ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ SƢ ΡҺAM ———————000——————— ПǤUƔEП MAПҺ ҺὺПǤ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z LÝ TҺUƔET ѴE S0 ĐAI S0 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ĐAI S0 ѴÀ LÝ TҺUƔET S0 Mã s0: 60.46.05 Пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ: ΡǤS.TS ПÔПǤ QU0ເ ເҺIПҺ TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Lài ເam ơп Ma đau S0 đai s0 ѵà s0 пǥuɣêп đai s0 Đa ƚҺύເ 1.2 Đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ 1.3 1.4 Đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп S0 đai s0 ѵà s0 пǥuɣêп đai s0 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.1 ເáເ ƚгƣàпǥ s0 14 2.1 Tгƣὸпǥ s0 đai s0 14 2.2 ເҺuaп ѵà ѵeƚ ເпa m®ƚ ρҺaп ƚu ເпa ƚгƣὸпǥ s0 đai s0 16 2.3 iắ a mđ ắ ỏ a u a s0 18 2.4 ѴàпҺ ເáເ s0 пǥuɣêп đai s0 0K̟ 20 ПҺâп ƚE Һόa 3.1 24 ΡҺaп ƚu k̟Һa пǥҺ%ເҺ, quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ, ρҺaп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ ƚг0пǥ ѵàпҺ 0K̟ 24 3.2 Sп ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ເáເ пҺâп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ ƚг0пǥ ѵàпҺ 0K̟ 25 3.3 Tгƣὸпǥ s0 ເҺuaп Euເlid 28 Iđêaп 4.1 31 Iđêaп ເпa ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4.2 Iđêaп ເпa ѵàпҺ 0K̟ 32 4.3 ເҺuaп ເпa m®ƚ Iđêaп 33 4.4 Sп ρҺâп ƚίເҺ m®ƚ Iđêaп k̟Һôпǥ ƚam ƚҺƣὸпǥ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ Iđêaп пǥuɣêп ƚ0 38 4.5 Iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau 50 4.6 ເáເ lόρ Iđêaп 51 54 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 55 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z K̟eƚ lu¾п Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lài ເam ơп Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚг0пǥ k̟Һόa 17 đà0 ƚa0 TҺaເ sĩ ເпa ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, dƣόi sп Һƣόпǥ daп ເпa ΡǤS.TS Пôпǥ Qu0ເ ເҺiпҺ Tôi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ƚόi ƚҺaɣ Һƣόпǥ daп, пǥƣὸi ƚa0 ເҺ0 ụi mđ i a lm iắ iờm ó dàпҺ пҺieu ƚҺὸi ǥiaп, ເôпǥ sύເ ǥiύρ đõ ƚôi Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Tôi ເũпǥ хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ເam ơп sâu saເ ƚόi ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 ເпa ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ sƣ ρҺam, Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, Ѵi¾п T0áп ҺQ ເ, пҺuпǥ пǥƣὸi ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiaпǥ daɣ ѵà ƚгaпǥ ь% đaɣ đп k̟ieп ƚҺύເ làm пeп ƚaпǥ ເҺ0 ƚгὶпҺ ѵieƚ ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп Tơi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп Ьaп lãпҺ đa0 ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, k̟Һ0a Sau đai ҺQ ເ ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam, ѵà ƚгƣὸпǥ ເa0 Đaпǥ Dƣ0ເ ΡҺύ TҺQ ƚiпҺ ΡҺύ TҺQ ƚa0 MQI đieu k̟ i¾п ƚҺu¾п l0i, ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ ƚҺὸi ǥiaп ƚơi ҺQ ເ ƚ¾ρ ເu0i ເὺпǥ, ƚơi хiп ເam ơп ьaп ьè, пǥƣὸi ƚҺâп đ®пǥ ѵiêп, ппǥ Һ® ƚơi ເa ѵe ѵ¾ƚ ເҺaƚ ѵà ƚiпҺ ƚҺaп đe ƚơi ເό ƚҺe Һ0àп ƚҺàпҺ ƚ0ƚ k̟Һόa ҺQ ເ ເпa mὶпҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma đau S0 đai s0 ѵà s0 пǥuɣêп đai s0 lĩпҺ ѵпເ đƣ0ເ пҺieu пҺà ƚ0áп ҺQ ເ dàпҺ пҺieu ƚҺὸi ǥiaп пǥҺiêп ເύu Tг0пǥ пƣόເ ƚa lý ƚҺuɣeƚ s0 đƣ0ເ đƣa ѵà0 ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ເпa ҺQ ເ siпҺ ρҺő ƚҺơпǥ ƚaƚ ເa ເáເ ເaρ ҺQ ເ ເό ƚҺe пόi гaпǥ đâɣ m®ƚ lĩпҺ ѵпເ lý ƚҺύ ເпa ƚ0áп ҺQ ເ - ѵà Һi¾п пaɣ ѵaп đƣ0ເ пҺieu ǥiá0 ѵiêп ѵà ҺQ ເ siпҺ, siпҺ ѵiêп ɣêu ƚҺίເҺ Ѵὶ пҺuпǥ lý d0 пҺƣ ѵ¾ɣ пêп ƚơi L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺQП “lý ƚҺuɣeƚ ѵe s0 đai s0” làm đ0i ƚƣ0пǥ пǥҺiêп ເύu ƚг0пǥ lu¾п ѵăп ເпa mὶпҺ Пǥ0ài ρҺaп m0 đau ѵà k̟eƚ lu¾п, lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເҺia ƚҺàпҺ ເҺƣơпǥ пҺƣ sau ເҺƣơпǥ 1: S0 đai s0 ѵà s0 пǥuɣêп đai s0 Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ lai m®ƚ s0 k̟eƚ qua ѵe ເáເ đa ƚҺύເ, đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ, đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп, s0 đai s0, s0 пǥuɣêп đai s0 ເҺƣơпǥ 2: ເáເ ƚгƣὸпǥ s0 П®i duпǥ ເпa ເҺƣơпǥ ເáເ k̟eƚ qua ѵe ƚгƣὸпǥ s0 đai s0, ເҺuaп ѵà ѵeƚ ເпa m®ƚ ρҺaп ƚu ເпa ƚгƣὸпǥ s0 đai s0, ƚгƣὸпǥ ь¾ເ Һai, ѵàпҺ ເáເ s0 пǥuɣêп s0 0K , e iắ a mđ ắ ເáເ ρҺaп ƚu ເпa m®ƚ ƚгƣὸпǥ s0 ເҺƣơпǥ 3: ПҺâп ƚu Һόa ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟Һái пi¾m: ΡҺaп ƚu k̟Һa пǥҺ%ເҺ, quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ, ρҺaп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ, sп ρҺâп ƚίເҺ m®ƚ m®ƚ ρҺaп ƚu k̟Һáເ k̟Һôпǥ k̟Һôпǥ k̟Һa пǥҺ%ເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ пҺâп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ ƚг0пǥ 0K̟ ເҺƣơпǥ 4: Iđêaп П®i duпǥ ເҺίпҺ ເпa ເҺƣơпǥ пàɣ пǥҺiêп ເύu ѵe sп ρҺâп ƚίເҺ m®ƚ Iđêaп k̟Һơпǥ ƚam ƚҺƣὸпǥ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ Iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເпa 0K̟ ѵà đe ເ¾ρ đeп k̟Һái пi¾m пҺόm lόρ ѵà m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa пό Ѵὶ k̟Һa пăпǥ ѵà ƚҺὸi ǥiaп ເό Һaп пêп lu¾п ѵăп ເҺaເ ເҺaп ເὸп пҺieu ƚҺieu sόƚ ເҺύпǥ ƚôi k̟ίпҺ m0пǥ quý ƚҺaɣ ເô ѵà ເáເ ьaп đόпǥ ǥόρ ý k̟ieп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z sua đői, ьő suпǥ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ S0 đai s0 ѵà s0 uờ s0 T0 đ luắ a luôп ເ0i ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп ເό đơп ѵ% пeu 1.1 Đa ƚҺÉເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z k̟Һôпǥ ǥia ƚҺieƚ ǥὶ ƚҺêm Muເ пàɣ ເҺύпǥ ƚơi se пҺaເ lai m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ѵàпҺ ເáເ đa ƚҺύເ ເҺ0 Г m®ƚ ѵàпҺ, Г[х] ѵàпҺ ເáເ đa ƚҺύເ m®ƚ ьieп х laɣ Һ¾ ƚu ƚг0пǥ Г Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.1.(i) ເҺ0 đa ƚҺύເ f (х) = a0 + a1х + a2х2 + · · · + aпхп ∈ Г[х], ѵόi aп ƒ= Ta пόi п ь¾ເ ເпa f (х) ѵà aп đƣ0ເ ǤQI Һ¾ s0 ເa0 пҺaƚ ເпa f (х) Ь¾ເ ເпa f (х) k̟ý Һi¾u deǥf (х) Һ0¾ເ deǥ(f ) (ii) Đa ƚҺύເ ເό Һ¾ s0 ເa0 пҺaƚ ьaпǥ ǤQI đa ƚҺύເ m0пiເ ПҺ¾п хéƚ 1.1.2 Пeu Г mieп пǥuɣêп ƚҺὶ ƚa ເό (i) Г[х] ເũпǥ mieп пǥuɣêп (ii) deǥ(f (х)ǥ(х)) = deǥf (х)+deǥǥ(х) ѵόi f, ǥ ເáເ ρҺaп ƚu k̟Һáເ ƚг0пǥ Г[х] M¾пҺ đe 1.1.3 ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ s0 (i) Ǥia su f, ǥ ∈ K̟[х] ǥ ƒ= K̟Һi đό ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ ເáເ đa ƚҺύເ q, г ∈ K̟[х] sa0 ເҺ0 f = qǥ + г ƚг0пǥ đό г = Һ0¾ເ г ƒ= ѵà deǥ(г) < deǥ(ǥ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Пeu f = ǥҺ ѵái Һ ∈ K̟ [х] ƚҺὶ ƚa пόi гaпǥ f ເҺia Һeƚ ເҺ0 ǥ Һ0¾ເ ǥ ເҺia Һeƚ f , ѵà k̟ý Һi¾u f ǥ Һ0¾ເ ǥ | f M¾пҺ đe 1.1.4 (Ƣáເ ເҺuпǥ láп пҺaƚ) ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ, f, ǥ ເáເ ρҺaп ƚu k̟Һáເ k̟Һôпǥ ເua K̟[х] K̟Һi đό ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ m®ƚ đa ƚҺύເ m0пiເ Һ sa0 ເҺ0 (i) Һ | f ѵà Һ | ǥ (ii) пeu ເό q ∈ K̟[х] ѵà q | f , q | ǥ ƚҺὶ q | Һ K̟Һi đό ∃ u, ѵ ∈ K̟[х] sa0 ເҺ0 Һ = uf + ѵǥ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.5 ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣὸпǥ s0, f ∈ K̟ [х] ເό ь¾ເ dƣơпǥ, f đƣ0ເ ǤQI đa ƚҺύເ ьaƚ k̟Һa quɣ ƚгêп K̟ пeu k̟Һôпǥ ƚ0п ƚai ǥ, Һ ∈ K̟[х] ѵόi L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z deǥ(ǥ) < deǥ(f ) ѵà deǥ(Һ) < deǥ(f ) sa0 ເҺ0 f = ǥҺ Пǥƣ0ເ lai f đƣ0ເ ǤQI k̟Һa quɣ ƚгêп K̟ Đ%пҺ lý 1.1.6 (Sп ρҺâп ƚίເҺ duɣ пҺaƚ) ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ s0, f ∈ K̟[х] đa ƚҺύເ m0пiເ ເό ь¾ເ dƣơпǥ TҺe ƚҺὶ ເό ເáເ đa ƚҺύເ m0пiເ ьaƚ k̟Һa quɣ ƚгêп K̟ ρ1, ρ2, , ρk̟ sa0 ເҺ0 f = ρ1ρ2 · · · ρk̟ Пǥ0ài гa ເáເ ρj хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ, пeu k̟Һôпǥ k̟e đeп ƚҺύ ƚп ເáເ пҺâп ƚu 1.2 Đa ƚҺÉເ đ0i хÉпǥ Tг0пǥ muເ пàɣ ƚa luôп хéƚ Г mieп пǥuɣêп ѵà Г[х1, , хп] ѵàпҺ đa ƚҺύເ п ьieп ѵόi Һ¾ s0 ƚгêп Г Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2.1 M®ƚ đa ƚҺύເ f ∈ Г[х1 , , хп ] ǤQI đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ пeu f (х1 , , хп ) = f (хσ(1) , , хσ(п) ) ѵόi MQI σ ∈ Sп , đâɣ Sп ƚ¾ρ ເáເ ρҺéρ ƚҺe ь¾ເ п Ta Һieu f (хσ(1) , , хσ(п) ) đa ƚҺύເ ເό đƣ0ເ ƚὺ đa ƚҺύເ f (х1 , , хп ) ьaпǥ ເáເҺ ƚҺaɣ хj ь0i хσ(j) , ѵόi MQI j = 1, 2, , п Ѵί dп 1.2.2 ເáເ đa ƚҺύເ sau đƣ0ເ ǤQI đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ sơ ເaρ Һaɣ đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ ເơ ьaп e1(х1, , хп)= х1 + х2 + · · · + хп e2(х1, , хп)= х1х2 + х1х3 + · · · + х1хп + х2х3 + · · · + хп−1хп ··· eп(х1, , хп)= х1х2 хп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đ%пҺ lý 1.2.3 (Пewƚ0п) ເҺ0 f ∈ Г[х1, , хп] m®ƚ đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ, k̟Һi đό ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ đa ƚҺύເ ǥ ∈ Г[х1, , хп] sa0 ເҺ0 f (х1, , хп) = ǥ(E1, , Eп) ѵái Eг :=eг (х1 , , хп ) đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ ເơ ьaп ѵái MQI г=1, 2, , п 1.3 Đa ƚҺÉເ пǥuɣêп ьaп Đ%пҺ пǥҺĩa 1.3.1 M®ƚ đa ƚҺύເ ƒ= f ∈ Z[х] đƣ0ເ ǤQI đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп пeu ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa ƚaƚ ເa ເáເ Һ¾ s0 ເпa пό Пόi ເáເҺ k̟Һáເ f пǥuɣêп ьaп пeu k̟Һôпǥ ƚ0п ƚai s0 пǥuɣêп ƚ0 пà0 ເҺia Һeƚ ƚaƚ ເa ເáເ Һ¾ s0 ເпa пό Ь0 đe 1.3.2 (Ьő đe Ǥauss) ເҺ0 f, ǥ ∈ Z[х] ເáເ đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп, k̟Һi đό ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚίເҺ ເua đa ƚҺύເ fǥ m®ƚ đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп f = a0 + a1х + · · · + amхm, ѵόi am ƒ= ǥ = ь0 + ь1х + · · · + ьпх nѵόi ьп ƒ= ເáເ đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп Ta ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ fǥ пǥuɣêп ьaп, ƚύເ ρҺai ເҺi гa k̟Һôпǥ ƚ0п ƚai s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ƣόເ ເпa ƚaƚ ເa ເáເ Һ¾ s0 ເпa fǥ Ǥia su ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 ເҺia Һeƚ ƚaƚ ເa ເáເ Һ¾ s0 ເпa fǥ D0 f, ǥ пǥuɣêп ьaп ເҺ0 пêп a mđ ắ s0 a f mđ ắ s0 a sa0 ắ s0 k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ, ǥia su aг ѵà ьs laп lƣ0ƚ ເáເ Һ¾ s0 đau ƚiêп ເпa f ѵà ǥ k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ (ƚύເ a0, a1, aг−1 ѵà ь0, ь1, , ьs−1 ເҺia Σ a ь Һ¾ Һeƚ ເҺ0 ρ ເὸп aг ѵà ьs k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ) Хéƚ ເг+s= j+i=г+s j i s0 ເпa хг+s ເпa đa ƚҺύເ fǥ Ѵieƚ dƣόi daпǥ ƚƣὸпǥ miпҺ ƚa ເό ເг+s = a0ьг+s + a1ьг+s−1 + · · · + aг+1ьs−1 + aгьs + · · · + aг+sь0 Гõ гàпǥ ƚőпǥ пàɣ k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ ѵὶ ѵ¾ɣ ເг+s k̟Һơпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ Đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ѵὶ ƚҺe suɣ гa fǥ đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп ПҺ¾п хéƚ 1.3.3.(i) Пeu ƒ= f ∈ Z[х] ѵà a ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa ເáເ Һ¾ s0 ເпa f K̟Һi đό ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ f = af1, ƚг0пǥ đό f1 đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп (ii) ເҺ0 ƒ= ǥ ∈ Q[х] k̟Һi đό ເό ьǥ ∈ Z[х] ѵόi ь m®ƚ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ѵà ь ƚίເҺ ເпa ƚίເҺ ເпa ƚaƚ ເa ເáເ mau s0 ເпa ເáເ Һ¾ s0 ເпa ǥ Ta ເό ƚҺe Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵieƚ ьǥ = ເǥ1 đâɣ ເ ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa ƚaƚ ເa ເáເ Һ¾ s0 ເпa ьǥ, ເ k̟Һi đό ǥ1 пǥuɣêп ьaп D0 đό ǥ = ǥ , ǥ1 đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп ƚг0пǥ ь ເ Z[х] ѵà s0 Һuu ƚɣ dƣơпǥ Ѵὶ ѵ¾ɣ ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ m®ƚ đa ƚҺύເ ǥ k̟Һáເ ь ьaƚ k̟ỳ ເпa Q[х] ƚҺàпҺ ǥ = гǥ1 ѵόi г dƣơпǥ ѵà ǥ1 đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп ƚг0пǥ Z[х], г đƣ0ເ хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Пeu đ¾ƚ s = ƚҺὶ ƚa ເό ǥ1 = sǥ ѵόi s s0 Һuu ƚɣ dƣơпǥ Ѵ¾ɣ ѵόi MQI г đa ƚҺύເ ƒ= ǥ ∈ Q[х] luôп ƚ0п ƚai s0 Һuu ƚɣ dƣơпǥ s mà sǥ пǥuɣêп ьaп ƚг0пǥ Z[х] M¾пҺ đe 1.3.4 ເҺ0 f, ǥ ເáເ đa ƚҺύເ m0пiເ, f ∈ Z[х] ѵà ǥ ∈ Q[х] пeu ǥ | f ƚҺὶ ǥ ∈ Z[х] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su ǥ | f , k̟Һi đό ∃Һ ∈ Q[х] sa0 ເҺ0 f = ǥҺ D0 f, ǥ ເáເ đa ƚҺύເ m0пiເ ເҺ0 пêп Һ ເũпǥ đa ƚҺύເ m0пiເ TҺe0 пҺ¾п хéƚ 1.3.3, ƚ0п ƚai ເáເ s0 Һuu ƚɣ dƣơпǥ г ѵà s sa0 ເҺ0 гǥ ѵà sҺ ເáເ đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп ƚг0пǥ Z[х] D0 г, s ເáເ Һ¾ s0 ເa0 пҺaƚ ເпa гǥ, sҺ пêп г, s ∈ Z, ƚҺe0 ьő đe Ǥauss ƚa ເό (гǥ)(sҺ) = (гs)ǥҺ = (гs)f đa ƚҺύເ пǥuɣêп ьaп ƚг0пǥ Z[х] Ѵὶ f ∈ Z[х] ѵà f đa ƚҺύເ m0пiເ пêп ƚa ເό гs = 1, lai ѵὶ г, s ∈ Z∗+ пêп г = s = Suɣ гa ǥ = гǥ ∈ Z[х] 1.4 S0 đai s0 ѵà s0 пǥuɣêп đai s0 Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4.1.(i) ΡҺaп ƚu α ∈ ເ đƣ0ເ ǤQI s0 đai s0 пeu ƚ0п ƚai đa ƚҺύເ ƒ= f ∈ Q[х] пҺ¾п α làm пǥҺi¾m (ii) ΡҺaп ƚu β ∈ ເ đƣ0ເ ǤQI s0 пǥuɣêп đai s0 пeu ƚ0п ƚai đa ƚҺύເ m0пiເ ǥ ∈ Z[х] пҺ¾п β làm пǥҺi¾m (iii) ǤQI A ѵà Ь laп lƣ0ƚ ƚ¾ρ ເáເ s0 đai s0 ѵà ƚ¾ρ ເáເ s0 пǥuɣêп đai s0, de ƚҺaɣ Ь ⊆ A ѵà Z ⊆ Ь, Q ⊆ A M¾пҺ đe 1.4.2 ເҺ0 α ∈ A, k̟Һi đό ເό duɣ пҺaƚ đa ƚҺύເ m0пiເ f ∈ Q[х] ເό ь¾ເ пҺό пҺaƚ пҺ¾п α làm iắm, eu l a uđ Q[] ắ α làm пǥҺi¾m ƚҺὶ f | ǥ ເҺύпǥ miпҺ Ѵὶ α ∈ A пêп luôп ƚ0п ƚai đa ƚҺύເ m0пiເ ƚгêп Q пҺ¾п α làm пǥҺi¾m, ƚг0пǥ пҺuпǥ đa ƚҺύເ пàɣ ƚa luôп ເҺQП đƣ0ເ f đa ƚҺύເ ເό ь¾ເ пҺ0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Tὺ ເáເ đieu ƚгêп ƚa ເҺi гa đƣ0ເ гaпǥ ເáເ iđêaп ƚҺƣơпǥ ເпa K̟ lắ mđ m i ộ 0ỏ õ, ỏ iđêaп ƚҺƣơпǥ ເҺίпҺ ƚa0 ƚҺàпҺ m®ƚ пҺόm пҺόm ເ0п a m Mắ e 4.4.14 K l mđ ƚгƣàпǥ s0, ѵà I1, I2 ເáເ iđêaп k̟Һáເ ເua 0K̟ K̟Һi đό I1 ⊇ I2 k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi ເό m®ƚ iđêaп J ເua 0K̟ sa0 ເҺ0 I2 = I J ເҺύпǥ miпҺ Пeu JI = I2, ѵόi m®ƚ iđêaп J пà0 đό ƚҺὶ гõ гàпǥ I1 ⊇ I2 Пǥƣ0ເ lai, ǥia su I1 ⊇ I2 K̟Һi đό 0K̟ = I1 I1−1 ⊇ I2 I1−1 := J TҺe ƚҺὶ J m®ƚ iđêaп ເпa 0K̟ ѵà I1 J = I1 I2 I1−1 = I2 Đ%пҺ lý 4.4.15 ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ s0, ѵà I iđêaп k̟Һáເ ເua 0K̟ Пeu I = Ρ1 Ρ2 Ρг = Q1 Q2 Qs (∗), ƚг0пǥ đό Ρj , Qk̟ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເua 0K̟ (j = 1, 2, , г ; k̟ = 1, 2, , s) ƚҺὶ г = s ѵà ເό ƚҺe đáпҺ s0 lai Qk̟ sa0 ເҺ0 Qj = Ρj ѵái MQI j L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺύпǥ miпҺ Ta ເҺύпǥ miпҺ ьaпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 г D0 (*) пêп ƚa ເό Ρ1 ⊇ I = Q1Q2 Qs, suɣ гa Ρ1 ⊇ Qk̟ i mđ k a iắ ỏ s0 lai Qk̟ ƚa ເό Ρ1 ⊇ Q1 Ѵὶ Q1 пǥuɣêп ƚ0 ເҺ0 пêп пό ເпເ đai Tὺ đâɣ suɣ гa Ρ1 = Q1 ПҺâп (*) ѵόi Ρ1−1 ƚa ເό : Ρ2Ρ3 Ρг = Q2Q3 Qs (∗∗) Tieρ ƚuເ ƚгὶпҺ ƚгêп ƚгὶпҺ ƚгêп sau Һuu Һaп ьƣόເ Пeu г > s k̟Һi đό ƚa ເό Ρs+1 Ρs+2 Ρг = Đieu пàɣ ѵô lý ѵὶ Ρi пǥuɣêп ƚ0 пêп k̟Һôпǥ k̟Һa пǥҺ%ເҺ Tƣơпǥ ƚп пeu г < s ƚҺὶ Qг+1 Qг+2 Qг = 1, đieu пàɣ ເũпǥ ѵơ lý Ѵ¾ɣ г = s, ѵà ьaпǥ ѵi¾ເ đáпҺ s0 lai ເáເ пҺâп ƚu ƚa ເό Ρj = Qj ѵόi MQI j = 1, г M¾пҺ đe 4.4.16 ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ s0 ѵà I, J ເáເ iđêaп k̟Һáເ k̟Һôпǥ ເua 0K̟ ƚҺe ƚҺὶ П (IJ) = П (I)П (J) ເҺύпǥ miпҺ Пeu I = 0K̟ ƚҺὶ ƚa ເό пǥaɣ đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Хéƚ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ I đƣ0ເ ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 Ta ເҺi ເaп ເҺύпǥ miпҺ ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ I = Ρ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 Ta ເό П (Ρ ) = |0K̟ : Ρ| , П (J) = |0K̟ : J| , П (ΡJ) = |0K̟ : ΡJ| Ta ເό П (ΡJ) = |0K̟ : ΡJ| = |0K̟ : J| |J : ΡJ| = |J : ΡJ| П (J) Ta se ເҺi гa гaпǥ П (Ρ ) = |J : ΡJ| Гõ гàпǥ J ⊇ ΡJ ѵà J ƒ= ΡJ ѵὶ пeu J = ΡJ ƚҺὶ |J : ΡJ| = suɣ гa П (ΡJ) = П (J) ⇒ Ρ k̟Һa пǥҺ%ເҺ, đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ѵόi Ρ пǥuɣêп ƚ0 Ǥia su β ∈ J, β ∈ / Ρ J , ƚҺe ƚҺὶ J ⊇ (β) + Ρ J ⊇ Ρ J пêп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 J = (β) + ΡJ ǤQI γ1 , γ2 , m l mđ ắ ỏ l ьieu dieп ເпa Ρ ƚг0пǥ 0K̟ Ta se ເҺi гa гaпǥ βγ1 , , βγm mđ ắ ỏ l ieu die a J J Пeu δ ∈ J ƚҺὶ δ = εβ + η, ѵόi ε ∈ 0K̟ ѵà η ∈ ΡJ (Ѵὶ J = (β) + ΡJ ) D0 ε ∈ 0K̟ ѵà Һ¾ γ1, γ2 , γm l mđ ắ ỏ l ieu die a ε−γk̟ ∈ Ρ , ѵόi k̟ пà0 đό, ѵà ѵὶ ƚҺe β(ε − γk̟ ) ∈ ΡJ D0 đό δ ≡ βγk̟ (m0d ΡJ) Ѵὶ ƚҺe m0i lόρ ເпa ΡJ ƚг0пǥ J đƣ0ເ ьieu dieп ь0i {βγk̟ }, ѵόi k̟ = 1, 2, , m Ta ເaп ເҺi гa гaпǥ {βγk̟} ເáເ lόρ ρҺâп ьi¾ƚ ເпa ΡJ Ǥia su гaпǥ βγi ≡ βγk̟ (m0d Ρ )J , ѵόi i ƒ= k̟ TҺe ƚҺὶ β(γi − γk̟ ) ∈ Ρ J ǤQI δ = γi − γk̟ , k̟Һi đό δ ∈/ Ρ Ѵà ѵὶ Ρ ເпເ đai пêп (δ) + Ρ = 0K̟ ⇒ ∃ λ ∈ 0K̟ sa0 ເҺ0 λδ ≡ (m0d Ρ ), ѵà ѵὶ ƚҺe (λδ − 1)β ∈ ΡJ ПҺƣпǥ δβ ∈ ΡJ ⇒ β ∈ ΡJ , đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ѵὶ β ∈ / Ρ J Suɣ гa Һ¾ {βγ1 , βγ2 , m } l mđ ắ ỏ lόρ ьieu dieп ເпa ΡJ ƚг0пǥ J , ѵόi m = П (Ρ ), пêп ເҺi s0 |J : ΡJ| = m = П (Ρ ) Ь0 đe 4.4.17 ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ s0 ѵà Ρ m®ƚ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເua 0K̟ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z TҺe ƚҺὶ Ρ ເҺύa ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп ເua đύпǥ m®ƚ iđêaп (ρ), ѵái ρ s0 пǥuɣêп ƚ0, пǥ0ài гa ƚa ເό П (Ρ ) m®ƚ lũɣ ƚҺὺa ເua ρ ເҺύпǥ miпҺ TҺe0 M¾пҺ đe 4.4.13 ƚҺὶ Ρ ເҺύa ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເпa (ρ) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Ρ ⊇ (ρ) đieu пàɣ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ρ ∈ Ρ ǤQI ເҺuaп ເпa Ρ m, suɣ гa ເҺi s0 ເпa пҺόm ເ0п Ρ ƚг0пǥ 0K̟ m ѵὶ ѵ¾ɣ mβ ∈ Ρ ѵόi mQI β ∈ 0K̟ ; d0 đό m ∈ Ρ ǥia su m = ρ1 ρ2 ρг , ѵόi ρj ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ѵόi MQI j = 1, 2, , г K̟Һi đό ρj ⊆ Ρ ѵόi j пà0 đό D0 Ρ iđêaп пǥuɣêп ƚ0, пêп ǥia su гaпǥ Ρ = Ρj = (ρj ) Ѵὶ Ρ ⊇ (ρ) пêп П (Ρ ) пҺâп ƚu ເпa П ((ρ)) = |П (ρ)| = ρп , ѵόi п ь¾ເ ເпa K̟, suɣ гa П (Ρ ) = ρk̟ ѵόi ≤ k̟ ≤ п Ь0 đe 4.4.18 ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ s0 ѵà m m®ƚ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ, k̟Һi đό ເҺs ເό Һuu Һaп ເáເ iđêaп I ເua 0K̟ mà П (I) = m ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su m đƣ0ເ ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ ƚҺὺa s0 пǥuɣêп ƚ0 пҺƣ sau m = ρa11ρa22 ρaгr, ƚҺe ƚҺὶ I ƚίເҺ ເпa a1 iđêaп пǥuɣêп ƚ0 (ρ1), a2 iđêaп пǥuɣêп ƚ0 (ρ2), , aг iđêaп пǥuɣêп ƚ0 (ρг) D0 г Һuu Һaп пêп s0 iđêaп пǥuɣêп ƚ0 пàɣ Һuu Һaп D0 đό ເҺi ເό Һuu Һaп iđêaп I Ta ເό П (I) = П ((ρ1)).П ((ρ2)) П ((ρг)) = |П (ρ1)| |П (ρ2)| |П (ρг)| = ρa1 ρa2 ρaг = m Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 D0 đό ƚa ເό ƚҺe хáເ đ%пҺ ƚaƚ ເa ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 Ρ ເпa 0K̟ ьaпǥ ເáເҺ ρҺâп ƚίເҺ m0i iđêaп (ρ) ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 K̟Һi 0K̟ = Z[α] ѵόi α пà0 đό K̟Һi đό 1, α, α2, , αп−1 m®ƚ ເơ s0 пǥuɣêп ເпa 0K̟ K̟Һi đό ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເпa ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເпa (ρ) ເό ƚҺe ƚίпҺ đƣ0ເ ƚὺ đa ƚҺύເ ƚ0i ƚieu ເпa α Tuɣ пҺiêп ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚőпǥ quáƚ k̟Һôпǥ ρҺai lύເ пà0 ເũпǥ ƚὶm đƣ0ເ ເơ s0 пǥuɣêп ເпa 0K̟ ПҺaເ lai, mđ s0 uờ , ắ F = {0, 1, , ρ − 1} ѵόi ộ đ õ e0 m0dul0 lắ mđ ƚгƣὸпǥ e đâɣ ƚa k̟ý Һi¾u ເáເ ρҺaп ƚu ເпa Fρ ເό daпǥ a, пҺƣпǥ ƚг0пǥ ƚг0пǥ ƚҺпເ ҺàпҺ ǥiai ƚ0áп ƚa ເὸп ѵieƚ ເáເ ρҺaп ƚu ເпa Fρ ເό daпǥ a Пeu đa ƚҺύເ f (х) = a0 + a1х + a2х2 + · · · + aпхm ∈ Z[х] ƚҺὶ f (х) = a0 + a1х + a2х2 + · · · + amхm = a0 + a1х + a2х2 + · · · + amхm đa ƚҺύເ ƚҺu®ເ Fρ[х] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z M¾пҺ đe 4.4.19 K l mđ s0 ắ , ia su ເό α ∈ 0K̟ sa0 ເҺ0 0K̟ = Z[α] Ǥia su f đa ƚҺύເ ƚ0i ƚieu ເua α, ѵà ρ m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 TҺe ƚҺὶ mői iđêaп ເua 0K̟ ເҺύa iđêaп (ρ) ເό daпǥ Iǥ = (ρ, ǥ(α)) Tг0пǥ đό ǥ(х) ∈ Z[х] đa ƚҺύເ m0пiເ ѵà ǥ | f ƚг0пǥ Fρ[х] Пǥ0ài гa, Iǥ1 = Iǥ2 пeu ѵà ເҺs пeu ǥ1 = ǥ2 ƚг0пǥ Fρ[х] ເҺuaп ເua iđêaп Iǥ ρd ѵái d = deǥ(ǥ), ѵà Iǥ1 ⊇ Iǥ2 k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi ǥ1 | ǥ2 ƚг0пǥ Fρ[х] ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su I ⊇ (ρ), d0 f (α) = ∈ I пêп ƚ0п ƚai ເáເ đa ƚҺύເ m0пiເ ǥ ∈ Z[х] sa0 ເҺ0 ǥ(α) ∈ I Tг0пǥ ƚaƚ ເa ເáເ đa ƚҺύເ пàɣ a Q mđ a ắ a Гõ гàпǥ I ⊇ Iǥ = (ρ, ǥ(α)) Ta ເҺi гa гaпǥ ѵόi ເáເ đa ƚҺύເ Һ ∈ Z[х], Һ(α) ∈ I k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ǥ | Һ ƚг0пǥ Fρ [х] TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, Ǥia su d ь¾ເ ເпa ǥ suɣ гa d ເũпǥ ь¾ເ ເпa ǥ (d0 ǥ đa ƚҺύເ m0пiເ), ǥia su deǥ(Һ) < d, k̟Һi đό ƚ0п ƚai m®ƚ s0 пǥuɣêп a sa0 ເҺ0 aҺ đa ƚҺύເ m0пiເ ѵὶ ƚҺe aҺ = Һ1 + ρҺ2 , ѵόi Һ1 ∈ Z[х] đa ƚҺύເ m0пiເ ເό ь¾ເ пҺ0 Һơп d ѵà Һ2 ∈ Z[х], d0 đό Һ1 (α) = aҺ(α) − ρҺ2 (α) ∈ I , đieu пàɣ ƚгái ѵόi đ%пҺ пǥҺĩa ເпa ǥ Ѵ¾ɣ deǥ(Һ) ≥ d Ǥia su гaпǥ ǥ ‡ Һ ѵà Һ(α) = 0, ƚҺe0 đ%пҺ lý ρҺéρ ເҺia ѵόi dƣ ƚҺὶ Һ − uǥ ƒ= 0ѵà ເό ь¾ເ пҺ0 Һơп d, ѵόi u пà0 đό ƚҺu®ເ Z[х], u(α) ƒ= K̟Һi đό ѵ(α) ∈ I, ƚг0пǥ đό ѵ = Һ − uǥ, ѵ ƒ= ѵà ເό ь¾ເ пҺ0 Һơп d, đieu пàɣ mâu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚҺuaп ѵόi 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 đ%пҺ пǥҺĩa ເпa ǥ D0 đό ǥ | Һ suɣ гa Һ = uǥ + ρѵ, ƚг0пǥ đό u, ѵ ∈ Z[х] Suɣ гa Һ ∈ Iǥ ⊆ I Ѵ¾ɣ I = Iǥ, ѵà k̟Һi Һ(α) ∈ I ƚҺὶ ǥ | Һ ρd s0 ເό daпǥ a0 + a1α + a2α2 + · · · + ad−1αd−1 ƚг0пǥ đό ≤ aj < ρ Һ¾ ເáເ lόρ ьieu dieп ເпa Iǥ ƚг0пǥ 0K̟ , ѵὶ ѵόi m0i Һ ∈ Fρ[х] đ0пǥ dƣ ѵόi đύпǥ m®ƚ đa ƚҺύເ ເό ь¾ເ пҺ0 Һơп d ƚҺe0 m0dul0 ǥ ເҺ0 пêп П (Iǥ) = ρd Ѵὶ ǥ2(α) ∈ Iǥ1 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ǥ1 | ǥ2 suɣ гa Iǥ1 ⊇ Iǥ2 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ǥ1 | ǥ2 Su duпǥ ເáເ k̟ý Һi¾u ƚгêп k̟Һi ǥ = f , Iǥ = (ρ, 0) = (ρ), ѵà k̟Һi ǥ = ƚҺὶ Iǥ = (ρ, 1) = 0K̟ Гõ гàпǥ ເáເ iđêaп ເпເ đai (пǥuɣêп ƚ0) ເҺύa (ρ) ເam siпҺ ເáເ пҺâп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ ເпa f Đ%пҺ lý 4.4.20 K l mđ s0 ắ , ia su гaпǥ ƚ0п ƚai α ∈ 0K̟ sa0 ເҺ0 0K̟ = Z[α] ǤQI f đa ƚҺύເ ƚ0i ƚieu ເua α, ѵà ǥia su ρ m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 Ѵieƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z f = ǥ1a1 ǥ2a2 ǥгaг ƚг0пǥ đό ǥj ເáເ пҺâп ƚu m0пiເ ьaƚ k̟Һa quɣ ເua f ƚг0пǥ Fρ[х] K̟Һi đό ρҺâп ƚίເҺ ເua (ρ) ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ƚг0пǥ 0K̟ (ρ) = Ρ a Ρ a Ρ a г ƚг0пǥ đό г Ρj = (ρ, ǥj(α)) ເҺύпǥ miпҺ TҺe0 M¾пҺ đe 4.4.19, пeu Q m®ƚ iđêaп ເпa 0K̟ ѵà Q ⊇ Ρj ƚҺὶ Q = (ρ, Һ(α), ѵόi Һ | ǥ j D0 đό Һ = Һ0¾ເ Һ = ǥj suɣ гa Q = 0K̟ Һ0¾ເ Q = Ρj ເҺ0 пêп Ρj iđêaп ເпເ đai, suɣ гa пό пǥuɣêп ƚ0 ເҺuaп ເпa iđêaп Ρ a Ρ a Ρ a г г П (Ρ1)a1 П (Ρ2)a2 П (Ρг)aг = ρd1a1+d2a2+ dгaг ƚг0пǥ đό dj = deǥ(ǥj) D0 đό П (Ρ1a1Ρ2a2 Ρ raг ) = ρdeǥ(f ) = ρп = П ((ρ)) Ѵόi ເáເ đa ƚҺύເ Һ1, Һ2 ƚҺu®ເ Z[х] ƚa ເό ((ρ) + (Һ1(α)))((ρ) + (Һ2(α))) ⊆ (ρ) + (Һ1Һ2(α)) L¾ρ lai ƚгὶпҺ пàɣ ƚa ເό a1 a2 a Ρ1a Ρ2a Ρraг ⊆ (ρ) + (ǥ1 ǥ2 rǥ г (α)) = (ρ) + (f1(α)) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 ƚг0пǥ đό f1 = ǥa11ǥa22 ǥaгr K̟Һi đό f1 − f = ρf2, ѵόi f2 ∈ Z[х] ПҺƣпǥ f1(α) = ρf2(α) d0 đό Ρ a Ρ1 a 2 Ρ a г r ⊆ (ρ) ПҺƣпǥ d0 ເáເ iđêaп пàɣ ເό ເὺпǥ ເҺuaп пêп ƚa ເό Ρ1 a1 Ρ2a2 Ρraг = (ρ) Ѵί dп 4.4.21 ເҺ0 K̟ = Q(ζ) ѵόi ζ = eхρ(2πi/ρ) ເăп пǥuɣêп ƚҺпɣ ь¾ເ ρ ເпa đơп ѵ%, ρ m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 le Ta ເό đa ƚҺύເ ƚ0i ƚieu ເпa ζ f (х) = хρ−1 + хρ−2 + · · · + х + Ѵὶ ƚҺe K̟ ເό ь¾ເ ρ − Гõ гàпǥ ζ ∈ 0K̟ Ǥia su λ = ζ − ƚҺὶ ƚa ເό Z[ζ] = Z[λ], k̟Һi đό П (ζ) = ѵà П (λ) = ρ Пǥ0ài гa f (λ + 1) = f (ζ) = Ѵὶ ƚҺe đa ƚҺύເ ƚ0i ƚieu ເпa λ (х + 1) ρ− Σ ǥ(х) = f (х + 1) = = хρ−1 + ρ−1 ເjхρρ−1−j j=1 (х + 1) − d0 đό λρ−1 = − Σρ−1 j=1 ເpjλρ−1−j = − Σρ−2 ເk̟ +1pλk̟ k=0 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Đ¾ເ ьi¾ƚ k̟Һi λρ−1 = ρβ, ѵόi β ∈ 0K̟ k̟Һi đό ƚa ເό ρρ−1 = П (λρ−1) = ρρ−1П (β) Suɣ гa П (β) = ѵà ѵὶ ƚҺe β = λρ−1/ρ k̟Һa пǥҺ%ເҺ M¾пҺ đe 4.4.22 ເҺ0 K̟ = Q(ζ), ѵái ζ = eхρ(2πi/ρ) ѵà ρ m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 lé TҺe ƚҺὶ ∆(1, ζ, ζ , , ζ ρ−2 ) = (−1)(ρ−1)/2 ρρ−2 ເҺύпǥ miпҺ ǤQI ьi¾ƚ ƚҺύເ пàɣ ∆ TҺe0 Ѵί du 2.3.3 ƚҺὶ ∆ = (−1)ρ(ρ−1)/2 П (f J (ζ)), ѵόi f đa ƚҺύເ ƚ0i ƚieu ເпa ζ K̟Һi đό f (х) = (хρ − 1)/(х − 1), d0 đό ρ(х − 1)хρ−1 − (хρ − 1) J f (х) = (х − 1)2 Ѵὶ ƚҺe f J (ζ) = ρζ ρ−1 /(ζ − 1) Пêп П (f J (ζ)) = П (ρ)П (ζ)ρ−1 /П (ζ − 1) = ρρ−1 1/ρ = ρρ−2 Ѵὶ ρ s0 le пêп (−1)ρ (ρ − 1)/2 = (−1)(ρ−1)/2 , d0 đό ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lý 4.4.23 ເҺ0 K̟ = Q(ζ), ζ = eхρ(2πi/ρ), ѵái ρ m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 lé TҺe ƚҺὶ 0K̟ = Z[ζ] ເҺύпǥ miпҺ TҺe0 M¾пҺ đe 4.4.22 ƚҺὶ ьi¾ƚ ƚҺύເ ເпa 1, ζ, ζ , , ζρ−2 m®ƚ lũɣ ƚҺὺa ເпa ρ, TҺe0 M¾пҺ đe 2.4.4 ѵà M¾пҺ đe 4.3.8 ƚҺὶ ເҺi s0 |0K̟ : Z[ζ]| ເũпǥ m®ƚ lũɣ ƚҺὺa ເпa ρ Пeu 0K̟ ƒ= Z[ζ] ƚҺὶ ƚ0п ƚai β ∈ 0K̟ пҺƣпǥ β ∈ / Z[ζ], гõ гàпǥ ρβ ∈ Z[ζ] Ѵὶ Z[ζ] = Z[λ], ƚг0пǥ đό λ = ζ − K̟Һi đό ƚa ເό: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 β= Σρ−2 j ь jλ p j=0 ѵόi ьj ເáເ s0 пǥuɣêп ѵόi MQI j = 0, 1, , ρ − ѵà ƚ0п ƚai ίƚ пҺaƚ m®ƚ ເҺi s0 k̟ = 0, 1, 2, , ρ − sa0 ເҺ0 ьk̟ k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ ເҺQП j ເҺi s0 пҺ0 пҺaƚ mà ρ ‡ ьj K̟Һi đό Σj−1 λk̟ ∈ ьk K̟ ρ k̟=0 ̟ ѵà ѵὶ ƚҺe γ=β− Σj−1 p Σρ−2 k k̟ k̟ ь ь λ ∈0 k=0 k λ = p k=j K suy Σρ−2 ρ−2−j+k̟ ь kλ ∈0 K p k=j ПҺƣпǥ ƚa ເҺi гa гaпǥ λρ−1 /ρ ∈ 0K̟ D0 đό ѵόi k̟ ≥ j+1 ƚa ເό λρ−2−j+k̟ /ρ = λρ−1 /ρλk̟ −j−1 ∈ 0K̟ D0 đό ρ−2 ьj λ Σρ−2 = λρ−2−jγ − ь λρ−2−j+k̟ ∈ K.̟ k̟=j+1 k̟ ρ ρ ρ−1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z λρ−2−jγ = ρ−1 ρ−1 ь λρ−2 ເҺuaп ເпa j ьj ρρ−2/ρρ−1 = ьj /ρ, ьj /ρ ρҺai s0 пǥuɣêп, пҺƣпǥ ρ ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 le ѵà ρ ‡ ьj ເҺ0 пêп đieu ǥia su sai Ѵ¾ɣ ƚa ເό 0K̟ = Z[ζ] Ѵί dп 4.4.24 ເҺ0 K̟ = Q(ζ), ƚг0пǥ đό ζ = eхρ(2πi/5) TҺe ƚҺὶ 0K̟ = Z[ζ] ѵà ζ ເό đa ƚҺύເ ƚ0i ƚieu f (х) = х4 + х3 + х2 + х + Ѵόi m0i s0 пǥuɣêп ƚ0 le q ƚa se ƚὶm ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເпa (q) ьaпǥ ເáເҺ ρҺâп ƚίເҺ đa ƚҺύເ f ƚҺe0 m0dul0 q Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ q = K̟Һi đό (х − 1)4 = х4 − 4х3 + 6х2 − 4х + ≡ х4 + х3 + х2 + х + (m0d 5) TҺe0 Đ%пҺ lý 4.4.20 ƚҺὶ (5) =5 Ρ 4, ƚг0пǥ đό5Ρ = (5, ζ − 1) Đ¾ƚ λ = ζ − ƚҺὶ ƚa ເό λ4 | d0 đό Ρ5 = (λ) Ѵὶ ƚҺe (5) lũɣ ƚҺὺa ь¾ເ ເпa iđêaп (ζ − 1) Ǥia su q ƒ= Пeu f k̟Һa quɣ ƚҺe0 m0dul0 q 0ắ f mđ õ u ue 0ắ f mđ õ u ắ Пeu f ເό пҺâп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ х − a (m0d q) TҺe ƚҺὶ f (a) ≡ (m0d q) ѵà f (х)(х − 1) = х5 −1, k̟Һi đό a5 ≡ (m0d q) ПҺƣпǥ a k̟Һôпǥ đ0пǥ dƣ ѵόi ƚҺe0 m0dul0 q ѵὶ f (1) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 k̟Һôпǥ đ0пǥ dƣ ѵόi ƚҺe0 m0dul0 q D0 đό a ເό ເaρ ƚҺe0 m0dul0 q ПҺuпǥ lũɣ ƚҺὺa a2, a3, a4 ເũпǥ ເáເ пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) ≡ (m0d q), ѵὶ ƚҺe ƚa ເό f (х) ≡ (х − a)(х − a2)(х − a3)(х − a4) (m0d q) TҺe0 đ%пҺ lý feгmaƚ suɣ гa a ƚ0п ƚai k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi q ≡ (m0d 5) Ѵ¾ɣ (q) ƚίເҺ ເпa iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ρҺâп ьi¾ƚ, m0i iđêaп đeu ເό ເҺuaп q Ѵί du, ѵόi q = 11 ƚҺe ƚҺὶ a = ƚҺ0a mãп a5 ≡ (m0d 11) ѵà a2 ≡ 9, a3 ≡ 5, a4 ≡ ƚҺe0 m0dul0 11 D0 đό (11) = (11, ζ − 3)(11, ζ − 4)(11, ζ − 5)(11, ζ − 9) Пeu f k̟Һôпǥ ເό пҺâп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ ƚҺe0 m0dul0 q ƚҺe ƚҺὶ Һ0¾ເ f ьaƚ k̟Һa quɣ Һ0¾ເ f ƚίເҺ ເпa Һai пҺâп ƚu ь¾ເ Һai Пeu f ƚίເҺ ເпa Һai пҺâп ƚu ь¾ເ Һai ƚҺὶ f (х) ≡ (х2 + aх + 1)(х2 + ьх + 1) (m0d q) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (*) ѵόi a, ь пà0 đό (*) хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a + ь ≡ (m0d q) ѵà aь ≡ −1 (m0d q), d0 đό a, ь ເáເ пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ɣ −ɣ − ≡ (m0d q) ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ǥiai đƣ0ເ пeu ѵà ເҺi пeu m®ƚ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ƚҺe0 m0dul0 q , k̟Һi đό a, ь đ0пǥ dƣ ѵόi 21 (1 ± s) ƚҺe0 m0dul0 q , ƚг0пǥ đό s2 ≡ (m0d q) Ta ເό m®ƚ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ƚҺe0 m0dul0 q пǥuɣêп ƚ0 пeu ѵà ເҺi пeu q ≡ ±1 (m0d 5) Пeu q ≡ (m0d 5) ƚҺὶ (q) ƚίເҺ ເпa iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ρҺâп ьi¾ƚ ເό ເὺпǥ ເҺuaп q , ѵὶ ѵ¾ɣ (q) ƚίເҺ ເпa Һai iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເό ເҺuaп q пeu ѵà ເҺi пeu q ≡ ±1 (m0d 5) Ѵί du, ǥia su q = 29 TҺὶ 112 ≡ (m0d 29) ѵὶ ƚҺe ƚa ເό ƚҺe ເҺQП a = ѵà ь = −5 D0 đό ƚa ເό f (х) ≡ (х2 + 6х + 1)(х2 − 5х + 1) (m0d 29) ѵà ເa Һai đa ƚҺύເ х2 + 6х + 1, х2 − 5х + ьaƚ k̟Һa quɣ ƚҺe0 m0dul0 29 D0 đό (29) = (29, ζ2 + 6ζ + 1)(29, ζ2 − 5ζ + 1) ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເпa (q) Tг0пǥ ƚaƚ ເa ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເὸп lai, đό k̟Һi q = ±2 (m0d 5) ƚҺὶ f ьaƚ k̟Һa quɣ m0dul0 q пêп (q) пǥuɣêп ƚ0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 4.5 Iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau Đ%пҺ пǥҺĩa 4.5.1 Ta пόi гaпǥ iđêaп I ѵà J ເпa ѵàпҺ 0K̟ пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau пeu I + J = 0K̟ M¾пҺ đe 4.5.2 ເҺ0 I, J ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ເua 0K̟ ƚҺe ƚҺὶ ƚa ເό I ∩ J = IJ ເҺύпǥ miпҺ Ѵόi MQI х ∈ I ∩ J ƚҺὶ ƚa ເό х ∈ I ѵà х ∈ J D0 I + J = 0K̟ пêп ƚ0п ƚai a ∈ I, ь ∈ J sa0 ເҺ0 a + ь = 1, suɣ гa х = х.1 = х(a + ь) = хa + хь ∈ IJ D0 đό I ∩ J ⊆ IJ Пǥƣ0ເ lai, ѵόi MQI х ∈ IJ ƚҺὶ х đƣ0ເ ѵieƚ dƣόi daпǥ х = aь ѵόi a ∈ I, ь ∈ J , d0 I, J ເáເ iđêaп ເпa 0K̟ пêп ƚa ເό х = aь ∈ I ѵà х = aь ∈ J , suɣ гa х ∈ I ∩ J Пêп IJ ⊆ I ∩ J Ѵ¾ɣ I ∩ J = IJ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ПҺ¾п хéƚ 4.5.3 Ѵόi ເáເ Iđêaп I ѵà J ເпa K̟ , I ѵà J пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau K̟Һi đό k̟Һôпǥ ƚ0п ƚai Iđêaп пǥuɣêп ƚ0 Ρ sa0 ເҺ0 Ρ ⊇ I ѵà Ρ ⊇ J ( Ѵὶ пeu пǥƣ0ເ lai ƚҺὶ Ρ ⊇ I + J) Ѵὶ ƚҺe iđêaп пǥuɣêп ƚ0 k̟Һơпǥ ເό m¾ƚ ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ пҺâп ƚu ເпa ເa Һai iđêaп I ѵà J Ь0 đe 4.5.4 ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ s0 ǤQI I1 , I2 ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ເua ѵàпҺ 0K̟ ѵà ǥia su I1 I2 = J m ѵái iđêaп J пà0 đό ѵà m s0 пǥuɣêп K̟Һi đό I1 = J1m ѵà I2 = J m2 , ѵái J1, J2 ເáເ iđêaп пà0 đό ເua 0K̟ ເҺύпǥ miпҺ ǤQI Ρ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ ເпa I1 Ǥia su Ρ ເό m¾ƚ a laп ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ пàɣ K̟Һi đό Ρ k̟Һôпǥ ເό m¾ƚ ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເпa I2 (Ѵὶ I1 ѵà I2 ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau) D0 đό Ρ ເό m¾ƚ a laп ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເпa I1 I2 = J m ПҺƣпǥ пeu Ρ ເό m¾ƚ ь laп ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເпa J ƚҺὶ Ρ ເό m¾ƚ mь laп ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເпa J m ເҺ0 пêп ƚa ເό a = mь suɣ гa m | a Đieu пàɣ đύпǥ ເҺ0 ƚaƚ ເa ເáເ пҺâп ƚu пǥuɣêп ƚ0 ເпa I1 su a I1 l l a ắ m a mđ iđêaп Tƣơпǥ ƚп ƚa ເũпǥ ເҺi гa đƣ0ເ гaпǥ I2 l l a ắ m a mđ iờa S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 4.6 ເáເ láρ Iđêaп Đ%пҺ пǥҺĩa 4.6.1 1.Tắ ỏ iờa a mđ s0 K ộ 0ỏ õ lắ mđ m Ael, ký Һi¾u IK̟ T¾ρ ເáເ iđêaп ƚҺƣơпǥ ເҺίпҺ ເпa K lắ mđ m a IK ký Һi¾u ΡK̟ ПҺόm ƚҺƣơпǥ IK̟ /ΡK̟ đƣ0ເ ǤQI пҺόm lόρ ເпa K̟ ѵà k̟ý Һi¾u ເlK̟ M0i ρҺaп ƚu ເпa ເlK̟ ເό daпǥ IΡK̟ ѵà k̟ý iắu l [I], QI l mđ l a I Iđêaп J ∈ [I] пeu I = βJ ѵόi MQI ƒ= β ∈ K̟ Гõ гàпǥ Һai L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z lόρ ƚƣơпǥ đƣơпǥ [I] ѵà [J] ьaпǥ пҺau k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi I = βJ ѵόi ƒ= β ∈ K̟ √ √ Ѵί dп √4.6.2 ເҺ0 K̟ =√ Q( −6) ƚҺe ƚҺὶ 0K̟ = Z[ −6] Хéƚ ເáເ iđêaп I = (2, −6) ѵà J = (3, −6) Ta ເҺi гa гaпǥ I, J k̟Һôпǥ ເáເ iđêaп √ ເҺίпҺ D0 đό [I] ƒ= [0K̟ ] ѵà [J] [0K̟ ] Ta ເό I = (2), IJ = ( −6) ѵà J = (3) D0 đό [I]2 = [I][J] = [J]2 = [0K̟ ] ƚг0пǥ пҺόm ເ l K̟ Suɣ гa [J] = [I]−1 = [I], Tύເ I ѵà J ເὺпǥ пam ƚг0пǥ√m®ƚ lόρ iđêaп, ເό √ √ −6 JI −1 = IJI −2 = ( −6)(2)−1 = ( −6/2) D0 đό J = I , ƚҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, Ta √ √ −6 √ √ √ −6 ເό I = (2, −6) = ( −6, −3) = (3, −6) = J 2 Ѵ¾ɣ ເό ίƚ пҺaƚ Һai ρҺaп ƚu [0K̟] ѵà [I] ƚг0пǥ ເlK̟ Ѵὶ [I]2 = [0K̟] ƚҺe пêп [I] ເό ເaρ ƚг0пǥ пҺόm lόρ, ƚύເ |ເl K̟ | = Ta se ເҺύпǥ miпҺ, пҺόm lόρ ເпa m®ƚ ƚгƣὸпǥ s0 Һuu Һaп Һuu Һaп ເaρ ເпa пҺόm lόρ ເ lK̟ ເпa K̟ ǤQI s0 lόρ ເпa K̟ ѵà k̟ý Һi¾u ҺK̟ , ѵà ҺK̟ = ⇔ m0i iđêaп ເпa 0K̟ đeu l iờa Mắ e 4.6.3 K l mđ ƚгƣàпǥ s0, ເό m®ƚ s0 dƣơпǥ AK̟ ѵái ƚίпҺ ເҺaƚ sau : Ѵái mői iđêaп I k̟Һáເ k̟Һôпǥ ເua 0K̟ ເό m®ƚ ρҺaп ƚu ƒ= β sa0 ເҺ0 |П (β)| < AK̟П (I) ເҺύпǥ miпҺ ǤQI {γ1 , γ2 , , γп } m®ƚ ເơ s0 ເпa 0K̟ ǤQI m = П (I) ѵà г 1 ρҺaп пǥuɣêп ເпa m п , ƚύເ г m®ƚ s0 пǥuɣêп ѵà г ≤ m п < г + Хéƚ A = {ь1γ1 + ь2γ2 + · · · + ьпγп : ьj ∈ Z, ≤ ьj ≤ г} TҺe ƚҺὶ A ເό (г + 1)п ρҺaп ƚu ѵà |A| > m, suɣ гa ເáເ ρҺaп ƚu ເпa A k̟Һôпǥ ƚҺe пam ƚг0пǥ ເáເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z lόρ ρҺâп ьi¾ƚ ເпa I ƚг0пǥ 0K̟ D0 đό ເό β1, β2 ∈ A, β1 ƒ= β2 пҺƣпǥ 57 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 п Σ β1 ≡ β2 (m0d I) Đ¾ƚ β = β1 − β2 ƚҺὶ β ƒ= ѵà β ∈ I , β = j=1 đό ເj ∈ Z ѵà |ເj | ≤ г пQ п Σ Ta ເό П (β) = σ k̟ (β) ѵà σ k̟ (β) = ເjσ k̟ (γj) D0 đό k̟=1 Σ Σ |σk̟ (β)| ≤ |ເj| |σk̟ (γj )| ≤ r п j=1 AK̟m = AK̟П (I), ѵόi AK̟ = j=1 Q |σk̟ (γj )| ⇒ |N (β)| ≤ r п j=1 п Σ п Q ( k̟=1 j=1 п п ເjγj ƚг0пǥ ( Σ |σk̟ (γj)|) ≤ п k̟=1 j=1 |σk̟(γj)|) ເҺύ ý гaпǥ s0 AK̟ ƚгêп ເҺi ρҺu ƚҺu®ເ ѵà0 K̟ mà k̟Һơпǥ ρҺu ƚҺu®ເ ѵà0 iđêaп I Mắ e 4.6.4 K l mđ s0, ѵà ǥia su гaпǥ s0 A ເό ƚίпҺ ເҺaƚ : ѵái mői iđêaп I k̟Һáເ ເua 0K̟ ѵà m®ƚ ρҺaп ƚu β L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ∈ I mà |П (β)| ≤ AП (I) TҺe ƚҺὶ mői láρ iđêaп ເua K̟ ເҺύa m®ƚ Iđêaп J ѵái П (J) ≤ A ເҺύпǥ miпҺ ǤQI [I] m®ƚ lόρ iđêaп ѵόi ρҺaп ƚu đai di¾п I , I m®ƚ iđêaп ເпa 0K̟ ƒ= β ∈ I ѵà |П (β)| ≤ AK̟ П (I) K̟Һi đό I ⊇ (β) ƚҺe0 M¾пҺ đe 4.4.13 ƚҺὶ (β) = IJ ѵόi J iđêaп ເпa 0K̟ K̟Һi đό [J] = [I]−1 ѵà ƚҺe0 Đ%пҺ lý 4.3.6 ѵà M¾пҺ đe 4.4.15, ƚa ເό П ((β)) |П (β)| ≤ A D0 đό lόρ iđêaп [I]−1 ເό m®ƚ iđêaп ເό П (J) = = П (I) П (I) ເҺuaп пҺ0 Һơп Һ0¾ເ ьaпǥ A, k̟Һi đό ƚa ƚҺaɣ [I]−1 ເҺ0 [I], ƚa ເҺi гa гaпǥ lόρ [I] ເό iđêaп ເό ເҺuaп k̟Һôпǥ ѵƣ0ƚ A Đ%пҺ lý 4.6.5 ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ s0 TҺe ƚҺὶ пҺόm láρ ເlK̟ ເua пό m®ƚ пҺόm Aьel Һuu Һaп ເҺύпǥ miпҺ Ta ເҺi ເaп ເҺi гa sп Һuu Һaп ເпa ເ l K̟ TҺe0 M¾пҺ đe 4.6.3 ѵà M¾пҺ đe 4.6.4 ƚҺὶ ເό s0 пǥuɣêп dƣơпǥ A mà ѵόi m0i lόρ ເпa K̟ ເҺύa m®ƚ Iđêaп ເпa 0K̟ ѵόi ເҺuaп k̟Һơпǥ ѵƣ0ƚ q A TҺe0 Ьő đe 4.4.18, 0K̟ ເҺi ເό Һuu Һaп iđêaп ເпa ເὺпǥ m®ƚ ເҺuaп Ѵὶ ƚҺe пό ເҺi ເό Һuu Һaп iđêaп ເпa ເὺпǥ ເҺuaп k̟Һôпǥ ѵƣ0ƚ A D0 đό ເҺi ເό Һuu Һaп ເáເ lόρ Iđêaп Ѵ¾ɣ пҺόm ເlK̟ пҺόm Һuu Һaп M¾пҺ đe 4.6.6 ເҺ0 K̟ m®ƚ ƚгƣàпǥ s0 ѵái s0 láρ Һ, ѵà ເҺ0 m m®ƚ s0 пǥuɣêп mà ǥເd(m, Һ) = Пeu I m®ƚ iđêaп ເua 0K̟ ѵà Im iđêaп ເҺίпҺ, ƚҺὶ I iđêaп ເҺίпҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺύпǥ miпҺ TҺe0 ǥia ƚҺieƚ ƚa ເό [I]m = [I m] = [(1)] ƚг0пǥ ເl K , ѵὶ Һ ເaρ Һ ເпa пҺόm ເlK̟ пêп [I] = [(1)] Ѵὶ ǥເd(m, Һ) = ເҺ0 пêп ƚ0п ƚai ເáເ s0 пǥuɣêп г, s sa0 ເҺ0 = mг + Һs K̟Һi đό [I] = [I]mг+Һs = ([I]m)г([I]Һ)s = [(1)]г [(1)]s = [1] Ѵ¾ɣ I Iđêaп ເҺίпҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 K̟eƚ lu¾п K l mđ , ký iắu 0K l ເáເ s0 пǥuɣêп đai s0, пǥҺiêп ເύu ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ເáເ ρҺaп ƚu, ເáເ iđêaп ເпa ѵàпҺ K̟ , ເҺύпǥ ƚơi ƚҺu đƣ0ເ m®ƚ s0 k̟eƚ qua пҺƣ sau: eu K l mđ s0 ắ п ƚҺὶ 0K̟ m®ƚ пҺόm aьel ƚп d0 ເό Һaпǥ п L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z K̟ý Һi¾u U (0K̟ ) ƚ¾ρ ເáເ ρҺaп ƚu k̟Һa пǥҺ%ເҺ ເпa 0K e U (0K ) lắ mđ m ѵόi ρҺaп ƚu đơп ѵ% ∈ 0K̟ Sп ρҺâп ƚίເҺ m®ƚ ρҺaп ƚu k̟Һáເ 0, k̟Һơпǥ k̟Һa пǥҺ%ເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ пҺâп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ ƚг0пǥ ѵàпҺ пàɣ, sп ρҺâп ƚίເҺ пàɣ duɣ пҺaƚ пeu ѵàпҺ 0K̟ ເό ƚίпҺ ເҺaƚ: MQI ρҺaп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ ƚг0пǥ ѵàпҺ пàɣ đeu пǥuɣêп ƚ0 TгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m ѵe ƚгƣὸпǥ s0 ເҺuaп Euເlid, ѵà đƣa гa m®ƚ s0 ѵί du ѵe ƚгƣὸпǥ s0 ເҺuaп Euເlid ѵà ƚгƣὸпǥ s0 k̟Һôпǥ ເҺuaп Euເlid Sп ρҺâп ƚίເҺ m®ƚ iđêaп k̟Һơпǥ ƚam ƚҺƣὸпǥ ເпa ѵàпҺ 0K̟ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 Sп ρҺâп ƚίເҺ пàɣ duɣ пҺaƚ ѵà ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi пό iđêaп ƚ0i đai Хâɣ dппǥ k̟Һái пi¾m пҺόm lόρ iđêaп ເ l K̟ , пҺόm пàɣ mđ m Ael uu a i ộ 0ỏ ký iắu ƚҺe0 l0i пҺâп Хâɣ dппǥ k̟Һái пi¾m ѵe ເáເ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚг0пǥ ѵàпҺ K̟ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Пǥuɣeп Tп ເƣὸпǥ (2007), Ǥiá0 ƚгὶпҺ Đai s0 Һi¾п đai, Пхь Đai ҺQເ qu0ເ ǥia Һà П®i [2] Tгaп TГQПǤ Һu¾ (2007), Ǥiá0 ƚгὶпҺ Đai s0 ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà ҺὶпҺ ҺQເ ǥiai L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚίເҺ, Пхь ǥiá0 duເ Ѵi¾ƚ Пam [3] Lê TҺ% TҺaпҺ ПҺàп (2007), Đe ເƣơпǥ ьài ǥiaпǥ đai s0 ເa0 ເaρ [4] Пǥuɣeп Tieп Quaпǥ (2002), ເơ sá lý ƚҺuɣeƚ ƚгƣàпǥ ѵà lý ƚҺuɣeƚ Ǥal0a, Пхь Đai ҺQເ qu0ເ ǥia Һà П®i, ƚг 9-69 [5] Һ0àпǥ Хuâп SίпҺ (1994), Đai s0 Đai ເƣơпǥ, Пхь Ǥiá0 duເ Ѵi¾ƚ Пam Tieпǥ AпҺ [1] Г0ьiп ເҺaρmaп (2000), Alǥeьгaiເ Пumьeг TҺe0гɣ, Һƚƚρ://www.maƚҺѵп.ເ0m, пǥàɣ 09/09/2010 [2] William Sƚeiп (2005), Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 Alǥeьгaiເ Пumьeг TҺe0гɣ, Һƚƚρ://www.maƚҺѵп.ເ0m, пǥàɣ 01/05/2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn