(Luận văn) các tập w mở và ws mở trong các không gian tôpô tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ LÊ LAN HƯƠNG lu an n va to CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT p ie gh tn CÁC TẬP ω -MỞ VÀ ωs-MỞ TRONG d oa nl w m ll fu an nv a lu oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ LÊ LAN HƯƠNG lu an va n CÁC TẬP ω -MỞ VÀ ωs-MỞ TRONG to p ie gh tn CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT oa nl w Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 d fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m ll z at nh z Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN ĐẠI gm @ m co l an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Một số kiến thức sở 1.1 Đại cương không gian tôpô 1.2 Ánh xạ liên tục 1.3 Không gian tích - Khơng gian thương 1.4 Các tiên đề tách 1.5 Không gian compact - Không gian liên thông tập ω -mở hàm ω -liên tục Một số khái niệm không gian tôpô tổng quát Các tập ω -mở không gian tôpô tổng quát Tính liên tục tập ω -mở không gian quát Các 3.1 3.2 3.3 tập ωs -mở hàm ωs -liên tục Một số kiến thức chuẩn bị Các tập ωs -mở không gian tôpô tổng quát Tính liên tục tập ωs -mở không gian quát d oa nl w Các 2.1 2.2 2.3 4 10 11 14 16 oi m ll fu an nv a lu z at nh tôpô 21 21 22 tổng 26 tôpô 32 33 33 tổng 38 z gm 45 m co l Tài liệu tham khảo 44 @ Kết luận an Lu n va ac th si ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập số thực N : Tập số tự nhiên Q : Tập số hữu tỉ Qc : Tập số vô tỉ K : Trường số thực R số phức C τω tn : Họ tất tập ω -mở X Mµ : Hợp tất phần tử µ CondpB q : Tập tất điểm tụ B lu R an n va to p ie gh : Họ tất tập ω -µ-mở pX, µq oa nl w µω : Bao đóng U U d : Họ tất tập nửa mở không gian pX, τ q a lu SOpX, τ q : Họ tất tập nửa ω -mở không gian tôpô pX, τ q ˚ hay intA A : Phần tập A τα : Tôpô Xα pτcocqX : Tôpô đối đếm X an : ωs -phần A pX, τ q Lu intωs pAq : ωs -bao đóng A pX, τ q m co A : Họ tập ωs -mở pX, τ q l ωs : ω -phần A pX, τ q gm ωs pX, τ q : ω -phần A pX, τ q @ Extω pAq : ω -bao đóng A pX, τ q z intω pAq : Tích pX, µ1 q pY, µ2 q z at nh A oi ω m ll µprod fu an nv SωOpX, τ q n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỞ ĐẦU lu an n va p ie gh tn to Các không gian tôpô cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa khái niệm hội tụ, tính liên thơng tính liên tục Chúng xuất tất ngành toán học đại khái niệm thống có tính trọng tâm Cho pX, τ q không gian tôpô A € X Engelking, [21], định nghĩa điểm x P X gọi điểm tụ A với U P τ cho x P U, tập U X A không đếm Năm 1982, Hdeib [22] định nghĩa tập ω -đóng ω -mở sau: A gọi tập ω -đóng chứa tất điểm tụ Phần bù tập ω -đóng gọi tập ω -mở Họ tất tập ω -mở X tôpô X, ký hiệu τω Có nhiều khái niệm kết liên quan đến tập ω -đóng ω -mở nghiên cứu thời gian gần Năm 2002, Csaszar [11] định nghĩa không gian tơpơ tổng qt sau: cặp pX, µq không gian tôpô tổng quát X tập khác rỗng µ tập tập X cho H P µ hợp tập µ thuộc µ, phần tử µ gọi tập µ-mở, phần bù tập µ-mở gọi tập µ-đóng, hợp tất phần tử µ ký hiệu Mµ khơng gian tơpơ pX, µq gọi mạnh Mµ  X Gần đây, năm 2016, Samer Wafa [34] đưa khái niệm tập ω -mở không gian tôpô tổng quát sau: Cho pX, µq khơng gian tơpơ tổng quát B € X Một điểm x P X gọi điểm tụ B với A P µ cho x P A, tập A X B không đếm Tập tất điểm tụ B ký hiệu Cond (B ) Tập B ω -µ-đóng Cond pB q „ B Tập B ω -µ-mở X zB tập ω -µ-đóng Họ tất tập ω -µ-mở pX, µq ký hiệu µω Họ sử dụng khái niệm để đưa lớp ánh xạ không gian tôpô tổng qt, đồng thời trình bày nhiều đặc trưng, tính chất ví dụ liên quan đến khái niệm Một khái niệm khác có liên quan chặt chẽ với tập mở tập nửa mở Khái niệm Levine [28] đưa lần vào năm 1963 d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va gh tn to sau: Tập hợp A nửa mở tồn tập mở U cho U „ A „ U , nói cách tương đương A „ intpAq Ta ký hiệu SOpX, τ q họ tất tập nửa mở không gian tôpô pX, τ q Bằng cách sử dụng tập nửa mở, ông tổng quát tính liên tục tính nửa liên tục sau: Hàm f : pX, τ1 q Ñ pY, τ2 q hai không gian tôpô gọi nửa liên tục với V P τ2 , f
1 pV q P SOpX, τ1 q Năm 2002, Al-Zoubi Al-Nashef [4], sử dụng tập ω -mở để định nghĩa tập nửa ω -mở sau: Tập A nửa ω -mở tồn tập ω -mở U cho U „ A „ U Họ tất tập nửa ω -mở không gian tôpô pX, τ q ký hiệu SωOpX, τ q Al-Zoubi, [5], sử dụng khái niệm tập nửa ω -mở để giới thiệu hàm nửa ω -liên tục sau: Hàm f : pX, τ1 q Đ pY, τ2 q hai khơng gian tôpô gọi nửa ω -liên tục với V P τ2 , f
1 pV q P SωOpX, τ1 q Mới đây, khái niệm yếu “tập mở” mạnh “tập nửa mở” Samer Kafa [33] đề xuất nghiên cứu sau: Tập A ω ωs -mở tồn tập mở U cho U „ A „ U Các tác giả xem xét lớp tập sử dụng để nghiên cứu mối liên hệ chặt chẽ tính liên tục nửa liên tục lớp hàm p ie Mục đích luận văn nghiên cứu đặc trưng tập ω -mở ωs -mở không gian tôpô tổng quát oa nl w Luận văn tập trung giải toán sau: d Nghiên cứu đặc trưng tập ω -mở khơng gian tơpơ tổng qt, từ nghiờn cu cỏc c trng ca cỏc khỏi nim Lindelăof, compact, compact đếm được, liên tục, không gian tôpô tổng quát fu an nv a lu Nghiên cứu vấn đề tương tự tập ω s -mở m ll oi Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành chương z at nh ˆ Trong chương chúng tơi tóm tắt sơ lược số kiến thức không z gm @ gian tôpô tổng qt ˆ Ở chương chúng tơi trình bày khái niệm tập ω -mở không l m co gian tôpô tổng quát sử dụng chỳng tỡm hiu cỏc c trng Lindelăof, compact, liờn tục không gian tôpô tổng quát an Lu ˆ Chương dành cho việc trình bày khái niệm tập ωs -mở không gian tôpô tổng qt sử dụng khái niệm để tìm hiểu lớp tập, n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an mối liên hệ chặt chẽ tính liên tục nửa liên tục lớp hàm lu an n va p ie gh tn to Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy TS Nguyễn Văn Đại, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán, quý thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ lu 1.1 Đại cương không gian tôpô an n va 1.1.1 Định nghĩa gh tn to Cho X tập hợp khác rỗng Một họ τ tập X gọi tôpô X τ thỏa mãn tiên đề sau đây: H P τ, X P τ ; p ie 1) oa nl w 2) Nếu pGα qαPI họ phần tử τ ¤ α PI Gα P τ; d 3) Nếu G1 , G2 P τ G1 X G2 P τ a lu fu an nv Bằng quy nạp, từ 3) ta thấy G1 , G2 , , Gn P τ n £ i 1 Gi P τ oi m ll Giả sử X cho tơpơ τ Khi cặp pX, τ q gọi không gian tôpô xác định tập X Các phần tử τ gọi tập mở phần tử x P X gọi điểm không gian tôpô pX, τ q Nếu không sợ nhầm lẫn, ta thường ký hiệu vắn tắt không gian tôpô pX, τ q X Tôpô gọi tôpô thô z at nh @ Ví dụ z 1.1.2 gm 1) Cho X tập hợp khác rỗng tùy ý Lấy τ  tX, Hu Khi tiên đề tơpơ thỏa mãn cách hiển nhiên Tôpô gọi tôpô thô m co l an Lu 3) Cho X tập tùy ý τ  P pX q tập hợp tất tập X Lúc τ tơpơ X Tôpô gọi tôpô rời rạc n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1) Giả sử (X, d) không gian mêtric Gọi τ họ tất tập mở X Lúc (X, τ ) khơng gian tơpơ Đặc biệt R, tôpô xác định mêtric dpx, y q  |x
y | gọi tôpô thông thường Để ý tập hợp X cho trước, ta cho nhiều tơpơ khác Khi ta nhận khơng gian tơpơ khác (có chung tập X ) Nếu τ1 τ2 hai tơpơ vậy, ta có hai khơng gian tơpơ pX, τ1 q pX, τ2 q lu Bây τ1 τ2 hai tôpô X thỏa mãn điều kiện τ1 € τ2 , ta gọi τ1 yếu τ2 hay τ2 mnh hn v ký hiu Ô Hiển nhiên tôpô thô tôpô yếu tôpô rời rạc tôpô mạnh tất tôpô xác định tập X an n va Cũng xảy trường hợp hai tơpơ τ1 τ2 không so sánh với nhau, chẳng hạn τ1 không chứa τ2 ngược lại, τ2 không chứa τ1 tn to Lân cận p ie gh 1.1.3 d oa nl w Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, τ ) không gian tôpô x0 P X Tập A € X gọi lân cận x0 tồn tập mở U P τ cho x0 P U € A Hiển nhiên U P τ U lân cận điểm Tuy nhiên lân cận x0 chưa tập mở Nếu A lân cận x0 x0 gọi điểm A Nói cách khác, x0 điểm A € X tồn U P τ cho fu an nv a lu x0 P U € A oi m ll Định lí 1.1.1 Tập A € X mở (tức A P τ ) lân cận điểm Tập đóng z at nh 1.1.4 z Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, τ ) không gian tôpô Tập F € X gọi tập đóng F c : X zF tập mở (tức X zF P τ ) gm @ m co l Nhận xét 1.1.1 Ta có pGc qc  X zpX zGq  G Như tập G mở tương đương với Gc tập đóng an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định lí 1.1.2 Cho X khơng gian tơpơ Khi 1) H, X tập đóng; 2) Giao họ tùy ý tập đóng tập đóng; 3) Hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng 1.1.5 Phần bao đóng tập hợp Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian tôpô A € X Lúc có tập mở chứa A chẳng hạn tập rỗng Hợp tất tập mở chứa ˚ hay intA Ta có A gọi phần tập A, ký hiệu A lu an ˚ tập mở (vì hợp tập mở) 1) A va n ˚ tập mở lớn chứa A (vì A có chứa tập mở khác 2) A phải chứa hợp tất tập mở chứa A) p ie gh tn to ˚ 3) A tập mở A  A Định lí 1.1.3 Cho A, B € X Khi oa nl w ˚ tập A tập hợp tất điểm tập A; 1) Phần A d ˚ € B; ˚ 2) A € B A fu an nv a lu ˚ X B ˚ 3) intpA X B q  A oi m ll Định nghĩa 1.1.4 Cho A € X Ln ln có tập đóng chứa A, chẳng hạn X Giao tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A, ký hiệu A Hiển nhiên A tập đóng bé chứa A Định lí 1.1.4 Cho A, B z at nh Từ định nghĩa ta có kết quả: A tập đóng A  A  A Y B m co 3) A Y B l 2) Nếu A € B A € B; gm @ 1) A  A; z € X, ta có an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 Suốt chương này, R, N, Q, Qc ký hiệu tập số thực, tập số tự nhiên, tập số hữu tỉ, tập số vô tỉ Với tập X  H, ký hiệu τdisc tôpô rời rạc X, τω tôpô thông thường R 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 3.1.1 ([28]) Hàm f : pX, τ1 q Ñ pX, τ2 q nửa liên tục với V P τ2, f
1pV q P SOpX, τ1q lu Định nghĩa 3.1.2 ([4]) A nửa ω -mở tồn tập ω -mở U cho U „ A „ U Tập tất tập nửa ω -mở không gian tôpô pX, τ q ký hiệu SωOpX, τ q an Định nghĩa 3.1.3 ([5]) Hàm f : pX, τ1 q Ñ pY, τ2 q nửa ω -liên tục với va P τ2, f
1pV q P SωOpX, τ1q Định lí 3.1.1 ([7]) Cho pX, τ q khơng gian tơpơ A „ X Khi a) Nếu A  H pτA qω  pτω qA V n p ie gh tn to  τω b) pτω qω oa nl w Định lí 3.1.2 ([4]) Cho pX, τ q không gian tôpô Khi d a) SOpX, τ q „ SωOpX, τ q SOpX, τ q  SωOpX, τ q a lu oi m ll fu an nv „ SωOpX, τ q τω  SωOpX, τ q Định lí 3.1.3 ([8]) Cho pX, τ q khơng gian tơpơ Khi ω a) Nếu pX, τ q không đếm địa phương với A P τω , A  A với tập ω -đóng A pX, τ q, intω pAq  intpAq b) τω z at nh b) Nếu pX, τ q đếm địa phương τω tơpơ rời rạc z Các tập ωs-mở không gian tôpô tổng quát gm @ 3.2 l m co Định nghĩa 3.2.1 Cho A tập không gian tôpô pX, τ q Khi A ω gọi ωs -mở pX, τ q tồn U P τ cho U „ A „ U A gọi ωs -đóng Ac ωs -mở Họ tất tập ωs -mở pX, τ q ký hiệu ωs pX, τ q an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 Định lí 3.2.1 Cho pX, τ q khơng gian tơpơ Khi τ „ ωspX, τ q „ SOpX, τ q P τ U „ A „ U ω Suy Chứng minh Cho A P τ, lấy U  A Khi U A P ωs pX, τ q Do τ „ ωs pX, τ q Lấy A P ωs pX, τ q Khi tồn U P τ cho U A P SOpX, τ q „ A „ U ω Vì U ω „ U nên Vậy ωs pX, τ q „ SOpX, τ q Ví dụ sau cho ta thấy hai bao hàm Định lí 3.2.1 nói chung khơng phải đẳng thức Ví dụ 3.2.1 Xét pR, τ q τ  tH, R, N, Qc , N Y Qc u Khi ta có N ω N, N  Q Qc  RzN Do Q P SOpX, τ qzωs pX, τ q RzN P ωs pX, τ qzτ ω  lu Định lí 3.2.2 Cho pX, τ q khơng gian tơpơ Khi an n va a) Nếu pX, τ q khơng đếm địa phương ωs pX, τ q  SOpX, τ q  ωspX, τ q Chứng minh a) Theo Định lí 3.2.1, ta có SOpX, τ q „ ωs pX, τ q Lấy A P SOpX, τ q Khi tồn U P τ cho U „ A „ U Vì pX, τ q ω không đếm địa phương nên theo Định lí 3.1.3a), U  U Do A P ωs pX, τ q b) Theo Định lí 3.2.1, ta có ωs pX, τ q „ τ ω Lấy A P ωs pX, τ q Khi tồn U P τ cho U „ A „ U Vì pX, τ q ω đếm địa phương, nên theo Định lí 3.1.3b), U  U Do A  U A P τ p ie gh tn to b) Nếu pX, τ q đếm địa phương τ d oa nl w m ll fu an nv a lu oi Ví dụ sau cho thấy tập ω -mở ωs -mở độc lập ! )  H, R, r0, 8q Khi ta có r0, 8qω  R Do r
1, 8q P ωs pX, τ qzτω p0, 8q P τω „ ωs pX, τ q Định lí 3.2.3 Tập A khơng gian tôpô pX, τ q ωs -mở ω A „ intpAq Chứng minh Điều kiện cần Cho A ωs -mở Khi tồn U P τ cho ω ω ω U „ A „ U Vì U „ A nên U  intpU q „ intpAq U „ intpAq ω Vì A „ intpAq ω Điều kiện đủ Giả sử A „ intpAq Lấy U  intpAq Khi U P τ với U „ A „ z at nh Ví dụ 3.2.2 Xét pR, τ q τ z gm @ m co l an Lu ω n va U Do A ωs -mở ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 Định lí 3.2.4 Hợp tùy ý tập ωs -mở không gian tôpô ωs -mở Chứng minh Cho pX, τ q không gian tôpô tAα : α P ∆u „ ωs pX, τ q Với ω α P ∆, tồn Uα P τ cho Uα „ Aα „ Uα Vỡ vy Ô Do ú Ô P P A U P vi P spX, q Ô P U Ô P A Ô P U Ô P U H qu 3.2.1 Nếu tCα : α P ∆u tập tập ωs -đóng khơng gian tơpơ pX, τ q “tCα : α P ∆u ωs-đóng Ví dụ sau cho thấy giao hai tập ωs -mở nói chung khơng ωs -mở lu Ví dụ 3.2.3 Xét pR, τω q Cho A  r0, 1s, B  r1, 2s Theo Định lí 3.1.3a), p0, 1qω  p0, 1q  A, p1, 2qω  p1, 2q  B Vậy A, B P ωs pX, τ q A X B  t1u R ωs pX, τ q an n va gh tn to Định lí 3.2.5 Trong không gian tôpô bất kỳ, giao hai tập ωs -mở tập ωs -mở p ie Chứng minh Cho pX, τ q không gian tôpô, A P τ B P ωs pX, τ q ω ω Lấy U P τ cho U „ B „ U Ta có A X U P τ A X U „ A X B „ A X U ω A X U Suy A X B P ωs pX, τ q oa nl w „ d Hệ 3.2.2 Cho không gian tôpô bất kỳ, hợp hai tập ωs -đóng tập ωs -đóng a lu fu an nv Định lí 3.2.6 Cho pX, τ q không gian tôpô, B  H, B „ X A „ B Khi a) Nếu A P ωs pX, τ q A P ωs pB, τB q A P ωs pB, τB q A P ωs pX, τ q oi Pτ m ll b) Nếu B z at nh Chứng minh a) Giả sử A P ωs pX, τ q Khi tồn U ω Khi U  U X B „ A „ U X B P τ cho U „ A „ U ω Chú ý U X B bao đóng U pτω qB theo Định lí 3.1.1a), bao đóng U pτB qω Điều suy A P ωs pB, τB q ω z m co l V Pτ gm @ A P ωs pB, τB q Vì A P ωs pB, τB q nên tồn V P τB cho V „ A „ H H bao đóng V, pB, pτB qω q Vì B P τ nên b) Giả sử B P τ an „ A „ H „ V ω Do A P ωspX, τ q Lu Hơn V n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Định lí 3.2.7 Cho pX, τ q khơng gian tôpô Nếu A P ωs pX, τ q A „ B B P ωs pX, τ q „ Aω Chứng minh Vì A P ωs pX, τ q nên tồn U P τ cho U „ A „ U Vì A „ U ω ω ω ω ω nên A „ U Vì B „ A nên B „ U Do đó, ta có U P τ U „ A „ B „ U Vậy B P ωs pX, τ q ω ω Định lí 3.2.8 Với khơng gian tơpơ pX, τ q, ta có SOpX, τω q  ωs pX, τω q Chứng minh Theo Định lí 3.2.1, ta có ωs pX, τω q „ SOpX, τω q Ngược lại, lấy A P SOpX, τω q, tồn U P τω cho U „ A „ H, H bao đóng U pX, τω q Theo Định lí 3.1.1b), ta có pτω qω  τω ω H  U Do A P SOpX, τω q lu Định lí 3.2.9 Với khơng gian tơpơ pX, τ q, ta có an  tintpAq : A P ωspX, τ qu Theo Định lí 3.2.1, ta có τ „ ωs pX, τ q n va τ Định lí 3.2.10 Một tập C không gian tôpô pX, τ q ωs -đóng intω pC q „ C p ie gh tn to Chứng minh oa nl w Chứng minh Điều kiện cần Giả sử C ωs -đóng pX, τ q Khi X zC ω ωs -đóng theo Định lí 3.2.3, X zC „ intpX zC q Vì d intω pC q „ Extω pX zC q oi m ll fu an nv a lu  Extω pExtpC qq  X zExtpC qω  X zintpX zC qω „ C „ X zintω pC q  X zExtω pX zC q  X zExtω pExtpC qq  ExtpC qω  intpX zC qω z X zC z at nh Điều kiện đủ Giả sử intω pC q „ C Khi gm @ m co l an Lu n va Theo Định lí 3.2.3, X zC ωs -mở C ωs -đóng ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 Định nghĩa 3.2.2 Cho pX, τ q không gian tơpơ cho A „ X a) ωs -bao đóng A pX, τ q ký hiệu A ωs A ωs : “! định nghĩa sau: ) C : C ωs -đóng pX, τ q A „ C b) ωs -phần A pX, τ q ký hiệu intωs pAq định nghĩa sau: intωs pAq : ”! U : U ωs -mở pX, τ q U ) „A Nhận xét 3.2.1 Cho pX, τ q không gian tôpô A „ X Khi lu ωs an a) A tập ωs -đóng nhỏ pX, τ q chứa A b) A ωs -đóng pX, τ q A  A n va ωs d) A ωs -mở pX, τ q A  intωs pAq p ie gh tn to c) intωs pAq tập ωs -mở lớn pX, τ q chứa A e) x P A ωs B ωs  H  intω pAcq Y Aω s ωs a lu  intω pAcq X zintω pAcq  Aω s s fu an nv h) X zA s d g) X oa nl w f) intωs pAc q X A P ωspX, σq với x P B, A X B  H s ÑY mở ảnh f pU q m ll Cho X Y hai không gian tôpô Hàm f : X mở Y, với U mở X oi Định lí 3.2.11 Cho f : pX, τ q Ñ pY, σ q hàm mở cho f : pX, τω q Ñ pY, σω q liên tục Khi với A P ωs pX, τ q, ta có f pAq P ωs pY, σ q z at nh Chứng minh Cho A P ωs pX, τ q Khi tồn U P τ cho U „ A „ U ω dó f pU q „ f pAq „ f pU q Vì f : pX, τ q Đ pY, σ q mở nên f pU q P σ Vì ω ω f : pX, τω q Ñ pY, σω q liên tục nên f pU q „ f pU q Do f pAq P ωs pY, σ q ω z gm @ l m co Không thể bỏ qua điều kiện “hàm mở” Định lí 3.2.11 an Lu Ví dụ 3.2.4 Giả sử f : pR, τdisc q Đ pR, τu q, f pxq  với x P R Khi ta có f : pR, pτdisc qω q Đ pR, pτu qω q liên tục Mặt khác, t0u P ωs pR, τdisc q f pt0uq  t0u R ωs pR, τu q n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Tính liên tục tập ωs-mở không gian tôpô tổng quát 3.3 Định nghĩa 3.3.1 Hàm f : pX, τ q với V P σ, f
1 pV q P ωs pX, σ q Định lí 3.3.1 Đ pY, σq đựơc gọi hàm ωs-liên tục, a) Mọi hàm liên tục ωs -liên tục b) Mọi hàm ωs -liên tục nửa liên tục Chứng minh Suy từ Định lí 3.2.1 lu Ví dụ sau cho thấy điều ngược lại khẳng định Định lí 3.3.1 nói chung không an n va $ & a x P N f pxq  % b x P RzN p ie gh tn to Ví dụ 3.3.1 Cho f, g : pR, τ q Ñ pta, bu, τdisc q, τ N Y Qc u  tH, R, N, Qc, $ & a x P RzQ g pxq  % b x P Q d oa nl w Vì f
1 ptauq  N P τ „ ωs pR, τ q f
1 ptbuq  RzN P ωs pR, τ qzτ nên f ωs liên tục không liên tục Hơn nữa, g
1 ptauq  RzQ P τ „ SOpX, τ q g
1 ptbuq  Q P SOpX, τ qzωs pX, τ q nên f nửa liên tục không ωs -liên tục a lu fu an nv Định lí 3.3.2 Cho hàm f : pX, τ q Ñ pY, σ q m ll a) Nếu pX, τ q đếm địa phương f liên tục f ωs -liên tục oi b) Nếu pX, τ q khơng đếm địa phương f ωs -liên tục f nửa liên tục z at nh Chứng minh z gm b) Theo Định lí 3.2.2 a) Định lí 3.3.1 b) @ a) Theo Định lí 3.2.2 b) Định lí 3.3.1 a) l m co Nhận xét 3.3.1 Hàm f : pX, τ q Ñ pY, σ q ωs -liên tục với x P X tập mở V chứa f pxq tồn U P ωs pX, τ q cho x P U an Lu f pU q „ V n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Định lí 3.3.3 Cho hàm f : pX, τ q đương: Đ pY, σq Khi điều kiện sau tương a) Hàm f ωs -liên tục; b) Nghịch ảnh phần tử sở B σ thuộc ωs pX, τ q; c) Nghịch ảnh tập đóng pY, σ q ωs -đóng pX, τ q; d) Với A „ X ta có f pA ωs q „ f pAq; „ f
1pB q; „Y ωs ta có f
1 pB q f) Với B „Y ta có f
1 pintpB qq „ intωs pf
1 pB qq lu e) Với B an Chứng minh n va p ie gh tn to paq ñ pbq Hiển nhiên pbq ñ pcq Giả sử B sở σ cho f
1pB q P ωspX, τ q, với B P B Lấy C tập đóng khác rỗng pY, σ q Khi Y zC P τ ztHu Chọn B  „ B ” cho Y zC  tB : B P B u Khi X zf
1 pC q  f
1 pY zC q d oa nl w
Ô  f
1 t B : B P B  u ) Ô!  f
1 p B q : B P B  a lu fu an nv Vì theo giả thiết f
1 pB q P ωs pX, τ q với B P B nên theo Định lí 3.2.4, ta có X zf
1 pC q P ωs pX, τ q f
1 pC q ωs -đóng pX, τ q Lấy A „ X Khi f pAq đóng pY, σ q theo (c), f
1 pf pAqq ωs -đóng pX, τ q Vì A „ f
1 pf pAqq „ f
1 pf pAqq f
1 pf pAqq ωs -đóng ωs ωs pX, τ q nên A „ f
1 pf pAqq f pA q „ f pf
1 pf pAqqq „ f pAq oi m ll pcq ñ pdq z at nh Lấy B „ Y Khi f
1 pB q „ X theo (d), f pf
1 pB q ωs B Vì f
1 pB q „ f
1 pB q pdq ñ peq ωs q „ f pf
1pB qq „ z „ Y Khi theo (e), f
1pY zB qω „ f
1pY zB q Hơn theo s gm Lấy B @ peq ñ pf q m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40  intω pf
1pB qq Do Nhận xét 3.2.1(h), X zX zf
1 pB q ωs s f
1 pintpB qq  f
1 pY zY zB q  X zf
1pY zB q „ X zf
1pY zB qω  X zX zf
1pB qω  intω pf
1pB qq s s s Bổ đề 3.3.1 Cho pX, τ q không gian tôpô A „ X Khi A ωs lu an ωs ωs -đóng nên theo Định lí 3.2.10 intω ppA n va Chứng minh Vì A  A Y intω pAq ωs tn to qq  intω pAω q „ Aω s s Vì intω pAq „ intω ppA qq „ A , A Y intω pAq „ A Do A  A Y intω pAq nên A Y intω pAq ωs -đóng Vì intω pAq „ A, nên intω pAq „ A Vì ωs ωs ωs ωs p ie gh
d oa nl w intω A Y intω pAq
a lu  intω A Y intω pAq  intω pAq „ A Y intω pAq fu an nv theo Định lí 3.2.10 A Y intω pAq ωs -đóng Đ pY, σq Khi mệnh đề sau tương oi m ll Định lí 3.3.4 Cho hàm f : pX, τ q đương: z at nh a) f ωs -liên tục; z b) Với A „ X, ta có f pintω pAqq „ f pAq; „ Y, ta có intω pf
1pB qq „ f
1pB q gm @ c) Với B l Chứng minh m co paq ñ pbq Giả sử f ωs-liên tục Cho A „ X Khi ω f pA q „ f pAq Vì vậy, theo Bổ đề 3.3.1 ta có ω f pintω pAqq „ f pA q „ f pAq s an Lu s theo Định lí 3.3.3 (d), n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 pbq ñ paq Ta áp dụng Định lí 3.3.3 (d) Cho A „ X Khi theo (b), ta có f pintω pAqq „ f pAq Hơn nữa, ta ln có f pAq „ f pAq Do đó, theo Bổ đề 3.3.1 ta có f pA ωs q  f pA Y intω pAqq  f pAq Y f pintω pAqq „ f pAq paq ñ pcq Giả sử f ωs-liên tục Cho B „ Y Khi theo Định lí 3.3.3 (e), ω f
1 pB q „ f
1 pB q Vì vậy, theo Bổ đề 3.3.1 ta có ω intω pf
1 pB qq „ f
1 pB q „ f
1 pB q pcq ñ paq Ta áp dụng Định lí 3.3.3 (e) Cho B „ Y Khi theo (c), ta có intω pf
1 pB qq „ f
1 pB q Hơn nữa, ta ln có f
1 pB q „ f
1 pB q Do đó, theo Bổ đề 3.3.1 ta có ω f
1 pB q  f
1 pB q Y intω pf
1 pB qq „ f
1 pB q s s lu an n va p ie gh tn to s Ñ pZ, λq oa nl w Định lí 3.3.5 Nếu f : pX, τ q Ñ pY, σ q ωs -liên tục g : pY, σ q liên tục g  f : pX, τ q Ñ pZ, λq ωs -liên tục P λ Vì g liên tục nên g
1pV q P σ Vì f ωs-liên tục nên pg  f q
1pV q  f
1pg
1pV qq P ωspX, τ q Chứng minh Cho V d fu an nv a lu Hợp hai hàm ωs -liên tục nói chung khơng phải ωs -liên tục Ví dụ sau làm rõ điều m ll Ví dụ 3.3.2 Cho f, g : pR, τu q Ñ pR, τu q, ú oi $ & x nu x Ô f pxq  % x ¡ z at nh z $ & x  pg  f qpxq  % x  gm @ Khi $ & x   g pxq  % x ¥ m co l an Lu Vì f g hiển nhiên nửa liên tục pR, τu q không đếm địa phương nên theo Định lí 3.3.2 (b) f g ωs -liên tục Mặt khác, p2, 8q P τu pg  f q
1p2, 8q  t1u R ωspR, τuq nên g  f không ωs-liên tục n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 Định lí 3.3.6
¹Cho họ hàm tfα : pX, τ q Ñ pYα , σα q : α P ∆u Nếu hàm f : pX, τ q Ñ Yα , σprod xác định f pxq  pfα pxqqαP∆ ωs -liên tục với α P∆ α P ∆, fα ωs -liên tục Chứng minh Giả sử f ωs -liên tục cho β P ∆ Khi fβ  Πβ  f
¹ Πβ : Yα , σprod Ñ pYβ , σβ q phép chiếu Yβ Vì Πβ liên tục nên theo α P∆ Định lí 3.3.5, fβ ωs -liên tục Ví dụ sau cho thấy điều ngược lại Định lí 3.3.6 nói chung khơng lu Ví dụ 3.3.3 Định nghĩa f, g : pR, τu q Ñ pR, τu q h : pR, τu q Ñ pR  R, τprod q xác định an $ &
2 x   g pxq  % x ¥ n va $ & nu x Ô , f pxq  %
2 x ¡
tn to gh hpxq  f pxq, g pxq p ie Vì f g hiển nhiên nửa liên tục pR, τu q không đếm địa phương nên theo Định lí 3.3.2(b) f g ωs -liên tục Mặt khác, p0, 8qp
8, 0q P τprod h
1 pp0, 8q  p
8, 0qq  t0u R ωs pR, τu q nên h không ωs -liên tục oa nl w d Định lí 3.3.7 Cho họ hàm tfα : pX, τ q Ñ pYα , σα q : α P ∆u Nếu với số α0 P
∆, fα0 ωs -liên tục fα liên tục với α P ∆ztα0 u hàm ¹ f : pX, τ q Ñ Yα , τprod xác định f pxq  pfα pxqqαP∆ ωs -liên tục fu an nv a lu α P∆ m ll Chứng minh
Ta áp dụng mệnh đề (b) Định lí 3.3.3 Cho A tập ¹ mở sở Yα , τprod , khơng tính tổng qt ta giả sử oi α P∆ z at nh A  Πα0
1 pUα0 q X Πα1
1 pUα1 q X X Παn
1 pUαn q,

@
pΠα  f q
1pUα q X pΠα  f q
1pUα q X X pΠα  f q
1pUα q  pfα
1pUα qq X pfα
1pUα qq X X pfα
1pUα qq 1 n n n n m co l 0 gm f
1 pAq  z Uαi tập mở sở Yαi với i  0, 1, , n Khi an Lu Theo giả thiết fα0
1 pUα0 q P ωs pX, τ q fαi
1 pUαi q P τ với i  1, , n Do pfα1
1pUα1 qqX Xpfαn
1pUαn qq P τ theo Định lí 3.2.5, ta có f
1pAq P ωspX, τ q Vậy f ωs -liên tục n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 Hệ 3.3.1 Cho hàm f : pX, τ q Ñ pY, σ q g : pX, τ q Ñ pX  Y, τprod q đồ thị hàm f cho g pxq  px, f pxqq, với x P X Khi g ωs -liên tục f ωs -liên tục Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử g ωs -liên tục Khi theo Định lí 3.3.6, f ωs -liên tục Điều kiện đủ : Giả sử f ωs -liên tục Chú ý hpxq  pI pxq, f pxqq I : pX, τ q Đ pX, τ q hàm đồng Vì I liên tục nên theo Định lí 3.3.7, g ωs -liên tục lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 KẾT LUẬN lu Nội dung chủ yếu Luận văn nghiên cứu đặc trưng tập ω -mở ωs -mở không gian tôpô tổng quát Luận văn tìm hiểu, hệ thống chi tiết hóa số kết sau liên quan đến vấn đề nói Cụ thể là: an n va gh tn to Hệ thống số kiến thức giải tích hàm như: khơng gian véctơ tơpơ, khơng gian tích, khơng gian thương, p ie Trình bày khái niệm tập ω -mở không gian tôpô tổng quát sử dụng chúng để tìm hiểu đặc trưng Lindelăof, compact, liờn tc cỏc khụng gian tụpụ tng quát oa nl w d Nghiên cứu số khái niệm tập ωs -mở không gian tôpô tổng quát sử dụng khái niệm để tìm hiểu lớp tập, mối liên hệ chặt chẽ tính liên tục nửa liên tục lớp hàm oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 Tài liệu tham khảo lu A AL-Omari, T Noiri, A unified theory of contra-µ, λ-continuous functions in generalized topological spaces, Acta Math, Hungar., 135 (2012), 31-41 [2] A AL-Omari, M S Md Noorani, Regular generalized ω -closed sets, Int J Math Sci., 2007 (2007), 11 pages [3] A AL-Omari, M S Md Noorani, Contra-ω -continuous and almost contra-ω -continuous, Int J Math Sci., 2007 (2007), 13 pages an [1] n va gh tn to [4] p ie K Al-Zoubi, Semi ω -continuous functions, Abhath Al-Yaemouk, 12(2003), 119-131 d oa nl w [5] K Al-Zoubi, B Al-Nashef, Semi ω -open subsets, Abhath Al-Yaemouk, 11 (2002), 829-838 K Al-Zoubi, On generalized ω -closed sets, Int J Math Sci., 13 (2005), 2011-2021 [7] K Al-Zoubi, B Al-Nashef, The Topology of ω -open subsets, AlManarah Journal, (2003), 169-179 [8] S Al Ghour, Certain Covering Properties Related to Paracompactness, Ph.D thesis, University of Jordan, Amman, Jordan, (1999) [9] S Al Ghour, Some generalizations of paracompactness, Missouri J Math Sci, 18 (2006), 64-77 [10] S Al Ghour, A AL-Omari, T Noiri, On homogeneity and homogeneity components in generalized topological spaces, Filomat, 27 (2013), 1097-1105 [11] A Csaszar, Generalized topology, generalized continuity, Acta Math Hungar., 96(2002), 351-357 oi m ll fu an nv a lu [6] z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 A Csaszar, γ -connected sets, Acta Math Hungar., 101(2003), 273279 [13] A Csaszar, Separation axioms for generalized topologies, Acta Math Hungar., 104(2004), 63-69 [14] A Csaszar, Extremally disconnected generalized topologies, Ann Univ Sci Budapest Eotvos Sect Math., 47 (2004), 91-96 [15] A Csaszar, Generalized open sets generalized topologies, Acta Math Hungar., 106 (2005), 53-66 [16] A Csaszar, Product of generalized topologies, Acta Math Hungar., 123 (2009), 127-132 [17] C Cao, J Yan, W Wang, Some generalized continuities functions on generalized topological spaces, Hacet J Math Stat., 42 (2013), 159-163 lu [12] an n va gh tn to p ie [18] [19] oa nl w C Carpintero, N Rajesh, E Rosas, S Saranyasri, On slightly ω continuous multifunctions, Punjab Univ J Math (Lahore), 46 (2014), 51-57 d C Carpintero, E Rosas, M Salas, J Sanabria, L Vasquez, Generalization of ω -closed sets via operators and ideals, Sarajevo J Math., 9(2013), 293–301 fu an nv a lu SG Crossley, SK Hildebrand, Semi-closure, Texas Journal of Sciences, 22 (1971), 99-112 [21] R Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin (1989) [22] H Z Hdeib, ω -closed mappings, Rev Colombiana Mat., 16 (1982), 65-78 [23] H Z Hdeib, ω -continuous functions, Dirasat J., 16 (1989), 136-153 [24] D Jayanthi, Contra continuity on generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 137 (2012), 263-271 [25] Y K Kim, W K Min, On operations induced by hereditary classes on generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 137 (2012), 130-138 oi m ll [20] z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn