àm̟ l0garit Tín̟h̟ đơn̟ đi¾u cua h̟àm̟ s0 m ̟ ũ h̟àm̟ l0garit - Xét h̟àm̟ s0 y = ax, a > 0, a ƒ= liên̟ tuc trên̟ R, ta có y J = ax ln̟ a (a > 0, a ƒ= 1) K̟h̟i a > th̟ì y J > n̟ên̟ h̟àm̟ s0 đ0n̟g bien̟ trên̟ R K̟h̟i < a < th̟ì y J < n̟ên̟ h̟àm̟ s0 n̟gh̟%ch̟ bien̟ trên̟ R - Xét h̟àm̟ s0 y = l0ga x, a > 0, a 1; x > ta có y J = (l0ga x) = J x· ln̟ a K̟h̟i a > th̟ì y J > n̟ên̟ h̟àm̟ s0 đ0n̟g bien̟ trên̟ (0; +∞) K̟h̟i < a < th̟ì y J < n̟ên̟ h̟àm̟ s0 n̟gh̟%ch̟ bien̟ trên̟ (0; +∞) 1.3.2 Tín̟h̟ l0i, lõm̟ cua h̟àm̟ s0 m ̟ ũ h̟àm̟ l0garit - Xét h̟àm̟ s0 y = ax, a > 0, a ƒ= 1, ta có y JJx = (ln̟ a)2 ax y = a ln̟ a (a > 0, a ƒ= 1), JJ Ta th̟ay y > vói M̟Qi < a ƒ= 1, x ∈ R d0 h̟àm̟ s0 y = ax h̟àm̟ l0i trên̟ R J - Tươn̟g tn̟, vói h̟àm̟ s0 y = l0ga x, a > 0, a ƒ= 1; x > 0, ta có y J = (l0ga x)J = y JJ = −1 x· ln̟ a x2ln̟ a N̟eu a > túc ln̟ a > th̟ì y JJ < suy h̟àm̟ s0 lõm̟ trên̟ (0; +∞) N̟eu < a < túc ln̟ a < th̟ì y JJ > suy h̟àm̟ s0 l0i trên̟ (0; +∞) 1.4 M ̟ ®t s0 bat đan̟g th̟Éc c0 đien̟ Đ%n th̟úc AM̟ - GM̟, Xem̟ [1-3]) Gia su x1, x2, , xn̟ ̟ h̟ lý s0 k̟h̟1.3 ơn̟g(Bat âm̟.đan K̟h̟̟ ig x1 + x2 + xn̟ ·n̟· · + xn̟ √n̟ ≥ x1 x2 Dau đan̟g th̟úc xay k̟h̟i ch̟i k̟h̟i x1 = x2 = · · · = xn̟ Đ%n̟h̟ lý 1.4 (Bat đan̟g th̟úc dan̟g K̟aram̟ata, Xem̟ [1]) Ch̟0 h̟ai dãy s0 xk̟ , yk̟ ∈ I(a, b), k̟ = 1, 2, , n̟, th̟0a m̟ãn̟ đieu k̟i¾n̟ x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn̟ , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn̟ x1 ≥ y1,  x1 + x2 ≥ y1 + y2, · · · · · · ·· x1 + x2 + · · · + xn̟ = y1 + yJJ2 + · · · + yn̟ x + x + · · · + xn−1 ≥ y20) + · · ·̟ I(a, b), ta đeu có +> K̟h̟i đó, ún̟g vói M̟Q (f y(x)  I h̟1àm̟ l0i2 th̟n̟c sn̟ f (x) + yn−1 , f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn̟ ) ≥ f (y1) + f (y2) + · · · + f (yn̟ ) tuc l0i trên̟ [a, b] Ch̟0 s0 k̟1 , k̟2 , , k̟n̟ ∈ R+ ; k̟1 + k̟2 + · · · + k̟n̟ = Đ%n̟h̟ lý 1.5 (Bat đan̟g th̟úc Jen̟sen̟, Xem̟ [1]) Ch̟0 h̟àm̟ s0 y = f (x) liên̟ K̟h̟i vói MQ ̟ I xi ∈ [a, b]; i = 1, 2, , n̟, ta ln̟ có n̟ Σ n̟ k̟i f (xi ) ≥ f ( i=1 Σ k̟i xi ) i=1 N̟eu h̟àm̟ s0 y = f (x) lõm̟ trên̟ [a, b] th̟ì bat đan̟g th̟úc trên̟ đői ch̟ieu, túc n̟ Σ n̟ k̟i f (xi ) ≤ f ( i=1 Σ k̟i xi ) i=1 Đ%n̟h̟ lý 1.6 (Bat đan̟g th̟úc Bern̟0ulli (dan̟g liên̟ tuc), Xem̟ [1]) Ch̟0 x > K̟h̟i xα + (1 − x)α ≥ xα + (1 − x)α ≤ K̟h̟i α ≥ h̟0¾c α ≤ K̟h̟i ≤ α ≤ Đ%n̟h̟ lý 1.7 (Bat đan̟g th̟úc Bern̟0ulli đ0i vói tam̟ th̟úc b¾c (α, β) , Xem̟ [1] ) Ch̟0 c¾p s0 (α, β) th̟0a m̟ãn̟ đieu k̟ i¾n̟ α > β > K̟h̟i đó, vói M̟QI x ∈ R+ α α xα + − ≥ xβ β β Dau đan̟g th̟úc xay k̟h̟i ch̟i k̟h̟i x = Đ%n̟h̟ lý 1.8 (Bat đan̟g th̟úc Sch̟ur) Vói s0 th̟n̟c dươn̟g a, b, c k̟ ∈ R+ bat k̟ỳ ta ln̟ có ak̟ (a − b)(a − c) + bk̟ (b − c)(b − a) + ck̟ (c − a)(c − b) ≥ Dau đan̟g th̟úc xay k̟h̟i ch̟i k̟h̟i a = b = c h̟0¾c a = b c = cùn̟g h̟0án̟ v% cn̟a n̟ó H̟ai trưịn̟g h̟0p quen̟ th̟u®c đư0c su dun̟g n̟h̟ieu k̟ = k̟ = túc (i) a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) ≥ (ii) a2(a − b)(a − c) + b2(b − c)(b − a) + c2(c − a)(c − b) ≥ Ph̟ươn̟g ph̟áp đ0i bien̟ p, q, r Đ0i vói m̟®t s0 bat đan̟g th̟úc th̟uan̟ n̟h̟at đ0i xún̟g có bien̟ k̟h̟ơn̟g âm̟ ta có th̟e đői bien̟ n̟h̟ư sau Đ¾t p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc Ta có m̟®t s0 bat đan̟g th̟úc sau • ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = pq − 3r • (a + b)(b + c)(c + a) = pq − r • ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2+2) = p2q − 2q2 − pr • (a + b)(a + c) + (b + c)(b + a) + (c + a)(c + b) = p2 + q • + b2 + c2 = p2 − 2q • a3 + b3 + c3 = p3 − 3pq + 3r • a4 + b4 + c4 = p4 − 4p2q + 2q2 + 4pr • a2b2 + b2c2 + c2a2 = q2 − 2pr • a3b3 + b3c3 + c3a3 = q3 − 3pqr + 3r2 • a4b4 + b4c4 + c4a4 = q4 − 4pq2r + 2p2r2 + 4qr2 Có th̟e th̟ay n̟gay l0i ích̟ cn̟a ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ày m̟0i ràn̟g bu®c giua bien̟ p, q, r m̟à bien̟ a, b, c ban̟ đau k̟h̟ôn̟g có n̟h̟ư • p2 ≥ 3q • p3 ≥ 27r • q2 ≥ 3pr • pq ≥ 9r • 2p3 + 9r ≥ 7pq • p2q + 3pr ≥ 4q2 • p4 + 4q2 + 6pr ≥ 5p2q p(4q 9− p2) • r≥ (4q − p2)(p2 − q) 6p • r ≥ 1.5 Vai trò cua h̟àm̟ s0 m̟ũ, h̟àm̟ l0garit tr0n̟g ch̟Én̟g m̟in̟h̟ bat đan̟g th̟Éc c0 đien̟ Đ%n̟h̟ lý 1.9 (Bat đan̟g th̟úc AM̟ - GM̟ suy rđng, [1]) Gia su ch0 trúc hai cắp dóy s0 dươn̟g x1, x2, , xn̟ ; p1, p2, , pn̟ K̟h̟i đó: x1 p1 + x2 p2 + · · ·xn n Σp1+p2+···pn̟ xp · xp · · · xpn ≤1 p p1 + p2 + · · ·pn̟ n̟ Dau đan̟g th̟úc xay k̟h̟i ch̟i k̟h̟i x1 = x2 = · · · = xn̟ Ch̟Ún̟g m̟in̟h̟ Đ¾t x1p1 + x2p2 + · · ·xn̟ pn̟ s = p1 + p2 + · · ·pn̟ Su dun̟g bat đan̟g th̟úc h̟àm̟ m̟ũ ex−1 ≥ x, ∀x ∈ R, x1 ta th̟u đư0c s Tù ta th̟u đư0c h̟¾ ≤ ex1 −1 ⇔ x s sex1 −1 sex1 ≤ −1, −1x2  x12 ≤ se , x n ≤ ·x Suy V¾y nên ≤ 1 s s· e· x·n̟·−·1· s s  2p1 p1 ( x1 x ≤ s e  x2  p2 x ≤ sp2 e( xn ≤· s· e s · · · ·  pn̟ ( xn̟ −n̟ )pn̟ −1)p1  pn̟ , −1)p2 , x p +x p +···+xn̟pn̟ p1 p2 pn̟ p1+p2+···pn̟ 1 2 −(p1+p2+···+pn̟) s x ·x ···x ≤s e n̟ h̟ay xp · xp · · · xpn̟ ≤ sp1 +p2+···+pn̟ , (đpcm̟) 1 n x2 = · · · = = h̟ayx1 = x2 = s = s xn̟ Dau đan̟g th̟úc xay k̟h̟i ch̟i k̟h̟i x1 · · · = xn̟ s 59 Tài li¾u th̟am̟ k̟h̟a0 [1] N̟guyen̟ Văn̟ M̟¾u, 2006, Giá0 duc Bat đan̟g th̟úc đ%n̟h̟ lý áp dn̟n̟g, N̟XB [2] N̟guyen̟ Văn̟ M̟¾u, 1993, Ph̟ươn̟g ph̟áp giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ bat ph̟ươn̟g trìn̟h̟, N̟XB Giá0 duc [3] N̟guyen̟ Văn̟ M̟¾u, Lê N̟GQc Lăn̟g, Ph̟am̟ Th̟e L0n̟g, N̟guyen̟ M̟in̟h̟ Tuan̟, 2006 Các đe th̟i 0lym̟pic T0án̟ sin̟h̟ viên̟ t0àn̟ qu0c N̟XB Giá0 duc [4] N̟guyen̟ Văn̟ M̟¾u, Các th̟i 0lym̟pic T0án̟ trun̟g H̟Qc ph̟ő th̟ơn̟g Vi¾t N̟am̟, 1990 - 2014, N̟XB Giá0 duc [5]D.S M̟itrin̟0vic (1970), An̟alytic In̟equalities, Sprin̟ger [6] Rajen̟dra Bh̟atia (2008), Statistical In̟- stitute Th̟e L0garith̟m̟ic M̟ean̟, In̟dian̟ [7] Te0d0ra-Lilian̟a T.R., Vicen̟tiu D.R., Titu An̟dreescu (2009), Pr0blem̟s in̟ real an̟alysis: Advan̟ced calculus 0n̟ real axis, Sprin̟ger [8] Tran̟ Đúc L0n̟g, N̟guyen̟ Đìn̟h̟ San̟g, H̟0àn̟g Qu0c T0àn̟, 2005, Giá0 trìn̟h̟ giai tích̟ 1, N̟XB Đai HQ ̟ c Qu0c gia H̟à N̟®i [9] Tran̟ Đúc L0n̟g, N̟guyen̟ Đìn̟h̟ San̟g,N̟guyen̟ Viet Trieu Tiên̟, H̟0àn̟g Qu0c T0àn̟, 2001, Bài t¾p giait tích̟ 1, N̟XB Đai HQ ̟ c Qu0c gia H̟à N̟®i