(Luận văn) đường tròn lucas của tam giác và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– lu Nguyễn Thị Tiến Hưng an n va ie gh tn to p ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC d oa nl w VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN 2020 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Nguyễn Thị Tiến Hưng lu an n va to gh tn ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC p ie VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN d oa nl w Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lm ul z at nh oi GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN 2020 n va ac th si i Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K12A7; Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục Đào tạo Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12A7 động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z @ Tác giả co l gm m Nguyễn Thị Tiến Hưng an Lu n va ac th si ii Danh mục hình lu an n va p ie gh tn to 1.1 Hình vng nội tiếp tam giác 1.2 Ba tam giác Lucas 1.3 Các đường tròn A−Lucas, B−Lucas, C−Lucas 1.4 Khoảng cách hai tâm Lucas 1.5 Đường tròn Lucas (OA , RA ) tiếp xúc với (ABC) 1.6 Đường tròn Lucas đường tròn Apollonius 1.7 O1 tâm đường tròn A−Apollonius 1.8 4ABC 4A0 B C trực giao với 1.9 4OA OB OC vị tự với 4ABC , trực giao với 4TA TB TC 1.10 2Ra − bc > 0, 2Rb − ca > 0, 2Rc − ab > 1.11 Các đường tròn tiếp xúc 1.12 Hình vng nội tiếp với hai đỉnh BC 1.13 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại 10 11 12 14 15 17 18 19 20 25 26 27 29 30 33 34 36 40 42 43 45 oa nl w d 2.1 Ba điểm X , Y , Z thẳng hàng 2.2 Tâm vị tự hai đường tròn 2.3 Trục vị tự ba đường tròn 2.4 Cặp điểm liên hợp đẳng cự 2.5 Cặp điểm liên hợp đẳng cự: Ge N 2.6 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L G 2.7 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L G 2.8 Tam giác Kiepert tâm phối cảnh Kiepert theo θ 2.9 Đường tròn trực giao với đường tròn bàng tiếp 2.10 Hai đường tròn vị tự từ hai hình vng vị tự 2.11 Tam giác Ta Tb Tc vị tự với tam giác ABC 2.12 Đường tròn đẳng phương ba đường tròn Lucas nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu 3.1 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại 51 n va ac th si iii 3.2 Các đường tròn C1a , C1b , C1c 52 a b c 3.3 Đường tròn đẳng phương C1 , C1 , C1 54 3.4 Các đường níc sinh từ hình vng nội tiếp 60 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Mục lục Chương Đường tròn Lucas tam giác 1.1 Đường tròn Lucas tính chất 1.2 Đường trịn Lucas cơng thức Descartes 16 lu an n va p ie gh tn to Chương Đường tròn Lucas tọa độ barycentric 2.1 Tọa độ barycentric 2.1.1 Các định nghĩa ký hiệu 2.1.2 Công thức Conway tâm phối cảnh Kiepert 2.2 Đường tròn Lucas với tâm tam giác 2.2.1 Đường tròn đẳng phương Lucas 2.2.2 Họ đường tròn đồng trục Schoute 50 50 50 51 52 57 58 w 22 22 22 34 41 44 47 d oa nl Chương Một số vấn đề liên quan 3.1 Đường tròn Lucas đường tròn Soddy 3.1.1 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại 3.1.2 Điều kiện tồn đường tròn Soddy 3.2 Ba họ vô hạn đường tròn 3.2.1 Các tâm vị tự 3.2.2 Hai đường níc nf va an lu z at nh oi lm ul Tài liệu tham khảo 64 z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN lu an n va gh tn to Stt Ký hiệu A−Lucas, Ca B−Lucas, Cb C−Lucas, Cc (OA , RA ) A−Apollonius Ta Tb Tc CA (RA ) Ge N 10 L, LA , LB , LC 11 σ 12 σθ K(θ) X( ) OL Ca , Cb , Cc Cna , Cnb , Cnc d oa nl w 14 15 16 17 p ie 13 Nội dung ký hiệu Trang Đường tròn Lucas qua A Đường tròn Lucas qua B Đường tròn Lucas qua C Đường tròn Lucas