(Luận văn) các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình hessian trong các lớp cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– PHÙNG THỊ KIM OANH lu CÁC LỚP CEGRELL CỦA HÀM m - ĐIỀU HỒ DƢỚI VÀ PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL an n va to p ie gh tn Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lm ul z at nh oi NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG z m co l gm @ THÁI NGUYÊN - 2016 an Lu ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả lu an Phùng Thị Kim Oanh n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, phận sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy lu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học an n va Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết tn to mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi p ie gh viên để luận văn hoàn chỉnh nl w thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn d oa Tháng 04 năm 2016 nf va an lu Tác giả z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lu an Bố cục luận văn n va Chƣơng 1: HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƢỚI tn to 1.1 Hàm điều hòa gh 1.2 Hàm đối xứng sơ cấp p ie 1.3 Hàm m-điều hòa toán tử Hessian w 1.4 m - dung lượng tương đối oa nl 1.5 Hàm m - cực trị tương đối 10 d Chƣơng 2: CÁC LỚP NĂNG LƢỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL 13 lu nf va an 2.1 Các định nghĩa tính chất 13 2.2 Toán tử Hessian phức 21 lm ul 2.3 Tích phân phần 25 z at nh oi 2.4 Nguyên lý so sánh 26 Chƣơng 3: PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL 32 z 3.1 Các hàm lượng 32 gm @ 3.2 Sự tồn nghiệm phương trình Hessian lớp Cegrell 37 l KẾT LUẬN 47 m co TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 an Lu ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho WÌ Ā n miền bị chặn m số nguyên cho Ā m Ā n Xét phương trình m - Hesian phức có dạng (dd cj )m Ù b m - n = m b = dd c z (1.1) l dng Kăahler chun C n µ độ đo Radon dương Phương trình m - Hessian phức nghiên cứu lần lu an S.Y Li năm 2004 Ông sử dụng phương pháp liên tục để giải va n tốn Dirichlet khơng suy biến cho phương trình (1.1) miền tn to m - giả lồi mạnh Một vấn đề suy biến tương tự ie gh nghiên cứu Blocki năm 2005 Ông giải phương trình p với điều kiện biên liên tục trình bày bước lý nl w thuyết vị phương trình Gần đây, Abdullaev d oa Sadullaev quan tâm đến tập m - cực m - dung lượng an lu hàm m - điều hòa Khi m trù mật Lp (w)( p > n / m ) , Dinew nf va Kolodziej chứng minh với điều kiện biên liên tục cho, lm ul toán Dirichlet phương trình (1.1) có nghiệm liên tục z at nh oi Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: “ Các lớp Cegrell hàm m - điều hồ Phương trình Hessian lớp Cegrell“ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu z gm @ 2.1 Mục đích nghiên cứu l Mục đích luận văn nghiên cứu lớp lượng hữu hạn m co hàm m - điều hịa tổng qt hóa lớp Cegrell hàm đa điều an Lu hòa Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình Hessian phức suy biến (dd cj )m Ù b n - m = m, µ độ đo Radon dương suy biến ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Nghiên cứu số tính chất hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian, m - dung lượng tương đối hàm m - cực trị tương đối + Nghiên cứu trình bày kết gần L.H Chinh số tính chất lớp lượng U.Cegrell hàm m - điều hồ tồn nghiệm phương trình Hessian lớp kiểu Cegrell lu Phƣơng pháp nghiên cứu an n va Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức gh tn to Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 49 trang, có phần mở đầu, ba chương p ie nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo nl w Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất oa hàm điều hồ dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian, m - dung d lượng tương đối hàm m - cực trị tương đối lu điều hoà nf va an Chương 2: Trình bày số kết lớp Cegrell hàm m - lm ul Chương 3: Trình bày kết tồn nghiệm z at nh oi phương trình Hessian lớp Cegrell Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt z m co l gm @ an Lu ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si Chƣơng HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƢỚI 1.1 Hàm điều hòa dƣới Định nghĩa 1.1.1 Giả sử W tập m Hm u : Wđ ộờở- Ơ , + ¥ ) gọi điều hịa W nửa liên tục trên W thỏa mãn bất đẳng thức trung bình W, nghĩa với w Ỵ W tồn d > cho với Ā r Ā d ta có 2p lu u( w) Ā ị 2p u( w + re it )dt an n va Kí hiệu tập hợp hàm điều hịa W SH (W) (i ) m ax(u , v ) hàm điều hòa W gh tn to Mệnh đề 1.1.2 Giả sử W tập mở Ā , u, v Ỵ SH (W) Khi đó: p ie (ii ) Tập hàm điều hịa W nón lồi, nghĩa nl w u, v Ỵ SH (W) a , b > a u + b v thuộc SH (W) d oa Định lý 1.1.3 Giả sử W miền bị chặn Ā , u Ỵ SH (W) Khi đó: an lu (i ) Nếu u đạt cực đại toàn thể điểm W u số W nf va (ii ) Nếu lim sup u (z ) " V ẻ ả W u Ā W z® V lm ul Định lý 1.1.4 Giả sử W tập mở Ā u hàm nửa liên tục trên z at nh oi W Khi mệnh đề sau tương đương (i ) u hàm điều hòa W z (ii ) Với w Î W, tồn d > cho D(w, d > 0) Ì W với gm @ Ā r < d, Ā t < 2p ta có d2 - r u ( w + de i q )d q 2 d - 2drcos(q - t ) + r m ò 2p co } an Lu { l u ( w + re ) Ā 2p it D(w, d > 0) = z Ỵ W: z - w Ā d đĩa đóng tâm w bán kính d ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si (iii ) Với miền D compact tương đối W h hàm điều hòa trên D, liên tục D thỏa mãn lim sup(u - h )(z ) Ā (V ẻ ả D ) zđ V ta cú u h D Định lý 1.1.5 Giả sử { u n } dãy giảm hàm điều hòa tập mở W Ā u = lim un Khi u hàm điều hịa trờn W nđ Ơ Chng minh u tiờn ta chng minh u nửa liên tục trên W Với lu a Ỵ R, tập an n va {z Ỵ W: u (z ) < a } = ¥ U{z Î W: u n (z ) < e} tn to n gh Do tập mở Vậy u nửa liên tục trên W Do u n thỏa mãn bất đẳng p ie thức trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy u thỏa mãn bất W w đẳng thức trung bình W Do u hàm điều hòa W oa nl Hệ 1.1.6 Giả sử u hàm điều hòa miền WÌ Ā cho u d khơng đồng - ¥ W Khi tập nf va an lu { E = z Ỵ W; u (z ) = - ¥ lm ul có độ đo Lebesgue } Tập E Ì Ā mà có hàm điều hịa dưới, khơng đồng - ¥ , z at nh oi nhận giá trị - ¥ gọi tập cực Sau trường hợp Ā n , tập gọi tập đa cực Đó tập kỳ dị lớp hàm điều hòa z dưới( tương ứng đa điều hòa dưới) @ 1Ā i1 < i2 < < ik Ā n l i l i l i Đặt S 0(l ) = k an Lu å m S k (l ) = co l = (l , , l n ) Ỵ R n , hàm k - đối xứng sơ cấp với l Cho Sk , k = 1, , n gm 1.2 Hàm đối xứng sơ cấp http://www.ltc.tnu.edu.vn ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN n va S k (l ) = k > n k < Ta có đồng thức si n å (l + t ) (l n + t ) = S k (l ) t n - k , t Ỵ ¡ k= Kí hiệu Gk bao đóng thành phần liên thông tập hợp {S k (l ) > 0} chứa (1, ,1) Ta có { Gk = l Ỵ R n / S k (l + t , , l n + t ) ³ 0, " t > 0} Từ S m (l + t , , l n + t ) = m å ( ) S (l )t n- k m- k m- k k ,t Ỵ ¡ suy k= lu Gk := {l Ỵ R n / S j (l ) ³ 0, " Ā j Ā k} an va Ký hiệu H không gian vectơ ¡ gồm ma trận Hermitian k n tn to phức cấp n ´ n Với A Î H , ký hiệu l (A ) = (l , , l n ) giá ie gh trị riêng A Đặt S%k (A ) = S k (l (A )) Từ đẳngthức p n det (A + tI ) = å S%k (A )t n - k , t Ỵ ¡ nl w k= d oa suy hàm S%k tổng tất định thức bậc k , AI I Do đó, S%k đa thức bậc k H an å lu S%k (A ) = nf va I =k lm ul mà hyperbolic ma trận đồng I Như [3], z at nh oi % = {A Ỵ H / S%(A + tI ) ³ 0, " t ³ Ta có ta địnhnghĩa G k k 1/ k % = {A Ỵ H / l (A ) Ỵ G } nón li v hm Sỵk G k k % lừm trờn G k z 1.3 Hàm m-điều hịa dƣới tốn tử Hessian gm @ Ký hiệu b dạng Kahler chuẩn C n W miền l - cho {f < c} Ð W, với c < an Lu tục f : W® ¡ m co m - siêu lồi bị chặn Ā n , tức tồn hàm m - điều hòa liên ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si Ta kết hợp (1,1) - dạng thực a C n với ma trận Hermitian [a jk ] a = i p å a jk dz j dz k Khi ú dng Kăahler chớnh tắc b kết j ,k hợp với ma trận đồng I Ta có ( )a n k k Ù b n - k = S±k (A )b n Định nghĩa 1.3.1 C ho a (1,1) - dạng thực W Ta nói a m dương điểm cho trước P Ỵ W điểm ta có: a j Ùb n - j ³ 0, " j = 1, , k a gọi k - dương k - dương điểm thuộc W lu an Cho T dòng song bậc (n - k , n - k )(k Ā m ) Khi T va n gọi m - dương a Ù Ù a k ÙT ³ , với (1,1) - dạng gh tn to m - dương a , , a k } p ie Định nghĩa 1.3.2 Hàm u : W® ¡ È {- ¥ gọi m - điều hịa oa nl w hà m điều hòa ddcu Ù a Ù a m - Ù b n - m ³ 0, d với (1,1) - dạng m - dương a 1, , a m - lu nf va an Lớp tất hàm m - điều hòa W ký hiệu SH m (W) lm ul Mệnh đề 1.3.3 [3] i ) Nếu u C tr n u m - điều hòa z at nh oi dd cu m - dương điểm thuộc W ii ) Nếu u, v Ỵ SH m (W) l u + mv Ỵ SH m (W), " l , m > Nếu u m - điều hịa W u å c m - điều hòa z iii ) l gm @ We = {x Î W/ d(x , ¶ W) > e} v ) PSH = Pn Ì Ì P1 = SH an Lu t r o n g đ ó v å qui nửa liên tục v m co iv ) Nếu (ul ) Ì SH m (W) bị chặn địa phương (sup u l )* Ỵ SH m (W) ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 35 Bổ đề 3.1.6 Cho u, v Ỵ Em1 (W) giả sử v liên tục Cho t < 0, hàm P (u + tv ) thuộc Em1 (W) với s < 0, P (u + tv ) - P (u + sv ) Ā t - s (- v ) Chứng minh Chọn t < 0, Hàm P (u + tv ) nửa liên tục Mà u Ā P (u + tv ) Ā u + tv, kéo theo P (u + tv ) Î Em1 (W) Với s < t ta có P (u + tv ) Ā P (u + sv ), P (u + sv ) + (t - s )v Ā P (u + tv ) Do đó, P (u + tv ) - P (u + sv ) Ā t - s (- v ) lu Bổ đề 3.1.7 Cho u : W® R hàm liên tục Giả sử tồn w Ỵ Em1 (W) an n va cho w Ā u Khi tn to ò{ ( ) P u 0, r > cho lm ul P (u )(x ) < u(x ) - e < u(x ), " x Ỵ B = B (x 0, r ) z at nh oi Với j cố định, cách xấp xỉ u j |¶ B dãy hàm liên tục ¶ B áp dụng Định lý 2.10 [7], ta tìm hàm j j Ỵ SH m (B ) cho j j = uj z B H m (j j ) = B Nguyên lý so sánh cho ta j j ³ u j B , @ j W\ B thuộc gm hàm y j xác định y j = j B y j = u j an Lu j j (x ) = u j (x ) Ā P (u )x Ā u (x ) - e m co l vo Em1 (W) ầ LƠ (W) Vi mi x ẻ ả B ta cú ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 36 Vậy j j Ā u (x ) - e B u (x ) - e số j j m - điều hồ Do u j Ā y j Ā u W Suy (lim j y j )* = P (u ) Từ Định lý 1.4.7 suy H m ( y j ) ® H m (P (u )) Do ta có H m (P (u ))(B ) Ā lim inf H m (y j )(B ) = W j® + ¥ Bổ đề 3.1.8 Giả sử u, v Ỵ Em1 (W) v hàm số liên tục Với t < , lu đặt ht = an P (u + tv ) - tv - u Khi với Ā k Ā m , ta có t va lim ị ht (dd cu )k Ù (dd cP (u + tv ) )m - k Ù b n - m = tZ (3.2) n W gh tn to Đặc biệt, P (u + tv ) - u (dd cu )k Ù (dd cP (u + tv ))m - k Ù b n - m = W t ie lim ò tZ ò vH W m (u ) (3.3) p nl w Chứng minh Dễ chứng minh ht hàm giảm theo t Ā ht Ā - v Với d oa s < cố định ta có an lu tZ nf va lim ò ht (dd cu )k Ù (dd cP (u + tv ))m - k Ù b n - m Ā W tZ z at nh oi ò = W lm ul Ā lim ò hs (dd cu )k Ù (dd cP (u + t v ) )m - k Ù b n - m hs (dd cu )m Ù b n - m Ā W ò{ (- v ) (dd cu )m Ù b n - m P ( u + sv )- sv < u } z Giả sử (uk ) Ì Em0 (W) Ç C (W) dãy giảm tới u cho P ( u + sv )- sv < u } gm (- v )(dd cu )m Ù b n - m Ā 2ò @ ò{ {P (uk + sv )- sv < u } l (- v )(dd cP (u k + sv ) - sv ) )m Ù b n - m P ( uk + sv )- sv < uk } Ā - sM ® 0, s ® 0, an Lu ị{ m (- s )(dd cu )m Ù b n - m Ā P ( uk + sv )- sv < u } co Theo Bổ đề 3.1.7 ta kết luận ò{ (- v )(dd cu )m Ù b n - m ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 37 M số dương phụ thuộc vào m , v , ò v(dd c (u + v ))m Ù b n - m W Bất đẳng thức (3.3) suy từ bất đẳng thức (3.2) W Bổ đề 3.1.9 Giả sử u, v Ỵ Em1 (W) v hàm số liên tục Hàm g(t ) = e1(P (u + tv )) , t Ỵ R khả vi g ÿ(0) = (m + 1) ò (- v )H m (u ) W lu an Chứng minh Nếu t > 0, P (u + tv ) = u + tv Dễ thấy va n g ÿ(0+ ) = (m + 1) ò (- v )H m (u ) to W tn ie gh Lấy đạo hàm trái ta p ( ò (- P (u + tv ))(dd cP (u + t v ))m Ù b n - m W t (- u )(dd cu )m Ù b n - m ) W nl w ò m u - P (u + tv ) (dd cu )k Ù (dd cP (u + tv ))m - k Ù b n - m W t oa å ò d = an lu k= Áp dụng Bổ đề 3.1.8 ta có điều phải chứng minh nf va W lm ul 3.2 Sự tồn nghiệm phƣơng trình Hessian lớp Cegrell Bổ đề 3.2.1 Giả sử m độ đo Radon dương cho m(W) < + ¥ Giả sử tồn (- j ) d m Ā A e1(j ) 2 m+1 (3.4) @ W với j Ỵ Em1 (W) z ị z at nh oi A > cho gm Khi m Ỵ M Hơn nữa, (u j ) Ì Em1 (W) cho sup je1(v j ) < + Ơ v dm đ ũ vd m W m W jk co ị l trích dãy {v jk } cho ta an Lu Cuối cùng, tồn hàm u Ỵ Em1 (W) cho H m (u ) = m ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 38 Chứng minh Cố định j Ỵ Em1 (W) Từ (3.4) ta tìm số A > cho ò (- j )d m Ā W (ò 1/ ) (- j )2d m W Ā A e1(j ) 1/ m+1 m(W)1/ m(W) = Ce1(j ) 1/ m+1 < +¥ Suy m Ỵ M Bây giả sử (v j ) Ì Em1 (W) thỏa mãn sup je1(v j ) = C < + ¥ Tính compact lu Em1,C (W) (Bổ đề 3.1.1) cho phép ta lấy dãy (cũng kí hiệu (v j ) ) hội tụ an n va theo nghĩa phân bố tới v Ỵ Em1 (W) Bất đẳng thức (3.4) cho ta tn to sup j ò (- v j )2dm < + ¥ W gh p ie Theo Bổ đề 3.1.2 ta có ị v dm ® W j ò vd m W d oa nl w Bây ta chứng minh phát biểu cuối Giả sử (u j ) Ì Em1 (W) cho lim j F m(u j ) = infv Ỵ E1 m F m(v ) Ā (Ω) lu nf va an Theo Bổ đề 3.1.5, ta có sup je1(u j ) < + ¥ Theo chứng minh suy tồn u dm ® W j ị ud m Từ Bổ đề 3.1.3 ta thấy e1 nửa liên tục Như W z at nh oi ò lm ul dãy (cũng kí hiệu (u j ) ) cho u j hội tụ tới u Ỵ L1loc (W) lim inf F m(u j ) = lim inf e1(u j ) + lim ò u jd m ³ e1(u ) - u1 = F m(u ) jđ Ơ jđ Ơ jđ Ơ W z (u + t v )d m W an Lu ò m e (P (u + t v ) ) + m+1 co g(t ) = l Bõy gi ly v ẻ Em0 (W) ầ C(W) Hàm gm @ Khi ta kết luận u điểm cực tiểu F m Em1 (W) ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 39 khả vi g ÿ(0) = - ò vH m (u ) + W ị vd m W Vì P (u + tv ) Ā u + tv nên ta có g(t ) ³ F m(e1P (u + tv )) ³ F m(u ) = g(0), " t Ỵ R Do gÿ(0) = suy ị vH m (u ) = W ò W vdm W Định lý 3.2.2 Nếu m Ỵ M tồn u Ỵ Em1 (W) cho H m (u ) = m lu an Chứng minh Tính suy từ nguyên lý so sánh n va Ta chứng minh tồn Trước tiên, giả sử m có giá compact K Ð W ký gh tn to hiệu hK = hm* ,K ,W hàm m - cực trị K W Đặt p ie ïíï ïü m+1 M = ì v ³ / supp n Ì K , ị (- j ) d n Ā Ce1(j ) , " j ẻ Em1 (W)ùý , W ùù ùù ợ ỵ nl w Với compact d oa C số cố định cho C > 2e1(hK ) n- n+1 (- j )2 H m (hL ) Ā 2hL ò (- j ) (dd cj ) Ù (dd chL )m - Ù wn - m W W lm ul ò nf va an lu L Ì K , ta có hK Ā hL Suy e1(hL ) Ā e1(hK ) Do (ò (- j )H W m+1 , m L W m m- m+1 ) (hL ) z Ā Ce1(j ) ) (ò (- h )H (j ) z at nh oi Ā 2 m+1 @ { l gm với j Ỵ Em1 (W) Suy H m (hL ) Ỵ M với compact L Ì K } Đặt T = sup n (W) n Ỵ M Ta chứng minh T < + ¥ m co (3.5) ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN va K Ð {h < - 1} Ð W an Lu Thật vậy, W m - siêu lồi, nên tn ti h ẻ SH m- (W) ầ C (W) cho si 40 Với n Ỵ M , ta có n(K ) Ā ị K (- h )d n Ā C e1(h ) m+1 , Từ suy (3.5) Cố định n Ỵ M cho n0(W) > Đặt M ÿ= n ³ / n(W) = 1, supp n Ì K , { ổC ỗỗ + C ữ m+1 ÷ ( j ) d n Ā e ( j ) , " j ẻ Em1 (W) ữ ũW ççT ÷ n ( W ) è ø } lu Khi n Ỵ M j Ỵ Em1 (W), ta có an n va ị (- j )2 (T - n(W)d n + n (W)d n ) T n (W) W Ā T - n(W) (- j )2d n + ò W T n (W) T ò (- j )2d n W to p ie gh tn æ T - n(W) C ữ ỗ m ỗỗC + ữ e1(j ) + ữ ữ Tứ ốỗ T n (W) an - n(W)n + n (W)n ) nf va (T ) lu Từ ta kết luận m+1 d oa nl w æ Cữ ỗỗ C ữ ỗ + ữe1 (j ỗỗn (W) T ữ ữ ố ứ ẻ M ÿ , với n Ỵ M lm ul T n (W) z at nh oi Ta kết luận M ÿ (không rỗng) lồi, compact yếu không gian độ đo xác xuất Theo Định lý Radon-Nykodim tổng quát suy tồn độ đo dương n Ỵ M ÿ hàm dương f Ỵ L1(n ) cho m = fd n + ns , ns trực z gm @ giao với M ÿ Chú ý độ đo trực giao với M ÿ có giá tập m co m triệt tiêu tập m - cực l m - cực H m (hL ) Ỵ M với L Ð K Khi ta kết luận ns º an Lu Theo Bổ đề 3.2.1, với l Ỵ M ÿ, tồn hàm u Ỵ Em1 (W) cho ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 41 (dd cu )n = l Với j Ỵ N , đặt mj = (f , j )n Khi mj thỏa mãn (3.4) mj Ā j n Vì thế, tồn u j Ỵ Em1 (W) cho H m (u j ) = mj Rõ ràng {u } giảm tới hàm u Ỵ j Em1 (W) thoả mãn H m (u ) = m Trường hợp cịn lại khơng có giá compact Giả sử {K j } dãy vét cạn tập compact W xét mj = c K jd m Chú ý ( mj ) giảm tới u Ỵ SH m- (W) Điều đủ để chứng minh sup je1(u j ) < + ¥ lu Vì m Ỵ M , nên ta có an n va ò (- u j )H m ( mj ) = W ò K (- u j )d m Ā ò (- u j )d m Ā A e1(u j ) Điều kéo theo e1(u j ) bị chặn Điều phải chứng minh W ie gh Cho m độ đo Radon dương có khối lượng hữu hạn p Bổ đề 3.2.3 W tn to e1(u j ) = m+1 oa nl w m(W) < + ¥ Giả sử m Ā H m ( y ) , y hàm m - điều hồ bị d chặn W Khi tồn hàm j Ỵ F m1(W) cho m = H m (j ) an lu Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử - Ā y Ā Xét nf va lm ul h j = max ( y , jh ) , h Ỵ Em0 (W) hàm vét cạn W Lấy H m (j j ) = I A m, " j Như vậy, j z at nh oi A j := {z Ỵ W/ jh < - 1} Theo Định lý 3.2.2, tồn (j j ) j Ì Em0 (W) cho z j j ¯ j Ỵ F m1(W) W gm @ ³ j j ³ hj ³ y co l Bây ta chứng minh định lý phân tích kiểu Cegrell m Định lý 3.2.4 Giả sử m độ đo dương W, triệt tiêu tập m -cực an Lu Khi $ j Ỵ Em0 (W) Ā f Ỵ L1loc (H m (j ) ) cho m = f H m (j ) ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 42 Chứng minh Trước tiên giả sử m có giá compact Theo Định lý 3.2.2 ta tìm u Ỵ Em1 (W) Ā f Ỵ L1(H m (u ) ) cho m = f H m (u ) supp (H m (u )) Ð W Xét y = (- u )- ẻ SH m (W) ầ LƠloc (W) Khi (- u )- 2m H m (u ) Ā H m ( y ) Vì H m (u ) có giá compact W, nên ta điều chỉnh y lân cận ¶ W cho y Ỵ Em0 (W) Theo Bổ đề 3.2.3 ta có lu (- u )- 2m H m (u ) = H m (j ) , j Ỵ Em0 (W) an n va Suy f (- u )2m H m (j ) gh tn to Vấn đề lại xét trường hợp m khơng có giá compact Giả sử (K j ) dãy p ie vét cạn gồm tập compact W Theo chứng minh tồn u j Ỵ Em0 (W) f j Ỵ L1(H m (u j )) cho I K m = f j H m (u j ) Lấy dãy số j w nl ¥ d oa dương (a j ) thoả mãn j = å au j j Ỵ Em0 (W) Độ đo m liên tục tuyệt đối đối j=1 an lu với H m (j ) Như m = gH m (j ) g Ỵ L1loc (H m (j )) nf va W lm ul Mệnh đề 3.2.5 Cho m độ đo Radon dương W p > Khi z at nh oi Emp (W) Ì Lp ( m) tồn số C > cho ò (- u ) d m Ā Ce (u ) p p m+ p p W , " u Ỵ Emp (W) z W j ep (u j ) p m+ p Để đơn giản, giả sử e p (u j ) = 1, " j m co ò (- u ) d m ³ jp l cho p gm @ Chứng minh Giả sử m thỏa mãn Emp (W) Ì Lp ( m) tồn dãy (u j ) Ì Emp (W) Theo Hệ 2.1.11, u = å 2- j u j Ỵ Emp (W) Nhưng j=1 an Lu ¥ ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 43 ò (- u ) d m ³ ò (- p - j W u j )p d m ³ 2jp ® + ¥ , W suy Emp (W) Ë Lp ( m) Điều mâu thuẫn với giả thiết Điều ngược lại rõ ràng W Chú ý 3.2.6 Nếu u, v Ỵ Emp (W) (u j ),(v j ) Ì Em0 (W) giảm tới u , v tương ứng, theo Bổ đề 2.1.8 Mệnh đề 2.1.10, ta có ị (- u ) H p W m (v ) Ā lim j inf ò (- u j )pH m (v j ) < + ¥ W Như vậy, Emp (W) Ì Lp (H m (v )) theo Mệnh đề 3.2.5 tồn C v > cho lu an ò (- u ) H p va n W m (v ) Ā C vep (u ) p m+ p , " u Ỵ Emp (W) gh tn to Định lý 3.2.7 Giả sử m độ đo Radon dương W cho p ie Emp (W) Ì Lp ( m), p > Khi tồn j Î Emp (W) cho w H m (j ) = m oa nl Chứng minh Tính suy từ nguyên lý so sánh Ta chứng minh d tồn j thoả mãn định lý Vì m triệt tiêu tập m - cực, nên áp lu nf va an dụng định lý phân tích (Định lý 3.2.4) ta lm ul m = fH m (u ), u Ỵ Em0 (W), Ā f Ā L1loc (H m (u )) z at nh oi Với j , sử dụng Bổ đề 3.2.3 ta tìm j j Ỵ Em0 (W) cho H m (j j ) = min( f , j )H m (u ) z Theo Mệnh đề 3.2.5, ta có sup j e p (j j ) < + ¥ Theo nguyên lý so sánh ta ¯ j Ỵ Emp (W) j thoả mãn H m (j ) = m W l j gm @ j m co Định lý 3.2.8 Giả sử m độ đo Radon dương W với khối lượng tổng ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN va j Ỵ F m (W) cho H m (j ) = m an Lu cộng hữu hạn m(W) < + ¥ Nếu m triệt tiêu tập m - cực tồn si 44 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh tồn Vì m triệt tiêu tập m - cực nên theo định lý phân tích ta có m = fH m (u ) , u Ỵ Em0 (W) , Ā f Ā L1loc (H m (u )) Với j sử dụng Bổ đề 3.2.3 để tìm j j Ỵ Em0 (W) cho H m (j j ) = min( f , j )H m (u ) Bên cạnh đó, sup j ò H m (j j ) Ā m(W) < + ¥ Do vậy, j W j ¯ j Î F m (W) theo nguyên lý so sánh Hàm giới hạn j thỏa mãn H m (j ) = m điều kiện đòi hỏi lu an Để chứng minh tính tiến hành theo cách Bổ đề n va 5.14 [5] Giả sử y Ỵ Fm (W) thỏa mãn H m ( y ) = m Ta chứng minh j = y gh tn to Giả sử (K j ) dãy vét tập compact W cho h j = hm ,K j , hàm y j = max ( y , j h j ) Ỵ Em0 (W) ,W liên Đặt yj ¯ y p ie tục Với j {y > j h j } - d j ¯ nl w d j = (y j / j ) - h j = m ax ((y j / j ) - h j , 0) Khi d j Ā I d oa Với s > j , theo nguyên lý so sánh ta có = I H (max ( y , s.h j )) {y > j hj } m nf va an lu Ā d j H m (max ( y , s.h j )) Ā I lm ul H (m ax ( y , j h j ) ) {y > j hj } m z at nh oi = H m (max ( y , s.h j )) Cho s ® + ¥ sử dụng Hệ 2.2.4 ta nhận H (max ( y , j h j )) Ā H m ( y ) {y > j hj } m (3.6) z d j H m (y ) Ā I gm @ Theo ta có l m co m = fH m (u ) , u Ỵ Em0 (W) , Ā f Ā L1loc (H m (u ) ) ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN va v jp Ỵ Em0 (W) cho H m (v jp ) = (1 - d j ) H m (j p ) an Lu H m (j p ) = min( f , p)H m (u ) với p Î N Với p, j ta tìm si 45 Sử dụng (3.6) ta nhận H m (j p ) = d j H m (j p ) + (1 - d j ) H m (j p ) Ā d j H m (y ) + (1 - d j ) H m (j p ) Ā I { y > j h j H m ( y j ) + H m (v jp ) } Ā H m ( y j ) + H m (v jp ) (3.7) Điều kết hợp với nguyên lý so sánh cho ta j p ³ v jp + y j lu Cho p ® + ¥ ta thu j ³ v j + y j v j Ỵ F m (W) thỏa mãn an n va H m (v j ) = (1 - d j ) H m (j ) gh tn to Vì H m (j ) triệt tiêu tập m - cực, nên theo định lý hội tụ đơn điệu khối dần tới j đ + Ơ iu ny suy p ie lượng toàn phần H m (v j ) nl w v j Z j ³ y d oa Bây giờ, ta chứng minh j Ā y Giả sử y j , t j Ỵ Em0 (W) cho lu nf va an H m ( wj ) = d j H m ( y j ) H m (t j ) = (1 - d j )H m y j lm ul Vì H m (j p ) tăng đến H m (j ) , nên áp dụng nguyên lý so sánh cho j w j ta z at nh oi wj ³ j Nhưng áp dụng lại nguyên lý so sánh cho t j + y j y j ta t j + wj Ā y j Ngoài khối lượng tồn phần H m (t j ) z đánh sau H m (y ) - W W j ò W j m (y j ) d H m (y ) W an Lu Ā 2ò (1 - d j )H m (y ) ® m ò ò dH co Ā H m (y j ) - W l ò gm H m (t j ) = W @ ò ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 46 Điều kéo theo t j ® theo m - dung lượng Thật vậy, với e > hàm m - điều hòa - Ā q Ā 0, , theo nguyên lý so sánh ta có em ị H (q) Ā {t j Ā - e} m ò{ H (t ) Ā } m j t j Ā - eq ò{ } t j Ā - eq ò H m ( eq) H m (t j ) ® W Như vậy, ta có j Ā y Suy j = y W Mệnh đề 3.2.9 Giả sử u, v Ỵ Emp (W) , p > Khi tồn hai dãy lu (u j ),(v j ) Ì Em0 (W) giảm tới u , v tương ứng cho an va lim jđ + Ơ ũ (- u j ) p H m (v j ) = W ò (- u )p H m (v ) W n cho gh tn to Nói riêng, j Î Emp (W) tồn (j j ) Ì Em0 (W) giảm tới j p ie e p (j j ) ® e p (j ) d oa nl w Chứng minh Giả sử dãy (u j ) Ì Em0 (W) giảm tới u cho sup j ò (- u j )p H m (u j ) < + ¥ W lu nf va an Vì H m (v ) triệt tiêu tập m - cực nên theo Định lý 3.2.4 ta có lm ul H m (v) = f H m (y ), y Ỵ Em0 (W), Ā f Ỵ L1loc (H m (y )) z at nh oi Với j , sử dụng Bổ đề 3.2.3 ta tìm v j Ỵ Em0 (W) cho H m (v j ) = (f , j )H m ( y ) z Theo nguyên lý so sánh v j ¯ j Ỵ Emp (W) thỏa mãn H m (j ) = H m (v ) Điều @ l (- u )p H m (v ) = lim j ò (- u j )p min( f , j ) H m ( y ) = lim j ò (- u j )p H m (v j ) W W m W co ò gm kéo theo j º v Ta có an Lu ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm điều hồ dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian, m - dung lượng tương đối hàm m - cực trị tương đối + Các kết gần L.H Chinh số tính chất lớp lượng kiểu U Cegrell hàm m - điều hoà số kết nghiên cứu tồn nghiệm phương trình Hessian lu an lớp kiểu Cegrell n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH [2] Bedford.E, Taylor.B.A (1976), “ The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampère equation”, Invent Math 37, no 1, 1-44 [3] Blocki.Z (2005), “Weak solutions to the complex Hessian equation”, lu Ann Inst Fourier (Grenoble) 55, no 5, 1735-1756 an n va [4] Cegrell.U (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, no [5] Cegrell.U (2004), „The general definition of the complex Monge- gh tn to 2,187-217 p ie Ampère operator”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, no 1, 159-179 w [6] Chinh L.H (2013),”On Cegrell‟s classes of m - subharmonic functions”, oa nl arXiv:1301.6502 [math.CV] d [7] Dinew.S and Kolodziej.S (2014), “A priori estimates for complex Hessian lu an equations”, arXiv:1112.3063 [math.CV], Anal Vol 7, No1, 227-244 nf va [8] Guedj V, Zeriahi A (2007), “The weighted Monge-Amp`ere energy lm ul of quasiplurisubharmonic functions”, J Funct Anal 250, no 2, z at nh oi 442482 [9] Klimek M (1991), Pluripotential theory, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York z gm @ [10] Kolodziej S (2005), “The complex Monge-Amp`ere equation and l pluripotential theory”, Memoirs Amer Math Soc 178, 64p m co [11] Li S.Y (2004), “ On the Dirichlet problems for symmetric function 8, No.1, 87-106 an Lu equations of the eigenvalues of the complex Hessian”, Asian J.Math ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si 49 [12] Nguyen N C (2014), Hăolder continuous solutions to complex Hessian equations”, Pot Anal 41, no 3, 887-902 [13] Persson L (1999), “ A Dirichlet principle for the complex Monge-Amp`ere operator”, Ark Mat 37, no 2, 345-356 [14] Sadullaev.A.S, Abdullaev B.I (2012), “ Potential theory in the class of m-subharmonic functions”, Trudy Matematicheskogo Instituta imeni V.A Steklova, Vol 279, pp 166-192 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu ac th http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN si