Luận văn bao đa cực và tập đa cực đầy trong cn

I HC THãI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM U TҺÀ ҺŒПǤ ЬA0 A ເÜເ Ѵ€ TŠΡ A ເÜເ †Ɣ TГ0ПǤ ເп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUŠП T S T0ã TĂi uả 2016 I HC THãI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM U T ЬA0 A ເÜເ Ѵ€ TŠΡ A ເÜເ †Ɣ TГ0ПǤ ເп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺuɣ¶п пǥ пҺ: II Tã M số: 60.46.01.02 LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a S.TSK U QUA DIU TҺ¡i Пǥuɣ¶п 2016 i Lίi ເam 0aп Tỉi хiп ເam 0a ởi du ẳ luê ô п ɣ l ƚгuпǥ ƚҺüເ, k̟Һỉпǥ ƚгὸпǥ l°ρ ѵỵi ເ¡ເ à i kĂ Ă ổ i ẵ dă luê ô  ữủ ó uỗ ố TĂi uả, Ă ôm 2016 ữi iá luê ô uạ TҺà Һ¬пǥ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ii Li Êm ữủ luê ô, em luổ ê ữủ sỹ ữợ dă i ù iằ ẳ ừa S.TSK uạ Qua Diằu ( Ôi Sữ Ôm ởi I) Em i Ơ ọ lỏ iá sƠu s- Ư i ỷi li i Ơ Đ ừa em ối ợi iÃu Ư  d em Em хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£m ὶп Ьaп Ǥi¡m Һi»u пҺ ữ, a iằm k0a 0Ă, a l Ô0 ỏ sau Ôi ồ, quỵ Ư ổ iÊ dÔ lợ a0 K22 (2015 - 2016) Tữ Ôi Sữ Ôm n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu n n vl lu lu - Ôi TĂi uả  ê ẳ uÃ Ô kiá quỵ Ău ụ ữ Ô0 iÃu kiằ em п ƚҺ пҺ k̟Һâa Һåເ Em хiп ǥûi lίi ເ£m Ơ Đ ợi ia ẳ, Ô , ữi  luổ iả, ộ ủ Ô0 måi i·u k̟i»п ເҺ0 em ƚг0пǥ suèƚ qu¡ ƚг¼пҺ Һåເ ê ỹ iằ luê ô D0 ô lỹ ỏ Ô ả kõa luê kổ Ă kọi iáu sõ, em Đ m0 ê ữủ sỹ õ õ ỵ kiá ừa Ă Ư ổ luê ô ữủ iằ TĂi uả, Ă ôm 2016 ữi iá luê ô iii uạ T n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu iv Möເ löເ Lίi ເam 0aп i Lίi ເ£m ὶп ii Mưເ lưເ iii Mð ¦u n Kiá uâ Kiá uâ ьà yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 2 1.1 m iÃu ỏa dữợi, a iÃu ỏa dữợi 1.2 Mià iÊ lỗi 1.3 Tªρ a ເüເ 1.4 Ьa0 a ເüເ 12 1.5 Dáпǥ d÷ὶпǥ, âпǥ 15 1.6 T0¡п ƚû M0пǥe Amρeгe 16 1.7 ë i·u Һáa 18 a0 a ỹ ê a ỹ Ư ƚг0пǥ ເп 2.1 Tªρ a ເüເ ѵ ьa0 a ເüເ ¦ɣ ƚг0пǥ ເп 20 2.2 a0 a ỹ ừa ỗ ƚҺà ƚг0пǥ ເп 25 20 v Ká luê u 32 T i liằu am kÊ0 33 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Mð ¦u m a iÃu ỏa dữợi l mở ối ữủ qua ừa iÊi ẵ iÃu iá ừa lỵ uá a Tê ỹ ừa mở m a iÃu ỏa dữợi ữủ ắa l Ư m ả õ m D0 l0, m0du ເõa mëƚ Һ m ເҺ¿пҺ Һ¼пҺ l Һ m a iÃu ỏa dữợi ả ê ỹ ừa m a iÃu ỏa dữợi (a ỏ ồi l ê a ỹ) l m ỹ iả ừa kĂi iằm ê iÊi ẵ iả u a0 a ỹ ừa mở ê ỹ ເҺ½пҺ ên sỹ c uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu l mỉ ƚ£ sü mð гëпǥ ເ¡ເ ƚªρ a ເüເ õ ụ ữ ỹ ữ m Ă ê iÊi ẵ Luê ô ẳ lÔi mở số ká quÊ ừa uạ Qua Diằu Ôm iằ ѵ· ьa0 a ເüເ ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ пҺi·u ເҺi·u (ເп, 2) i kiá uâ ữ I áu à kĂi iằm m iÃu ỏa dữợi, a iÃu ỏa dữợi, mià iÊ lỗi, dỏ d÷ὶпǥ âпǥ ѵ ƚ0¡п ƚû M0пǥe - Amρeгe, ƚг0пǥ ເҺ÷ὶпǥ II ổi ẳ Đu ừa a0 a ỹ ừa ỗ mở m ẳ ả Ư ừa mở ê iÊi ẵ ( lỵ 2.1.3 lỵ 2.2.1) mở ká quÊ quĂ Ã ủ ừa ê a ỹ Ư ƚг0пǥ пҺύпǥ mi·п k̟Һ¡ເ пҺau ເơпǥ l ƚªρ a ເüເ Ư ả mở mià ( lỵ 2.1.1) ữ Kiá uâ 1.1 m iÃu ỏa dữợi, a iÃu ỏa dữợi ắa 1.1.1 Ǥi£ sû Х l k̟Һæпǥ ǥiaп ƚæρæ Һ m u : Х → [−∞, +∞) ǥåi l пûa li¶п ả ả áu ợi mội ƚªρ n yê sỹ c học cngu α h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Х = {х ∈ Х : u(х) < α} l mð ƚг0пǥ Х àпҺ пǥҺ¾a 1.1.2 Ǥi£ sû D l ƚªρ mð ƚг0пǥ ເ Һ m u : D → [, +) ồi l iÃu ỏa dữợi ả D áu õ ỷa liả ả ả D 0Ê m Рdữợi u ẳ ả D, ắa l ợi mồi D ỗ Ôi > sa0 ເҺ0 ѵỵi måi ≤ г ≤ ρ ƚa ເâ ∫ u(ω) ≤ 2π 2π u(ω + ei )d (1.1) ỵ ợi ắa ả ẳ m ỗ Đ ả D ữủ em l m iÃu ỏa dữợi ả D Ta kỵ iằu ê Ă m iÃu ỏa dữợi ả D l S(D) Sau Ơ l ẵ dử Ă ỵ à m iÃu ỏa dữợi à 1.1.3 áu f : D → ເ l Һ m ເҺ¿пҺ Һ¼пҺ ả D ẳ l0 |f | l m iÃu ỏa dữợi ả D mi Tữ ủ f ẳ ká quÊ l ó Ǥi£ sû f ƒ≡ ƚг¶п D K̟Һδi >â0гãsa0 г пǥ l0ǥ | l0 Һ m Ь(z пûa0,li¶п áu f (z0) = ẳ 0ỏa f |f ƒ= ƚг¶п δ) ∈=ƚưເ {z ƚг¶п ∈|zD−D :z|z − zδ} 0| < δ} K̟Һi â l0ǥ |f | l Һ m i·u ƚг¶п Ь(z , δ) = {z D : | < ả (1.1) 0 ữủ ọa m ợi dĐu Tữ ủ f (z0) = K̟Һi â l0ǥ |f (z0)| = −∞ ѵ d0 â (1.1) luổ lỵ sau Ơ Đ ẵ iÃu ỏa dữợi l Đ iá qua Ă Ô ẳ ia Ă ê m lỵ 1.1.4 iÊ sỷ f : D1 D2 l Ă Ô ẳ ia ê áu iÃu m ỏa0 dữợi ả D1u l m iÃu ỏa dữợi ả D2 ƚҺ¼ u ◦ f l Һ m miпҺ u f l iÃu ỏa dữợi ả mội mià 0ma ữ ối E1 ô D1 mi ẳ ẵ iÃu ỏa dữợi l ẵ a ữ ả Ư iÊ sỷ E1 l mià ữ ê Ki õ E2 = f (E1) ô D2 d m i·u Һáa ƚгὶп {uп} ∈ ເ∞(E2) sa0 ເҺ0 uп \ u ƚг¶п E2 Ta ເâ ∆uп ≥ ƚг¶п E2 ên ѵỵi måi п ≥ Ta ເâ sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđп ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu J ∆(uп ◦ f ) = (∆(u ) ◦ f )|f |2 ƚг¶п D1 D0 â uп ◦ f l m iÃu ỏa dữợi ả E1 ữ u ◦ f \ u ◦ f ƚг¶п E1 п¶п u f l m iÃu ỏa dữợi ả D1 lỵ ữủ mi ắa 1.1.5 iÊ sû D ⊂ ເп l ƚªρ mð, u : D → [−∞, +∞) l Һ m пûa li¶п ƚưເ ƚг¶п, kổ ỗ Đ ả mồi Ư li¶п ƚҺỉпǥ ເõa D Һ m u ǥåi l a iÃu ỏa dữợi ả D áu ợi mồi a D ѵ ь ∈ ເп, Һ m λ −→ u(a + ) l iÃu ỏa dữợi ả måi 19 Пǥ0 i гa º пǥҺi¶п ເὺu ьa0 a ỹ a Ư ợi ká quÊ Â iá ừa Ediaia Wieeik lỵ 1.7.3 iÊ sỷ D l mở ê m E l ê l0Ôi F l0 ừa D Ki õ ợi Đ k ẳ ê D ô D ợi mội ê mð U ເõa D J ƚҺäa m¢п ED∗ ∩ ∂U = ∅ ƚa ເâ J J J J J ω(z, E ∩ D , D ) = ω(z, E ∩ U ∩ D , U ∩ D ), ∀z ∈ U ∩ D Ьê · 1.7.4 Ǥi£ sû D l mëƚ mi·п ƚг0пǥ ເп ѵ E l ƚªρ a ỹ Ư, õ ừa D Ki õ ợi måi mi·п ເ0п ເ0mρaເƚ ƚ÷ὶпǥ èi D J ເõa D , ỗ Ôi mở m a iÃu ỏa dữợi Ơm ả D J ọa m (a) = −∞ ƚг¶п E ∩ DJ (b) eϕ li¶п ƚưເ ƚг¶п DJ l m a iÃu ỏa dữợi , lợ n ả D \E J yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 20 ເҺ÷ὶпǥ a0 a ỹ ê a ỹ Ư 2.1 Tê a ỹ a0 a ỹ Ư Ká quÊ Ưu iả ừa luê ô l lỵ sau Ơ, õi ủ ừa mở ê a ỹ Ư ợi Ư ừa mở ê a ỹ Ư kĂ s l ê a ỹ Ư ả mià гëпǥ Һὶп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu àпҺ lỵ 2.1.1 iÊ sỷ D l mở mià ѵ ເҺ0 E ⊂ D l mëƚ ƚªρ a ເüເ ¦ɣ, âпǥ ເõa D Ǥi£ sû F l ƚªρ a ỹ Ư ừa D\E Ki õ: (a) ợi mồi mià 0ma ữ ối DJ ừa D, ê (E F ) DJ lê a ỹ Ư DJ (b) áu D l mià iÊ lỗi áu F l ê Ă l0Ôi F D\E, k̟Һi â E ∪ F l ƚªρ a ເüເ ¦ɣ ƚг0пǥ D °ເ ьi»ƚ FD∗ ⊂ E ∪ F ເҺὺпǥ miпҺ (a) Tø Ьê · 1.7.4 ƚa х¡ເ ữủ mở m a iÃu ỏa dữợi ƚг¶п D sa0 ເҺ0 ϕ li¶п ƚưເ ƚг¶п DJ\E ѵ = ả DJ E LĐ mở m a iÃu ỏa dữợi ả D\E sa0 ເҺ0 ѵ ƒ≡ −∞, ѵ ≡ −∞ ƚг¶п F Ѵỵi méi j ≥ ƚa °ƚ 21 ϕj = maх ѵ − aj + ϕ, −2j } + |aj| ƚг¶п DJ ∩ {ϕ ≥ −2j } ƚг¶п DJ ∩ {ϕ < −2j }, { −2j ƚг0пǥ â aj := suρ ѵ(z) ∩{ϕ≥−2j } z ∈D ເҺuéi ϕ := Σ ϕj /2j х¡ເ àпҺ mëƚ Һ m a i·u ỏa dữợi ả D iÃu J j0 õ ỹ iá su a ả (E F ) ∩ D Ѵỵi z0 ∈ D\(E ∪ F ),j ƚa sa0 ເҺ0 ѵỵi måi ≥ j0ເâ ƚaѵ(z ເâ:0) > −∞ ѵ ϕ(z0) > −∞, d0 â ເâ j0 õ lỵп J ѵ(z0) − aj ϕj(z0 ) ≥ ϕ(z0 ) + + |aj| iÃu dă (z0) > ẳ ê (E F ) D l ê a ỹ Ư ả D J J () ữủ su a ỹ iá ứ (a) ѵ Ьê ·yên 1.4.5 sỹ c ọc u Һ» qu£ 2.1.2 h cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ǥi£ sû D, E, F l Ă mià ữ lỵ (2.1.1) iÊ sû г¬пǥ F ∩ E = ∅ ѵ F l ê l0Ôi F D\E Ki õ a õ F D l ê a ỹ Ư D ợi mồi mià 0ma J J ữ èi D ເõa D J ເҺὺпǥ miпҺ Ta sû dưпǥ ǥi£ ƚҺi¸ƚ ƚø mưເ ເõa [5] ເҺåп Һai ê m U1 U2 ọa m F U1 ⊂ D, E ⊂ U2 ⊂ D U1 ∩ U2 = ∅ °ƚ U := U1 ∪ U2 Tứ lỵ 2.1.1 a õ FD E F i·u п ɣ пǥҺ¾a l FD∗ ∩ ∂U = ∅ 22 ເҺåп mi·п ເ0п D ເõa D sa0 D ô D ô D Te0 lỵ 1.7.3 ƚa ເâ JJ J JJ JJ JJ JJ JJ JJ ω(z, F ∩ D , D ) = ω(z, F ∩ U ∩ D , U ∩ D ), z U D ỵ U ∩ D l Һđρ гίi ເõa Һai ƚªρ mð U1 ∩ D ѵ U2 ∩ D ເҺ0 п¶п JJ JJ JJ JJ JJ JJ ω(z, F ∩ U ∩ D , U ∩ D ) = 0, z ∈ U2 D ẳ ê JJ JJ JJ (z, F ∩ D , D ) = 0, z ∈ U2 ∩ D °ເ ьi»ƚ i·u п ɣ όпǥ ѵỵi måi z ∈ E ∩ D D0 â (F ∩ D )− =D F ∩ D JJ JJ JJ JJ uối a Ă dử lỵ 3.2 [6] ká luê F l ê a ỹ Ư D J Ká quÊ ẵ ừa luê ô õi sỹ m ừa ê a ỹ l õ iợi Ô n yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu lỵ 2.1.3 iÊ sỷ D l mià iÊ lỗi , f lm ẳ ả D sa0 S := {z ∈ D : f (z) = 0} l mở a Ô ối iÃu D Ki õ ợi mồi ê a ỹ E ເõa D\S, ƚªρ ED∗ ∩ S l mëƚ ƚªρ a ỹ (ữ ối ợi S) mi lỵ 2.1.3 a Ư mi ká quÊ sau Ơ à sü Һëi ƚư ເõa d¢ɣ Һ m a i·u Һáa dữợi ả Ă siảu m à 2.1.4 D l mở mià siảu lỗi f l m ẳ ả D sa0 ເҺ0 S := {z ∈ D : f (z) = 0} l mở a Ô ối iÃu ƚг0пǥ D Ǥi£ sû {uj }j ≥1 l mëƚ d ô Ă m a iÃu ỏa dữợi ả D sa0 ເҺ0 (a) lim uj(ξ) = ѵỵi måi j ≥ ξ→∂ D (b) −1 ≤ uj ≤ ѵỵi måi j ≥ 23 (c) uj (.k.) ả D mội ê 0ma K ừa D\S kổ uở (d) su(dduj) ô K ợi j K̟Һi â uj|S ↑ (Һ.k̟.п) (ƚ÷ὶпǥ èi ợi du lữủ ả S) mi ѵj := uj |S K̟Һi â ѵj l Һ m a iÃu ỏa dữợi ả S Һὶп пύa ѵj l Һ m ƚ«пǥ Ta ρҺ£i ເҺ¿ a := ( lim j ) ỗ Đ j ả S ỵ j ả S ợi mồi j Ki õ ƚø (a) suɣ гa ѵ(ξ) = lim ξ→∂D,ξ∈S Sau ki ia f i mở số lợ, a õ iÊ sỷ fD < Ta ữủ 0≤ D ເ −uj dd (l0ǥ |f |) ∫ên ỹ − l0ǥ |f |(ddເ uj )п y s c jhọc cngu ∧ ddເuĩthạп−1 ọi o ≤ s a há ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl lu ậ u ເl п (2.1) D Tứ (),(d) lỵ ởi i»u Ьedf0гd - Taɣl0г ƚa ເâ: lim j→ ∞ ∫ ∫ − l0ǥ |f |(ddເ uj )п = − l0ǥ |f |(dd uj ) = D (2.2) K K̟¸ƚ Һđρ (2.1),(2.2) ƚa ÷đເ: ∫ lim j→ ∞ −uj ddເ l0ǥ |f | ∧ (ddເuj )п−1 = D Ь¥ɣ i a Ă dử lỵ ừa edf0d - Tal0 ê ữủ: S j (dd l ѵj ) п−1 = i·u п ɣ ເâ пǥҺ¾a D ∫ ເ п−1 − ѵj (dd ѵj ) = lim j→ ∞ uj ddເ (l0ǥ |f |) ∧ (ddເuj )1 S ỵ −ѵj D0 â ∫ − ѵ(ddເ ѵj )п−1 = lim j S 24 ã dử lỵ Һëi ƚư ὶп i»u Ьedf0гd - Taɣl0г ∫ ƚa ÷đເ (ddເ ѵj )п−1 → − ѵ(ddເѵ)п−1 = Ѵ¼ (ddເѵ)п−1 ả S e0 ữ ừa dỏ D0 õ S ê ∫ (ddເѵ)п−1 = {ѵ ẳ J J f (z ) = j 2πi J ∫ |z1|=г f (z1 , z )z j−1 dz1 ẳ ê (2.9) ữủ mi ứ iảu uâ ữợ lữủ Ká quÊ uối ữủ mi ứ ổ ເauເҺɣ - Һadamaгd ѵ· ь¡п k̟½пҺ Һëi ƚư ເõa ເҺi lụ ứa mi ừa lỵ 2.2.1 Ta s mi (i) (ii) ỗ i Ă sỷ dử ỵ ữ ứ [16] [11] ợi j 1, °ƚ aj := − l0ǥ( Σ ǁ fm ǁK̟) m≥j+1 Tø (2.9) ѵ ǥi£ ƚҺi¸ƚ (a) ƚa ເâ aj l mở d à số ỹ ô dƯ ên sỹ c uy àпҺ пǥҺ¾a c ọ g h cn th o ọi sĩ a há ăcn n c đcạtih v j nth vă hnọ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ j→∞ j ận v unậ lu ận n văl lu ậ u п−1 l ∗ J l0ǥ |f (z )| u(z ) = lim suρ , z ∈ເ a J п−1 Tø (2.9) ƚa ເâ u ≤ ƚг¶п ເ D0 â u l Һ m a i·u Һáa ƚг¶п ເп−1 ѵ u ả ẳ u() = u () = 0, e0 uả lỵ ỹ Ôi a su гa u∗ ≡ ƚг¶п ເп−1 °ƚ A := {z ∈ ເп−1 : u(z ) ƒ= 0} TҺe0 àпҺ lỵ 7.1 [3] , A l ê a ỹ ( 1) ẳ ê õ (i) (ii) õ Êi ọa m ợi mồi / A ເ ƚҺ¼ iºm a := α J J J (0, , ) / (f )+1 J Ưu iả, a °ƚ S := {(z1, , zп, f (z1, , zп)) : < |z1| < 3/2, |zi| < 1, ∀2 ≤ i ≤ п} º 28 Һiºп пҺi¶п S l ê ừa f LĐ mở d {k}k1 Ă số ọa m < k , k ∞ ѵ n+1 {a} ∪ S ⊂ {(z1, , zп+1) ∈ ເ : maх(|z1|, , |zп+1|) < г1} Ѵ¼ u(α ) = 0, a ẳm ữủ mở d js ∞ sa0 ເҺ0 l0ǥ |fj (α )| lim s = s a js Tiá õ a ợi k ≥ J J ເè (2.10) ∆k̟ := {(z1, , zп+1) ∈ ເп+1 : maх(|z1|, , |zп+1|) < гk̟} àпҺ k̟ ≥ 1, ƚa s³ х¥ɣ düпǥ mëƚ Һ m a iÃu ỏa dữợi Ơm k ả k sa0 ѵk̟ ≡ −∞ ƚг¶п S ƚг0пǥ â ѵk̟(a) > −∞ ká iÃu a ắa js Σ fm (z ) J ) := l0ǥ |(z u (z ,z , k̟,s п+1 − f n(z) − yê sỹ c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ạtih vạăc п+1 n c nth vă ăhnọđ ậ n i u n văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ п+1 lu js = l0ǥ |((z js )z js | z m=1 js Σ − f (z))z − js 1m J m (z )z js −m | m=1 f m ѵỵi måi m ≥ 1, ƚг0пǥ Tø (2.9) ƚa ເҺåп M > sa0 ເҺ0 ǁ fm ǁθ(∆ )< M k â θ : (z1, z ) z J ỵ J l := maх(гk̟, M, ǁ f0 ǁ∆K̟ ) г¬пǥ l > Ta ເâ ¡пҺ ǥi¡ sau ƚг¶п ∆K̟ js 1Σ − log(2l +km̟ js m uk̟,s ≤ js m=1 r M ) Σ js ≤ l2m−js ) j l0ǥ(2l + s ≤ m=1js l )< l0ǥ(2l + l0ǥ(2js ljs ) < + l0ǥ l j s js js (2.11) 29 ѵỵi ∀s ≥ s0 lợ Tứ (2.9) a su a J lim l0ǥ |fjs (α )| = −∞ js s→∞ i·u п ká ủ ợi (2.10) a ữủ J l0 |fj (α )| lim aj = +∞ s − l0ǥ l − = js ajs − l0ǥ l − − js ѵ lim s s→∞ s→∞ js Ь¬пǥ ເ¡ເҺ х²ƚ d¢ɣ ເ0п ƚa ເâ ƚҺº ǥi£ sû J l0ǥ |fj (α )| jss − l0ǥ l − 0< < , ∀s ≥ ajs s − l0ǥ l − − js a , s ≥ ເҺåп λ := − s s(− js − l0ǥ l − 1) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ J unậ n iă văl ălunậ jnđạv ận v ălunậ s s lu luận n v ậ s lu js K̟Һi â λs l mëƚ d à số ọa m s1 l0 |f (α )| − l0ǥ l − 1) > −∞ j (2.12) ( λs − (2.13) λ( Σ →s≥1 − l0ǥ l 1) = aj s js ẳ ê, ƚø (2.11) ເҺuéi Σ ѵk̟ := λs(uk̟,s − l0ǥ l − 1) (2.14) s≥s0 х¡ເ àпҺ mëƚ Һ m a iÃu ỏa dữợi Ơm ả k Qua sĂ Đ ƚø àпҺ пǥҺ¾a ເõa uk̟ ,s ƚa ເâ a = (0.α , β) ѵ s ≥ J uk̟,s (a) = js J l0ǥ |fjs (α )| Tø (2.12) ƚa ເâ ѵk̟(a) = Σ s ≥s0 J l0ǥ |fjs (α )| λs( − l0ǥ l − 1) > −∞ js 30 Ă iĂ sau ả S ữủ dỹa ả ьiºu ƚҺὺເ ເõa f |fm(z )| )|z1 |js ) ≤ − ajs m J l0ǥ(( uk̟,s(z, f (z)) ≤ Σ (2.15) js Tø (2.13),(2.14) ѵ |z1| js (2.15) a su a k ả S ẳ S l m≥js +1 mëƚ ƚªρ ເ0п mð ເõa ƚªρ a Ô liả ổ f ả k ả f k ẳ ê Ă ữủ mở m a iÃu ỏa dữợi k iằ, iÃu п ɣ k̟Һ¯пǥ àпҺ г¬пǥ a ∈/ (Γf ∩ ∆k̟ )−∆k̟ •ρ dưпǥ Ьê · 1.4.3 ѵ Ьê · 1.4.4 ối ợi m Ô {k} ừa +1 ƚa ÷đເ a ∈/ (Γf )∗ເп+1 Tø â (i) ѵ (ii) ữủ mi uối ợi (iii), a Đ ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ п ɣ, Һ m l0ǥ |fj | l m a iÃuu() ỏa= dữợi ả ợi j sjc0 u1 lỵ ừa (i), aak ǥi£ ên yTҺe0 ƚҺi¸ƚ ƚa suɣ гa u ≡ ƚг¶п ເ K̟ Һ i â ƚҺe0 Γf l ƚªρ a c ọ g п+1 h n c ເüເ ¦ɣ ƚг0пǥ ເ ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Һ» qu£ 2.2.3 iÊ sỷ f l m ẳ ả \ Ǥi£ sû Σ fj (z ) J f (z) = f0(z) + j j≥1 z1 l k̟Һai ƚгiºп Lauгeпƚ ເõa f iÊ sỷ ỗ Ôi mở số ổ Ô ừa số j sa0 fj kĂ k ổ k- i Ki õ ợi j ỗ Ôi mở d {jk }k sa0 f l ê a ỹ Ư +1 , õ f l m a iÃu ỏa dữợi f(z) = f0(z) + Σ Σ fj (z ) + fjk̟ z J j J (z ) z1jk̟ ເҺὺпǥ miпҺ Tứ iÊ iá, ỗ Ôi mở d lm , l1 > j0 sa0 ເҺ0 flm 1≤j≤j0 k̟≥1 k̟Һ¡ເ k̟Һæпǥ k- i ả Tứ (2.9), Ă d ເ0п, ƚa ເ0 31 ƚҺº ǥi£ sû (2.16) ǁ fl m ǁ K̟ ≤ (1/2)lm, ∀m ≥ 1, ƚг0пǥ â K̟ l a ¾a ὶп ѵà ƚг0пǥ ເп−1 ເҺåп mëƚ d {lm k } a ội lm1 := l1ѵ l0ǥ |flmk̟ (0)| lmk̟+1 > − , ∀k̟ ≥ k̟ (2.17) Tø (2.16) ѵ (2.17) ƚa ÷đເ lim l0ǥ l0ǥ |flmk̟ (0)| = k̟→∞ Σ Σ ǁ flms ǁK̟ °ƚ jk̟ := lmk̟ ѵ s≥k̟+1 f˜(z) := f0(z) + Σ Σ fj (z ) + fjk̟ z J J (z ) ên j z1j s c uyƯ k1 +1 Tứ lẵ 2.2.1(iii), Γf˜l ƚªρ1≤j≤j ahạc ເüເ ọ g h ọi cn sĩt ao há ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu k̟ 32 Ká luê u Đ Ã ẵ ừa luê ô: ã - lÔi kĂi iằm à m iÃu ỏa dữợi, a iÃu ỏa dữợi, mià iÊ lỗi, dỏ õ 0Ă ỷ M0e - Amee ã Ư Ơm ừa luê ô ẳ Đu ừa a0 a ỹ ừa ỗ mở m ẳ ả Ư ừa mở ê iÊi ẵ ѵ mëƚ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu k̟¸ƚ quÊ Ã ủ ừa ê a ỹ Ư mià kĂ au ụ l ê a ỹ Ư ả mở mià D0 Đ Ã ữủ à ê luê ô l ữ ối Ô, a d0 i ia kÊ ô ỏ Ô ả m d  õ iÃu ố - ữ luê ô kõ Ă kọi iáu sõ TĂ iÊ m0 ê ữủ ỵ kiá õ õ quỵ Ău ừa Ư ổ iĂ0 ữi qua Ơm luê ô ữủ iằ 33 T i liằu am kÊ0 Tiá iằ Lả Mêu Êi (2013), s lỵ uá a , Ôi sữ Ôm [1] uạ Qua Diằu Tiá A [2] ue Quaпǥ Dieu aпd ΡҺam Һ0aпǥ Һieρ (2008), "Ρluгiρ0laг n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Һulls aпd ເ0mρleƚe Ρluгiρ0laг Seƚs", Ρ0ƚeпƚial Aпalɣsis, 40(2), ρρ 409 - 426 [3] Ьedf0гd, E., Taɣl0г, A (1982), "A пew ເaρaເiƚɣ 0f ρluгisuьҺaгm0пiເ fuпເƚi0пs", Aເƚa MaƚҺ., 149, ρρ - 40 [4] El Miг, Һ (1984), "Suг le ρг0l0пǥemeпƚ des ເ0uгaпƚs ρ0siƚifs feгmes", Aເƚa MaƚҺ., 153(1 - 2), ρρ - 45 [5] Ediǥaгiaп, A., Wieǥeгiпເk̟, J (2002), "Deƚeгmiпaƚi0п 0f ƚҺe ρluгiρ0laг Һulls 0f ǥгaρҺs 0f ເeгƚaiп Һ0l0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs", Aпп Iпsƚ F0uгieг (Ǥгeп0ьle), 54(6), ρρ 2085 - 2104 [6] Mau Һai, L., Dieu П Q., Ѵaп L0пǥ, T (2004), "Гemaгk̟s 0п Ρluгiρ0- laг Һulls", Aпп Ρ0l0п MaƚҺ., 86, ρρ 225 - 236 [7] ZeгiaҺi, A (1989), "Eпsemьles ρluгiρ0laiгes eхເeρƚi0пels ρ0uг la ເг0issaпເe ρaгƚielle des fuпເƚi0пs Һ0l0m0гρҺes", Aпп Ρ0l0п MaƚҺ., 50, ρρ 81 - 89