tâm OA , bán kính RA Đường trịn Apollonius ứng với đỉnh A 11 Tam giác tiếp xúc 13 R−RA Đường trịn tâm R A bán kính RA 16 Điểm Gergonne 29 Điểm Nagel 29 Điểm đối trung điểm đối trung mở rộng 32 Ký hiệu Conway, σ = 2SABC 33 Ký hiệu Conway, σθ = σ cot θ 33   1 Tâm Kiepert : : 35 σA + σθ σB + σθ σC + σθ Tâm tam giác, [4] 35 Trục Brocard 40 Các đường tròn Lucas 40 Ba họ đường tròn tiếp xúc 53 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Mục đích đề tài luận văn lu an n va p ie gh tn to Đề tài “Đường tròn Lucas tam giác số vấn đề liên quan” bao gồm cách xác định ba đường tròn Lucas, tâm Lucas, phương trình Lucas, đường trịn đẳng phương Lucas mối liên hệ đường tròn Lucas tâm tam giác Các khái niệm gắn liền với tên tuổi Edouard Lucas (1842-1891), nhà toán học người Pháp, người phát tính chất thú vị dãy số Lucas, dãy sinh đôi với dãy số Fibonacci Mục đích đề tài là: - Nghiên cứu tính chất đường trịn Lucas phương pháp hình học truyền thống phương pháp tọa độ (barycentric), tìm mối liên quan đường tròn Lucas với tâm tam giác xác định danh sách C Kimberling, [4] - Trình bày tính chất liên quan đường tròn Lucas đường tròn Apollonius, đường tròn Soddy - Dùng phương pháp tọa độ tìm cặp tam giác phối cảnh, tam giác vị tự Các tâm phối cảnh, tâm vị tự tìm tâm tam giác có [4] điểm chưa có danh sách d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ Nội dung đề tài, vấn đề cần giải m co l Dựa vào tài liệu [1], [2] [3] luận văn trình bày tính chất đường trịn Lucas tam giác mối quan hệ với đường tròn khác, điểm đặc biệt khác tam giác; số ứng dụng quan an Lu n va ac th si trọng kết tìm đường trịn đẳng phương Lucas, cơng thức Descartes, họ đường tròn đồng trục Schoute, Nội dung luận văn chia làm chương Chương Đường tròn Lucas tam giác lu Xuất phát từ ba hình vng nội tiếp tam giác xây dựng ba đường trịn Lucas tam giác Bằng phương pháp hình học truyền thống giới thiệu tính chất đường trịn Lucas thơng qua hệ thức hình học Chương bao gồm (nội dung tham khảo [2], [5]): 1.1 Đường trịn Lucas tính chất 1.2 Đường trịn Lucas công thức Descartes an n va Chương Đường tròn Lucas tọa độ barycentric p ie gh tn to Các tính tốn chủ yếu sử dụng kết tọa độ barycentric Từ phương trình đường trịn tìm cặp tam giác phối cảnh tam giác vị tự, từ có mối liên hệ đường tròn Lucas tâm tam giác (tổng hợp mệnh đề [3]) Chương bao gồm mục: 2.1 Tọa độ barycentric 2.2 Đường tròn Lucas với tâm tam giác d oa nl w nf va an lu Chương Một số vấn đề liên quan Bằng cách tính tương tự rút điều kiện tồn đường tròn lm ul Soddy tam giác Giới thiệu ba họ đường tròn ứng dụng z at nh oi kết vào việc xây dựng chuỗi đường trịn, từ thu loạt cặp tam giác phối cảnh vị tự Nội dung chương bao gồm: 3.1 Đường tròn Lucas đường tròn Soddy z m co l gm @ 3.2 Ba họ vơ hạn đường trịn an Lu n va ac th si Chương Đường tròn Lucas tam giác lu an 1.1 Đường tròn Lucas tính chất n va tn to Ta bắt đầu khái niệm quen thuộc: hình vng X1 X2 X3 X4 nội tiếp ie gh ∆ABC Vì hình vng có đỉnh cịn tam giác có cạnh nên cạnh p tam giác phải chứa đỉnh hình vng Dựng hình vng nội tiếp tam giác toán biết phổ thơng (Hình 1.1) Dựng hình vng d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Hình 1.1: Hình vng nội tiếp tam giác z DEF G Hình 1.1a Nếu đường thẳng LM qua G, song song với @ l gm AC ∆LBM với hình vng DEF G nội tiếp hồn tồn thỏa mãn điều kiện đặt kích thước nhỏ Nhắc lại góc tương ứng co m b thành phần hai hình đồng dạng nhau, kéo theo BG chia góc B an Lu [ Kéo dài BG gặp AC X3 , sau ta dựng hình x, y BS chia góc ABC n va ac th si p1 q1 p1 r1 q r1