(Luận văn) tính duy nhất của hàm m điều hòa dưới trong các lớp cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN THỊ HÀ lu an va n TÍNH DUY NHẤT tn to p ie gh CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI d oa nl w TRONG CÁC LỚP CEGRELL ll u nf va an lu m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN – 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN THỊ HÀ TÍNH DUY NHẤT lu an n va CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI p ie gh tn to TRONG CÁC LỚP CEGRELL d oa nl w Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh Người hướng dẫn khoa học z PGS.TS Phạm Hiến Bằng m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN-2019 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc lu an Tác giả n va tn to p ie gh Nguyễn Thị Hà Xác nhận Khoa chuyên môn Người hướng dẫn khoa học d oa nl w Xác nhận ll u nf va an lu oi m PGS.TS Phạm Hiến Bằng z at nh TS Trần Nguyên An z m co l gm @ an Lu n va ac th i si LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy lu tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học an n va Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết tn to mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ p ie gh học viên để luận văn hoàn chỉnh nl w thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn d oa Tháng 04 năm 2019 ll u nf va an lu Tác giả oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU lu an Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn va n Chương CÁC LỚP CEGRELL ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HỊA m- 1.1 Hàm điều hịa ie gh tn to DƯỚI 1.2 Hàm m - điều hịa tốn tử Hessian phức p 1.3 Các lớp Cegrell hàm m - điều hòa nl w d oa Chương TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HỊA DƯỚI 14 an lu TRONG CÁC LỚP CEGRELL 2.1 Tính chất toán tử Hessian phức u nf va 14 2.2 Tích phân phần 18 ll 22 lý so sánh lớp Emp (W) oi m- 2.5 Một vài áp dụng điều hòa lớp Cegrell 28 34 37 z at nh 2.4 Tính hàm m 2.3 Nguyên z KẾT LUẬN gm @ 38 m co l TÀI LIỆU THAM KHẢO an Lu n va ac th iii si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho W miền C n , u hàm điều hòa xỏc nh trờn W, u Ơ v m l số nguyên: £ m £ n Ta nói u hàm ˆ , bất đẳng thức m - điều hòa với h1, , hm - G m dd cu Ù h1 Ù hm - Ù wn - m ³ xảy theo nghĩa dịng, ˆ = h Ỵ C : h Ù wn - m ³ 0, , hm Ù wn - m , G m (1,1) { } lu an w = dd c | z |2 dạng Kahler C n C (1,1) không gian n va Lớp hàm m - điều hòa S.Y Li giới thiệu lần gh tn to (1,1) - dạng với hệ số p ie vào năm 2004 ([10]) Sau đó, năm 2005, Z Blocki ([2]) nghiên cứu miền w xác định toán tử Hessian (dd cu )m Ù wn - m Blocki chứng minh tồn oa nl nghiệm liên tục tốn Dirchlet hình cầu đơn vị d C n Gần đây, L.H Chinh ([6]) dựa theo lớp Cegrell mở rộng an lu va lớp lượng hữu hạn cho hàm m - điều hịa u nf Mục đích luận văn chứng minh điều kiện đủ cho tính ll hàm m - điều hịa Vì hai hàm đa điều hịa oi m z at nh tập mở miền mà không thiết trùng (chẳng hạn u º v(z ) = max(log | z |, 0) ), nên cách tự nhiên z đặt thêm giả thiết độ đo Hessian u, v để đảm bảo u º v @ gm toàn W Kết theo hướng Định lý Bloom m co l Levenbeng tính việc mở rộng hàm đa điều hịa cực đại Định lý tìm thấy áp dụng số toán thuyết đa an Lu vị có trọng (xem [3]) Các kết tiếp theo, ý đến n va ac th iv si Định lý 0.1 ([4]) Giả sử K Ì C n tập compact lồi đa thức W miền bị chặn chứa K u, v hàm đa điều hòa bị chặn W, thỏa mãn u £ v W u = v lân cận liên thông ¶ W , v liên tục thỏa mãn (dd cv )n = W\ K Khi u = v W\ K Định lý 0.2 ([7]) Giả sử W miền siêu lồi bị chặn C n K Ì W tập lồi chỉnh hình compact W u 1, u hàm đa điều hòa âm cho điều kiện sau xảy ra: a ) lim u1(z ) = lim u 2(z ) = 0; zđ ảW zđ ảW b) (dd cu1)n Ê (dd cu )n W\ K ò (dd cu )n < ¥ ; lu K an c) u1 < u W\ K ; va n d) to ò (dd u ) c n £ ò (dd u ) K c n K tn Trong luận văn này, chúng tơi trình bày việc tổng qt hóa hai kết p ie gh Khi u = u W\ K nl w lớp hàm m - điều hịa Do chúng tơi chọn đề tài: oa “Tính hàm m - điều hịa lớp Cegrell” d Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học an lu nước quan tâm nghiên cứu va ll u nf Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu oi m Nghiên cứu số tính chất lớp lượng U.Cegrell hàm Cegrell z at nh m - điều hồ tính hàm m - điều hoà lớp z Phương pháp nghiên cứu @ l gm Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức m co Bố cục luận văn an Lu Nội dung luận văn gồm 38 trang, viết dựa tài liệu [1], [6] [8], n va ac th v si có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan số kết tính chất hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian Một số kết lớp Cegrell hàm m - điều hoà Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày số kết tính hàm m - điều hoà lớp Cegrell áp dụng Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th vi si CHƯƠNG CÁC LỚP CEGRELL ĐỐI VỚI HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử W tập mở £ Hàm u : Wđ ộ- Ơ , + Ơ ờở ) gi điều hịa W nửa liên tục trên W thỏa mãn bất đẳng thức trung bình W, nghĩa với w Î W tồn d > cho với £ r £ d ta có 2p u ( w) £ lu ò 2p u ( w + re it )dt an n va Kí hiệu tập hợp hàm điều hòa W SH (W) (i ) m ax(u, v ) hàm điều hòa W (ii ) Tập hàm điều hịa W nón, nghĩa p ie gh tn to Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Wlà tập mở £ , u, v Ỵ SH (W) Khi đó: nl w u, v Ỵ SH (W) a , b > a u + b v thuộc SH (W) d oa Định lý 1.1.3 Giả sử Wlà miền bị chặn £ , u Ỵ SH (W) Khi đó: an lu (i ) Nếu u đạt cực đại tồn thể điểm W u số W ll u nf z® V va (ii ) Nếu lim sup u (z ) Ê " V ẻ ả W thỡ u Ê W oi m Định lý 1.1.4 Giả sử W tập mở £ u hàm nửa liên tục z at nh W Khi mệnh đề sau tương đương (i ) u hàm điều hòa W z gm @ (ii ) Với w Ỵ W, tồn d > cho D ( w, d > 0) Ì W với ị 2p d2 - r u ( w + de i q )d q 2 d - 2drcos(q - t ) + r an Lu 2p m co u ( w + re it ) £ l £ r < d, £ t < 2p ta có n va ac th vii si { } D( w, d > 0) = z Ỵ W: z - w £ d đĩa đóng tâm w bán kính d (iii ) Với miền D compact tương đối W h hàm điều hòa trên D, liên tục D thỏa mãn lim sup(u - h )(z ) Ê ( V ẻ ả D ) z® V ta có u £ h D Định lý 1.1.5 Giả sử {un } dãy giảm hàm điều hòa tập mở Wtrên £ u = lim un Khi u l hm iu hũa di trờn W nđ Ơ lu 1.2 Hàm m-điều hịa tốn tử Hessian phức an n va Ký hiệu b dạng Kahler chuẩn £ n W miền tn to m - siêu lồi bị chặn £ n , tức tồn hàm m - điều hòa liên tục f : W® ¡ - ie gh cho {f < c} Ð W,  với c < p Ta kết hợp (1,1) - dạng thực a £ n với ma trận Hermitian [ a jk ] i p å a jk dz j Ù dz k Khi ú dng Kăahler chớnh tc b   kết oa nl w a = j ,k d ( )a n k k Ù b n - k = S±k (A )b n va an lu hợp với ma trận đồng I Ta có u nf Định nghĩa 1.2.1 C ho a (1,1) - dạng thực W Ta nói a m - ll dương điểm cho trước P Ỵ W điểm ta có: oi m z at nh a j  Ù b n - j   ³ 0,  " j  = 1, , k a gọi m - dương m - dương điểm thuộc W z Cho T dòng song bậc (n - k, n - k )(k £ m ) Khi T @ m - dương a , , a k } gọi m - điều hòa an Lu Định nghĩa 1.2.2 Hàm u : W® ¡ È {- ¥ m co l gm gọi m - dương a Ù Ù a k ÙT ³ , với (1,1) - dạng n va ac th viii si ò (- h )H W m (max(u, v )) £ ò (- h )H m (u ) W Từ ta nhận ị{ ị{ (- h )H m (u ) = u > v} (- h )H m (ma x( u, v)) u > v} ò  £ £ (- h )H m (max( u, v)) + W ò (- h )H m (v ) + W ò{ ò{ hH m (max(u, v )) u < v} ò{ hH m (v) = u > v} (- h )H m (v) u > v} Cho h ¯ - ta điều phải chứng minh W lu Định lý 2.3.4 Cho  u, v Ỵ Emp (W) ( p > 0) cho H m (u ) ³ H m (v ) Khi an u £ v W va n Chứng minh (Phản chứng) Giả sử tồn z Ỵ W cho v(z ) < u (z ) Lấy ie gh tn to h hàm vét cạn W chọn R > cho z - z £ R , " z Ỵ W Cố p định e đủ bé cho h(z ) < - eR Hàm vét cạn { } oa nl w P (z ) = max h(z ), e( z - z - R ) d liên tục W thoả mãn H m (P ) ³ em b n gần z Lấy h > đủ nhỏ an lu u nf va cho v(z ) < u (z ) + hP (z ) Độ đo Lebesgue tập ll T = {z Ỵ W/ v(z ) < u(z ) + hP (z )}Ç B (z 0, d) oi m T T H m (P ) > Định lý 2.3.3 cho ta H m (u + hP ) £ ò T H m (v ) z ò ò z at nh dương với d > Từ suy @ ị T H m (u ) + hm ò H m (P ) Suy T m co T H m (u + hP ) ³ l ò gm Hơn nữa, an Lu n va ac th xxvii si òH T m ò (v ) ³ H m (u ) + hm ò H m (P ) T T Mâu thuẫn với giả thiết H m (u ) ³ H m (v ) Vậy u £ v W W Phiên nguyên lý so sánh hàm m - điều hịa Nó suy từ lập luận tương tự trường hợp m = n Bổ đề 2.3.5 Giả sử u, w1, wm - Ỵ F m (W) cho v Î SH - (W) Ç C (W) Đặt T = dd c w1 Ùdd c wm - Ù wn - m ị ị dd cu ÙT ³ {u < v } dd cv ÙT {u < v } lu Mệnh đề 2.3.6 Cho u Ỵ Em (W) Gi s v ẻ SH m (W) ầ LƠ (W) an n va {u j } Ì Em (W) Ç L¥ (W) , u j ] u j Z ¥ Khi to gh tn v(dd cu j )m Ù wn - m ® v(dd cu )m Ù wn - m yếu p ie Chứng minh Vì tốn địa phương, nên khơng tính tổng quát, ta giả m (dd u ) c ( Ù wn - m ® dd cu j m ) Ù wn - m yếu d oa nl w sử u , v Ỵ F m (W) Theo Định lý 3.5 [6] ta có an lu Hơn nữa, v hàm nửa liên tục nên ta cú jđ Ơ u nf va limsup ũ v(dd cu j )m Ù wn - m < W ò v(dd u ) c m- Ù wn - m W ll oi m Mặt khác, u j ³ u nên u j Ỵ Fm (W) Từ đó, áp dụng Định lí 2.2.1 ta c m j Ù wn - m = W z at nh ò v(dd u ) ò u (dd u ) c j W m- Ù dd cv Ù wn - m W ò u (dd u ) c j m- j W Ù dd cu Ù dd cv Ù wn - m m co = l gm j @ ò u(dd u ) c Ù dd cv Ù wn - m z ³ m- j an Lu n va ac th xxviii si ò u(dd u ) ³ c m- j Ù dd cu Ù dd cv Ù wn - m W ò u(dd u ) ³ ³ c m- Ù dd cv Ù wn - m W = ò v(dd u ) c m Ù wn - m W Vì v Ỵ SH (W) ầ LƠ (W) nờn lim inf ũ v(dd cu j )m wn - m jđ Ơ W ò v(dd u ) c m Ù wn - m > - ¥ W Từ ta v(dd cu j )m Ù wn - m ® v(dd cu )m Ù wn - m yếu Ta hoàn tất phép lu an chứng minh va n Mệnh đề 2.3.7 Cho WÌ C n miền 1- siêu lồi Khi to gh tn E1(W) = SH - (W) p ie Chứng minh Cho u Ỵ SH - (W) U Ð W tập mở tùy ý Đặt ( { * }) oa nl w wj = sup j Ỵ SH (W) : j £ max (u, - j )trênU - d Vì W miền 1- siêu lồi, nên wj Ỵ E10(W), u £ wj + £ wj W wj an lu u nf va hàm điều hòa W\ U Bằng cách ước lượng tiêu chuẩn sử dụng cơng ll thức tích phân phần, ta thấy độ đo Laplacian tổng cộng wj bị m W oi chặn z at nh Bổ đề 2.3.8 Cho Wè Ê n , u ẻ SH (W) ầ LƠ (W) v v ẻ SH (W) Khi ú z lim udd cva Ù wn - = udd cv Ù wn - , va = m ax(v, a ) @ ađ - Ơ l gm Chứng minh Vì tốn địa phương, nên ta giả sử W hình cầu v ađ - Ơ an Lu 2.3.6 ta cú lim udd cva Ù wn - = udd cv Ù wn - m co u, v < W Theo Mệnh đề 2.3.7 ta có v Î E1(W) Do đó, theo Mệnh đề n va ac th xxix si Ta cần kết sau, nói hàm m  điều hòa liên tục miền m  siêu lồi W điều chỉnh thành phần tử Em0 (W) Bổ đề 2.3.9 Cho u ẻ SH m (W) ầ C (W) Khi với tập mở G Ð W, tồn y G Ỵ Em0 (W) cho u - y G = const G Chứng minh Cho  hàm vét cạn m – điều hòa liên tục, âm, bị chặn W Chọn < d1 < d2 cho G Ð G = {r < - d2 } Ð G = {r < - d1 }1 = lu Đặt a = infG u b = infG u Khi hàm số an va n y := tn to b- a m ax {r + d2, 0}+ a d2 - d1 ie gh nhỏ u G lớn u ¶ G Điều suy ra, hàm p v = m ax (y , u ) G y W\ G m – điều hịa W w ¶W = (b - a )d2 + a Đặt d2 - d1 d oa nl Ta có v Ỵ SH m (W) ầ LƠ (W), v = u trờn G v v ổ(b - a )d ữ ữ ỗỗ ÷ ÷ + a tr ê n G }÷÷÷ ữ ỗỗố d - d ữ ứ ứ * hàm m  điều hòa m cực đại W\ G nên theo [2] ta có ll G oi m Vì j u nf va an lu ổỡù ỗ y G = sup ỗỗùớ j ẻ SH m (W) : j Ê u ỗốùùợ c G W\ G )m Ù wn - m = z at nh ị (dd y z ỉ(b - a )d ÷ + £ y G , nên Do y G Ỵ Em0 (W) Vì v - ỗỗỗ ữ ữ ỗố d2 - d1 ứ gm @ l ổ(b - a )d ỗ ữ u - y G = ỗỗ + aữ trờn G ữ ữ ỗố d2 - d1 ứ m co W an Lu n va ac th xxx si 2.4 Tính hàm m  điều hịa lớp Cegrell Định nghĩa 2.4.1 Cho W miền £ n K tập compact W Khi K gọi là: (a ) Lồi phân hình W với z Ỵ W\ K tồn hàm chỉnh hình f W cho f (z ) Ï f (K ) (b) Lồi chỉnh hình W với z Ỵ W\ K , tồn hàm chỉnh hình f W cho sup K f < f (z ) Bổ đề 2.4.2 Cho W miền bị chặn £ n K Ì W tập lồi chỉnh hình compact W Giả sử G Ð W tập mở W f hàm chỉnh lu an n va hình W cho Ï f (K ) sup K f < Khi với e Ỵ (0,1) tn to với lân cận mở U K cho G \ U ặ u tn ti gh j ẻ PSH (W) Ç C (W) thỏa mãn tính chất sau: p ie a ) j º lân cận K nl w b) j = log max(| f |, e) + y G \ U , ú y ẻ PSH (W) ầ C (W) d oa c) j đa điều hòa chặt G \ U an lu Để chứng minh kết ta cần bổ đề sau phân hình, compact u nf va Bổ để 2.4.3 Cho WÌ D miền bị chặn £ n K Ì D tập lồi u, v Ỵ SH (W) ll D Giả sử cho m oi dd c log | f | Ùwn - = trờn Wầ {u v} vi mi hm chnh hỡnh f D z at nh với Ï f (K ) Khi u = v W\ K z Chứng minh Đặt X = {z Ỵ W\ K : u(z ) ¹ v(z )} Giả sử X ¹ f Khi @ l gm u, v hàm điều hòa nên suy l 2n (X ) > Do tồn a Ỵ X m co cho l 2n (U Ç X ) > với lân cận U a Vì K lồi phân hình an Lu W, nên tồn hàm chỉnh hình hình cầu đủ bé chứa a thỏa mãn: (i ) f (B ) Ç f (K ) = f ; n va ac th xxxi si (ii ) l 2n (X Ç B ) > Do nhiễu f đủ nhỏ, ta giả s ảf trờn B Do ú, ta ¶ z1 chọn hình cầu đủ bé B ¢ compact tương đối B (có thể chứa a) cho : (iii ) l 2n (X Ç B ¢) > (iv ) ¶f ¶ z1 khơng triệt tiờu trờn B  Xột ỏnh x: F : Wđ £ n xác định bởi: F (z ) = ( f (z ), z 2, , z n ) Như F vi phôi địa phương từ B ¢tới F (B ¢) Do theo (iii ) , suy lu an l 2n ( X ¢) > , X ¢:= F (X Ç B ¢) va n Bây cố định x Ỵ B đặt S x := {z Ỵ B ¢: f (z ) = f (x)} Theo (iv ) tn to ie gh S x siêu mặt phức trơn S x Ç K = f Đặt g = f - f ( x) Vì ¹ g(K ) , p nên theo giả thiết ta có dd c log | g | Ùwn - = trờn B Âầ {u v } oa nl w Mặt khác, theo công thức Lelong – Poincare, dd c log | g | dịng tích d phân S x Do vậy, u = v độ đo mặt S x Cuối cùng, ta xét lu va an p : £ n ® £ p : £ n ® £ n - phép chiếu xác định ll u nf p1 (z 1, , z n ) = z 1, p (z 1, , z n ) := (z 2, , z n ) oi m Theo lập luận ta cú: l 2n - 2(p2- 1(t ) ầ X Â) = 0, " t ẻ p1(X Â) z at nh Áp dụng Định lý Fubini ta có l 2n (X ¢) = Mâu thuẫn với l 2n ( X ¢) > z Định lý 2.4.4 Cho W miền m – siêu lồi bị chặn £ n K Ì W @ ị j (dd u ) c W m Ù wn - m ³ ò j (dd v ) c m Ù wn - m với j Ỵ Em0 (W) đa điều m co a) l gm tập lồi phân hình compact W Giả sử u , v Ỵ F m (W) thỏa mãn: W an Lu hòa lân cận mở K W n va ac th xxxii si b) u £ v W\ K Khi u  v W\ K Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.2, ta cần chứng minh f hàm chỉnh hình W cho Ï f (K ) dd c log | f | Ùwn - = {u < v } Lấy e Ỵ (0, infK | f |) Đặt fe = m ax (log | f |, log e) Giả sử G tập mở W cho K é G é W Vỡ fe ẻ PSH (W) ầ C (W) nên theo Bổ đề lu 2.3.9 tồn y G Ỵ Em0 (W) cho fe - y G = const G Ta chia phép chứng an minh thành bước n va tn to Bước 1: Ta chứng minh (v - u )dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m = W å m- j= (dd cu ) j Ù (dd cv )m - j - Ù wn - m Vì dd c y G = dd c f e = ie gh Đặt T = p lân cận đủ bé K , nên theo giả thiết (b) ta nhận Từ suy d oa nl w (v - u )dd c y G ÙT ³ W ò (v - an lu 0£ u )dd c y G ÙT = W dd c (v - u ) ÙT é(dd cv )m Ù wn - m - (dd cu )m Ù wn - m ù£ ëê ûú u nf òy G ll W G W va = ịy m oi Trong bất đẳng thức cuối suy từ giả thiết (a) Do z at nh (v - u )dd c y G ÙT = W z Hơn ta có: @ gm dd c y G Ù (dd cu ) j Ù (dd cv )m - j - Ù wn - m ³ W m co l với j = 0,1, , m - Từ (v - u )dd c y G (dd cu )m - Ù wn - m = W an Lu Bước 2: Ta chứng minh dd c fe Ù wn - = {u < v } n va ac th xxxiii si Lấy a > cho | z |2 - a < - W, {v j } Ì Em0 (W) Ç C (W) cho v j ] v j Z + ¥ Cố định d > Theo Bổ đề 2.3.5 ta có ị (v j - u ) dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m W ³ (v j - u ) dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m {u < v + d(|z | - a )} ò j c c m- n- m ³ d ò dd y G Ù (dd u ) Ù w {u < v + d(|z | - a )} j ³ d ( ò m- ) dd c y G Ù dd c (v j + d(| z |2 - a ) Ù wn - m {u < v + d(|z | - a ) lu j an va ³ dm dd c y G Ù wn - ò {u < v + d(|z | - a ) n j to gh tn ³ dm dd c y G Ù wn - ³ {u < v + d(|z | - a )} ò ie p Hơn nữa, theo Định lý hội tụ trội Lebesgue ta có w ị (v nl lim jđ + Ơ j - u ) dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m d oa W ò (v - u ) dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m = an lu = W u nf va Từ ta có ll dd c y G Ù wn - = {u < v + d(|z | - a )} oi m ò z at nh Cho d ] ta dd c y G Ù wn - = {u < v } z Chú ý dd c f e = dd c y G G, nên dd c f e wn - = G Ç {u < v } gm @ Cuối cùng, cho G Z W ta điều phải chứng minh bước l {u < v } Ly an Lu b ẻ Ô Vi mi e Ỵ (0, infK | f |) Theo bước ta có m co Bước 3: Ta chứng minh dd c log | f | Ùwn - = n va ac th xxxiv si dd c fe Ù wn - = WÇ {u < b < v } Suy max(v - b, 0) dd c fe Ù wn - = WÇ {u < b} Cho d ] , {u < b} tập mở nên theo Bổ đề 2.3.8 ta có max(v - b, 0) dd c log | f | Ùwn - = WÇ {u < b} Từ dd c log | f | Ùwn - = WÇ {u < b < v } lu Do an  n va dd c log | f | Ùwn - = WÇ {u < v } tn to Định lý 2.4.5 Cho D miền bị chặn £ n K tập lồi chỉnh ie gh hình compact D Giả sử WÌ D miền m  siêu lồi u , v Ỵ Em (W) p cho: nl w a) u = v lân cận mở (¶ W) \ K d oa b) (dd cu )m Ù wn - m ³ (dd cv )m Ù wn - m W\ K lu va an c) u £ u W\ K ll u nf Khi u = v W\ K z at nh 2.4.2, ta cần oi m Chứng minh Cho f hàm chỉnh hình D cho Ï f (K ) theo Bổ đề dd c log | f | Ùwn - = {u < v } z gm K @ Khơng tính tổng qt, giả sử sup | f |< f Cố định e Î (0, infK | f |) m co l Lấy V lân cận ¶ (W\ K ) cho u = v V Ç W, U Ð D lân cận K cho e < infU | f | Đặt W¢= W\ (V È U ) Ta có W¢Ð W Lấy an Lu G : W¢Ð G Ð W cho u = v W\ (G È K ) Theo Bổ đề 2.4.2, tồn n va ac th xxxv si j ẻ PSH (W) ầ C (W) v y ẻ PSH (G \ U ) Ç C (G \ U ) : j ³ , j º lân cận K j = fe + y , fe = max {log | f |, log e} Đặt T = m- å (dd cu ) j Ù (dd cv )m - j - Ù wn - m j= Chọn c Ỵ C 0¥ (W) cho £ c £ W c = G Vì u = v W\ G c j = lân cận ¶ (W\ K ) , sử dụng Định lý Stokes ta lu 0³ ò cj an W\ K n va = é(dd cv )m Ù wn - m - (dd cu )m Ù wn - m ù ú ëê û ò c j dd (v c u ) ÙT = W\ K to gh tn = ò (v W/ K ò (v - u ) dd c ( c j ) ÙT = ò (v - G/ K p ie u )dd cj ÙT G/ K ò (v - u )dd cj ÙT ³ W/ K nl w = u ) dd c ( c j ) ÙT d oa Từ suy (v - u )dd cj ÙT = W an lu Vì dd cj = dd c f e + dd c y ³ dd c f e ³ G \ U nên suy u nf va (v - u )dd c f e Ù (dd cu )m - Ù wn - m = G \ U ll Bây chn u Âẻ F m (W) cho u u ¢ W u ¢= u G Đặt m oi v ¢= max(v, u ¢) Theo giả thiết lựa chọn G z at nh ta cú v Âẻ F m (W), u ¢£ v ¢ u ¢= u W\ (G È U ) Từ suy z Ù wn - m = m co l W\ U Vì dd c f e = U nên ta gm @ m- (v ¢- u ¢)dd c fe Ù (dd cu ¢) (v ¢- u ¢)dd c fe Ù (dd cu ¢)m - Ù wn - m = W an Lu Do đó, theo phép chứng minh bước bước Định lý 2.4.4 ta có n va ac th xxxvi si dd c log | f | Ùwn - = {u ¢< v ¢} {u < v } Suy dd c log | f | Ùwn - = W 2.5 Một vài áp dụng Ta áp dụng kết tính điều kiện đủ hội tụ yếu dãy hàm m - điều hòa Mệnh đề 2.5.1 Cho W miền m - siêu lồi bị chặn £ n K Ì W tập compact lồi phân hình Cho u,{u j }j ³ hàm thuộc F m (W) thỏa mãn điều kiện sau: lu (a ) {u j }j ³ khơng hội tụ đến - ¥ tập compact W\ K an n va (b) u j £ u W\ K với j ³ tn to (c ) lim j (dd c u j )m wn - m = jđ Ơ ũ ò j (dd u ) Ù w c W n- m với j Ỵ Em0 (W) đa W gh p ie điều hòa lân cận mở K W m j³ W oa nl w (d ) sup ò (dd cu j ) Ù wn - m < ¥ d Khi u j ® u L1loc (W\ K ) lu va an Chứng minh Từ (a) suy dãy {u j }j ³ compact L1loc (W) Chỉ cần kiểm ll u nf tra u = v W\ K với điểm tụ v tùy ý {u j }j ³ L1loc (W) Cho v oi m điểm tụ Khi tồn dãy {u jk }k ³ cho z at nh ỉ W v = ỗỗlim sup u ik ữ ữ ữ ố kđ ¥ ø * z gm @ Đặt vk = (suph³ u jk + h )* , v k ] v k Z ¥ Hơn nữa, theo (b) ta có m co l v £ u W\ K Ta v Î F m (W) Chú ý rằng, v ik £ v k W ta có vk Ỵ F m (W) Theo Mệnh đề 2.2.3 (a) giả thiết (d) ta an Lu n va ac th xxxvii si m m lim sup ò (dd cvk ) Ù wn - m £ lim sup ò (dd cu jk ) Ù wn - m < ¥ kđ Ơ kđ Ơ W W T ú, theo Mnh đề 2.2.3 (c) ta v Ỵ F m (W) với j Ỵ em0 (W) đa điều hịa lân cận mở K , theo Mệnh đề 2.2.3 giả thiết (c) ta nhận m c m n- m c n- m ò j (dd v ) Ù w = lim ò (dd vk ) Ù w kđ Ơ W W m lim ũ j (dd cu jk ) Ù wn - m = k® ¥ W m c n- m ò j (dd u ) Ù w W Do đó, theo Định lý 2.4.4 ta nhận u = v W\ K lu W an Mệnh đề 2.5.2 Cho W miền siêu lồi bị chặn £ n K tập n va mãn điều kiện sau: gh tn to lồi đa thức compact £ n Giả sử {u j }j ³ dãy F m (W) thỏa p ie (a ) Tồn j Ỵ SH m- (W) cho lim inf ò j (dd cu j )m Ù wn - m > - Ơ jđ Ơ W oa nl w (b) Tồn u Ỵ SH m- (W) ầ LƠloc (W\ K ) cho d lim sup u j(z ) £ u (z ), " z ẻ W/ K jđ Ơ an lu u nf va (dd cu )m Ù wn - m = W\ K ll (c ) u j ® u L1loc (U ) j đ Ơ , U lân cận mở ¶ (W\ K ) m oi Khi u j ® u L1loc (W\ K ) j đ Ơ z at nh Chứng minh Theo giả thiết (c) ta suy dãy {u j }j ³ không hội tụ đến - ¥ z tập compact W Như dãy compact L1loc (W) gm @ l Từ cần điểm tụ v {u j }j ³ trùng với u W\ K Cố m co định v thế, tồn dãy {u jk }k ³ cho v = (lim u jk )* T (c) kđ Ơ an Lu suy u = v U Tiếp theo ta v Ỵ Em (W) Thật vậy, đặt n va ac th xxxviii si vk = (sup u jk + h )* h³ Vì u jk £ vk W nên suy vk Ỵ F m (W) Từ đó, theo Mệnh đề 2.2.3 ta lim inf ò j (dd cvk )m Ù wn - m ³ lim inf ò j (dd cu jk )m wn - m kđ Ơ kđ Ơ W W lim inf ũ j (dd cu j )m Ù wn - m > - ¥ kđ Ơ W Hn na, vỡ v k ] v k Z ¥ nên theo Mệnh đề 2.2.3 ta v Ỵ Em (W) Chú ý v £ u (W) , nên u Ỵ Em (W) Hơn nữa, theo giả thiết (b) ta có (dd cu )m Ù wn - m = W\ K Như lu an (dd cv )m Ù wn - m ³ (dd cu )m Ù wn - m W\ K va  n Áp dụng Định lý 2.4.5 ta kết luận u = v W\ K p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th xxxix si KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống số kết tính chất hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian + Một số tính chất lớp lượng U.Cegrell hàm m - điều hồ dưới, cơng thức tích phân phần, nguyên lí so sánh lớp Cegrell + Một số kết tính hàm m - điều hoà lu an lớp Cegrell áp dụng n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th xl si TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, [1] Nxb Đại học sư phạm TIẾNG ANH Blocki Z., (2005), “Weak solution to the complex Hessian [2] equation”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 55, no 5, 1735-1756 Bloom T., Levenberg N., (2003), “Weighted pluripotential theory”, [3] Amer J Math 125, 57–103 lu an Cegrell U., (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, 187–217 [5] Cegrell U., (2004), “The general definition of the complex Monge– n va [4] tn to Ampère operator”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159–179 Chinh L H., (2013), “On Cegrell’s classes of m-subharmonic functions”, arXiv:1301.6502v1 [math.CV] p ie gh [6] Dieu N Q., (2011), “A unicity theorem for plurisubharmonic w [7] Dieu N.Q., Bang P.H., Hong N.X., (2014), “Uniqueness properties of d [8] oa nl functions”, Ann Polon Math 100(2), 159–165 lu Duval J., Sibony N., (1995), “Polynomial convexity and rational ll oi m [9] u nf no1, 669-683 va an m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, convexity”, Duke Math J 79, 478–513 z at nh [10] Li S.Y., (2004), “On the Dirichlet problems for symmetric function z equations of the eigenvalues of the complex Hessian”, Asian J Math @ gm 8(1), 87–106 m co l [11] Persson L., (1999), “ A Dirichlet principle for the complex Monge-Amp`ere operator”, Ark Mat 37, no 2, 345-356 an Lu n va ac th xli si