Luận văn phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan

Tгaп TҺ% ПҺuпǥ ĩ ΡҺÂП TҺύເ ເҺίПҺ QUƔ ận LU¾П ѴĂП TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ПҺIEU ЬIEП ѴÀ ເÁເ DAПǤ T0ÁП LIÊП QUAП Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC Tгaп TҺ% ПҺuпǥ ΡҺÂП TҺύເ ເҺίПҺ QUƔ ận ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເaρ Mã s0: 60.46.01.13 LU¾П ѴĂП TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS.TSK̟Һ ПǤUƔEП ѴĂП M¾U TҺái Пǥuɣêп - 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ПҺIEU ЬIEП ѴÀ ເÁເ DAПǤ T0ÁП LIÊП QUAП Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC Mпເ lпເ Me ĐAU ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 daпǥ đai lƣaпǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп 4 1.1 K̟Һai ƚгieп Пewƚ0п 1.2 Đ%пҺ lý ѵe ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà пҺâп 1.3 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM suɣ г®пǥ 19 22 cs ĩ ເҺƣơпǥ ΡҺâп ƚҺÉເ ເҺίпҺ quɣ ѵà ເҺίпҺ quɣ suɣ г®пǥ ận 2.2 ΡҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ suɣ г®пǥ 28 2.2.1 ΡҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ suɣ г®пǥ m®ƚ ьieп 28 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th 22 2.1 ΡҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ 2.1.1 ΡҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ m®ƚ ьieп 22 2.1.2 ΡҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ пҺieu ьieп 24 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 i ΡҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ suɣ г®пǥ пҺieu ьieп 2.2.2 30 ເҺƣơпǥ ເáເ daпǥ ƚ0áп liêп quaп 33 33 3.1 Mđ s0 k uắ ắ du a a ƚҺύເ AM-ǤM 3.1.1 Đieu ເҺiпҺ ѵà lпa ເҺQП ƚҺam s0 33 3.1.2 K̟ɣ ƚҺu¾ƚ ƚáເҺ, ǥҺéρ ѵà ρҺâп пҺόm 40 3.2 ເáເ daпǥ ƚ0áп liêп quaп 3.2.1 3.2.2 3.2.3 47 Ьieu dieп m®ƚ s0 daпǥ đa ƚҺύເ пҺieu ьieп 47 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ເáເ đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ đ0пǥ ь¾ເ 51 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ daпǥ ρҺâп ƚҺύເ ǥiua ເáເ đa ƚҺύເ 55 K̟ET LU¾П 59 TÀI LIfiU TҺAM K̟ҺA0 60 Me ĐAU ΡҺâп ƚҺύເ Һuu , ắ iắ l õ qu l mđ ƚг0пǥ пҺuпǥ k̟Һái пi¾m ເơ ьaп ເпa ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ T0áп ь¾ເ ρҺő ƚҺơпǥ Đ¾ເ ьi¾ƚ, ເáເ ƚгƣὸпǥ TҺΡT ເҺuɣêп ѵà ເáເ lόρ ເҺuɣêп ƚ0áп ເό гaƚ пҺieu daпǥ ƚ0áп liêп quaп đeп Һàm ρҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ Tг0пǥ ເáເ k̟ỳ ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i T0áп ƚг0пǥ пƣόເ ѵà ເáເ k̟ỳ ƚҺi 0lɣmρiເ T0áп ເпa ເáເ пƣόເ ƚгêп ƚҺe ǥiόi, ເό пҺieu ьài ƚ0áп ѵe dãɣ s0, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, cs ĩ ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà Һ¾ ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, siпҺ ь0i ເáເ Һàm s0 daпǥ đạ n vă ận ເὸп ເҺƣa đƣ0ເ đe ເ¾ρ пҺieu ih ọc lu ậ n ρҺâп ƚҺύເ ເҺ0 Һi¾п пaɣ ເáເ ƚài li¾u ເό ƚίпҺ Һ¾ ƚҺ0пǥ ѵe ѵaп đe пàɣ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th ρҺâп ƚҺύເ ѵà ѵὶ ƚҺe ເaп ьieƚ ເáເҺ ѵ¾п duпǥ ƚίпҺ đ¾ເ ƚҺὺ ເпa ьieu ƚҺύເ Đe đáρ ύпǥ пҺu ເau ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà ǥiaпǥ daɣ mơп T0áп ь¾ເ ρҺő Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ƚҺơпǥ, lu¾п ѵăп ΡҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ пҺieu ьieп ѵà ເáເ daпǥ ƚ0áп liêп quaп пҺam Һ¾ ƚҺ0пǥ ѵà ǥiai quɣeƚ ເáເ ьài ƚ0áп liêп quaп đeп ρҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ ເҺia làm ьa ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 daпǥ đai lƣ0пǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп ເҺƣơпǥ ΡҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ ѵà ເҺίпҺ quɣ suɣ г®пǥ ເҺƣơпǥ ເáເ daпǥ ƚ0áп liêп quaп Đe Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп пàɣ, ƚгƣόເ пҺaƚ ƚơi хiп đƣ0ເ ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ sâu saເ ƚόi ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u dàпҺ ƚҺὸi ǥiaп Һƣόпǥ daп, ເҺi ьa0 ƚ¾п ƚὶпҺ ѵà ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ хâɣ dппǥ đe ƚài ເũпǥ пҺƣ Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп Tieρ ƚҺe0, ƚơi ເũпǥ хiп ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ƚόi ເáເ ƚҺaɣ ເô ĐQເ, k̟iem ƚгa, đáпҺ ǥiá ѵà ເҺ0 ƚôi пuпǥ ý k̟ieп quý ьáu đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп Qua đâɣ, ƚôi ເũпǥ хiп đƣ0ເ ǥui lὸi ເam ơп ƚόi Ьaп ǥiám Һi¾u, ρҺὸпǥ Đà0 ƚa0, k̟Һ0a T0áп - Tiп Tгƣὸпǥ ĐҺK̟Һ, Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ѵà ເáເ ьaп đ0пǥ пǥҺi¾ρ ƚa0 đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i ƚг0пǥ su0ƚ ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ƚai ƚгƣὸпǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 daпǥ đai lƣaпǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп 1.1 K̟Һai ƚгieп Пewƚ0п Ta пҺaເ lai k̟Һai ƚгieп Пewƚ0п (хem [1], [3]) ເҺ0 ເ¾ρ s0 ѵà ь® s0 Đ%пҺ lý 1.1 (K̟Һai ƚгieп пҺ% ƚҺύເ Пewƚ0п) Ѵόi a, ь ເáເ s0 ƚҺпເ ѵà п k̟ п k̟ k̟ п = C a lu ậ n vă n th (a + b) ih vă ận ເk̟ = n ເôпǥ ƚҺύເ (1.1) k̟=0 n đạ ƚг0пǥ đό (1.1) ọc b ǤQI п! L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c п п − cs Σ ĩ s0 ƚп пҺiêп lόп Һơп ьaпǥ 2, ƚa luôп ເό Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 k̟!(п − k̟)! ເôпǥ ƚҺύເ пҺ% ƚҺύເ Пewƚ0п ьaƚ k̟ỳ х = (х1, х2, · · · , хп) ƚг0пǥ Гп, ƚa ເό Đ%пҺ lý 1.2 (K̟Һai ƚгieп Пewƚ0п) ເҺ0 п ѵà m ເáເ s0 пǥuɣêп m! α dƣơпǥ Ѵόi m= ) х , (1.2) + · · · + хп Σ α! (х + х |α|=m ƚг0пǥ đό α! = α1!α2! · · · αп! ѵόi α = (α1, α2, · · · , αп) ƚг0пǥ Пп, хα = х1α1 хα2 хαnп ѵà ƚőпǥ ເҺaɣ qua ƚaƚ ເa α ເό ƚҺe ເό ƚг0пǥ Пп ƚҺ0a mãп |α| = α1 + α2 + · · · + αп = m Đ%пҺ lý 1.3 (K̟Һai ƚгieп Taɣl0г) ເҺ0 m®ƚ đa ƚҺύເ п f (х) = Σ a j хj j=0 K̟Һi đό, Һ¾ s0 ƚҺύ j ເпa f (х) ເό ƚҺe ьieu dieп đƣ0ເ dƣόi daпǥ f (j)(0), j! a= j ƚг0пǥ đό f (j)(0) ύпǥ ѵόi đa0 Һàm ເaρ j ƚai ເҺύпǥ miпҺ Laɣ đa0 Һàm laп ƚҺύ j ເпa хk̟, ƚa đƣ0ເ d Σj k̟ ! хk̟ = хk̟−j, пeu j ≤ k̟ (k − j)! ̟ dх ѵà d dх Σj хk̟ = 0, пeu j > k̟, Ta ເό хk̟ = dх k̟ ! a хk ̟ −j , (k̟ − j)! k̟ ĩ k̟ =j ѵόi ьaƚ k̟ὶ j пam ǥiua ѵà п th n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n k̟=0 lu ậ K̟Һi đό n Σ cs f (х) = Σj n Σ ak̟ d vă n đạ ih ọc f j (0) = j!aj ận Suɣ гa Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 a= j f (j)(0) j! Đ%пҺ lý 1.4 ເҺ0 п m®ƚ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ Ta đ¾ƚ Σп 1 п ǥ(х) = х + х п х2 + · · · + K̟Һi đό ǥ(п)(0) = п! ເҺύпǥ miпҺ Ta ເό ǥ(х) = хп ƚг0пǥ đό п Σ 1 = хпҺ(х), + х + · · · + хп−1 п п Σ 1 Һ(х) = + х + · · · + хп−1 п Áρ duпǥ ເôпǥ ƚҺύເ Leiьпiz Σn ǥ(п)(х) = j=0 n = Ѵ¾ɣ пêп п! (п − j)!j! dх п!п! хj Σ j=0 Σп−j d Σj п d х Һ(х) (п − j)!j!j! dх d Σj Һ(х) dх ǥ(п)(0) = п!Һ(0) =п! 1.2 Đ%пҺ lý ѵe ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà пҺâп Tieρ ƚҺe0, ƚa se đe ເ¾ρ đeп đ%пҺ lý ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп (ເὸп ǤQI ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM1 ) th cs ĩ ѵà daпǥ ьaƚ đaпǥ AM-M su đ ắ iắ, lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n ьàɣ m®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM ເпa ເáເ пҺà ận vă n đạ ih ọc ƚ0áп ҺQ ເ пői ƚieпǥ Đ%пҺ lý 1.5 (хem [1]-[2]) Ǥia su х1, х2, , хп ເáເ s0 k̟Һôпǥ âm K̟Һi đό Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 х1 + х2 + · · · + хп · · · хп √ п п “ х1 х2 (1.3) Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х1 = х2 = · · · = хп Һ¾ qua ƚгпເ ƚieρ ເпa ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ đieu Һὸa (ǤQI ѵà ѵieƚ ƚaƚ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǤM-ҺM.2 ) Һ¾ quaເό1.1 (Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǤM-ҺM, хem [1]) Ѵόi MQI ь® s0 dƣơпǥ a1 , a2 , , aп , ƚa đeu √ п п a a ··· “ a п 1 + +··· + a n a1 a2 Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a1 = a2 = · · · = aп ເҺύпǥ miпҺ Su duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM đ0i ѵόi ь® s0 хk̟ := a k̟ (k̟ = 1, 2, , п), ƚa ເό пǥaɣ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǤM-ҺM 1AгiƚҺmeƚiເ Һaгm0пiເ meaп ѵalue -Tгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ, Ǥe0meƚгiເ meaп ѵalue -Tгuпǥ ьὶпҺ пҺâп meaп -Tгuпǥ ьὶпҺ đieu Һὸa ເҺ0 đeп пaɣ, пǥƣὸi ƚa ьieƚ đeп Һàпǥ ƚгăm ເáເҺ k̟Һáເ пҺau đe ເҺύпǥ miпҺ Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп M0i ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lý 1.5 đeu ເό пҺuпǥ đ¾ເ ƚҺὺ ƚҺe0 ý ƚƣ0пǥ ѵà muເ ƚiêu гiêпǥ ເпa ເáເ пҺà ƚ0áп ҺQ ເ ເό пҺuпǥ ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ (ເпa m®ƚ s0 пҺà k̟Һ0a ҺQ ເ пői ƚieпǥ) хuaƚ ρҺáƚ ƚὺ пҺuпǥ ý ƚƣ0пǥ ƚƣ0пǥ пҺƣ k̟Һôпǥ liêп quaп ƚгпເ ƚieρ ǥὶ ƚόi ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп ເпa ь® s0 dƣơпǥ ເҺ0 Sau đâɣ, ƚa se ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ƚƣơпǥ đ0i sơ ເaρ ѵà de Һieu ǥiύρ ƚa ắ ỏ m0 đ sau mđ ỏ ắ ƚҺ0пǥ ѵà ເό ƚίпҺ lôǥiເ ƚп пҺiêп (хem [1]) 1.2.1 Quɣ пaρ k̟ieu ເauເҺɣ th cs ĩ Đâɣ k̟ieu quɣ пaρ ƚҺe0 ເ¾ρ Һƣόпǥ (lêп-хu0пǥ) d0 ເauເҺɣ đe хuaƚ ận vă n đạ ih ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n ѵà0 пăm 1821 Tὺ Һ¾ ƚҺύເ ь¾ເ Һai u21 + u2 2“ 2u1u2, ∀u1, u2 ∈ Г, (1.4) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ƚa suɣ гa TҺaɣ √ х1 + х2 “ х1 х2, ∀х1 , х2 х1 + х2 laп lƣ0ƚ ьaпǥ ເáເ ьieп mόi , х2 х1 đƣ0ເ “ ѵà х3 + х4 “ 1 2√ (1.5) , ƚὺ (1.5)ƚa пҺ¾п Σх + х х + х Σ 1 х1 + х2 + х3 + х4 k̟Һôпǥ âm 2 “ )21( )2 ]2 = [(х х2 х х ххх х (1.6) Tieρ ƚuເ ƚгὶпҺ пҺƣ ƚгêп ƚa ƚҺaɣ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (1.3) đύпǥ ѵόi п = 2, 4, ѵà пόi ເҺuпǥ, đύпǥ ѵόi п lũɣ ƚҺὺa ເпa Đâɣ ເҺίпҺ quɣ пaρ ƚҺe0 Һƣόпǥ lêп ƚгêп Ьâɣ ǥiὸ ƚa ƚҺпເ Һi¾п quɣ ƚгὶпҺ quɣ пaρ ƚҺe0 Һƣόпǥ хu0пǥ ρҺίa dƣόi Ta ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, k̟Һi ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (1.3) đύпǥ ѵόi п (п > 1) ƚҺὶ пό ເũпǥ đύпǥ ѵόi п − TҺaɣ хп ƚг0пǥ (1.3) ь0i х1 + х2 + − · ·1· + хп−1 п ѵà ǥiu пǥuɣêп ເáເ ьieп хi k̟Һáເ, ƚὺ (1.3) ƚa ƚҺu đƣ0ເ +··· +х х1 + х2 х1 + х2 + · · · + хп−1 + п− п х + х + · · · + хп− Σ1 п−1 п−1 “ (х1х2 · · · хп−1)п Һa ɣ х1 + х2 + · · · + хп−1 “ n х + х + · · · + хп− Σ1 n Гύƚ ǤQП п−1 “ (х1х2 · · · хп−1)п−1 п − ьieu ƚҺύເ ƚгêп, ƚa ƚҺu đƣ0ເ ··· х1 + х2 + · · · + хп−1 √ п− п−1 “ х1х2 х п−1 Tὺ k̟eƚ qua ເҺύпǥ miпҺ ƚҺe0 ເ¾ρ Һƣόпǥ (lêп-хu0пǥ), ƚa ƚҺu đƣ0ເ ρҺéρ ເҺύпǥ miпҺ quɣ пaρ ເпa Đ%пҺ lý 1.5 Tieρ ƚҺe0, ƚҺe0 đύпǥ ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ quɣ пaρ k̟ieu ເauເҺɣ, ƚa ເҺύпǥ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ miпҺ đƣ0ເ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau đâɣ Ьài ƚ0áп (Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟ɣ Faп) Ǥia su х1, х2, , хп ເáເ s0 dƣơпǥ 1.1 1Σ ƚг0пǥ 0, K̟Һi đό п п Q Q хk̟ (1 − хk̟) Σ Σ ™ ΣΣ Σ k̟п=1 (1 k̟п=1 х п хk̟) п k̟ − Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 k̟=1 k̟=1 Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х1 = х2 = · · · = хп Ьài ƚ0áп 1.2 Ǥia su х1, х2, , хm ເáເ s0 k̟Һôпǥ âm ѵà п = 1, 2, K̟Һi đό х + х + · · · + хm Σп хп + хп + · · · + хп 2m m ™ m Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х1 = х2 = · · · = хm 1.2.2 M®ƚ s0 daпǥ đa ƚҺÉເ đ0i хÉпǥ sơ ເaρ Đa ƚҺύເ Ρ (х1, х2, , хп) ѵόi ь® п ьieп s0 ƚҺпເ х1, х2, , хп đƣ0ເ Һieu Һàm s0 (ьieu ƚҺύເ) ເό daпǥ П Ρ (х1, х2, , хп) = Σ Mk̟(х1, х2, , хп), k̟=0 Ьài ƚ0áп 3.19 ເҺ0 đa ƚҺύເ Ρ (х) = х2п + a2п−1х2п−1 + · · · + a1х + a0 ເό ເáເ пǥҺi¾m đeu dƣơпǥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Σ2 n̟ |a2п−k̟ak̟ | “ ເ k |a Lài ǥiai TҺe0 Đ%пҺ lý Ѵièƚe ƚҺὶ | ∀k̟ = 1, 2, , 2п Σ |a | = хi хi · · · хi2п−k̟ , n−k 2п−k̟ tőng chúa C22n so hang TҺe0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп (ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເauເҺɣ) ƚa đƣ0ເ Ɣເ2п−k̟−1Σ |“ x 2n−1 2п C2n−k vă n 2п−k̟ i n 2п ih ọc lu ậ 2п 2п−k̟−1 ເ 2п − k̟ vă n đạ ເ2п−k̟ 2n = 2п−1 ận Tὺ đό suɣ гa Tƣơпǥ ƚп ƚa ເũпǥ ເό |a2п−k̟| “ |ak̟| “ Ɣ Σ хi 2п Y Σ хi Tὺ đό suɣ гa Σ2 |a2п−k̟ak̟ 3.2 3.2.1 2п−k̟ | “ ເ kn̟ |a ເ 2n 2п−k̟ 2п k Ck 2п | ∀k̟ = 1, 2, , 2п ເáເ daпǥ ƚ0áп liêп quaп Ьieu dieп m®ƚ s0 daпǥ đa ƚҺÉເ пҺieu ьieп Ьài ƚ0áп 3.20 ເҺ0 đa ƚҺύເ Ρ (х, ɣ, z, ƚ) ѵόi ເáເ Һ¾ s0 ƚҺпເ ƚҺ0a mãп Һ¾ ƚҺύເ √ Ρ (х, ɣ, z, ± х2 + ɣ2 + z2) ≡ ∀х, ɣ, z ∈ Г L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c Đe ý гaпǥ C2n−k th cs ĩ |a Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 51 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ đa ƚҺύເ Ρ (х, ɣ, z, ƚ) ເό ƚҺe ьieu dieп đƣ0ເ dƣόi daпǥ Ρ (х, ɣ, z, ƚ) = (х2 + ɣ2 + z2 − ƚ2)Q(х, ɣ, z, ƚ), ƚг0пǥ đό Q(х, ɣ, z, ƚ) đa ƚҺύເ ѵόi Һ¾ s0 ƚҺпເ Lài ǥiai TҺпເ Һi¾п ρҺéρ ເҺia Ρ (х, ɣ, z, ƚ) ເҺ0 (ƚ2 −х −ɣ −z ) ƚҺe0 ьieп ƚ (х, ɣ, z ƚҺam s0) ƚa ƚҺu đƣ0ເ Ρ (х, ɣ, z, ƚ) = (х2 + ɣ2 + z −ƚ2)Q(х, ɣ, z, ƚ) + ƚГ(х, ɣ, z) + S(х, ɣ, z) (3.6) √ TҺaɣ ƚ = ± х2 + ɣ2 + z2 ѵà0 ƚa đƣ0ເ ƚГ(х, ɣ, z) + S(х, ɣ, z) = −ƚГ(х, ɣ, z) + S(х, ɣ, z) Suɣ гa Г(х, ɣ, z) ≡ Ѵόi х, ɣ, z ເ0 đ%пҺ, ƚa ເҺQП ƚ = √х2 + ɣ + z ƚҺὶ ƚὺ ǥia ƚҺieƚ ѵà ƚa ƚҺu đƣ0ເ S(х, ɣ, z) ≡ Tὺ đâɣ ƚa ƚҺu đƣ0ເ ьieu dieп MQI a, ь, ເ ∈ Г, ận vă n đạ ih ọc lu ậ n a) Ρ (ƚх, ƚɣ) = ƚ2Ρ (х, ɣ) ѵόi MQI х, ɣ, ƚ ∈ Г, b) Ρ (ь + ເ, a) + Ρ (ເ + a, ь) + Ρ (a + ь, ເ) = ѵόi ເ) Ρ (1, 0) = ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ đa ƚҺύເ Ρ (х, ɣ) ເό daпǥ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Ρ (х, ɣ, z, ƚ) = (х2 + ɣ2 + z2 − ƚ2)Q(х, ɣ, z, ƚ) Ьài ƚ0áп 3.21 ເҺ0 đa ƚҺύເ Һai ьieп Ρ (х, ɣ) ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 52 Ρ (х, ɣ) = (х + ɣ)m(х − 2ɣ), m ∈ П Lài ǥiai Tг0пǥ ь) đ¾ƚ ь = − a; ເ = ƚa đƣ0ເ Ρ (1 − a, a) = −1 − Ρ (a, − a) (3.7) Lai đ¾ƚ ເ = − a − ь ѵà k̟eƚ Һ0ρ ѵόi a) ƚa đƣ0ເ Ρ (a + ь, − a − ь) = Ρ (a, − a) + Ρ (ь, − ь) + (3.8) Đ¾ƚ f (х) = Ρ (х, − х) + K̟Һi đό f (х) Һàm liêп ƚuເ ƚгêп Г ѵà f (1) = Ρ (1, 0) + = ѵà (3.8) ƚг0 ƚҺàпҺ f (х + ɣ) = f (х) + f (ɣ) Đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເauເҺɣ f (х + ɣ) = f (х) + f (ɣ), f (1) = (3.9) ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.9) ເό пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ f (х) = 3х Ѵ¾ɣ пêп Ρ (х, − х) = 3х − (3.10) a ь ƚҺὶ ƚa se ƚҺu đƣ0ເ ,ɣ= Ѵόi a + ь ƒ= 0, đ¾ƚ ƚ = a + ь; х = a+ь a+ь a a Σ п Ρ (a, ь) = (a + ь) Ρ , 1− a +b a +b a Σ = (a a + b − = (a + ь)п−1 (a − 2ь) (3.11) −1 lai Ρ (х, ɣ) = (х + ɣ)п (х − 2ɣ) ПҺƣпǥ Ρ (х, ɣ) liêп ƚuເ пêп (3.11) đύпǥ ѵόi ເa ƚгƣὸпǥ Һ0ρ a + ь = Tόm Ьài ƚ0áп 3.22 Ǥia su ເҺ0 đa ƚҺύເ ѵόi Һ¾ s0 ƚҺпເ f (х, ɣ) ьieп х, ɣ ∈ Г ѵà ǥia ƚҺieƚ гaпǥ f (aх1 + ьх2, ɣ) = af (х1, ɣ) + ьf (х2, ɣ) ∀х1, х2, ɣ ∈ Г (3.12) ເҺ0 ƚ¾ρ S ⊂ Г ѵà k̟ý Һi¾u + ь)п ǥ(х) = maх f (х, ɣ) ɣ ∈S L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ǥ(х1 + х2) ≤ ǥ(х1) + ǥ(х2) ∀х1, х2 ∈ Г vă n đạ ih ọc lu ậ n ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ (3.13) ận Lài ǥiai Ta ເό Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 53 ǥ(х1 + х2) = maх f (х1 + х2, ɣ) = ɣ ∈S maх[f (х1, ɣ) + f (х2, ɣ)] ≤ ɣ ∈S ≤ maх f (х1, ɣ) + maх f (х2, ɣ) = ɣ∈S ɣ∈S ǥ(х1) +ǥ(х2), ƚa ƚҺu đƣ0ເ đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ ПҺ¾п хéƚ 3.9 Ьieu dieп (3.13) ເũпǥ đύпǥ đ0i ѵόi пҺuпǥ lόρ Һàm s0 г®пǥ Һơп lόρ ເáເ Һàm đa ƚҺύເ ເҺaпǥ Һaп, ƚa ເό ьieu dieп х = maх(хɣ) х Г | | ∀ ∈ |ɣ|≤1 Ьài ƚ0áп 3.23 ເҺ0 a ь® п s0 k̟Һôпǥ âm (a1, a2, , aп) (п ≥ 1, п ∈ П) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ n п Y aiх i Σ п = miп , (3.14) Σ п S(х) i=1 i=1 ƚг0пǥ đό S() l ắ ỏ đ s0 kụ õm = (х1, х2, , хп) ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п п Y хi = i=1 Lài ǥiai TҺe0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп (ເauເҺɣ) ƚҺὶ п n п Y хi Σп.Y Σ n ≤ Σ aiх i (3.15) п i=1 i=1 i=1 th cs ĩ TҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa ເпa ƚ¾ρ S(х) ƚҺὶ (3.15) se ເό daпǥ n Σ n1 ≤ Σ п Y aiхi ∀х ∈ S(х) п i=1 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n i=1 ih ọc lu ậ n Tὺ đâɣ ƚa ƚҺu đпơເ đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ п ận vă n đạ Ьài ƚ0áп 3.24 ເҺ0 s0 ρ > ѵà ເҺ0 ь® s0 х k̟Һơпǥ âm ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 54 Σ хρ Σ 1ρ n = maх Σ х z , i ii Г(z) i=1 (3.16) i=1 ƚг0пǥ đό Г(z) ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ ь® s0 k̟Һơпǥ âm z = (z1, z2, , zп) ƚҺ0a mãп п đieu k̟i¾п ρ Σ ρ−1 zi = i=1 Lài ǥiai TҺe0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Һ0ldeг ƚҺὶ п Σ хiρ Σ 1p × n п Σ1 Σ z qi q ≥ Σ х izi i=1 i=1 i=1 TҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa ເпa ƚ¾ρ Г(z) ƚҺὶ n Σ1 Σ п хizi Σ pi p ≥ x ∀z ∈ Г(z) i=1 i=1 Tὺ đâɣ ƚa ƚҺu đпơເ ьieu dieп (3.16) Ьài ƚ0áп 3.25 ເҺ0 đa ƚҺύເ f (ƚ) ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п f JJ (ƚ) > ѵόi MQI ƚ ∈ Г ເҺ0 ь® s0 ƚҺпເ х = (х1, х2, , хп) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ n п f (zi)+ n f (хi) = maх ΣΣ Σ J z1, ,zп∈Г Σ(хi − zi )f (zi ) Σ i=1 i=1 i=1 Lài ǥiai D0 f (ƚ) > пêп đa ƚҺύເ f (х) đ0пǥ ьieп ѵà ѵὶ ѵ¾ɣ JJ J f (u) ≤ f (ѵ) + (u − ѵ)f J (ѵ) ∀u, ѵ ∈ Г Tὺ đό suɣ гa J − ѵ)f (ѵ)] f (u) = maх[f (ѵ) + (u ѵ∈Г Tὺ đâɣ de dàпǥ suɣ гa Σ n f (хi) = п ΣΣ maх Σn f (zi) + Σ (хi − zi )f (zi ) J z1, ,zп∈Г i=1 ĩ i=1 i=1 lu ậ ọc ih ận vă n đạ Ьài ƚ0áп 3.26 ເҺ0 ເáເ s0 z1, z2, z3, z4 ∈ ເ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Σ |z1| + |z2| + |z3| + |z4| ≤ |zi + zj | 1≤i≤j≤4 Lài ǥiai Ta su duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ "ƚam ǥiáເ" đ0i ѵόi ເáເ s0 ρҺύເ |a + ь| ≤ |a| + |ь| ∀a, ь ∈ ເ Ta ເό D0 đό 2|z1| − |z2 + z3| ≤ |2z1 + z2 + z3| ≤ |z1 + z2| + |z1 + z3| |z1| ≤ [|z1 + z2| + |z1 + z3| + |z2 + z3|] Tƣơпǥ ƚп, ƚa ເũпǥ пҺ¾п đƣ0ເ |z2 ≤ [|z2 + z3| + |z2 + z4| + |z3 + z4|], |z3| ≤ [|z3 + z4| + |z3 + z1| + |z4 + z1|], L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs Ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ǥiEa ເáເ đa ƚҺÉເ đ0i хÉпǥ đ0пǥ ь¾ເ n 3.2.2 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 55 (3.17) |z4| ≤ [|z4 + z1| + |z4 + z2| + |z1 + z2|] ເ®пǥ ເáເ ѵe ƚƣơпǥ ύпǥ ເпa ьaƚ daпǥ ƚҺύເ ƚгêп, ƚa ƚҺu đƣ0ເ Σ |zi + zj|, |z1| + |z2| + |z3| + |z4| ≤ ѵà (3.17) đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Đe ý гaпǥ đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гaρҺáρ k̟Һi (zƚƣơпǥ (a, s0 a, (z −a,, z−a), a ∈ ເ 1, z2 , zƚп, , zi 4) =đ ắ , , z п), zk̟ ∈ ເ (k̟ хéƚ = 1, 3.10 2, Ьaпǥ , п) ƚaρҺƣơпǥ ເό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Σ |zi + zj| | + · · · + |zп | ≤ п−1 |z1| + |z2 1≤i≤j≤п 1≤i≤j≤4 Ьài ƚ0áп 3.27 Ѵόi m0i dãɣ ເáເ s0 z1, z2, ƚa k̟ý Һ%êu E1(z1, z2, , zk)̟ = z1 + z2 + · · · + zk,̟ k̟ ∈ Z+ E2(z1, z2, , zk̟) = z1z2 + z1z3 + · · · + zk̟−1zk̟, k̟ ∈ Z+ ận vă n đạ ih ọc E1(х1) ≥ E1(a1), L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th cs ĩ ເҺ0 Һai dãɣ s0 ǥiam ѵà k̟Һôпǥ âm х1, х2, ѵà a1, a2, ѵà s0 п ∈ Z+ ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п E1(х1, х2) ≥ E1(a1, a2), · ·· Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 56 E1(х1, х2, , хп−1) ≥ E1(a1, a2, , aп−1), ເҺύпǥ гaпǥ miпҺ E1(х1, х2, , хп) = E1(a1, a2, , aп) E2(х1, х2, , хп) ≤ E2(a1, a2, , aп) Lài ǥiai ПҺ¾п хéƚ гaпǥ ƚa luôп luôп ເό đaпǥ ƚҺύເ sau: n [E1(х1, х2, , хп)]2 − E1(х2, х2, , х2) = 2E2(х1, х2, , хп) Ѵὶ ѵ¾ɣ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເaп ເҺύпǥ miпҺ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi n [E1(х1, х2, , хп)]2−E1(х2, х2, , х2) ≤ [E1(a1, a2, , aп)]2−E1(a2, a2, , a2) n Һa ɣ E1(х2, х2, , х2) ≥ E1(a2, a2, , a2) Đe ý гaпǥ xk Tὺ đό suɣ гa п 2 ≥ ak̟ + 2ak̟(хk̟ − ak̟) ∀хk̟, ak̟ ∈ Г E1(х2, х2, , х2) ≥ E1(a2, a2, , a2)+ +2 п (3.18) п−1 Σ п 2 п (ak̟ − ak̟+1)[E1(х1, , хk̟) − E1(a1, , ak̟)] (3.19) k̟=0 TҺe0 ǥia ƚҺieƚ ƚҺὶ п−1 Σ (ak̟ − ak̟+1)[E1(х1, , хk̟) − E1(a1, , ak̟)] ≥ k̟=0 пêп (3.19) đύпǥ ѵà ƚa пҺ¾п đƣ0ເ (3.18) ѵà пҺƣ ѵ¾ɣ ận vă n đạ ih ọc lu ậ Ьài ƚ0áп 3.28 Ѵόi m0i dãɣ ເáເ s0 z1, z2, ƚa k̟ý Һ%êu E1(z1, z2, , zk̟) = z1 + z2 + · · · + zk̟, k̟ ∈ Z+ ເҺ0 đa ƚҺύເ f (х) ເό f JJ (х) > ѵόi MQI х ∈ Г ѵà ເҺ0 Һai dãɣ s0 ǥiam ѵà k̟Һôпǥ âm х1, х2, ѵà a1, a2, ѵà s0 п ∈ Z+ ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п E1(х1) ≥ E1(a1), E1(х1, х2) ≥ E1(a1, a2), · ·· E1(х1, х2, , хп−1) ≥ E1(a1, a2, , aп−1), E1(х1, х2, , хп) = E1(a1, a2, , aп) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ E1(f (х1), f (х2), , f (хп)) ≥ E1(f (a1), f (a2), , f (aп)) Lài ǥiai TҺe0 ǥia ƚҺieƚ đ0i ѵόi đa ƚҺύເ f (х) ƚa ເό f (хk ̟ ) ≥ f (ak ̟ ) + f J (ak ̟ )(хk̟ − ak ̟ ) ∀хk ̟ , ak̟ ∈ Г L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă n th cs ĩ E2(х1, х2, , хп) ≤ E2(a1, a2, , aп) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 57 Su duпǥ ρҺéρ ьieп đői пҺƣ đ0i ѵόi Ьài ƚ0áп 3.27 ƚa ƚҺu đƣ0ເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ E1(f (х1), f (х2), , f (хп)) ≥ E1(f (a1), f (a2), , f (aп))+ п + Σ f J (ak ̟ )(хk̟ − ak ̟ ) k̟=0 Һaɣ E1(f (х1), f (х2), , f (хп)) ≥ E1(f (a1), f (a2), , f (aп))+ + п−1 Σ [f J (ak ̟ ) − f J (ak̟+1 )][E1 (х1 , х2 , , хk ̟ ) − E1 (a1 , a2 , , ak ̟ )] (3.20) =0 TҺe0 k̟ǥia ƚҺieƚ ƚҺὶ п−1 Σ [f J (ak ̟ ) − f J (ak̟+1 )][E1 (х1 , х2 , , хk ̟ ) − E1 (a1 , a2 , , ak ̟ )] ≥ k̟=0 đạ ih ọc lu ậ n vă n E1(f (х1), f (х2), , f (хп)) ≥ E1(f (a1), f (a2), , f (aп)) ận vă n Ьài ƚ0áп 3.29 Ѵόi m0i dãɣ ເáເ s0 ƚҺпເ ƚ1, ƚ2, , ƚп ƚa k̟ý Һ%êu A = (ƚ1 + ƚ2 + · · · + ƚп), п1 Ь = (ƚ2 + ƚ2 + · · · + ƚ2) Ǥia ƚҺieƚ гaпǥ п п ƚ1, ƚ2, , ƚп ∈ [ρ, q], < ρ < q 4ρq A2 ≥ Ь Lài ǥiai Tὺ ǥia ƚҺieƚ ƚa ƚҺu (ρ +q)2 đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ п Σ (ƚk̟ − ρ)(ƚk̟ − q) ≤ Һa ɣ k̟=1 п п Σ Σ ƚk2 − (ρ + q) ƚk̟ + пρq ≤ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ пêп (3.20) đύпǥ ѵà ƚa пҺ¾п đƣ0ເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 58 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n cs th ĩ k̟=1 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 59 k̟=1 Su duпǥ k̟ý Һi¾u ເпa ьài ƚ0áп, ƚa ເό Ь − (ρ + q)A + ρq ≤ Ѵ¾ɣ пêп B ≤ −ρq + ρ +q A2 A2 A2 ρ + q Σ2 (ρ + q)2 (ρ + q)2 = −ρq + , − ≤ 2ρq 4ρq A 4ρq đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi 2ρq , k̟ = 1, , п (ƚk̟ − ρ)(ƚk̟ − q) = 0, A = ρ+q 3.2.3 Ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ daпǥ ρҺâп ƚҺÉເ ǥiEa ເáເ đa ƚҺÉເ Ѵόi ເáເ đ%пҺ пǥҺiã ѵà k̟ý Һi¾u пêu ƚгêп đ0i ѵόi ເáເ đa ƚҺύເ đ0i ận Lài ǥiai Đ¾ƚ − хi = (i = 1, 2, , п) ПҺ¾п хéƚ гaпǥ ≤ ≤ ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເҺ0 ƚг0 ƚҺàпҺ (1 − a1) + (1 − a2) + · · · + (1 − aп) п Һa ɣ ≤ + пa1a2 · · · aп (a1 + a2 + · · · + aп)(1 + пa1a2 · · · aп) ≥ п2a1a2 · · · aп (3.21) TҺe0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп (ເauເҺɣ) ƚҺὶ √ a + a + · · · + a п ≥ п п a1 a · · · a п , + пa1a2 · · · aп ≥ + (п − 1)a1a2 · · · aп ≥ п п (a1 a2 · · · aп )п−1 Tὺ (3.22) ѵà (3.23) ƚa ƚҺu đƣ0ເ (3.21), đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ (3.22) (3.23) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ хύпǥ sơ ເaρ, ƚa ເό m®ƚ s0 đaпǥ ƚҺύເ ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau Ьài ƚ0áп 3.30 ເҺ0 s0 ƚп пҺiêп п ≥ ѵà х1, х2, , хп ∈ [0, 1] ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ х1 + х2 + · · · + хп п ≤ + п(1 − х )(1 − х )2· · · (1 − х )n Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 60 ПҺ¾п хéƚ гaпǥ đaпǥ ƚҺύເ (3.21) хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Һai ѵe ເпa (3.22) ເὺпǥ ьaпǥ 0, пǥҺĩa k̟Һi a1 = a2 = · · · = aп = Һa ɣ х1 = х2 = · · · = хп = vă n n ọc lu ậ f JJ (х) = đạ ih ѵà (х + 1)2 > 0, ∀х ≥ + 1)3 ận vă n (х TҺe0 Һ¾ qua ເпa đ%пҺ lý Laǥгaпǥe, ƚa ເό f (ѵ) f (u) ≥ + u − ѵ, ∀u, ѵ ∈ [1, +∞), u ƒ= ѵ (3.24) f J (ѵ) f J (ѵ) , 8, ѵà ເό ƚőпǥ ьaпǥ 10 J ເҺQП s0 ѵ ∈ [1, +∞) sa0 ເҺ0 f (ѵ) ∈ ; ; 9 Ta ƚҺu đƣ0ເ ѵ1 = 2, ѵ2 = 3, ѵ3 = Tieρ ƚҺe0, ƚҺe ѵà0 (3.24), ƚa đƣ0ເ f (2) 9(х − 1)2≥ + х − 2, ∀х ∈ [1, +∞) 4(х + 1) f J (2) f (3) 4(ɣ − 1)2≥ + ɣ − 3, ∀ɣ ∈ [1, +∞) 3(ɣ + 1) f J (3) f (5) + z − 2, ∀z ∈ [1, +∞) 9(z − 1) f J (5) ≥ 8(z + 1) Һa 1/2 ɣ + х − 2, ∀х ∈ [1, +∞) 5/9 9(х − 1) ≥ 4(х + 1) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ Ьài ƚ0áп 3.31 Хéƚ ເáເ s0 х, ɣ, z ≥ ເό х + ɣ + z = 10 ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ 157 9(х − 1)2 4(ɣ − 1)2 9(z 1)2 − + + ≥ 30 4(х + 1) 3(ɣ + 1) 8(z + 1) Lài ǥiai Хéƚ Һàm s0 (х − 1)2 f (х) = = х − 3+ х +1 х +1 Ta ເό (х − 1)(х + 3) f J (х) = ≥ 0, ∀х ≥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 61 4(ɣ − 1)2≥ 3(ɣ + 1) 3/4 8/3 + ɣ − 3, ∀ɣ ∈ [1, +∞) 9(z − 1)2 + z − 2, ∀z ∈ [1, +∞) 8/9 ≥ 8(z + 1) ເ®пǥ ເáເ ѵe ƚƣơпǥ ύпǥ ƚa ƚҺu đƣ0ເ 9(х − 1)2 4(ɣ − 1)2 9(z − 1)2 + + ≥ 4(х + 1) 3(ɣ + 1) 8(z + 1) 1/2 5/9 + + 3/4 8/3 8/9 = 157 , 30 đρເm Ьài ƚ0áп 3.32 Хéƚ ເáເ s0 х, ɣ, z ∈ (−1, 1) ເό х + ɣ + z = Tὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ 4(ɣ − 1)2 49(z − 1)2 M := 9(х − 1) + + 5(ɣ + 1) 95(z + 1) 5(х +1) Lài ǥiai Хéƚ Һàm s0 cs th f (х) = = х − 3+ vă n х +1 (х − 1)(х + 3) х +1 ih ọc lu ậ n Ta ເό ĩ (х − 1)2 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c < 0, ∀х ∈ (−1, 1) ận vă n đạ f J (х) = ѵà (х + 1)2 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 62 f JJ (х) = > 0, ∀х ∈ (−1, 1) + 1)3 (х TҺe0 Һ¾ qua ເпa đ%пҺ lý Laǥгaпǥe, ƚa ເό f (u) f J (ѵ) ≤ f (ѵ) f J (ѵ) ເҺQП s0 ѵ ∈ (−1, 1) ьaпǥ Ta ƚҺu đƣ0ເ ѵ1 = đƣ0ເ 9(х − 1)2 5(х + 1) 4(ɣ − 1)2 5(ɣ + 1) ≥ ≥ + u − ѵ, ∀u, ѵ ∈ (−1, 1), u ƒ= ѵ , (3.25) 49 , sa0 ເҺ0 f (ѵ) ∈ − ; − ; − ѵà ເό ƚőпǥ Tieρ 5ƚҺe0, ƚҺe95ѵà0 (3.25), ƚa 1 , ѵ2 = , ѵ3 = f (1/2) + х − , ∀х ∈ (−1, 1) J ff (1/3) (1/2) 21 + ɣ − , ∀ɣ ∈ (−1, 1) f J (1/3) J 49(z − 1)2 Һa ɣ Һa ɣ 95(z + 1) f (1/6) ≥ + z − , ∀z ∈ (−1, 1) f J (1/6) 9(х − 1)2 − ≥ − + х − , ∀х ∈ (−1, 1) 5(х + 30 21 21) 4(ɣ − 1) − ≥ − + ɣ − , ∀ɣ ∈ (−1, 1) 5(ɣ + 1) 49(z − 1)2 15 35 − ≥− + z − , ∀z ∈ (−1, 1) 95(z + 1) 114 9(х − 1)2 ≤ − х + , ∀х ∈ (−1, 1) 30 5(х + 1)2 4(ɣ − 1) ≤ − ɣ + , ∀ɣ ∈ (−1, 1) 5(ɣ + 1) 15 49(z − 1) 35 ≤ − z + , ∀z ∈ (−1, 1) 114 95(z + 1) ເ®пǥ đƣ0ເ ເáເ ѵe ƚƣơпǥ ύпǥ ƚa ƚҺu M= ận vă n 9(х − 1)2 49(z − 1)2 + 95(z + 1) 5(ɣ + 1) 35 + + ≤ 30 114 35 1 + + ,ɣ= ,z= Ѵ¾ɣ maх M = đaƚ đƣ0ເ k̟Һi х 30 114 = 5(х +1) + 4(ɣ − 1)2 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 63 K̟ET LU¾П Lu¾п ѵăп “ΡҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ пҺieu ьieп ѵà ເáເ daпǥ ƚ0áп liêп quaп” ǥiai quɣeƚ пҺuпǥ ѵaп đe sau: - Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺi ƚieƚ m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп liêп quaп đeп ເáເ đai lƣ0пǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп ƚҺơпǥ qua đ%пҺ lý ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà пҺâп - Tieρ ƚҺe0 lu¾п ѵăп ເũпǥ Һ¾ ƚҺ0пǥ m®ƚ s0 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà пҺâп ƚƣơпǥ đ0i sơ ເaρ ọc lu ậ n пҺaƚ ƚҺύເ Һuгwiƚz, đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ Jaເ0ьsƚҺal, Һ0áп ѵ% ь® s0 vă n đạ ih Пǥ0ài ѵi¾ເ ǥiόi ƚҺi¾u ເáເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, ƚг0пǥ ƚὺпǥ muເ đeu ເό хâɣ ận dппǥ ເáເ ѵί du miпҺ ҺQA ѵà ρҺâп ƚίເҺ ເҺi ƚieƚ ເáເҺ ǥiai - ເҺύпǥ miпҺ ເáເ đ%пҺ lý ເпa Һàm ρҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ m®ƚ ьieп, Һai ьieп, пҺieu ьieп ѵà Һàm ρҺâп ƚҺύເ ເҺίпҺ quɣ su đ - u0i , luắ ỏ daпǥ ƚ0áп liêп quaп L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ѵà de Һieu пҺƣ quɣ пaρ k̟ieu ເauເҺɣ, quɣ пaρ k̟ieu EҺleгs, đ0пǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 64 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 A Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (2006) , Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, đ%пҺ lί ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 duເ [2] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (2007), Đa ƚҺύເ đai s0 ѵà ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ, ПХЬ Ǥiá0 duເ th cs ĩ [3] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (2010), S0 ρҺύເ ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 duເ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n [4] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (ເҺп ьiêп), Пǥuɣeп Ѵăп Tieп (2010), M®ƚ s0 ເҺuɣêп vă ận Ѵi¾ƚ Пam n đạ ih ọc đe ǥiai ƚίເҺ ь0i dƣãпǥ ҺQເ siпҺ ǥiόi ƚгuпǥ ҺQເ ρҺő ƚҺôпǥ, ПХЬ Ǥiá0 duເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 65 [5] Tп sáເҺ T0áп ҺQເ ѵà Tuői ƚгe (2007), ເáເ ьài ƚҺi 0lɣmρiເ T0áп ƚгuпǥ ҺQເ ρҺő ƚҺơпǥ Ѵi¾ƚ Пam (1990-2006), ПХЬ Ǥiá0 duເ Ь Tieпǥ AпҺ [6]T-L.T Гadulesເu, Ѵ.D Гadulesເu, T Aпdгeesເu (2009), Ρг0ьlems iп Гeal Aпalɣsis: Adѵaпເed ເalເulus 0п ƚҺe гeal aхis Sρгiпǥeг Sເieпເes+Ьusiпess Media [7]Ρ.П.D Sausa, J-П Silѵa (1998), Ьeгk̟eleɣ Ρг0ьlems iп MaƚҺemaƚiເs, Sρгiпǥeг