(Luận văn) phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ XUÂN SANG lu an n va gh tn to PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH p ie TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN d oa nl w va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ XUÂN SANG lu an PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH va n TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC va an lu u nf Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp ll Mã số: 60 46 01 13 oi m z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC @ m co l gm PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2017 ac th si Mục lục Lời cảm ơn i lu an Mở đầu va n 1 Kiến thức chuẩn bị to gh tn 1.1 Bài tốn quỹ tích Khái niệm 1.1.2 Quỹ tích 1.2 Véc tơ tọa độ p ie 1.1.1 Tọa độ không gian an lu 1.2.2 Véc tơ không gian d oa nl w 1.2.1 nf va 1.3 Sơ lược phép biến hình 10 Phép dời hình 10 1.3.2 Phép vị tự phép đồng dạng 11 1.3.3 Một số ví dụ mở đầu 12 z at nh oi lm ul 1.3.1 z Các phương pháp giải tốn quỹ tích khơng @ 16 gm gian co l 2.1 Phương pháp quỹ tích 16 m 2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng khơng gian 19 Quỹ tích phẳng không gian 19 2.2.2 Quỹ tích hình chiếu điểm lên đường thẳng 23 an Lu 2.2.1 n va ac th si 2.2.3 Quỹ tích hình chiếu điểm lên mặt phẳng 27 2.3 Phương pháp véc tơ tọa độ 31 2.3.1 Tìm quỹ tích nhờ véc tơ 31 2.3.2 Tìm quỹ tích nhờ tọa độ 33 2.4 Phương pháp biến hình 37 2.4.1 Ứng dụng phép dời hình 38 2.4.2 Ứng dụng phép vị tự phép đồng dạng 41 2.5 Một số tốn quỹ tích nâng cao 44 lu an Kết hợp phương pháp giải 44 2.5.2 Một số cách giải đặc biệt 49 n va 2.5.1 59 p ie gh tn to Tài liệu tham khảo d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh mục hình an n va 12 1.2 Quỹ tích điểm M, N, G 15 2.1 Quỹ tích 17 2.2 Quỹ tích I, H, E, F 18 2.3 Quỹ tích trung điểm I 20 2.4 Quỹ tích I,K,H 21 2.5 Bài toán A: Quỹ tích H, E 23 2.6 Bài tốn A: quỹ tích E, N, H 25 2.7 Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu H A 28 Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu N A 29 gh tn to Bài toán mở đầu ie lu 1.1 p nl w Quỹ tích hình chiếu A 31 2.10 Mặt phẳng trung trực mặt cầu 32 d oa 2.9 2.8 lu 2.11 Phương pháp tọa độ 35 an 38 2.13 Đối xứng trục SBC 40 nf va 2.12 Đối xứng tâm SD lm ul 42 43 2.17 Hai phương pháp 45 2.18 Quỹ tích S 47 41 2.15 Quỹ tích trọng tâm Q 2.16 Quỹ tích A0 , B0 , C0 , G z at nh oi 2.14 Quỹ tích M0 z 50 2.20 M nhìn mặt cầu góc vng 52 2.21 Quỹ tích trọng tâm tam giác 53 2.22 Quỹ tích H 55 m co l gm @ 2.19 Quỹ tích A, B, C, D an Lu n va ac th si i Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học - Đại Học Thái Ngun, thầy thuộc phịng Đào tạo sau đại học, cán thuộc Trung tâm Nhiên cứu Giáo dục-Đào tạo Hải Phòng, tạo điều kiện tốt để hồn thành khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) nhà trường tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Hải Phòng, tháng năm 2017 Tác giả z @ m co l gm Vũ Xuân Sang an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Trong hình học phổ thơng ta biết tốn quỹ tích gọi tốn tìm tập hợp điểm Khi có kiến thức tọa độ phép biến hình loại toán gặp thường xuyên Luận văn muốn nghiên cứu cách hệ thống tốn tìm quỹ tích điểm khơng gian (đương nhiên có liên quan đến quỹ tích mặt phẳng) Ngồi cách phát biểu tốn quỹ tích, nội dung chủ yếu luận văn nêu phương pháp hay dùng giải tốn quỹ tích khơng gian Đó phương pháp có hiệu biết sử dụng chỗ Mục đích đề tài là: - Nghiên cứu tốn quỹ tích hình học khơng gian phương pháp giải - Trình bày sở khoa học kỹ thuật áp dụng phương pháp: Phương pháp quỹ tích bản, phương pháp quỹ tích phẳng không gian, phương pháp véc tơ-tọa độ, phương pháp biến hình số vấn đề liên quan - Các kiến thức hình học khơng gian kỹ thuật giải tốn hình học khơng gian hệ thống nâng cao qua tốn quỹ tích hay khó kỳ thi học sinh giỏi - Người nghiên cứu có thêm kiến thức lực bồi dưỡng học sinh giỏi vấn đề khó Hình học d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ m co l Nội dung đề tài, vấn đề cần giải an Lu Trình bày hệ thống cách giải tốn quỹ tích khơng gian Phần lý thuyết trình bày tóm tắt sở khoa học phương pháp Phần trọng tâm chương nêu kỹ thuật chi tiết áp dụng n va ac th si phương pháp giải Đồng thời đưa ví dụ điển hình để chứng tỏ phương pháp giải thực hiệu Chương Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại tốn quỹ tích, véc tơ tọa độ không gian vấn đề phép biến hình khơng gian Nội dung phần chọn lọc đủ để áp dụng chương hai, bao gồm mục sau: 1.1 Bài tốn quỹ tích mặt phẳng khơng gian lu 1.2 Các quỹ tích an n va 1.3 Véc tơ, phép toán véc tơ gh tn to 1.4 Tọa độ không gian 1.5 Sơ lược phép biến hình p ie oa nl w Chương Các phương pháp giải tốn quỹ tích khơng gian d Lần lượt trình bày phương pháp giải tốn quỹ tích khơng gian, mở đầu phương pháp quỹ tích Mỗi phương pháp có phân tích bình luận cách sử dụng, ví dụ toán mẫu chọn lọc Lưu ý cách giải tốn quỹ tích mức độ khó chương hai chia thành mục sau: nf va an lu z at nh oi lm ul 2.1 Phương pháp quỹ tích 2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng không gian z m co l 2.5 Một số tốn quỹ tích nâng cao gm 2.4 Phương pháp biến hình @ 2.3 Phương pháp véc tơ, tọa độ an Lu Tác giả n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an n va 1.1 Bài tốn quỹ tích p ie gh tn to Bài tốn quỹ tích tốn khó khơng người học mà người dạy thân tốn chuyển động, tốn hàm hình học Về chất tốn tập hợp: "Tìm tập hợp (hay dựng tập hợp) cho biết tính chất đặc trưng phần tử nó" Về thuật ngữ chúng tơi chọn thuật ngữ "quỹ tích" để thể rõ toán nghiên cứu toán hình học mà khơng dùng thuật ngữ chung chung "tập hợp" Hơn nữa, xét phương pháp giải tốn quỹ tích điểm, quỹ tích khác nghiên cứu đề tài khác d oa nl w lm ul Khái niệm nf va an lu 1.1.1 z at nh oi Bài toán quỹ tích(điểm): Tìm tất điểm (trên mặt phẳng hay khơng gian) có chung tính chất α điểm Nghiệm tốn hình (tập hợp điểm) gồm gồm điểm có tính chất α Nếu ta gọi H(α) tập hợp tất điểm M có tính chất α, cịn Φ hình Ta nói hình Φ nghiệm tốn tức ta phải chứng minh đẳng thức tập hợp z l gm @ m co H(α) = Φ ⇐⇒ H(α) ⊆ Φ Φ ⊆ H(α) an Lu Mệnh đề "nếu M ∈ H(α) M ∈ Φ" gọi mệnh đề thuận; mệnh đề "nếu M ∈ Φ M ∈ H(α)" gọi mệnh đề đảo Hai mệnh đề gọi cặp thuận-đảo n va ac th si Áp dụng quy tắc lơ gic, ngồi cặp "thuận-đảo" ta cịn giải tốn quỹ tích với cặp mệnh đề tương đương sau: -Cặp "thuận-phản": Nếu M ∈ H(α) M ∈ Φ M ∈ / H(α) M ∈ / Φ; -Cặp "phản đảo-đảo": Nếu M ∈ / Φ M ∈ / H(α) M ∈ Φ M ∈ H(α); -Cặp "phản đảo-phản": Nếu M ∈ / Φ M ∈ / H(α) M ∈ / H(α) M ∈ / Φ Chú ý lu i Trong tốn quỹ tích việc phát hình Φ0 ⊇ Φ đóng vai trị quan trọng toán Cách phát Φ0 phải tìm cách dự đốn từ cách làm phần thuận với kinh nghiệm hình học sẵn có bật hình Φ0 an n va p ie gh tn to ii Quan điểm trình bày lời giải tốn quỹ tích cần cần có hai phần: phần thuận phần đảo Phần thuận đảm bảo tính khơng thiếu phần đảo đảm bảo tính khơng thừa quỹ tích Chính "giới hạn (nếu có)" chi tiết nhỏ phần đảo để loại phần thừa, quan điểm khác với nhiều tác giả coi "giới hạn quỹ tích cần thiết mục thiết phải trình bày lời giải" (xem chẳng hạn [4]) d oa nl w an lu nf va iii Kỹ thuật lập mệnh đề đảo Bản chất chứng minh mệnh đề đảo chứng minh "từ M ∈ H(α) kéo theo M ∈ Φ" theo nghĩa chứng minh bao hàm thức H(α) ⊆ Φ Trên thực tế tính chất α hội tính chất, chẳng hạn α1 , α2 , α3 , phần đảo ta phải lấy M ∈ Φ thỏa mãn α1 , α2 chứng minh M thỏa mãn α3 Chính sau lấy M ∈ Φ ta phải tiến hành toán dựng hình Ở cần đến kỹ thuật tách α thành tính chất α1 , α2 , α3 Từ thấy có nhiều cách lập mệnh đề đảo, khéo léo ta nhận phép chứng minh phần đảo đơn giản z at nh oi lm ul z l gm @ m co Để bắt đầu với tốn quỹ tích ta phải liệt kê quỹ tích (Xem chi tiết [2]) an Lu n va ac th si u a a a a a a |[~a, ~b]| = t +