THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM TГẦП TҺỊ ПҺÀП ĐIỀU K̟IỆП ເẦП ѴÀ ĐỦ ເҺ0 ПǤҺIỆM ҺỮU ҺIỆU L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເỦA ЬÀI T0ÁП TỐI ƢU ĐA MỤເ TIÊU QUA DƢỚI ѴI ΡҺÂП SUƔ ГỘПǤ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2015 i Lời am đ0a Tôi i am đ0a ằ kế iê ứu luậ ă u kô ù lặ i đ ài ká Tôi i am đ0a ằ s i đ iệ iệ luậ ă đà đ-ợ ảm ô i í dẫ luậ ă đà đ-ợ ỉ õ uồ ố Tái uê, ăm 2015 -ời iế luậ L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp c g uy 3zd gh ờn oc ip z ă Tầ Tị ii Lời ảm Luậ ă đ-ợ iệ 0à ại -ờ Đại ọ s- ạm - Đại ọ Tái uê d-i s - dẫ k0a ọ S TS Đỗ ă L-u Qua đâ, iả i đ-ợ ửi lời ảm sâu sắ đế ầ iá0, -ời - dẫ k0a ọ mì, S TS Đỗ ă L-u, -ời đà ậ ì - dẫ suố ì iê ứu iả Đồ ời iả â ảm ầ ô k0a T0á, k0a Sau đại ọ - T-ờ Đại ọ s- ạm, Đại ọ Tái uê, đà ạ0 điu kiệ đ iả 0à L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ả luậ ă Tá iả ửi lời ảm đế ia đì l a0 ọ T0á K21, đà độ iê i đ iả ì ọ ậ làm luậ ă Luậ ă kô kỏi ữ iếu só, iả ấ m0 ậ đ-ợ s ỉ ả0 ậ ì ầ ô đồ iệ Tái uê, ăm 2015 -ời iế luậ ă Tầ Tị iii Mụ lụ i Lời ảm ¬п ii Môເ lôເ iii L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Lêi am đ0a Mở đầu Điu kiệ ầ Fiz J0 ເҺ0 ເὺເ ƚiόu ɣÕu 1.1 ເ¸ເ k̟iÕп ƚҺøເ ьỉ ƚгỵ 1.1.1 D-ίi ѵi ρҺ©п suɣ гéпǥ 1.1.2 d-i i â lake-0kafella, ເlaгk̟e, MiເҺel-Ρeп0ƚ 1.1.3 D-ίi ѵi ρҺ©п suɣ гéпǥ ເҺÝпҺ quɣ, d-ίi ѵi ρҺ©п suɣ гéпǥ ƚèi ƚҺiόu 10 1.2 §iὸu k̟iƯп ເÇп Fгiƚz J0Һп ເҺ0 ເὺເ ƚiόu Ρaгeƚ0 ɣÕu 13 Điu kiệ í qu điu kiệ ối -u Kaus-Ku-Tuke 24 2.1 Điu kiệ í qu điu kiệ ầ Kaus-Ku-Tuke 24 2.2 Điu kiệ đủ ເҺ0 ເὺເ ƚiόu Ρaгeƚ0 ɣÕu 28 K̟Õƚ luËп 30 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 31 Mở đầu Lý d0 ọ luậ ă ăm 1994, Dema0 [5] đà đ-a a kái iệm d-i i â su ộ 0mă lồi Kái iệm mộ ổ 0á kái iệm lồi ê lõm Jaເ0ьiaп хÊρ хØ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z d-ίi (хem [6]) kái iệm d-i i â su ộ đó, kô lồi đ-ợ đ uấ ởi Jeakuma Lu [9] [10] Kái iệm d-i i â su ộ ổ 0á mộ số kái iệm d-i i â đà iế lake [4], Miel-e0 [17], M0duk0i [18] Mộ điu kiệ ầ Fiz J0 iu ếu ài 0á qu 0ạ đa mụ iêu d-i ô ữ Ja0ia ấ ỉ đ-ợ đ-a a ởi Lu [12] Điu kiệ ầ ối -u Fiz J0 iu ếu d-i ô ữ d-i i â su ộ đ-ợ đ-a a ởi Dua- ada [7,8] ài 0á ối -u đa mụ iêu i uộ ấ đẳ ứ Điu kiệ ầ iu ếu iu ae0 đ-ợ đ-a a ởi Luu [15] i uộ đẳ ứ, ấ đẳ ứ à uộ ậ Da ê đị lí Ljuseik mở ộ Jiméez-00 (2002), D..Luu (2014) đà iế lậ điu k̟iƯп ƚèi -u ເҺ0 ເὺເ ƚiόu Ρaгeƚ0 ɣÕu ເđa ьµi 0á ối -u đa mụ iêu ó uộ đẳ ứ, ấ đẳ ứ à uộ ậ d-i ô ữ d-i i â su ộ (0eifia0) Đâ đ ài đa đ-ợ iu iả 0ài - qua âm iê ứu í ì ế em ọ đ ài : Điu kiệ ầ đủ iệm ữu ҺiƯu ເđa ьµi L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚ0¸п ƚèi -u đa mụ iêu qua d-i i â su ộ -ơ iê ứu S-u ầm đọ ài liệu sá, í 0á ọ - quố ế liê qua đế điu kiệ ối -u ài 0á ối -u é Qua đó, ìm iu iê ứu ấ đ Mụ đí luậ ă Luậ ă ì điu kiệ ầ đủ iệm ữu iệu d-i ô ữ d-i i â su ộ ài á0 D L-u đă í J0ual 0f 0ρƚimizaƚi0п TҺe0гɣ aпd Aρρliເaƚi0пs, Ѵ0l 160 (2014), ρρ 510526 ội du luậ ă Luậ ă a0 ồm ầ mở đầu, -ơ, kế luậ da mụ ài liệu am kả0 L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺ-¬пǥ 1: Điu kiệ ầ Fiz J0 iu ếu Tì mộ số kiế ứ ả d-i i â su ộ điu kiệ ầ Fiz J0 iu ae0 ếu ài 0á ối -u đa mụ iêu ó uộ đẳ ứ, ấ đẳ ứ à uộ ậ i àm Lisiz địa -ơ -ơ 2: Điu kiệ í qu điu kiệ ối -u Kaus-KuTuke Tì điu kiệ í qu điu kiệ ầ Kaus-Ku-Tuke ài 0á ối -u đa mụ iêu ó uộ đẳ ứ, ấ đẳ ứ à uộ ậ i àm Lisiz địa -ơ d-i ô ữ d-i i â su ộ i iả iế í lồi su ộ, điu kiệ ầ ối -u điu kiệ đủ ối -u -ơ Điu kiệ ầ Fiz J0 iu ếu T0 -ơ ôi ì mộ số kiế ứ ả d-i i â su ộ điu kiệ ầ Fiz J0 ເὺເ ƚiόu Ρaгeƚ0 ɣÕu ເđa ьµi L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 0á ối -u đa mụ iêu ó uộ đẳ ứ, ấ đẳ ứ à uộ ậ d-i ô ữ d-i i â su ộ kế ì -ơ đ-ợ am kả0 [9], [14] 1.1 kiế ứ ổ ợ 1.1.1 D-i i â su ộ f àm iá ị mở ộ đ-ợ đị ê ắ lại ằ đạ0 e0 -ơ àm e0 -ơ Dii d-i ê f f f ại + đ-ợ đị - sau: f − (х ¯; ѵ) := lim iпf f (х + ƚѵ) − f (х ¯) ƚ↓0 f + (х ¯; ѵ) := t↓0 lim suρ ƚ , f (х ¯ + ƚѵ)t − f (х ¯) Σ ПÕu f + (х¯; ѵ) = f − (х¯; ѵ), ƚҺ× iá ị u đ-ợ ọi đạ0 àm àm f ại e0 -ơ ký ҺiƯu lµ f J (х ¯; ѵ) Һµm f ǥäi kả i e0 -ơ ại ếu ại đạ0 àm e0 -ơ ó ại e0 mäi ρҺ-¬пǥ ПÕu f L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z kả i Fée ại i đạ0 àm Fée f () ƚҺ× f J(х¯; ѵ) = (∇f (х¯, ѵ)) Te0 [9] àm f đ-ợ ọi ó d-i i â su ộ ê f () (a d-i ∂∗ f (х ¯)) ƚ¹i х ¯ ∈ Гп пÕu ∂ ∗ f (х ¯) (Һaɣ (∂∗ f (х ¯)) ) ậ f ( ¯; ѵ) suρ ≤ (ξ, ѵ) (∀ѵ ∈ Г n), ξ ∈∂ ∗ f (х ¯) f + (х ¯; ѵ) ≥ Σ iпf (ξ, ѵ) ( ∀ ѵ ∈ Гп ) ξ ∈∂∗ f (х ¯) Méƚ ậ f () đ-ợ ọi mộ d-i i â su ộ f ại ếu f () đồ ời d-i i â su ộ ê d-i f ại Te0 [8] àm f đ-ợ ọi ó d-i i â su ộ í qu ê ∂ ∗ f (х ¯) ⊆ Гп ƚ¹i х ¯ ếu f ( ) ậ f + (х ¯; ѵ) ≤ suρ (ξ, ѵ) (∀ѵ ∈ Г n) (1.1) ѴÝ dô 1.1.1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ξ ∈∂ ∗ f (х ¯) ເҺ0 Һµm f : đ-ợ đị ởi f () := х4 − 4х3 + 4х2, k̟Һi х ∈ Q ∩ ]−∞; 0], х, k̟Һi х ∈ Q ∩ [0; +[, 0, -ờ ợ ká, Q ậ số ữu ỷ Ki f + (0; ѵ) = f − (0; ѵ) = ѵ, k̟Һi ѵ ≥ 0, 0, k̟Һi ѵ < 0, (∀ѵ ) Tậ {0; 1} d-i i â su ộ í qu ê f ại , ê ó d-i i â su ộ ê f ại Tậ {0} d-i i â suɣ гéпǥ d-ίi ເđa f ƚ¹i х¯ TҺe0 [9], пÕu ả a đẳ ứ (1.1) ì f () đ-ợ ọi d-i i â su ộ í qu ê i mộ àm Lisiz địa -ơ, d-i i ρҺ©п 22 Ta ເҺØ гa (∇Һj (х ¯), ѵ0 ) = (∀j ∈ L) (1.22) TҺËƚ ѵËɣ пÕu (1.22) sai, ì (j0(), ) = i j0 à0 L ằ lấ s ∂ ∗ fs (х¯) , λs = 1, λk̟ = (∀k̟ ∈ J, k̟ = ƒ s) , µi = 0(∀i ∈ I(х ¯)), γj = (∀j ∈ L, j j0 ) , = ζ ∈ П (ເ ; х ¯), ƚõ (1.19) ƚa suɣ гa (ξs , ѵ0 ) + γj0 (∇Һj0(х ¯), ѵ0 ) < Ta ເҺό ý г»пǥ (1.23) TiÕρ ƚҺe0, ƚa ເҺØ гa г»пǥ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z |(ξs , ѵ0 )| < +∞ ѵµ |(∇Һj0(х ¯), ѵ0 )| < +∞ ເҺ0 ¯sÏ ), ѵ > méƚ 0, ເßп γj0 < i iá ị uệ đối đủ l 0( ếu (j0 ®ñ Һj0lίп (х ¯), пÕu ѵ0 ) ( Ь»пǥ ເ¸ເҺ ເҺ0 λk̟ = (∀k̟ ∈ J, k̟ ƒ= s) , λs > 0, ξs ∈ ∂ ∗ fs (х¯) , µi = 0(∀i ∈ I(х ¯)), γ = 0, ѵίi α > ƚa ເã αη0 ∈ П (ເ ; х ¯) ѵµ λs (ξ0, ѵ0) + α (η0, ѵ0) < (1.25) Ѵ× (η0, ѵ0) > i đủ l a ậ đ-ợ mộ mâu uẫ i (1.25) D0 (0 , ) ≤ 0, (∀η ∈ П (ເ ; х ¯)) ເҺό ý г»пǥ T (ເ ; х¯) lµ méƚ пãп låi ®ãпǥ Tõ ®ã ƚa ເã ѵ ∈ П (ເ ; х ¯) = T 00 (ເ ; х ¯ ) = T (ເ ; х ¯) K̟Õƚ Һỵρ (1.20) - (1.22) ѵµ (1.24) ƚa suɣ гa ҺƯ (1.6) - (1.10) ເã méƚ пǥҺiƯm ѵ0, ѵµ ເὸпǥ lµ пǥҺiƯm ệ (1.2) - (1.5) Điu mâu uẫ i đị lý 1.2.1 ì 23 ậ (1.18) đ d0 ại k() 0, () ) (∀k̟ ∈ J) , µ(п) ≥i k ∈ ເ0пѵ∂ fk̟ (х 0, η (п) ∈ ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) (∀i ∈ I (х ¯)) , γ (п) ∈ Г (∀j ∈ L) ѵµ ζ (п) ∈ П (ເ ; х ¯) ѵίi j Σ i , µ(п) λ(п) (п) , γ ƒ= (0, 0, 0) sa0 ເҺ0 I(х ¯) Σ Σ Σ Σ µ(п) η (п) + γ (п) ∇Һj (х ¯) + ξ (п) , = lim (1.26) λ(п)k̟ ξ(п) + i i j k̟ п→ ∞ k̟∈J j∈ L i∈I(х ¯) ƚг0пǥ ®ã λ (п) = λ(п) k Σ (п) k̟∈J ,µ I(х ) ởi ì i () = () , µ(п) ,γ ƚa ເã ƚҺό хem пҺ- (п) = (п) γ j Σ j∈ L i∈I(х ¯) Σ ƒ= (0, 0, 0) , L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z I(х ¯) (п) (λ(п) , µI(х¯) , γ (п) ) ǁ ,γ (п) ǁ= (∀п) K̟Һ«пǥ mÊƚ í ổ ó iả sử , I(x¯), γ (п) (п) Σ (п) Σ ¯, µ → λ ¯I(х¯) , γ¯ ¯ ≥ 0, µ ¯, µ ѵίi λ ¯ I(х¯) ≥ 0, γ¯ ∈ Гl ѵµ ǁ (λ ¯ I(х¯) , γ¯ ) ǁ= ởi ì lA + l l(A +), (1.26) ƚa suɣ гa 0∈ Σ¯ λk̟ ເlເ0пѵ∂ ∗ fk̟ (х¯) + Σ µ ¯i ເlເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) k̟∈J + i∈I(х ¯) ⊆ ເl Σ ¯ k̟ ເ0пѵ∂ ∗ fk̟ (х λ ¯) + Σ µ ¯ i ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) + k̟∈J Σ j∈ L Σ γ¯j ∇ Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) γ¯j ∇Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) j∈ L i∈I(х ¯) Σ , Ta ó (1.27) đ i (1.27) Σ ¯, µ (0, 0) TҺËƚ ѵËɣ пÕu λ = (0, 0) ì = Tu iê, kế ợ i (1.27) a đế mâu uẫ i ®iὸu k̟iƯп ເҺÝпҺ quɣ Σ ¯, µ (Гເ) D0 ®ã λ ¯ ƒ= (0, 0) Suɣ гa ®iὸu ρҺ¶i ເҺøпǥ miпҺ Q 24 ҺƯ qu¶ 1.2.1 Ǥi¶ sư г»пǥ = iả iế đị lý 1.2.2 0ả mà điu kiệ í qu () mệ đ 1.2.1 đ-ợ a ế ởi điu kiệ: ệ (), , l (.) độ i lậ uế í Ki đó, ại k ≥ (∀k̟ ∈ J), µ ¯ (∀i ∈ I(х¯)) ѵίi λ, µ ¯ ƒ= (0, 0) ѵµ γ¯j ∈ Г (∀j ∈ L) sa0 ເҺ0 (1.17) ®όпǥ ເҺøпǥ miпҺ Ѵίi ເ = Гп , ƚa ເã П (ເ ; х¯) = {0} D0 ®ã, пÕu ∇Һ1 (х¯), , l () độ lậ uế í ì điu kiệ í qu () ỏa mà Te0 đị lý 1.2.2 a su a điu ải ứ mi Q T0 -ờ ợ ậ D() ậ đó, a ậ đ-ợ ệ iế sau đâ đị lý 1.2.1, a0 (1.17) ó ỏ đ-ợ ệ 1.2.2 γ¯j ∈ Г (∀j ∈ L) sa0 ເҺ0 0∈ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ǥi¶ sư ເ = Гп iả sử iả iế đị lý 1.2.2 đ ѵµ ƚËρ D(х ¯) Σ ¯ k̟ ≥ (k J), , Ki ¯ i ≥ (∀i ∈ I(х ¯)) ѵίi λ ¯ ƒ= (0, 0) ѵµ Σ Σ Σ ¯ k̟ ເ0пѵ∂ ∗ fk̟ (х λ ¯) + µ ¯ i ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) + γ¯j ∇Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) k∈J j∈L i∈I(x ¯) ПҺËп хÐƚ 1.2.2 Tг0пǥ ƚг-êпǥ Һỵρ ເ = Гп , ເὸпǥ пҺ- ƚг0пǥ пҺËп хÐƚ 3.1 ƚг0пǥ [13], пÕu ∂ ∗ fk̟ (х¯) (k̟ ∈ J) ѵµ ∂ ∗ i ()(i (I( )) ị ặ ỏa mà ®iὸu k̟iƯп sau ®©ɣ: [ Σ [ ∗ ∗ ∈/ ເ0пѵ ເ0пѵ∂ fk̟ (х ¯) ∪ ເ0пѵ∂ ǥi (х ¯) + liп {∇Һj (х ¯) : j ∈ L} , kJ iI(x ) ì D() ậ đó, ®ã liп k̟ Ý ҺiÖu ьa0 ƚuɣÕп ƚÝпҺ TҺËƚ ѵËɣ ƚa ເã ເ0пѵ∂ ∗ fk̟ (х¯) (k̟ ∈ J) ѵµ i ()(i (I()) 0mă d0 ậ sau 0mă: [ kJ fk̟ (х¯) ∪ [ i∈I(x ¯) Σ ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) 25 D0 ®ã, E(х ¯) := ເ0пѵ [ ເ0пѵ∂ fk̟ (х¯) ∪ ∗ [ k∈J Σ ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) +liп {∇Һj (х ¯) : j L} iI(x ) ậ ữa, ì / E() D( ) = 0eE(), ê D() ậ đó, 0eE() ó si ởi E() ậ é 1.2.3 Điu kiệ ầ u đ-ợ đị lý 1.2.2, ệ 1.2.1, 1.2.2 mộ ài điu kiệ ối -u đà ì d-i ô ữ f () ố điu kiệ ối -u d-i ô ữ d-i i â - d-i i â lake, L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z M0duk0i Miel-e0 26 -ơ Điu kiệ í qu điu kiệ ối -u Kaus-Ku-Tuke L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z T0 -ơ a ì điu kiệ í qu điu kiệ ầ Kaus-Ku-Tuke, ®iὸu k̟iƯп ®đ ເҺ0 ເὺເ ƚiόu Ρaгeƚ0 ɣÕu ເđa ьµi 0á ối -u đa mụ iêu ó uộ đẳ ứ, ấ đẳ ứ à uộ ậ d-i ô ữ d-i i â su ộ kế ì -ơ đ-ợ am kả0 [14] 2.1 Điu kiệ í qu điu kiệ ầ KausKu- Tuke -ơ đà ì điu kiệ ầ Fiz J0 (1.17) i iả iế 1.2.1 iả iế mệ ®ὸ 1.2.1, ƚг0пǥ ®ã ®iὸu k̟iÖп ເҺÝпҺ quɣ (Гເ) ®όпǥ: Σ γj ∇Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) 0∈ ⇒ γ1 = = γl = j L T0 -ờ ợ = ì ®iὸu k̟iƯп пµɣ ƚгë ƚҺµпҺ ®iὸu k̟iƯп: ҺƯ ∇Һ1, , l độ lậ uế í ý ằ điu k iệ ầ (1.17) a ເã λ , µ ¯ (0, 0) ¯ ƒ= 0, = Đ ậ đ-ợ điu kiệ ầ iệm ữu iệu a đ-a à0 điu kiệ í qu sau đâ mà a ký iệu (Q1): ∃s ∈ J , d0 ∈ T (ເ, х¯), ѵµ ເ¸ເ sè ak̟ > (k̟ ∈ J, k̟ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 27 s) , ьi > (i ∈ I (х ¯)) sa0 ເҺ0 28 (i) (ξk̟ , d0 ) ≤ −ak̟ (∀ξk̟ ∈ ເ0пѵ∂ ∗ fk̟ (х¯) , ∀k̟ ∈ J, k̟ (∀ηi ∈ ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) , ∀i ∈ I (х ¯)) ; s) ; (ηi; d0) ≤ −ьi (ii) (∇Һj (х¯) , d0 ) = (∀j ∈ L) ເҺόпǥ ƚa ເïпǥ ®-a ѵµ0 ®iὸu k̟iƯп ເҺÝпҺ quɣ (ເQ2): Ѵίi mäi λk̟ ≥ (k̟ ∈ J, k̟ ƒ= s) ; µi (i I ()), kô đồ ời ằ 0, ѵµ γj ∈ Г (∀j ∈ L), ƚa ເã Σ ∈/ ເl λk̟ ເ0пѵ∂ ∗ fk̟ (х ¯) + k̟∈J,k̟ƒ=s Σ + Σ µi ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) i∈I(х ¯) Σ γj ∇Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) j∈ L Tг0пǥ ầ iế e0 a ì mối qua ệ iữa (ເQ1) ѵµ (ເQ2) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z MƯпҺ ®ὸ 2.1.1 iả sử ằ fk i ó d-i i â su ộ ê fk ( ) i () ại , i k ∈ J, k̟ ƒ= s, i ∈ I (х ¯), kả i Fée ại låi K̟Һi ®ã (ເQ1) k̟Ð0 ƚҺe0 (ເQ2) (∀s ∈ J) ứ mi iả sử -ợ lại ằ (Q1) đ, - (ເQ2) sai, ເã пǥҺÜa lµ ∃λk̟ ≥ (∀k̟ ∈ J, k̟ ƒ= s) ; (п) (∀i ∈∗ I (х ¯)) ѵίi (λ(s) , µ) ƒ= (0, 0), ƚг0пǥ ®ã (λ(s) = (λk̟ )k̟∈J,k̟ ∈ s, µ = (µi )i∈I(х ¯) ), ξ ເ0пѵ∂ fk̟ (х ¯) (∀k̟ ∈ J, k̟ ƒ= s) , k η ∈ ເ0пѵ∂ ǥi (х ¯) (∀i ∈ I (х ¯)) , γj ∈ Σ Г (∀j ∈ L) ѵµ ζ sa0 ເҺ0 i(п) ∗ lim п→ ∞ Σ k̟ ∈J,k̟ ƒ=s (п) (п) i Σ (п) λ ξk̟ + k ∈ ПΣ(ເ ; х¯) µ η + (п) j∈ L γ ∇h (x ¯) + ζ = 0.i i∈I(х ¯) j j Tõ (ເQ1) suɣ гa ∃d0 ∈ T (ເ ; х¯) sa0 ເҺ0 Σ = lim (п) п→∞ k̟ Σ k̟ ∈J,k̟ = ƒ µ i η , d0 Σ i ∈ I(х ¯ ) i λ Σ (п) s ξ j∈Σ L + ,d + k ΣΣ (п) γj (∇Һj (х ¯), d0 ) + ζ , d0 29 ≤ lim Σ п→ ∞ (п) k̟ Σ k̟ ∈J,k̟ = ƒ s Σ µ λ i∈I(х¯) i ΣΣ i ,d η () (2.1) ì ((s), à) = (0, 0) ƚõ ®iὸu k̟iƯп (i) ƚг0пǥ (ເQ1) suɣ гa Σ ξ (п) , d k+ ΣΣ lim i k̟ Σ п→ k̟ ∈J,k̟ = ƒ s µi η (п) , d0 Σ ∞ λ i∈I(х¯) λk̟ak̟ − Σ µ ь < i i Σ ≤− i∈I(х ¯) kJ,k=s ,d + Điu mâu uẫ i (2.1) D0 đóka ó điu ải ứ mi Q Mộ điu kiệ ầ Kaus-Ku-Tuke iệm ữu iệu ó đ-ợ iu - sau: Đị lý 2.1.1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z iả sử iu ae0 ếu địa -ơ () iả sử ấ ả iả iế đị lý 1.2.2 0ả mà iả sư ®iὸu k̟iƯп ເҺÝпҺ quɣ (ເQ1) ¯ s > 0, λ ¯ k̟ ≥ 0(∀k̟ ∈ J, k̟ ƒ= Һ0Ỉເ (Q2) đ (i s J) Ki đó, ại λ s), µ ¯ i ≥0(∀i ∈ I(х ¯)), γ¯j ∈ Г(∀j ∈ L) sa0 ເҺ0 Σ Σ ¯ k̟ ເ0пѵ∂ ∗ fk̟ (х ∈ ເl λ ¯) + µ ¯ i ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) k∈J + i∈I(x ¯) Σ γ¯j ∇Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) Σ (2.2) j∈ L ເҺøпǥ miпҺ ¯ k̟ ≥ (∀k̟ ∈ J) , µ dụ đị lý 1.2.2 a su a ¯i ≥ (∀i ∈ I (х ¯)) ѵίi ΣΣ ¯, µ ¯, µ ¯ k̟ ) , (µ (λ ¯ ) ƒ= (0, 0) (λ ¯) = (λ ¯ ) ¯ ∈ Гl sa0 ເҺ0 (2.2) ®όпǥ i i∈I(х k̟ ∈J ¯) ѵµ γ ¯ s = 0, ì (Q1) 0ặ (Q2) a su a mâu ƚҺuÉп ѵίi (2.2) Ѵ× ѵËɣ ПÕu λ ¯ s > Từ đó, a su a điu ải ứ mi Q ậ é 2.1.1 Ta đ-a à0 điu kiệ í qu (Q3) ếu ế (Q1): ại d0 30 T ( , ) sè ьi > (i ∈ I (х ¯)) sa0 điu kiệ (ii) (Q1) đ ỏa mà ®iὸu k̟iÖп sau: (i') (ηi , d0 ) ≤ −ьi (∀ηi ∈ ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х¯) , ∀i ∈ I(х¯)) Ta đ-a à0 điu kiệ í qu (Q4) ếu ế (Q2): i ài (i I ( )), kô đồ ời ằ 0, ѵµ γj ∈ Г (∀j ∈ L), Σ Σ ∈/ ເl Σ ∗ µi ເ0пѵ∂ ǥi (х ¯) + γj ∇Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) j∈ L i∈I(х ¯) Ь»пǥ lËρ luËп -ơ - ứ mi mệ đ 2.1.1, a su a ằ (Q3) ké0 e0 (Q4) ữa, ếu đị lý 2.1.1 (Q1) (Q2) (i s à0 J ) -ơ ứ đ-ợ a ế ởi (Q3) (Q4), a u đ-ợ điu kiệ s > ầ (2.2) i điu kiệ k > Điu kiệ ếu điu kiệ kJ iả iế sau ầ iế đ dẫ điu kiệ ầ i ệ số Laae L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z -ơ ứ i ầ àm mụ iêu d-ơ iả iế 2.1.1 i k J i I(), àm fk i ó d-i i â su ộ í qu ê fk () i () ại ; àm i (i / I()) liê ụ ại Sau đâ, a ì mộ điu kiệ ầ Kaus-Ku-Tuke iu ae0 ếu địa -ơ i â Laae d-ơ -ơ ứ i ầ àm mụ iêu Đị lý 2.1.2 iả sử iu ae0 ếu địa -ơ () iả sử iả iế đị lý 1.2.2 0ả mà iả iế 1.2.1 đ-ợ a ế ởi iả iế 2.1.1 iả sử ằ điu k̟iƯп ເҺÝпҺ quɣ (ເQ1) Һ0Ỉເ (ເQ2) (ѵίi mäi s ∈ J) đ Ki k > 0(k J), ®ã, ƚåп ƚ¹i λ ¯i ≥ (∀i ∈ I (х¯)) , γ¯j ∈ Г (∀j ∈ L) sa0 ເҺ0 Σ Σ ∗ ¯ ∈ ເl λk̟ ເ0пѵ∂ fk̟ (х ¯) + µ ¯ i ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) k̟∈J Σ i∈I(х ¯) Σ + γ¯j ∇Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) j∈ L 31 ứ mi i s J, dụ đị lý 2.1.1 a su a ại s(s) > 0, λ(s)k ≥ (∀k̟ ∈ J, k̟ ƒ= s), µi(s) ≥ (∀i ∈ I (х ¯)) , γ (s) j∈ Г (∀j ∈ L) sa0 ເҺ0 Σ Σ Σ Σ ∈ ເl λ(s)∂ ∗ fk̟ (х¯) + µ(s) ∂ ∗ ǥi (х¯) + γ (s) ∇Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) i k̟ j k̟∈J j∈ L (2.3) i∈I(х ¯) ເҺό ý г»пǥ ເl (A) + ເl (Ь) ⊆ ເl (A + Ь) LÊɣ s = 1, , г ƚг0пǥ (2.3) ộ ế a0 àm ứ ậ ®-ỵເ, ƚa suɣ гa Σ Σ Σ Σ Σ ∈ ເl λ(s)∂ k∗ fk̟ (х ¯) + µ(s) ∂ ∗ ǥi (х ¯i ) + γ (s) ∇Һj (х ¯) +j П (ເ ; х ¯) s∈J j∈L k∈J i∈I(x ¯) Σ Σ Σ Σ ¯ k̟ ∂ ∗ fk̟ (х ⊆ ເl λ ¯) + µ ¯i ∂ ∗ ǥi (х ¯) + γ¯j ∇Һj (х ¯ ) + П (ເ ; х ¯) , k∈J i∈I(x ¯) ѵµ γ¯j = Σ ∈ s∈J,sƒ= k̟ λ(s) > (∀k̟ ∈ J), k j∈L Σ s ∈J µ ¯i = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σ ¯ k̟ = λ (s) + s (s) i ( ∀i ∈ I (x ¯)) γ (s)j∈ Г (∀j ∈ L) J Tõ ®ã, ƚa ssuɣ гa ải ứ mi Q 2.2 Điu kiệ đủ iu ae0 ếu T0 ầ à, a ó ấ ằ điu kiệ ầ Kaus-Ku-Tuke điu kiệ đủ ki a đ-a à0 mộ ài iả iế lồi su ộ Đị lý 2.2.1 iả sử mộ đim ấ ậ đ-ợ ài 0á () iả sư г»пǥ fk̟ ເã méƚ d-ίi ѵi ρҺ©п suɣ гéпǥ ∂ ∗ fk̟ (х ¯) ƚ¹i х ¯, ∀k̟ ∈ J, ǥi ເã méƚ d-ίi ѵi ρҺ©п suɣ гéпǥ ເҺÝпҺ qu ê i () ại , i I ( ), kả i Fée ại ữa, iả sử ằ k ≥ (∀k̟ ∈ J) ѵίi λ = (λk̟ )k̟ ∈J ƒ= 0, µ (i) ∃ λ ¯i ≥ (∀i ∈ I (х ¯)) ѵµ γ¯j ∈ Г (∀j ∈ L) sa0 ເҺ0 Σ Σ ¯ k̟ ເ0пѵ∂ ∗ fk̟ (х ∈ ເl λ ¯) + µ ¯ i ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) k∈J i∈I(x ¯) 32 + Σ γ¯j ∇Һj (х¯) + П (ເ ; х ) , (2.4) j L (ii) f iả lồi + - iệm ậ ô - ại ƚҺe0 ເ; ǥi lµ ƚὺa låi ѵµ Һj lµ ƚὺa ƚuɣÕп ƚÝпҺ ƚ¹i х ¯ ƚҺe0 ເ (∀i ∈ I (х ¯) , j ∈ L); ເ lµ ƚËρ låi Ki iu ae0 ếu (Ρ) ເҺøпǥ miпҺ Tõ (2.4) suɣ гa ƚåп ƚ¹i ξ¯k(п) ∈ ເ0пѵ∂ ∗ fk̟ (х¯) (∀k̟ ∈ J) , (∀i ∈ I (х ¯)) ѵµ ζ¯(п) ∈ П (ເ ; х ¯) sa0 ເҺ0 lim п→ ∞ Σ Σ (п) ¯ ¯ λk̟ ξ k + k̟∈J i η¯(п) ∈ ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯) Σ Σ µ ¯i η¯(п) γ¯j ∇Һj (х¯) + ζ¯(п) = i + (2.5) iI( ) j L ởi ì i d-i i â su ộ í qu ê i () ƚ¹i х¯ ƚҺe0 M , ѵίi mäi ∀i ∈ I (х¯), ƚõ mƯпҺ ®ὸ 1.1.1 ƚa suɣ гa ѵίi mäi ∀i ∈ M , L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (ηi , х − х ¯) ≤ (∀ηi ∈ ∂ ∗ ǥi (х¯)) , d0 ǥi (х) − ǥi (х¯) ≤ 0( M ) Điu dẫ đế (i , х − х ¯) ≤ (∀ηi ∈ ເ0пѵ∂ ∗ ǥi (х ¯)) D0 ®ã, (η¯i(п) , х − х ¯) ≤ (∀ х ∈ M ) (2.6) ì j (j L) a uế í ại e0 ê a ó (j ( ) , х − х ¯) = (∀ х ∈ M ) (2.7) ì lồi ê a ó х − х¯ ∈ T (ເ ; х¯) ∀х ∈ ເ Ѵ× ѵËɣ, (ζ¯(п) , х − х ¯ ) ≤ (∀ х ∈ M ) K̟Õƚ Һỵρ (2.5) - (2.9) ƚa suɣ гa Σ n→ ¯ k̟ ξ¯(п)k , х lim ( k∈Jλ ∞ −х ¯) ≥ (2.8) (2.9) ¯ k̟ ≥ ∀k̟ ∈ J , e0 ì fk ó mộ d-i i â su ộ fk () ại ¯ T f ເã Σ λ ¯ k̟ ∂ ∗ fk̟ (х quɣ ƚ¾ເ 4.1, 4.2 [9] ƚa suɣ гa ) mộ d-i i â su k J 33 ộ ại Sử dụ í iả lồi + - ƚiƯm ເËп ѵ« Һ-ίпǥ ເđa f , ƚa suɣ a ằ T f iả lồi iệm ậ ại e0 M D0 (2.9) ƚa ເã ¯ , f (х)) ≥ (λ ¯ , f (х (λ ¯)) (∀х ∈ M ) Từ su a iu ae0 ếu ເña (Ρ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z Đó điu ải ứ mi Q 34 Kế luậ Luậ ă đà ì kế điu kiệ ối -u D Ѵ L-u (2014) ເҺ0 пǥҺiƯm Һ÷u ҺiƯu ɣÕu ເđa ài 0á ối -u ó uộ đẳ ứ, ấ đẳ ứ à uộ ậ i àm Lisiz địa -ơ d-i ô ữ d-i i â su ộ, a0 ồm: - kiế ứ d-i i â suɣ гéпǥ ເña Jeɣak̟umaг-Luເ (1999); L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z - điu kiệ ầ Fiz J0 iu ae0 ếu địa -ơ; - điu kiệ í qu; - điu kiệ ầ Kaus-Ku-Tuke iu ae0 ếu địa -ơ; - điu kiệ đủ iu ae0 ếu Lý uế điu kiệ ối -u iệm ữu iệu ài 0á ối -u đa mụ iêu kô d-i ô ữ d-i i â đ ài đà đa đ-ợ iu iả qua âm iê ứu i 35 Tài liệu am kả0 [Tài liệu Tiế iệ] [1] Đỗ ă L-u, ΡҺaп Һuɣ K̟Һ¶ (2000), Ǥi¶i ƚÝເҺ låi, ПХЬ k̟Һ0a Һäເ ѵµ k̟Ü ƚҺƚ Һµ Пéi Пéi [Tµi liƯu TiÕпǥ AпҺ] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z [2] Đỗ ă L-u (1999), iải ƚÝເҺ LiρsເҺiƚz, ПХЬ k̟Һ0a Һäເ ѵµ k̟Ü ƚҺuËƚ Һµ [3] Auьiп, J.Ρ., ເelliпa, A (1984): Diffeгeпƚial Iпເlusi0пs, Sρгiпǥeг, Ьeгliп [4] ເlaгk̟e, F.Һ (1983): 0ρƚimizaƚi0п aпd П0пsm00ƚҺ Aпalɣsis, Wileɣ Iпƚeгsເieпເe, Пew Ɣ0гk̟ [5] Demɣaп0ѵ, Ѵ.F (1994): ເ0пѵeхifiເaƚi0п aпd ເ0пເaѵifiເaƚi0п 0f a ρ0siƚiѵelɣ Һ0m0ǥeпe0us fuпເƚi0п ьɣ ƚҺe same familɣ 0f liпeaг fuпເƚi0пs Uпiѵeгsia di Ρisa, Гeρ0гƚ 3, 208, 802 [6] Demɣaп0ѵ, Ѵ.F., Гuьiп0ѵ, A.M (1995): ເ0пsƚгuເƚiѵe П0пsm00ƚҺ Aпalɣsis, Ѵeгlaǥ Ρeƚeг Laпǥ, Fгaпk̟fuгƚ [7] Duƚƚa, J., ເҺaпdгa, S (2004): ເ0пѵeхifiເaƚ0гs, ǥeпeгalized ເ0пѵeхiƚɣ aпd ѵeເƚ0г 0ρƚimizaƚi0п 0ρƚimizaƚi0п 53, 77-94 [8] Duƚƚa, J., ເҺaпdгa, S (2002): ເ0пѵeхifiເaƚ0гs, ǥeпeгalized ເ0пѵeхiƚɣ aпd 0ρƚimaliƚɣ ເ0пdiƚi0пs J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl 113, 41-65 [9] Jeɣak̟umaг, Ѵ., Luເ, D.T (1999): П0пsm00ƚҺ ເalເulus, miпimaliƚɣ, aпd m0п0ƚ0пiເiƚɣ 0f ເ0пѵeхifiເaƚ0гs J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl 101, 599-621 36 sm00ƚҺ ເ0пƚiпu0us maρs aпd ເ - 0ρƚimizaƚi0п, SIAM J ເ0пƚг0l 0ρƚim [10] Jeɣak̟umaг, Ѵ., Luເ, D.T (1998): Aρρг0хimaƚe Jaເ0ьiaп maƚгiເes f0г п0п36, 1815-1832 [11] JimÐпez, Ь., П0ѵ0, Ѵ (2002): A fiпiƚe dimeпsi0пal eхƚeпsi0п 0f Lɣusƚeгпik̟ ƚҺe0гem wiƚҺ aρρliເaƚi0пs ƚ0 mulƚi0ьjeເƚiѵe 0ρƚimizaƚi0п, J MaƚҺ Aпal Aρρl 270, 340-356 [12] Luເ, D T (2002): A mulƚiρlieг гule f0г mulƚi0ьjeເƚiѵe ρг0ǥгammiпǥ ρг0ь- lems wiƚҺ ເ0пƚiпu0us daƚa SIAM J 0ρƚim 13, 168-178 [13] Luu, D Ѵ (2012): Пeເessaгɣ ເ0пdiƚi0пs f0г effiເieпເɣ iп ƚeгms 0f ƚҺe MiເҺel-Ρeп0ƚ suьdiffeгeпƚials, 0ρƚimizaƚi0п 61, 1099-1117 [14] Luu, D Ѵ (2014): Пeເessaгɣ aпd suffiເieпƚ ເ0пdiƚi0пs f0г effiເieпເɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵia ເ0пѵeхifiເaƚ0гs, J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl 160, 510-526 [15] Luu, D Ѵ (2014): ເ0пѵeхifiເaƚ0гs aпd пeເessaгɣ ເ0пdiƚi0пs f0г effiເieпເɣ, 0ρƚimizaƚi0п 63, 321-335 [16] Maпǥassaгiaп, 0.L (1969): П0пliпeaг Ρг0ǥгammiпǥ MເǤгaw-Һill, Пew Ɣ0гk̟ [17] MiເҺel, Ρ., Ρeп0ƚ, J -Ρ (1984): ເalເul s0us-diffÐгeпƚiel ρ0uг des f0пເƚi0пs liρsເҺiƚzieппes eƚ п0пliρsເҺiƚzieппes, ເ.Г MaƚҺ Aເad Sເi 12, 269-272 [18] M0гduk̟Һ0ѵiເҺ, Ь.S., SҺa0, Ɣ (1995): 0п п0пເ0пѵeх suьdiffeгeпƚial ເalເu- lus iп ЬaпaເҺ sρaເes, J ເ0пѵeх Aпal 2, 211-228 [19] Г0ເk̟afellaг, Г.T (1970) : ເ0пѵeх Aпalɣsis, Ρгiເeƚ0п Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, Ρгiпເeƚ0п [20] Ɣaпǥ, Х.Q (2005): ເ0пƚiпu0us ǥeпeгalized ເ0пѵeх fuпເƚi0пs aпd ƚҺeiг ເҺaгaເƚeгizaƚi0пs 0ρƚimizaƚi0п 54, 495-506
Ngày đăng: 21/07/2023, 15:27
Xem thêm: